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3.2.2 立体几何中的向量方法(二)


空间“距离”问题

ZPZ

一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几

何问题转化为向量问题;(化为向量问题)
(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题; (进行向量运算) (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 义。 (回到图形)

空间“距离”问题
1. 空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算,

? ?2 ? 2 2 2 a ? x ? y ? z 利用公式 a ? a 或

? (其中 a ? ( x, y, z) ) ,可将两点距离问题
转化为求向量模长问题

例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点 的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点 为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系? 解:如图1,设 AB ? AA1 ? AD ? 1,?BAD ? ?BAA1 ? ?DAA1 ? 60?
化为向量问题
D1 C1
B1

依据向量的加法法则, AC1 ? AB ? AD ? AA1
进行向量运算

A1 D A 图1
B

C

AC1 ? ( AB ? AD ? AA1 ) 2
2 2 2

2

? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 )
? 1 ? 1 ? 1 ? 2(cos60? ? cos60? ? cos60?) ?6 所以 | AC1 |? 6

回到图形问题 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的

6 倍。

思考:
(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系? 分析:
BD1 ? BA ? BC ? BB1
A1 B1 D D1

其中?ABC ? ?ABB1 ? 120?, ?B1 BC ? 60?

C1

(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,

并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等 ? 于 , 那么由这个四棱柱的对角线的长可以
确定棱长吗?

C
B

A

AB ? AD ? AA1 ? x , ?BAD ? ?BAA1 ? ?DAA1 ? ? 分析: 设 AC1 ? a ,

则由AC1 ? AB ? AD ? AA1
AC1 ? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 )
2 2 2 2

1 a 即 a ? 3 x ? 2(3 x cos? ) 3 ? 6 cos? ∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
2 2 2

? x?

(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少? 设AB=1 (提示:求两个平行平面的距离,通常归结为求两点间的距离) 分析:面面距离 ?点面距离 过 A1点作 A1 H ? 平面 AC 于点 H . 解:
则 A1 H 为所求相对两个面之间 的距离 .
由 ?A1 AB ? ?A1 AD ? ?BAD 且 AB ? AD ? AA1 ? H 在 AC上.
H A D1 A1 B1 C B C1

D

AC ? ( AB ? BC )2 ? 1 ? 1 ? 2 cos 60? ? 3
1 cos?A1 AC ? ? 3 | AA1 | ? | AC | AA1 ? AC

2

?

AC ? 3
6 3

AA1 ? AC ? AA1 ? ( AB ? BC ) ? AA1 ? AB ? AA1 ? BC ? cos60? ? cos60? ? 1.
?

?

sin?A1 AC ?

6 6 。 ? A1 H ? AA1 sin?A1 AC ? ∴ 所求的距离是 3 3 问题:如何求直线A1B1到平面ABCD的距离?

2、向量法求点到平面的距离:
如图 A? ? , 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d,已知平面 ? 的 ? ??? ? ? ??? ? ? 一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?

??? ? ??? ? 则 d=| PO |= | PA | ? cos ?APO. ??? ? ??? ? ? ? ∵ PO ⊥ ? , n ? ? , ∴ PO ∥ n . ??? ? ? ∴cos∠APO=|cos ? PA, n? |.

分析:过 P 作 PO⊥ ? 于 O,连结 OA.

?P

? n

?

A?

?O

???? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? | PA |? | n | ? | cos? PA, n? | | PA ? n | PA ??? ? ∴d=| ||cos ? PA, n? |= = ?? . | n| |n|

这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.

例 2: 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分 别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2, 求点 B 到平面 EFG 的距离.

z

分析:用几何法做 相当 困难 , 注 意到坐标 系建立后各点坐标容易 得出 , 又因为 求点到平 面的距离可以用法向量 来计 算 , 而法 向量总是 可以快速算出.

G

x
F
A

D

C

E

果断地用坐标法处理.

y

B

例 2: 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分 别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2, z 求点 B 到平面 EFG 的距离. G 解:如图,建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), D(4,0,0) ,E(2,4,0) ??? ? ??? ? ,F(4,2,0),G(0,0,2). EF ? (2, ?2,0), EG ? (?2, ?4, 2), D C ?

x 设平面 EFG 的一个法向量为 n ? ( x, y, z )
2 x ? 4 y ? 2Z ? 0 ?? ??? ? ? 1 1 ? n ? ( , ,1) ,BE ? (2,0,0) A 3 3 ? ???? | n ? BE| 2 11 ?d ? ? . ? 11 n

?

