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一道探究作业题的再探究与思考


4  2

数 学通报 

21 0 2年  第 5 1卷  第 1 0期 



道探究作业题 的再探究 与思考 
朱 胜 强 
( 京 外 国语 学 校 南 20 0 ) 1 0 8 

圆锥 曲线 是 平 面解 析 几 何 中 的重 要 内容. 从  代

数 角度 看 , 可 以用 二元二 次方 程表 示 . 都 为何 将  某 些 二元 二次 方程 的 曲线 叫做 圆锥 曲线 呢?从 教  材提 供 的阅读 材 料 中可 以 略 知其 一 二 . 平 面 截  用 圆锥 面 , 着 平 面 位 置 的 改 变 , 得 到 不 同 的 截  随 可 线. 既有椭 圆 、 曲线 , 双 也有抛 物 线. 学生 会有 疑  但
惑 : 因为这 些 截 线像 椭 圆 、 曲线 与 抛 物 线 , 是 双 还 

对 抛物 线 , 只能 是 凭感 觉 . 为 , 因 虽然 曾被 告 知 用  平 行 于圆锥 面 的 一 条母 线 的平 面 截 圆 锥面 , 到  得 的 曲线 是抛 物 线 . 这 条 抛 物 线是 定 义 中所 说 的 但   “ 平面 内到 定点 与定 直线距 离 相等 的点 的轨 迹 ” 或 

“ 二次 函数 的 图象 ” 吗? 如果 是 , 怎样 说 明 呢 ?此 
外 , 变光 源 的位 置能 得 到 双 曲 线 吗? 球 与 地 面  改

的切 点是 圆锥 曲线 的焦点 吗 ?   这些 问题 如果 学 生 能 弄 清 楚 , 面 的疑 惑 不  前
也就 消 除了 吗? 学 生有 能 力 解 决 这 样 的问 题 吗 ?  

是它 们本 质 上 就 是 这 些 曲 线 呢 ?用 Da d l n ei n双  球可 较直 观地 说 明截 线 为 何 是 椭 圆. 为什 么双  但
曲线 、 物线 也 可 在 圆锥 面 上 截得 呢? 当 然 也可  抛

还需 要 等待 时机 .  
2 再 度 探 究 收 获 新 成 果 

以用 类 似方 法来 说 明. 能否 引导 学 生 利 用所 学 的 
知识 来探 究 获得结 果 呢 ?  
1 初 步 探 究 引 发 新 思 考 

学完 “ 间 向量 与 立 体几 何 ” , 者 将 上 述  空 后 笔 问题作 为 探究作 业 , 让学 生探 索思 考 . 经过 反 复思  考、 充分 交流 、 断 完 善后 , 于 收 获 了来 之 不 易  不 终
的成 果 .   设 球心 为 0, 半 径 为 1 光 源 为 点 M. 球  球 , 以 心 0为 原 点 , 。平 行 于地 面 的 平 面 为 x y平  过 O

苏 教版 选修 2 1 圆锥 曲 线 与方 程 ” 章 的 习  —“ 一 题 2 1中有 这样 一道 探究 作业 题 : .  
问题 将一 个半 径 为 尺 的篮 球 放 在 地 面上 ,   被 阳光 斜照 留下 的影 子 是 椭 圆. 果 将 光 线换 成  如

点 光 源 , 么影 子可 能是 抛物 线吗 ? 那  

面 , O 且 垂直 于地 面 的平 面 为 y z平 面 建 立  过 M O
空 间 直 角 坐 标 系 . 点 M 的 坐 标 为 ( , , ) 则  设 0  1 . 7

地 面所 在平 面 的方程 为 z 一一1 .  
zJ    

M 

() 2 
一  

图 1  

通过 实验 操作 不 难 获 得 答 案 : 阳光 照 射 篮 球 
留下 影 子的外 廓 , 以看 成 圆柱 面被 一个平 面( 可 地 

/  / /
图2  

/  

面) 截得 所 图形 , 是 一个 椭 圆. 果将 光源 换  斜 它 如
成点 光源 , 子 可 以看 成 圆锥 面 被 一个 平 面截 得  影

的 图形 , 么 它可 能是抛 物线 . 时 光源到 地 面 的  那 此 距离 等 于篮球 的 直径 , 就 是 说 截 面 平行 于 圆锥  也
的一 条母 线 .   如果 进一 步追 问 : 什 么说得 到 的是椭 圆 、 凭 抛 

设 从 M 出发 的光线 与球 0 切 于 点 N 且 与地  面交 于点 P, 坐标 为 ( y 一1 . 其  , , )  

 ̄LO J t MP为向量  与向量砑声的夹角,  

所 <,>  s   一   器

.  

