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2015-2016学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)章末检测(B)新人教A版必修1


【创新设计】2015-2016 学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 章末检测(B)新人教 A 版必修 1
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) x 1.已知函数 f(x)=lg(4-x)的定义域为 M,函数 g(x)= 0.5 -4的值域为 N,则 M∩N 等于( ) A.M B.N C.[0,4) D.[0,+∞) |x| 2.函数 y=3 -1 的定义域为[-1,2],则函数的值域为( ) A.[2,8] B.[0,8] C.[1,8] D.[-1,8] 9x+1 3.已知 f(3x)=log2 ,则 f(1)的值为( ) 2 A.1 B.2 1 C.-1 D. 2 4. 2 A.7
1? log 2 5

等于(

)

B.10 9 C.6 D. 2 a b 5.若 100 =5,10 =2,则 2a+b 等于( A.0 B.1 C.2 D.3 6.比较 1.5 A.2 < 2
3.1

)

1 3.1

、2 、 2
3.1

1 3.1

的大小关系是( B. 1.5
1 3.1

)
1 3.1
3.1

1 3.1

< 1.5
1 3.1

1 3.1
3.1

<2 < 2
3.1

< 2 <2 D. 2 < 1.5 log89 7.式子 的值为( ) log23 2 3 A. B. 3 2 C.2 D.3 8.已知 ab>0,下面四个等式中: ①lg(ab)=lg a+lg b; C. 1.5 ②lg =lg a-lg b; 1 a 2 a ③ lg( ) =lg ; 2 b b 1 ④lg(ab)= . logab10 其中正确命题的个数为( A.0 C.2

1 3.1

1 3.1

1 3.1

<2

a b

) B.1 D.3 x+3 9.为了得到函数 y=lg 的图象,只需把函数 y=lg x 的图象上所有的点( 10

)
1

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 x 2 10.函数 y=2 与 y=x 的图象的交点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 x 11.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2 -4(x≥0),则{x|f(x-2)>0}等于( ) A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2} |x+1| 12. 函数 f(x)=a (a>0, a≠1)的值域为[1,+∞),则 f(-4)与 f(1)的关系是( A.f(-4)>f(1) B.f(-4)=f(1) C.f(-4)<f(1) D.不能确定 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 1 ? ?? ?x, x≥4 2 13.已知函数 f(x)=? ? ?f?x+1?, x<4 ,则 f(2+log23)的值为______.

)

3-x 14.函数 f(x)=loga (a>0 且 a≠1),f(2)=3,则 f(-2)的值为________. 3+x 15.函数 y= log 1 ( x2 ? 3x ? 2) 的单调递增区间为______________.
2

16.设 0≤x≤2,则函数 y= 4 -3·2 +5 的最大值是________,最小值是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) x 17.(10 分)已知指数函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1). (1)求 f(x)的反函数 g(x)的解析式; (2)解不等式:g(x)≤loga(2-3x).
x

x?

1 2

18.(12 分)已知函数 f(x)=2a·4 -2 -1. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在 x∈[-3,0]的值域; (2)若关于 x 的方程 f(x)=0 有解,求 a 的取值范围.

x

x

2

4 19.(12 分)已知 x>1 且 x≠ ,f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,试比较 f(x)与 g(x)的 3 大小.

1 20.(12 分)设函数 f(x)=log2(4x)·log2(2x), ≤x≤4, 4 (1)若 t=log2x,求 t 的取值范围; (2)求 f(x)的最值,并写出最值时对应的 x 的值.

21.(12 分)已知 f(x)=loga

1+x (a>0,a≠1). 1-x

(1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.

