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3.2.4 空间向量法求距离


立体几何中的向量方法

3.2.4 利用向量解决

空间距离问题
华美实验学校高二数学备课组 jchay

知识回顾
1.距离定义 (1)点到直线距离 从直线外一点引一条直线的垂线,这点和垂足之间 的距离叫这点到这条直线的距离。 (2)点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂

线,这点和垂足之间 的距离叫这点到这个平面的距离。
(3)两平行直线间的距离

两条平行线间的公垂线段的长,叫做两条平行线间 的距离。

(4)两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫两条异面直线 的公垂线;公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度,叫两 异面直线的距离。 (5)直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行,那么直线上各点到这个 平面的距离相等,且这条直线上任意一点到平面的距离叫做 这条直线和平面的距离。 (6)两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线,叫这两个平行平面的 公垂线,它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个 平行平面间的距离。

2.法向量及射影:

? 如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于 ? 平面?,则称这个向量垂直于平面?,记作a ⊥?. ? ? 如果a ⊥?,那么向量a 叫做平面?的法向量.

l a

?

l
B1 B n

A1
A

??? ? ? ???? ? AB ? n A1 B1 ? ? n
b

?

??? ? ? ? e 已知向量 AB ? a 和轴 l, 是 l 上与 l 同方向的单

位向量. 作点 A 在 l 上的射影 A1,作点 B 在 l 上的 ? ???? ? ??? ? 射影 B1,则 A1B1 叫做向量 AB 在轴上或在 e 方向上的 正射影,简称射影.

空间中的距离主要有:

点点、点线、点面、线线、线面、面面
空间两点之间的距离

根据两向量数量积的性质和坐标运算,利用公式

? ? ? ?2 2 2 2 a ? a 或 a ? x ? y ? z (其中 a ? ( x, y, z)) ,可将
两点距离问题转化为求向量模长问题. 空间点线之间的距离 求出垂线段的向量的模。

一、求点到平面的距离 如何利用空间向量求点到平面的距离:
分析:过 P 作 PO⊥ ? 于 O,连结 OA.
??? ? ??? ? 则 d=| PO |= | PA | ? cos ?APO. ??? ? ??? ? ? ? ∵ PO ⊥ ? , n ? ? , ∴ PO ∥ n . ??? ? ? ∴cos∠APO=|cos ? PA, n? |. ??? ? ? ??? ? ??? ? ? | PA ? n | ? ∴d=| PA ||cos ? PA, n? |= ?? . |n|

如图 A? ? , 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d,已知平面 ? 的 ? ??? ? ? ??? ? ? 一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?

?P

? n

?

A?

?O

这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.

一、求点到平面的距离
P

??? ? PA ? n d? ? n

M

?
O n N

A

方法指导:若点P为平面α外一点,点A为平面α内任 一点,平面的法向量为n,则点P到平面α的距离公式 为

例1、已知正方形ABCD的边长为4, CG⊥平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点,求点B到平面GEF的距离。 z

G

x D F A

C

E

y

B

例 1: 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求点 B 到 z 平面 EFG 的距离. G 解:如图,建立空间直角坐标系 C-xyz.

由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2). ??? ? ??? ? EF ? (2, ?2,0), EG ? (?2, ?4, 2), D ?

x 设平面 EFG 的一个法向量为 n ? ( x, y, z )
? ???? ? ??? ?2 x ? 2 y ? 0 ? n ? EF, ? EG ? ? n

C

?

? ?? ??? 2 x ? 4 y ? 2 ? 0 ? 1 1 ? n ? ( , ,1) ,BE ? (2,0,0) A 3 3 ? ????