物 线 呢 ?对于 椭 圆 , 生或许 还 能做 一些解 释. 学 而 

21 0 2年  第 5 卷  第 1 1 0期 

数 学通报  若 > 1 R  , m=o ,因 为  ̄ =  n l=   =

4  3 > 

 ̄M5=( ,   ,  ) 声一( , 一1 一 - - o~ 一 ,   z , )  
( m , 一 ( , — m , 1一 ), O,  )     ~  

1  
I  


I 一 
l 一 

干  ,  
,  
( 一 ) ( × 一 一 1   )

0 所 以方 程 ( ) , 3 表示 圆 , 圆心 坐标 为 ( , ) 是 球 与  00 , 地 面 的切点 ;  

1 一0   ×z+ ( m) ( - m) - ×  - + 

若 >1且 ≠o 因为 o  县 <   ,  , <  

一 m +  + 7一  2

.  

≤  ,以方 ( 表 中 坐 为 杀 所 ,程3 示 心 标   )
( 一m ) 轴  轴 的 圆又 为 0    , 在 上 椭 .因   , 长
?   一+  
,   >一  
m  +  一 1
一  

所 以 cs o<  

,  

)  

m。 +  + n m  —

 ̄ /  

i    二

: 二1   — =  

+1


 



 

又 当 N 在 线 段 MP 上 时 ,   <

’  

( , > 当 N 在 P 的延长 线上 时 ,M5,     , M (-   - > 一 < , > 所 以 lo ( , - 一兀     ,   s  c -P)f   M —
IO <   S C   ,  >. 丽 f  
,   )一 sn 0M N =  i  = ON 一  : 又 sn < i  

所 以 , 圆的 半焦 距 c 椭 — 
O 恰 好 为椭 圆的一个 焦 点 ; )  

. 因此 , 切点 ( , o 

若 0 < 1 因为 点 M 在 球 外 , 以 m + , <  , 所   z   > 1 故  , > o  , < o 所 以方 程 ( ) , 3 表 



所c , 一 Is   需 A  )<   o
m  +  + —m  
+ (  —  ) + ( 1 。 一 一 )  

.  

故 

示 心 标 ( m) 轴 y 的 曲 . 中 坐 为0  , 在 l 双 线 , 实   上  
又 因为 ~  
—   1 J一

?  

+ 

1一  

一 

L —  

1 J。 .   

干 

。  

所 以双 曲 线 的 半 焦 距 c 一  ( ,) 好是 双 曲线 的一 个焦 点. O o恰  

. 因此 , 点  切

两 边平 方 , 并化 简整 理 可得 
( +  一 1 z + ( 一 1 Y + 2 ( + 1 Y一  m  ) 。   ) 。 m n )
(  + 1   ) (   1)

由上 可 知 , 当光 源 与地 面 的距 离 大 于球 的直  径 , 在 球 的 正 上 方 时 , 子 是 以 切 点 为 圆 心 的  且 影 圆; 当光 源 与地 面距 离高 于球 直径 , 不在 球 正方  且

如 果 以平 面 z 一1内点 O,0 0 一1 为 原  一 ( ,, )

点 , 0 平行 于 z轴 的直 线 为 X 轴 , 0 平 行 于  过     过   Y轴 的直线 为 Y 轴建 立平 面 直 角 坐 标 系 , ,      Y 轴  与 z, 均取 同样 的单 位 长 度 . 空 间 直 角 坐 标  Y轴 则 系 0一x z中 , y 坐标 为 ( , , ) n b 一1 的点 , 为 平 面  即 直 角 坐标 系  0 y 中坐 标 为 ( ,) 点.    a 6的  
所 以 , ( ) 得 点 P 在 平 面 直 角 坐 标 系  由 1 可
0y 中的方 程 :     
( 。   +  Y一 (    + 1   ) 一1 z + ( 一 1Y。 2 ( + 1 ? )    )  + m n )   ( ) 2 

