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指对函数及其图像



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教学目标

理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义; 结合具体函数,了解奇偶性的含义;

重点、难点

单调性及奇偶性的应用

考点及考试要求

函数单调性、奇偶性的判定及应用

教学内容

一、知识要点
1.指数 (1)n 次方根的定义 若 xn=a,则称 x 为 a 的 n 次方根,“ n ”是方根的记号.

在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,0 的奇次方根是 0;正数的偶次 方根是两个绝对值相等符号相反的数,0 的偶次方根是 0,负数没有偶次方根. (2)方根的性质
n ①当 n 为奇数时, a n =a.

?a n ②当 n 为偶数时, a n =|a|= ? ?? a

(a ? 0), (a ? 0).

(3)分数指数幂的意义
m

n ①a n = a m (a>0,m、n 都是正整数,n>1).
? m n

②a

=

1
m an

=

1
n

am

(a>0,m、n 都是正整数,n>1).

(4)指数运算性质

①a ﹒a =a ④ a ?a
n m

m

n

m+n

②(a ) =a =(a ) ⑤a ﹒b =(a﹒b)
m m m

m

n

mn

n m


am a ⑥ m ? ( )m b b

1 ? a ?n n a

m n

2.指数函数 (1)指数函数的定义 一般地,函数 y=ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数. (2)指数函数的图象

1

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y y= ax(a> 1 1 O x y= a x (0<a<1) y



1 O

x

底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称. (3)指数函数的性质 ①定义域:R. ②值域:(0,+∞). ③过点(0,1),即 x=0 时,y=1. ④当 a>1 时,在 R 上是增函数;当 0<a<1 时,在 R 上是减函数.

一 基本初等函数知识导学
1.二次函数的概念、图像和性质.

? ( 1 ) 注 意 解 题 中 灵 活 运 用 二 次 函 数 的 一 般 式 f ( x) f ( x) ? a( x ? m)2 ? n (a ? 0) 和 坐标式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )

2 a x ?

b ?x

c (

?0 a)点 式 顶

(a ? 0)

( 2 )解二次函数的问题(单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等)要充分利用 好两种方法:配方、图像,很多二次函数都用数形结合的思想去解. ① f ( x) ? ax ? bx ? c
2

(a ? 0) ,当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时图像与 x 轴有两个交点.
? . |a|

M(x1,0)N(x2,0),|MN|=| x1- x2|=

②二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得. 2.指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 和对数函数 y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 的概念和性质.
x

(1)有理指数幂的意义、幂的运算法则: ①a ?a ? a
m n m? n



② (a ) ? a
m n

mn



③ (ab) ? a b (这时 m,n 是有理数)
n n n

对数的概念及其运算性质、换底公式. 基本性质: 1)真数 N 为正数(负数和零无对数) ; 2) log a 1 ? 0 ; 3) log a a ? 1 ; 运算性质: 4)对数恒等式: a
log a N

?N。

log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ;

log a

M ? log a M ? log a N N
log a b ? log c b log c a

log a M n ? n log a M ;
换底公式:

log a n M ?

1 log a M ; n

2

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log a N ?

log m N (a ? 0, a ? 0, m ? 0, m ? 1, N ? 0), log m a
2) log a m b n ?

1) log a b ? log b a ? 1 ;

n log a b 。 m

3 指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点. ①指数函数图像永远在 x 轴上方,当 a>1 时,图像越接近 y 轴,底数 a 越大;当 0<a<1 时,图像越接近 y 轴, 底数 a 越小. ②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数 a 的讨论. ③当 a>1 时,图像越接近 x 轴,底数 a 越大; 当 0<a<1 时,图像越接近 x 轴,底数 a 越小.

指数函数 (一) 主要知识:
y
图 象

指数函数的图象和性质:

a ?1

0 ? a ?1

y
y ?1

y ?1

O

x

O

x

?1? 定义域: R
性 质

? 2 ? 值域: ? 0, ?? ?

? 3? 过点 ? 0,1? ,即 x ? 0 时, y ? 1 ? 4 ? 在 R 上是增函数 ? 4 ? 在 R 上是减函数

1. y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的定义域为 R ,值域为 ? 0, ?? ? . 2. y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 ) 的单调性: a ? 1 时, y ? a x 在 R 上为增函数; 0 ? a ? 1时, y ? a x 在 R 上是减函数. 3. y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的图像特征: a ? 1 时,图象像一撇,过点 ? 0,1? ,且在 y 轴左侧 a 越大,图象越靠近 y 轴(如图1 ); 0 ? a ? 1时,图象像一捺,过点 ? 0,1? ,且在 y 轴左侧 a 越小,图象越靠近 y 轴(如图 2 );
y ? a x 与 y ? a ? x 的图象关于 y 轴对称(如图 3 ).