F

E

B

| n ? BE| 2 11 ?d ? ? . ? 11 n

y

2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11

练习1:
SA ? 平 面ABCD,?DAB ? ?ABC ? 90?, SA ? AB ? BC ? a,AD ? 2a , 求A到 平 面 SCD的 距 离 。 z
S

A B x C

D y

练习(用向量法求距离): 如图, ABCD 是矩形, PD ? 平面 ABCD , PD ? DC ? a , AD ? 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P

练习 2:

N D
M A B C

解:如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz 则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )

2 2 1 1 a , 0, 0) N ( a , a, a ) ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( 2 2 2 2

???? ? ???? ? 1 1 2 2 z ???? ∴ MC ? ( ? a , a , 0) , MN ? (0, a , a ) , MA ? ( a , 0, 0) P 2 2 2 2 ? ? ???? ? ???? ? ? 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n ? MN , n ? MC ? ???? ? 2 N ∴ n ? MC ? ? ax ? ay ? 0 且 C D y 2 ? ???? a ? a M n ? MN ? y ? z ? 0 2 2 2 A 解得 x ? y ? ?z , B 2 ?? x ∴可取 m ? ( 2,1, ?1) ???? ?
MA ? n a ???? ? a d? ? 即点 A 到平面 MNC 的距离为 . ? ∴ MA 在 n 上的射影长 2 2 n

二、求直线与平面间距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD, CG=2,E、F分别是AB、AD的中点,求直线BD到平面 z GEF的距离。

G

? ???? | n ? BE| 2 11 ?d ? ? . ? 11 n

x D
F A

C

E

y

B

练习3: 正方体AC1棱长为1,求BD与平面GB1D1的 距离 DD1 ? n Z C1 d ? D1 n B
A1
1

G A X

D
B

C Y

三、求平面与平面间距离
例3、正方体AC1棱长为1,求平面AB1C 与平面A1DC1的距离 AD ? n Z D1 C1 d ? n B
A1
1

D
A X B

C Y

练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点,求平面AMN与平面EFDB的距离。
z

d?

AB ? n
A1

N

D1

F E

C1

n
A

M B1 D B

C

y

x

四、求异面直线的距离

a M

A

n

?

N

B

b

??? ? ? AB ? n d? ? n

方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b,求a、 b的法向量n,即此异面直线a、b的公垂线的方 向向量;②在直线a、b上各取一点A、B,作向 量AB;③求向量AB在n上的射影d,则异面直线 a、b间的距离为

B n A

b a

. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1 B1C1 的 侧 棱 AA1 ? 4 , 底 面
?

例4

△ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?BCA ? 90 , E 是 AB 的中点, 求异面直线 CE 与 AB1 的距离.
C1 A1

z
B1

C A B

x

E

y

例4

. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1 B1C1 的 侧 棱 AA1 ? 4 , 底 面
△ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?BCA ? 90? , E 是 AB 的中点, 求异面直线 CE 与 AB1 的距离.

解:如图建立坐标系 ? xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). C ? ? z ?CE ? (1,1,0), AB1 ? (2,2,4), C1 ? ? ? 设CE, AB1的公垂线的方向向量为 ? ( x, y, z).则 n A1 ? ? B1 x? y ?0 n ? CE ? 0 即 ? ? ?2 x ? 2 y ? 4 z ? 0 n ? AB1 ? 0 C

? 取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n ? (1,?1,1)

? ? ??? ??? ???? ? ? | n ? CA | 2 3 ? CE与 AB1的距离d ? ? . ? |n| 3

? 在两直线上各取点 , A,?CA ? (1,0,0). C

A

B

x

E

y

练习5
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求异面 直线DA1与AC的距离。 z
D1 C1 A1

B1 C y

D A B

x

练习6:如图, ABCD是 正 方 形 , ? 面ABCD, 且SA与 SB 面ABCD所 成 的 角 为 , 点S到 面ABCD的 45? 距 离 为, 求AC与SD的 距 离 。 1
S

z
B y

A D

x

C

小结:
1、怎样利用向量求距离? ① 点到平面的距离:连结该点与平面上任意一点的向量在平面定 向法向量上的射影(如果不知道判断方向,可取其射影的绝对 值)。 ② 点到直线的距离:求出垂线段的向量的模。

③ 直线到平面的距离:可以转化为点到平面的距离。
④ 平行平面间的距离:转化为直线到平面的距离、点到平面的距 离。 ⑤ 异面直线间的距离:转化为直线到平面的距离、点到平面的 距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理 和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。

2 .四种距离的统一向量形式:
点到平面的距离: 直线到平面的距离: 平面到平面的距离:

??? ? ? | AP ? n | d ? ? n

异面直线的距离:

今日作业
课本P111 练习2


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