方 时 , 子是 椭 圆 , 点 是 椭 圆 的一 个 焦 点 ; 影 切 当光  源与 地 面的距 离 等于 球直 径 , 影子 是抛 物线 , 点  切 是抛 物线 的焦 点 ; 当光 源 与 地 面距 离 小 于球 直 径  时, 影子 是 双 曲 线 的一 支 , 点 是 该 支 双 曲 线 的  切
焦 点.   3 探 究 后 的 体 会 

《 普通 高 中数 学课 程标 准 ( 实验 ) 在 教 材编 写  》
建议 中指 出 : 编 写教 材 时 , 以通 过 设 置 具 有 启  “ 可 发性 、 战性 的 问题 , 发 学 生 进 行 思 考 , 励 学  挑 激 鼓

当 = 时方 (为 ,=    )  = ,程2  2一 一 , = 1 ) :  ( =  
对应 的轨迹 为 抛 物 线 , 知 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为  易 ( , ) 即球 与地 面 的切 点恰 为抛 物 线 的焦点 . 0O ,  
当 ≠ 1时 , 程 ( ) 方 2 可化 为 
 ̄ ? r / 2
一  

生 自主探 索 , 在 独 立 思 考 的基 础 上 进 行 合 作 交  并 流, 在思 考 、 索 和交 流 的过程 中获 得对 数 学较 为  探
全面 的体 验 和理解 ” “ 师不仅 是课 程 的 实施 者 , ,教  
而且 也是 课 程 的 研究 、 设 和 资 源 开发 的重 要 力  建 量 . 教 学 中要 吃透 教 材 编 写 的意 图 , 据 教 学 的  ” 根

+  n 1 ‘ m  + +  一 1  


㈤  

实 际需要 , 积极 挖 掘 教 材 中可供 学 生 进 行 探 究 的 



n-

1  

资 源. 过探 究 , 通 使学 生对 所学  ( 下转 第 4 7页)  

21 0 2年  第 5 1卷 线 的交 点 .  

第 1 0期 

数 学通报 

4  7

( ) P≠ P , , , P点处 按定 义 2 1若   P:P。 在 相  应地 作单 位 向量 z ,2 z. 时 z +z +z ≠ 0  1z ,3 此 1 2 3 , 由定 理 2 1 ( )知 P不 是 P ,   P。 费马点 .  P , 的  

对 于 凹 四边 形 , 下列 定理 : 有  

定 理 8 在 凹边 形 P P P。  中 , P 是 凹       P 若 。
角 的顶 点 , , 则  
P 是 凹 角 的 顶 点 P。 P 是 P P , 。 P ∞  ,   P ,  的  费 马点 .  

( ) P— P 2若  或 P , P点 分别 地作 相应 的  。在

单位 向量 z,。 z , . 时 I: 3 一 2或  2z 或  z 此     +z I z  

l1 2 一 2 由定理 22 知 P不是 P , 2P    +z l , z   () 1P , 3
的费 马点 .  

证 明  只须 重复 使 用 “ 角 形 两边 之 和大 于  三

第 三边 ” 就可 简单 地直 接 证 明 : P 是平 面上 任  , 设
4  


( ) P— P , P点 作相应 的单位 向量 z   3若  在  ,

点,则 ∑ lPl l。 + l。。+    ≥   P l   P l   P P P
l 1    

z , 时  + z l 0 由定 理 22 。此 。一 , ()知 P 是 P    ,
P , 。的费 马点 .  P   综合 ( ) 2 ( ) 引理 3 立 . 1 ()3 知 成   利用 类 似方 法可 以容 易地 将 这两个 引 理 推广 
为下 列 的 :  

l P J其 中等 号 当且仅 当 P — P 时成 立. 就     , P。 。 这
证 明 了本定 理 .  

