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函数概念及解析式


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精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号: 学员姓名: 课 授课时间: 教学目标 函数初步 题 年 级:高二 辅导科目:数学 函数初步 备课时间: 课时数: 3 学科教师:乐荣广

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中国领先的中小学教育品牌 本节课知识内容 一、 知识点梳理: 1. 函数的定义:在某个变换过程中有两个变量 x,y,如果对于 对应法则 f, 都有 y x 叫做 的集合叫做函数的 函数的三要素: 实数值与之对应, 那么 y 就是 x 的函数, 记作 ,x 的取值范围 D 叫做函数的 。 、 、 。 每个确定的值,按照某种 , ?D , x

,和 x 相对应的 y 的值叫做函数值,函数值

2. 函数的表示方法:解析式法、图象法、列表法。 3. 求函数的定义域: 1 ○函数的解析式是分式形式,要求 2 ○函数的解析式是开偶次方根,要求被 3 ○函数的解析式是对数形式,要求 4 ○函数的解析式是指数形式,要求 5 ○函数的解析式是幂指数形式,指数为 0 是要求 特别地:○函数的解析式是由几部分组成,要求 1 2 ○ 函数是由实际问题得到,要求满足实际情况。 。 ; ; ; ; ;

4. 复合函数定义域: (1)已知 f(x)的定义域为 x ? ?a, b?,其复合函数 f ?g (x)? 的定义域应由不等式 a ? g ( x) ? b 解出 (2)若已知 f [ g ( x)] 的定义域为 ?a, b ? ,则 y ? f (x) 的定义域为 t ? g (x) 的值域. 5.求函数解析式的方法: ⑴ 例: f ( x ? 1) ? 2 x ? 5

⑵ 例: f ( x ? ) ? x ?
2

1 x

1 x2
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⑶ 例:已知一次函数 f ( x ) 满足 f [ f ( x)] ? 3x ? 4 ,求 f ( x )

⑷ 例:已知 f ( x ) 满足 2 f ( x ) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x )

1 x

(5)与性质联系求解析式:

二、典型例题精讲与练习:
(一)函数概念: 【例 1】 y ?

2x ? 4 ? 5 ? 5x 是不是函数?

变式:下列图象不能表示函数的是_______。
y

y 1
x

y 1
-1

1

O -1

-1

O

x

-1

O

-1

x

-1

(1)

(2)

(3)

【例 2】 在下列三组函数中,表示同一个函数的是______。

① y ? x ? 1 与 y ? ( x ? 1) 2 ; ② y ? 1与 y ? x 0 ;

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③y?

x2 ? x 与 y ? x ?1; x

x4 ?1 ④ f ( x) ? 2 与 g ( x) ? x2 ?1 x ?1

课堂练习: 1、函数 y ? x 2 和 y ?

x3 是相同的函数吗? x

2、下列函数中哪个与函数 y ? x 是同一个函数? (1) y ?

? x? ;
2

(2) y ? 3 x 3 ;

(3) y ? x 2

(二) 、函数的定义域: 函数的定义域,即自变量的取值范围。应满足以下条件: 1. 使函数解析式有意义; (2)满足实际问题所要求的实际意义。

【例 1】求下列函数的定义域:

(1) y ?

1 3x ? 2 x 2 ? 1

(2) f ( x) ?

2x ? x 2 ? (3 ? 2 x) 0 ; lg(2 x ? 1)

(3) f ( x) ? 1 ? 2x .
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变式:

1、求下列函数的定义域: (1) f (x) ?

1 1? 1 x

(2) y ?

x?2 ?3 ? 3

1 3x ? 7

【例 2】若函数 y ? f (x) 的定义域为[?1,1],求函数 y ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域。

1 4

1 4

变式:1.若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [?3,3] ,求函数 f (?2 x) 的定义域.

2.设函数 f ( x) 的定义域为 (0,1) ,求函数 F ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? a) 的定义域.

【例 3】若函数 y ?

ax2 ? ax ?

1 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围。 a

变式:1.若函数 y ?

kx ? 7 的定义域为 R,则 k ? _______ kx ? 4kx ? 3
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中国领先的中小学教育品牌 2.设函数 f ( x) ? lg(ax2 ? 2x ? 1) , ①若 f ( x ) 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围;

②若 f ( x ) 的值域是 R,求实数 a 的取值范围

(三) .解析式求法:
【例 1】 若 f ( x) ? 2 x ? 3, g ( x ? 2) ? f ( x) ,求函数 g ( x) 的解析式.

变式:已知 a , b 为常数,若 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 , f (ax ? b) ? x2 ? 10 x ? 24 ,则 5a ? b ?



【例 2】 已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求函数 f ( x ) 的解析式.

变式:1. 已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x 且 f (0) ? 1 ,求 f(x)的解析式;

2.设二次函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 且 f ( x) ? 0 两实根的平方和为 10 , 函数 y ? f ( x) 的图像过点
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(0,3) ,求 f ( x) 的解析式.

3.已知 f ( x ) 是对数函数, f ( 6 ? 1) ? f ( 6 ?1) ? 1,求 f ( 26 ? 1) ? f ( 26 ?1) ? 1 的值.

4.已知函数 f ( x) ? 的解析式;

x2 (a,b 为常数)且方程 f ( x) ? x ? 12 ? 0 有两个实根为 x ? 3, x ? 4 .求函数 f ( x) 1 2 ax ? b

【例 3】已知 f ( x ? ) ? x ?
3

1 x

1 ,求 f ( x ) ; x3

变式:已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1) ;

例 4.已知函数 f ( x ) 满足 2 f ( x) ? f ( 1 ) ? 3x ,求函数 f ( x ) 的解析式.

x

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例 5:设 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=

1 ,则当 x<0 时,f(x)= x

变式:设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x>0 时,f(x)=

1 ,则当 x<0 时,f(x)= x

三、课堂小结:

四:作业:
1. 设 f (x) 的定义域是[?3, 2 ],求: (1)函数 f ( x ? 2) 的定义域; (2)函数 f ( x ) 的定义域; (3)函数 f ( x ? 2) 的定义域。

2. 求下列函数的定义域:
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(1) y ?

1 1 ? x ?1

(2) y ? x ? 2 ? x ? 3

3、下列各组中的两个函数是否为相同的函数? ( x ? 3)( x ? 5) ① y1 ? y2 ? x ? 5 x?3 ② y1 ? x ? 1 x ? 1 ③ f1 ( x) ? ( 2x ? 5) 2

y2 ? ( x ? 1)(x ? 1)
f 2 ( x) ? 2 x ? 5

5 4、已知函数 f (x) =3 x 2 -5x+2,求:① f ( ) ,② f (? 2 ) ,③ f (a ? 1) 。 2

5、将下列绝对值函数写成分段函数的形式。 3 (1) y ? 8 x ? 16 (2) y ? x ? 5 ? x ? 7 4

6、设函数 y ? f (x) 满足 f ( x ? 1) ? ? x 2 ? 2 x ,求:函数 y ? f (x) 的解析式。

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7、设 f ( x ) ?

x ?1 x ?1 ) ? ? x 的 x 值。 ,求:满足条件 f ( x ?1 x ?1

8. 已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f [ f ( x) ? x2 ? x] ? f ( x) ? x2 ? x .
(Ⅰ)若 f (2) ? 3 ,求 f (1) ;又若 f (0) ? a ,求 f ( a ) ; (Ⅱ)设有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ,求函数 f ( x ) 的解析表达式.

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