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必修一集合第一章 1.2.1


§ 1.2

集合之间的关系与运算 集合之间的关系

1.2.1

课时目标 1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集,并 能判断给定集合间的关系.

1.子集 (1)子集:如果集合 A 中的__________元素都是集合 B 的元素,那么集合 A 叫做集合 B 的子集,记

作______或______读作“__________”或“________”. (2)空集是任意一个集合的________.?____A. (3)真子集:如果集合 A 是集合 B 的______,并且 B 中至少有一个元素________A,那 么 集合 A 叫做集合 B 的真子集,记作______或______,读作“A 真包含于 B”或“B 真包含 A”. (4)如果 A?B,B?C,则 A____C;如果 A B,B C,则 A____C. 2.集合的相等 如果 A?B,又 B?A,则 A____B;反之如果 A=B,则______,且______. 3.集合关系与其特征性质之间的关系 设 A={x|p(x)},B={x|q(x)}.如果______,则 x∈A?x∈B.于是 x 具有性质 p(x)?x 具有 性质 q(x), 即 p(x)?q(x). 反之如果 p(x)?q(x), 则 A 一定是 B 的子集. 如果“p(x)?q(x)” 且“q(x)?p(x)”则有“p(x)____q(x)”.

一、选择题 1.集合 P={x|y= x+1},集合 Q={y|y= x-1},则 P 与 Q 的关系是( A.P=Q B.P Q C.P Q D.P∩Q=? 2.满足条件{1,2} M?{1,2,3,4,5}的集合 M 的个数是( ) A.3 B.6 C .7 D.8 3.对于集合 A、B,“A?B 不成立”的含义是( ) A.B 是 A 的子集 B.A 中的元素都不是 B 中的元素 C.A 中至少有一个元素不属于 B D.B 中至少有一个元素不属于 A 4.下列命题: ①空集没有子集; ②任何集合至少有两个子集; ③空集是任何集合的真子集; ④若? A,则 A≠?. 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2 5.下列正确表示集合 M={-1,0,1}和 N={x|x +x=0}关系的 Venn 图是(

)

)

6.集合 M={x|x=3k-2,k∈N+},P={y|y=3n+1,n∈N+},S={z|z=6m+1,m∈N ) +}之间的关系是( A.S P M B.S=P M C.S P=M D.P=M S 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.已知 M={x|x≥2 2,x∈R},给定下列关系: ①π∈M;②{π} M;③π M;④{π}∈M.其中正确的有________. 8.下列各组集合中,满足 P=Q 的有________.(填序号) ①P={(1,2)},Q={(2,1)}; ②P={1,2,3},Q={3,1,2}; ③P={(x,y)|y=x-1,x∈R},Q={y|y=x-1,x∈R}. 9.下列各组中的两个集合 M 和 N,表示同一集合的是________.(填序号) ①M={π},N={3.141 59}; ②M={2,3},N={(2,3)}; ③M={x|-1<x≤1,x∈N},N={1}; ④M={1, 3,π},N={π,1,|- 3|}. 三、解答题 10.若集合 A={x|x2+x-6=0},B={x|x2+x+a=0},且 B?A,求实数 a 的取值范围.

11.已知集合 A={x|y=x2+3},B={y|y=x2+3},C={(x,y)|y=x2+3},它们三个集 合相等吗?试说明理由.

能力提升 12.若规定 E={a1,a2,?,a10}的子集{ ak1 , ak2 , ???, akn }为 E 的第 k 个子集,其中 k=

2k1 ?1 ? 2k2 ?1 ? ??? ? 2kn ?1 ,则
(1){a1,a3}是 E 的第________个子集; (2)E 的第 211 个子集是______________. 13.已知集合 A={x|1<ax<2},B={x|-1<x<1},求满足 A?B 的实数 a 的取值范围.