3

-2 +b 22.(12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +2 (1)求 b 的值; (2)判断函数 f(x)的单调性; 2 2 (3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

x

章末检测(B) 1.C [由题意,得 M={x|x<4},N={y|y≥0}, ∴M∩N={x|0≤x<4}.] 0 2.B [当 x=0 时,ymin=3 -1=0, 2 当 x=2 时,ymax=3 -1=8, 故值域为[0,8].] 9x+1 3.D [由 f(3x)=log2 , 2 得 f(x)=log2
1? log 5

3x+1 1 ,f(1)=log2 2= .] 2 2
log 5

2 4.B [ 2 =2· 2 2 =2×5=10.] a 5.B [由 100 =5,得 2a=lg 5, b 由 10 =2,得 b=lg 2,∴2a+b=lg 5+lg 2=1.]

6.D [∵ 1.5
1

1 3.1

=1.5

-3.1

1 3.1 =( ) , 1.5

2 3.1 =2-3.1=( )3.1,
又幂函数 y=x 在(0,+∞)上是增函数, 1 1 < <2, 2 1.5
3.1

1 2

4

1 3.1 1 3.1 3.1 ∴( ) <( ) <2 ,故选 D.] 2 1.5 2 log23 2 7.A [∵log89= 3= log23, log22 3 2 ∴原式= .] 3 8.B [∵ab>0,∴a、b 同号. 当 a、b 同小于 0 时①②不成立; 当 ab=1 时④不成立,故只有③对.] x+3 9.C [y=lg =lg(x+3)-1, 10 即 y+1=lg(x+3).故选 C.] x 2 10.D [分别作出 y=2 与 y=x 的图象. 知有一个 x<0 的交点,另外,x=2,x=4 时也相交,故选 D.] x 11.B [∵f(x)=2 -4(x≥0),∴令 f(x)>0,得 x>2.又 f(x)为偶函数且 f(x-2)>0, ∴f(|x-2|)>0,∴|x-2|>2,解得 x>4 或 x<0.] |x+1| |-4+1| 12.A [由 f(x)=a (a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),可知 a>1,而 f(-4)=a 3 =a , f(1)=a|1+1|=a2, 3 2 ∵a >a ,∴f(-4)>f(1).] 1 13. 24 解析 ∵log23∈(1,2),∴3<2+log23<4, 则 f(2+log23)=f(3+log23) =? ? 14.-3 3-x 解析 ∵ >0,∴-3<x<3 3+x ∴f(x)的定义域关于原点对称. 3+x 3-x ∵f(-x)=loga =-loga =-f(x), 3-x 3+x ∴函数 f(x)为奇函数. ∴f(-2)=-f(2)=-3. 15.(-∞,1) 2 解析 函数的定义域为{x|x -3x+2>0}={x|x>2 或 x<1}, 2 令 u=x -3x+2,则 y= log 1 u 是减函数,
2
2

?1? ?2?

3? log2 3

1 3 1 1 1 log 3?1 =( ) · 2 2 = × = . 2 8 3 24

所以 u=x -3x+2 的减区间为函数 y= log 1 x ? 3x ? 2 的增区间,由于二次函数 u=
2 2

?

?

x2-3x+2 图象的对称轴为 x= ,

3 2 所以(-∞,1)为函数 y 的递增区间. 5 1 16. 2 2 1 x 2 x x -3·2 +5= (2 ) -3·2 +5. 2 x 令 t=2 ,x∈[0,2],则 1≤t≤4, 解析 y= 4
x? 1 2

5

1 2 1 1 2 于是 y= t -3t+5= (t-3) + ,1≤t≤4. 2 2 2 1 当 t=3 时,ymin= ; 2 1 1 5 2 当 t=1 时,ymax= ×(1-3) + = . 2 2 2 x 17.解 (1)指数函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1), 则 f(x)的反函数 g(x)=logax(a>0 且 a≠1). (2)∵g(x)≤loga(2-3x),∴logax≤loga(2-3x)