3

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图1

图2

图3

(二)主要方法: 1. 指数方程,指数不等式:常要转化为同底数的形式,在利用指数函数的单调性求解; 2. 确定与指数有关的函数的单调性时,常要注意针对底数进行讨论; 3. 要注意运用数形结合思想解决问题. (三)典例分析:
?1? 1. 不等式 ? ? ?3?
x 2 ?8

? 3?2 x 的解集为
x2 ? 2 x

?1? 的递减区间为 2. 函数 y ? ? ? ?2? (五)深化练习:

;最大值是

1. 如图为指数函数 (1) y ? a x , (2) y ? b x , (3) y ? c x , (4) y ? d x ,则 a, b, c, d 与 1 的大小关系为 A. a ? b ? 1 ? c ? d B. b ? a ? 1 ? d ? c y C. 1 ? a ? b ? c ? d D. a ? b ? 1 ? d ? c a b c d

O

x


2.已知函数 y ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 3 的值域为 ?1,7? ,则 x 的范围

3.设 a ? 0, a ? 1 ,如果函数 y ? a 2 x ? 2 ? a x ? 1 在 ?? 1,1? 上的最大值为 14 ,求 a 的值

对数函数 . (一) 主要知识:
基本性质: 1)真数 N 为正数(负数和零无对数) ; 2) log a 1 ? 0 ; 3) log a a ? 1 ; 4)对数恒等式: a
log a N

?N。

运算性质:如果 a ? 0, a ? 0, M ? 0, N ? 0, 则

4

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1) log a ( MN ) ? log a M ? log a N ; 3) log a M
n

2) log a

M ? log a M ? log a N ; N

? n log a M (n ? R)

④换底公式:

log a N ?

log m N (a ? 0, a ? 0, m ? 0, m ? 1, N ? 0), log m a
2) log a m b n ?

1) log a b ? log b a ? 1 ;

n log a b 。 m

1.对数函数 y ? log a x (a ? 0且a ? 1) 的图像和性质: a>1 定义域: (0,+≦) 值域:R 过点(1,0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 性 质 0<a<1

x ? (0,1) 时 y ? 0

王新敞
奎屯

新疆

x ? (0,1) 时
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

x ? (1,??) 时 y ? 0

x ? (1,??) 时
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

在(0,+≦)上是增函数

在(0,+≦)上是减函数

王新敞
奎屯

新疆

1. log a b 的符号规律:同范围时值为正,异范围时值为负。 2. y ? log a x(a ? 0且a ? 1) 的图象特征:

a ? 1 时,图象像一撇,过 ?1, 0 ? 点,在 x 轴上方 a 越大越靠近 x 轴;

0 ? a ? 1时,图象像一捺,过 ?1, 0 ? 点,在 x 轴上方 a 越小越靠近 x 轴。
2.指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? log a x 互为反函数; (三)典例分析: 问题 1.

?1? 若 0 ? a ? 1,则函数 y ? log a ( x ? 5) 的图象不经过
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ? 2 ? 若函数 f ( x) ? log a ? x ? 1? ( a ? 0 , a ? 1 )的定义域和值域都是 ? 0,1? ,则 a ? A.
1 3

B. 2

C.

2 2

D. 2

? 3? 若 a2 ? b ? a ? 1 ,则 logb

b , logb a , log a b 从小到大依次为 a

问题 2.求下列函数的值域 :
5

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?1?

y ? log 1 ? 3 ? 2 x ? x 2 ? ;
2

? 2?

x? ? y ? ? log 2 ? ? log 4? ?

?

2

2 x ( x ≥1)

?

1 问题 3. ?1? 不等式 log ( x ? ? 6) ? 3 的解集为 2 x

? 2 ? 若不等式 x 2 ? log a x ≤ 0 在 x ? ? ? 0,
A.
1 ≤ a ?1 16

B.

1 ? a ?1 16

1? ? 内恒成立,则 a 的取值范围是 ? 2? 1 1 C. 0 ? a ≤ D. 0 ? a ? 16 16

(四)巩固练习:
1. 函数 y ? log 1 ( x 2 ? 6 x ? 17) 的值域是
2

A. R

B. ?8, ?? ?

C. ? ??, ?3?

D. [3, ??)

1) 满足 f ( x) ? 0 ,则 a 的取值范围是 2. 若定义在区间 ? ?1, 0 ? 内的函数 f (x) ? log 2 a( x ?