1.子集概念的多角度理解 (1)“A 是 B 的子集”的含义是:集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素,即由任 意 x∈A 能推出 x∈B. (2)不能把“A?B”理解成“A 是 B 中部分元素组成的集合”,因为当 A=?时,A?B, 但 A 中不含任何元素;又当 A=B 时,也有 A?B,但 A 中含有 B 中的所有元素,这两 种情况都有 A?B. 拓展 当 A 不是 B 的子集时,我们记作“A B”(或 B A). 2.对元素与集合、集合与集合关系的分析与拓展 (1)元素与集合之间的关系是从属关系,这种关系用符号“∈”或“?”表示.

(2)集合与集合之间的关系有包含关系,相等关系,其中包含关系有:包含于(?)、包含 (?)、真包含于( )、真包含( )等,用这些符号时要注意方向,如 A?B 与 B?A 是相 同的.

§ 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系
知识梳理 1.(1)任意一个 A?B B?A A 包含于 B B 包含 A (2)子集 ? (3)子集 不属于 A B B A (4)? 2.= A?B B?A 3.A?B ? 作业设计 1.B [∵P={x|y= x+1}={x|x≥-1},Q={y|y≥0} ∴P Q.] 2.C [M 中含三个元素的个数为 3,M 中含四个元素的个数也是 3,M 中含 5 个元素的 个数只有 1 个,因此符合题意的共 7 个.] 3.C 4.B [只有④正确.] 5.B [由 N={-1,0},知 N M,故选 B.] 6.C [运用整数的性质方便求解.集合 M、P 表示成被 3 整除余 1 的整数集,集合 S 表示成被 6 整除余 1 的整数集.] 7.①② 解析 ①、②显然正确;③中 π 与 M 的关系为元素与集合的关系,不应该用“ ”符 号;④中{π}与 M 的关系是集合与集合的关系,不应该用“∈”符号. 8.② 解析 ①中 P、Q 表示的是不同的两点坐标; ②中 P=Q;③中 P 表示的是点集,Q 表示的是数集. 9.④ 解析 只有④中 M 和 N 的元素相等. 10.解 A={-3,2}.对于 x2+x+a=0, 1 (1)当 Δ=1-4a<0,即 a> 时,B=?,B?A 成立; 4 1 1 (2)当 Δ=1-4a=0,即 a= 时,B={- },B?A 不成立; 4 2 1 (3)当 Δ=1-4a>0,即 a< 时,若 B?A 成立, 4 则 B={-3,2} ∴a=-3×2=-6. 1 综上:a 的取值范围为 a> 或 a=-6. 4 11.解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同,所以它们是互不相同的集合.理由 如下: 集合 A 中代表的元素是 x,满足条件 y=x2+3 中的 x∈R,所以 A=R; 集合 B 中代表的元素是 y, 满足条件 y=x2+3 中 y 的取值范围是 y≥3, 所以 B={y|y≥3}. 集合 C 中代表的元素是(x,y),这是个点集,这些点在抛物线 y=x2+3 上,所以 C={P|P 是抛物线 y=x2+3 上的点}. 12.(1)5 (2){a1,a2,a5,a7,a8} 解析 ∵k= 2 1 ? 2 2 ? ??? ? 2 n , - - (1)∵{a1,a3},∴k=21 1+23 1=1+4=5, (2)k=211=1+2+16+64+128 - - - - - =21 1+22 1+25 1+27 1+28 1, ∴{a1,a2,a5,a7,a8}. 13.解 (1)当 a=0 时,A=?,满足 A?B. 1 2 (2)当 a>0 时,A={x| <x< }. a a
k ?1 k ?1 k ?1

又∵B={x|-1<x<1},A?B, 1 ≥-1, a ∴ ∴a≥2. 2 ≤1, a 2 1 (3)当 a<0 时,A={x| <x< }. a a 2 ≥-1, a ∵A?B,∴ ∴a≤-2. 1 ≤1, a

? ? ?

? ? ?

综上所述,a=0 或 a≥2 或 a≤-2.


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