x>0 ? ? 若 a>1,则?2-3x>0 ? ?x≤2-3x x>0 ? ? 若 0<a<1,则?2-3x>0 ? ?x≥2-3x

1 ,解得 0<x≤ , 2

1 2 ,解得 ≤x< , 2 3

1 综上所述,a>1 时,不等式解集为(0, ]; 2 1 2 0<a<1 时,不等式解集为[ , ). 2 3 x x x 2 x x 18.解 (1)当 a=1 时,f(x)=2·4 -2 -1=2(2 ) -2 -1,令 t=2 ,x∈[-3,0], 1 则 t∈[ ,1], 8 1 2 9 1 2 故 y=2t -t-1=2(t- ) - ,t∈[ ,1], 4 8 8 9 故值域为[- ,0]. 8 x 2 x 2 (2)关于 x 的方程 2a(2 ) -2 -1=0 有解,等价于方程 2ax -x-1=0 在(0,+∞)上有 解. 2 记 g(x)=2ax -x-1,当 a=0 时,解为 x=-1<0,不成立; 1 当 a<0 时,开口向下,对称轴 x= <0, 4a 过点(0,-1),不成立; 1 当 a>0 时,开口向上,对称轴 x= >0, 4a 过点(0,-1),必有一个根为正,符合要求. 故 a 的取值范围为(0,+∞). 3 3 4 3 3 19. 解 f(x)-g(x)=1+logx3-2logx2=1+logx =logx x, 当 1<x< 时, x<1, ∴logx 4 4 3 4 4 x<0; 4 3 3 当 x> 时, x>1,∴logx x>0. 3 4 4 4 即当 1<x< 时,f(x)<g(x); 3 4 当 x> 时,f(x)>g(x). 3 1 20.解 (1)∵t=log2x, ≤x≤4, 4

6

1 ∴log2 ≤t≤log24, 4 即-2≤t≤2. (2)f(x)=(log24+log2x)(log22+log2x) 2 =(log2x) +3log2x+2, ∴令 t=log2x, 3 2 1 2 则 y=t +3t+2=(t+ ) - , 2 4
? 3 3 ∴当 t=- 即 log2x=- ,x= 2 2 时, 2 2 1 f(x)min=- . 4 当 t=2 即 x=4 时,f(x)max=12. 1+x 21.解 (1)由对数函数的定义知 >0, 1-x 故 f(x)的定义域为(-1,1). 1-x 1+x (2)∵f(-x)=loga =-loga =-f(x), 1+x 1-x ∴f(x)为奇函数. 1+x 1+x (3)(ⅰ)对 a>1,loga >0 等价于 >1,① 1-x 1-x 而从(1)知 1-x>0,故①等价于 1+x>1-x 又等价于 x>0. 故对 a>1,当 x∈(0,1)时有 f(x)>0. 1+x 1+x (ⅱ)对 0<a<1,loga >0 等价于 0< <1,② 1-x 1-x 而从(1)知 1-x>0,故②等价于-1<x<0. 故对 0<a<1,当 x∈(-1,0)时有 f(x)>0. 综上,a>1 时,x 的取值范围为(0,1); 0<a<1 时,x 的取值范围为(-1,0). 22.解 (1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0, x b-1 1-2 即 =0? b=1.∴f(x)= x+1. 2+2 2+2 x 1-2 1 1 (2)由(1)知 f(x)= , x+1=- + x 2+2 2 2 +1 3

设 x1<x2 则 f(x1)-f(x2)=
x

1 1 2 x2 ? 2 x1 ? = . 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1

?

??

?

因为函数 y=2 在 R 上是增函数且 x1<x2, ∴ 2 2 - 2 1 >0. 又( 2 1 +1)( 2 2 +1)>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. (3)因为 f(x)是奇函数, 2 2 从而不等式:f(t -2t)+f(2t -k)<0. 2 2 2 等价于 f(t -2t)<-f(2t -k)=f(k-2t ), 2 2 因 f(x)为减函数,由上式推得:t -2t>k-2t . 2 即对一切 t∈R 有:3t -2t-k>0, 1 从而判别式 Δ =4+12k<0? k<- . 3
x x x x

7


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