1 A. (0, ) 2
3. 求函数 y = log
2

? 1? B. ? 0, ? ? 2?

?1 ? C. ? , ?? ? ?2 ?

D. (0,??)

(x2 -5x+6) 的定义域、值域、单调区间.

(六)课后作业:
1 1. 已知函数 f ( x) ? lg x ,若 ? a ? b ? 1 ,则 f (a) 、 f (b) 、 f (c) 从小到大依次为 c 1 (注: f ( ) ? f (c) ) c 2. y ? lg x ? lg(5 ? 3x) 的定义域为 ;
6

[键入文字]
1 x ?3

3. y ? 2

的值域为
2



4. y ? lg(? x ? x) 的递增区间为 ,值域为 1 5. log 2 1 x ? ≤ 0 ,则 x ? 4 2 6.函数 f ( x) ? log a x (2 ≤ x ≤ ? ) 的最大值比最小值大 1 ,则 a ? 7.若 log a (a 2 ? 1) ? log a 2a ? 0 ,则 a 的取值范围是
A. (0,1)
1 B. (0, ) 2
C. ( ,1)

1 2

D. (1,??)

8.已知 a ? log 0.7 0.8 , b ? log1.1 0.8 , c ? 1.10.7 ,则 a, b, c 的大小关系是
A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b 9.若函数 y ? log 1 ? 2 ? log 2 x ? 的定义域是 D. b ? c ? a
1 D. ? 0 , ?

A. ? 0, 2 ?

2

B. ? 2 , 4 ?

C. ? 0 , 4 ?

2? x ? 0 ? a ? 1? 2? x ?1? 试判断 f ( x) 的奇偶性;

10.已知函数 f ( x) ? log a

? 2 ? 解不等式 f ( x) ≥ log a 3x

指对运算练习
基础题 1、⑴若 log x 8 ?
1 ,则 x ? _______ 2

⑵若 log

2 ?1

(3 ? 2 2 ) ? x ,则 x ? _________

⑶若 log 3 (a ? 1) ? 1,则 log 2 a ? log 2 (a ? 1) ? _________ ⑷若 log a x ? 2 , log b x ? 3 , log c x ? 6 ,则 log abc x ? ____________ 2、若 log a 2 ? m , log a 3 ? n ,则 a 2 m?3n ? _______________ 3、在对数式 log x ?2 (? x 2 ? 3x ? 18) 中,实数 x 的取值范围是___________________ 4、如果 log 4 (log 5 a) ? log 3 (log 5 b) ? 1 ,求 能力题
5、计算: lg 500 ? lg

a 的值 b

8 1 ? lg 64 ? 50(lg 2 ? lg 5) 2 ? ____________ 5 2
7

[键入文字]

6、 log 3 3 3 3 3 ? ____________ 7、化简: lg 5 ? lg 2 ? lg 50 ? ______________
2

8、若 f (10 ) ? x ,则 f (3) ? ________________
x

9、若 log a x ? 2 , log b x ? 3 , log c x ? 6 ,则 log abc x ? ____________ 10、已知 lg( x ? y) ? lg(2 x ? 3 y) ? lg 3 ? lg 4 ? lg x ? lg y ,则 11、若 a ? b ? a ? 1 ,则 log b
2

x ? ___________ y

b , logb a , log a b 从小到大依次为____________ a

三 典例剖析
例 1 求下列函数的定义域:

y?

3

1 3x ? 2 9 ? ( ) x ? log 0.1 . 3 2x ? 1

例 2 已知 log18 9 ? a,18 ? 5, 求 log 36 45
b

例 3 求函数 y ? 36 ? 12 ? 6 ? 5 的单调区间.
x x

例 4 已知 y ? log a (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是

综合拓展
8

[键入文字]

例 5 已知 lg a 、 lg b 是方程 2 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的两根,求 lg 2

a 的值。 b

例 6 已知函数 f ( x) ? log a (3 ? ax) . (1)当 x ? [0, 2] 时 f ( x) 恒有意义,求实数 a 的取值范围. (2)是否存在这样的实数 a 使得函数 f ( x) 在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1,如果存在,试求出 a 的 值;如果不存在,请说明理由.

9


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