? ???? ? ??? ? ?2 x ? 2 y ? 0 n ? EF, n ? EG? ?

F E B

y

2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11

练习(用向量法求距离): 1.如图, ABCD 是矩形, PD ? 平面 ABCD , PD ? DC ? a , AD ? 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
D N C B

M
A

解:如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz a ,0),C(0, a ,0),P(0,0, a) 则D(0,0,0),A(2a ,0,0),B( 2a ,
2 2 1 1 ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( a , 0, 0) N ( a , a, a ) 2 2 2 2 ???? ? ???? ???? ? 1 1 2 2 ∴ MC ? ( ? a , a , 0) , MN ? (0, a , a ) , MA ? ( a , 0, 0) 2 2 2 2 ? ???? ? ? ???? ? ? z 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n ? MN , n ? MC P ? ???? ? 2 ∴ n ? MC ? ? ax ? ay ? 0 且 2 N ? ???? ? a a D C y n ? MN ? y ? z ? 0 2 2 M 2 解得 x ? y ? ?z , A 2 ?? B x ∴可取 m ? ( 2,1, ?1) ???? ?
MA ? n a ???? ? a ? 即点 A 到平面 MNC 的距离为 . ? ∴ MA 在 n 上的射影长 d ? 2 2 n

2.(课本第107页练习2)如图,60°的二面角的棱上有A、B两点,
直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已 知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.
? C
A B D

?

68

3.如图 3-5,已知两条异面直线所成的角为θ , 在直线 a、b 上分别取 E、F,已知 A’E=m,AF=n, EF=l,求公垂线 A A′的长 d.
??? ? ???? ???? ??? ? 解: ? EF ? EA? ? A? A ? AF
???? ???? ???? ??? ? ? AA? ? EA?, AA? ? AF
??? ? 2 ???? ???? ??? ? 2 ? EF ? ( EA? ? A? A ? AF ) ???? 2 ???? 2 ??? ?2 ???? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? ? EA? ? A? A ? AF ? 2( EA?? A? A ? EA?? AF ? A? A ? AF )

????? ???? 2 ????? ???? ??? ? 2 2 2 ?l ? EA? ? A? A ? AF ? 2EA?? AF ? m2 ? d 2 ? n2 ? 2mn cos?
当E,F在公垂线同一侧时取负号 当d等于0是即为“余弦定理”
d ? l 2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos?

< EA?, AF >=π —θ (或θ ),

3. 异面直线间的距离
已知a,b是异面直线,n为?的 法向量

b

? n

C A

CD为a,b的公垂线
A,B分别在直线a,b上 则 | CD |?

D

B

?

a

n ? AB |n|

即 l1 , l2 间的距离可转化为向量 CD 在n上的射影长,

例3.已知:直三棱柱ABC ? A1 B1C1的侧棱AA1 ? 4, 底面?ABC中,

AC ? BC ? 2, ?BCA ? 900 , E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解:如图建立坐标系 C ? xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). ? ? ?CE ? (1,1,0), AB1 ? (2,2,4), z C 1 ? ? ? 设CE, AB1的公垂线的方向向量为 n ? ( x, y, z).则 A1 ? B1 ? x ? y ? 0 n ? CE ? 0 即 ? ? ? 2x ? 2 y ? 4z ? 0 n ? AB1 ? 0 C

? 取x=1,则y=-1,z=1,所以 n ? (1,?1,1)

? 在两直线上各取点 C, A,?C A ? (1,0,0). ? ? ? ? | n ? CA | 2 3 ?CE与AB1的距离d ? ? . ? |n| 3

A

B

x

E

y

小结
1、E为平面α外一点,F为α内任意一
点, n 为平面α的法向量,则点E到平面的
| n ? EF | 距离为: d ? |n|

2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b

上的点, n 是a,b公垂线的方向向量, 则a,b间距离为 d ? | n ? EF | |n|


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