综 合 定理 7与 定理 8 就 有下 列定 理. ,   定 理 9 对 于任 意 的 四边 形 而 言 , 费马 点    其
都 是 唯一存 在 的.   为 了进 一 步说 明在 一般 情 况下 费 马点不 具 有 

定 理 l  设 P , , ,   ≥ 2 是平 面上  O   Pz … P ( )
个共 线 的点 , 是 : 于  

( )当  为偶 数 时 , 1   P为 中间线 段上 任 一点 甘 P是 P , 。 … ,    P , P 的费 马 点  ( )当  为奇 数 时 , 2   P为 中间点 ㈢ P是 P ,   … ,  的费 马点 .  P , P   定理 1 O指 出 : 一般 情况 下 费马 点不 具 有 唯  在


唯一性 , 们先 建 立两个 简 单 引理. 我  
引理 2 设 P , 。 平 面上 的两 点 , ,    P 是 则  

-  

P 为线 段 P P    上 任一 点 甘 P是 P ,  的费   P 马点.   证 明  在 P点处 按定 义 2 相应 地 作单 位 向量 
Zl,Z2.  

性 ! 论  多 大 , 时 费 马 点 唯一 存 在 , 时费  不 有 有

( )若 P 为 线 段 P P 之 外 任 一 点 . 时 z +  1     此   z  ≠ 0 由定 理 2 1 , ( )知 P 不 是 P , 。的 费 马 点 .  P  

马点 可 同时存 在 有无 穷 多个 .  
参 考 文 献 

( )若 P为线 段 P P 2    内部任 一点 . 时 z +  此   z  一 0 由定 理 2 1 , ( )知 P是 P P  ,  的费马 点.  

1 Ia   vn   v nNie .极 大 极 小 [ . 苏华 , 诗 砚 译 .成 都 : M] 自 向 四川 教 
育 出 版 社 ,9 8 1 8  2 堵 丁 柱 .谈 谈 斯 坦纳 树 I]   - .数学 通 报 , 9 5   J 1 9 ,1

() P— P 或 . , 3若   P 此时 l I 1 l I       一 或  一 z   z  
1 由定 理 2 2 知 P是 P P , ()  , 。的费 马点 .  

3 李保虎.数学 问题 中的物 理方法 简介 []   J .陕西 教育 学 院学 
报 ,0 2 3 20 , 

综 合 ( ) 2 ( )知 引理 2成 立. 1 () 3  
引理 3   设 P , 。P   P , 。是 平 面 上 共 线 的 三 

4 康 继 鼎 . 简 明 实 用 系 统 工 程 I . 成 都 :四 川 教 育 出 版    - M]
社 ,9 0 1 9 

点, 不妨 设 P  介 于 P , 。之问 , ,  P 则   P — P ∞P 是 P ,   P。     P , 的费 马点 .  
证 明 

5 王 秀 峰 .物理 实 验 法 发 现 “ 马 点 ”问 题 的 探 究 E3   费 J .数 学 教 
学 ,0 3 5 2 0 , 

( 上接 第 4 3页) 内容 的认 识 更 完 整 , 深 入. 历  更 经 上 述探 究 过程 , 生 对 圆锥 曲线 概 念 的认 识 将 进  学


并未 急 于找 到 问 题 的答 案. 生 的 探究 也 不会 是  学


帆风顺 , 不 了教 师在 关键 处 的提示 引 导 , 困  少 在

步完 善 . 坐标 法思 想 的认识 将更 为 深刻 . 对   “ 教师 不仅 是 知识 的传 授者 , 且也 是 学生 学  而 习的 引导 者 、 织 者 和合 作 者 . 在 组 织 学 生 进 行  组 ”

难处 的鼓 励 .  
参 考 文 献 

1 国家数学课程 标准 研制 工作 组. 通 高中数 学课 程标 准 ( 普 实 

探 究 时 , 充分 考 虑学 生 的实 际. 问题 既 有一 定  要 使 的挑 战性 , “ 一 跳 也 能 够得 着 ” 所 以 , 问题  但 跳 . 该 虽 然产 生 于“ 圆锥 曲线 与方 程 ” 的学 习 过 程 中 , 但 

验) M3 北京 : 民教育 出版社 ,0 3 4 E . 人 2 0 , 
2 单 撙 . 教 版 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 实 验 教 科 书 高 中 数 学 教  苏

学 参 考 书 ( 修 21 [ . 京 : 苏 教 育 出 版 社 ,0 8 8 选 -) M] 南 江 2 0 , 


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