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2011级2009-2010学年上期期末数学模拟试题(必修5+选修2-1)


高二学年上期期末数学模拟试题
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)

一、选择题: (5×12=60 分) (注意请将最后答案填在第二卷答题框内,否则概不给分) 1.若 a<b<0,则正确的是( ) A.

1 1 ? a b

B. 0<

a <1 b

C. ab> b



2

D.

b a ? a b

2. 与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直的直线的倾斜角为( A.

? 6
2 2

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6


3. 方程 x ? y ? 2kx ? 4 y ? 3k ? 8 ? 0 表示一个圆,则实数 k 的取值范围是( A. k ? ?

8 3

B. k ? ?

8 3

C. ? 1 ? k ? 1

D. k ? ?1 或 k ? 4 )

4.若直线 3 x ? y ? 1 ? 0 到直线 x ? my A.0 B. 3

? 0 的角为

? ,则实数 m 的值等于( 6
D. ?

C.0 或 3

3 3


?2 y ? x ? 5.设 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ,则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是 ( ?x ? y ? 6 ?
A.0 B.2 C.8 ,则下列各式中错误的是( C. B ? A ? 1<? ) D. 6.已知 A ? 2 < , B ? 3<

D.16

?

?
2

2

A. A ? B ? 5 <?

B. A ? B ? 1 ? ?

A ? B ? 1<?

7.

5 x2 y2 “双曲线的方程为 ? ? 1 ”是“双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ”的( 2 4 25
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
2



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8. 点 P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点,则点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与 P 到直线 x ? ?1 的距离和的最小值是 ( A. )

5

B.

3

C.2

D.

2
???? ???? ?

10.已知 P 是椭圆

x2 y2 PF ? PF2 1 ? ? ? 1 上的点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,若 ???? 1 ???? ? ,则△F1PF2 | PF1 | ? | PF2 | 2 25 9

的面积为( ) A.3 3 B.2 3 C. 3 D. 3 3
2 2

11. 已知 m, n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx ? y ? n ? 0 与 nx ? my ? mn 所表示的曲线可能是





y
0

y
0

y
0

y
0

x
A
2 2

x
B
C

x
D
2

x

12.过双曲线 2 x ? 2 y ? 1 的右焦点且方向向量为 (1, 3 ) 的直线 L 与抛物线 y ? 4 x 交于 A、B 两点,则 |AB|的值为( ) A.

8 7 3

B.

16 3

C.

8 3

D.

16 7 3

第Ⅱ卷

非选择题(共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案直接填在题中横线上. 13. 已知圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 ,与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线相切,则 p ? ___。 14 . 已 知 直 线 l1 为

: x ? a2 y ? 6 ? 0


l 2 : (a ? 2) x ? 3ay ? 2a ? 0 若 l1 // l 2

则实数 a 的值

15 已 知 x ? 0, y ? 0 , 且 是 。

2 1 ? ? 1 , 若 x ? 2 y ? m 2 ? 2m 恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 x y

16 已知双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且倾斜角为 的直线交 C 于 A、B 2 b 3
w.w.

两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 12 分)已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? 2 ? 2 cos? ? ? y ? 2 sin ? ?

(? 为参数),

且曲线 C 与直线 x ? 3 y =0 相交于两点 A、B (1)求曲线 C 的普通方程; (2)求弦 AB 的垂直平分线的方程(3)求弦 AB 的长

18. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ax ? 2 ,不等式 f ( x) ? 6 的解集为 (?1, 2) .

(1)求 a 的值 ;

(2)试求不等式

bx ? 0 的解集. f ( x)

20.(本题满分 12 分)某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房,经测算,如果将楼房建为 x(x ? 10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单位:元)。 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平 均购地费用,平均购地费用=

购地总费用 ) 建筑总面积

21. (本题满分 12 分)已知右焦点为 F 的双曲线

x2 y 2 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ? ,其右准线与 2 3 a b
3 . 2
2

经过第一象限的渐近线交于点 P ,且 P 的纵坐标为 (1)求双曲线的方程;

(2)求直线 PF 被抛物线 y ? 8 x 截得的线段长.

22. (本小题满分 14 分) 如图已知椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 长轴是短轴的 2 倍且经过点 M (2,1) , 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0),且交椭圆于 A、B 两点. (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证:直线 MA、MB 与 x 轴围成一个等腰三角形。说明理由。 y M O
l

B A

x

数学答案
题号 答案 13. 2 1 C 2 B 14. 3 D 4 A 0 或-1 5 C 6 D 15. 7 A 8 D 9 C 16. 10 A 11 C 12 B

?? 4,2?

6 5

17.(1)由 ?

? x ? 2 ? 2 cos? ? ? y ? 2 sin ? ?

? x ? 2 ? 2 cos? ? ?? ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ? y ? 2 sin ? ?
2 2

所以,曲线 C 的普通方程为(x-2) +y =2 (2)因为 k AB ?

?????4 分

3 ,所以 AB 的垂直平分线斜率为 k ? ? 3 3

?????5 分

又垂直平分线过圆心(2,0) ,所以其方程为 y ? ? 3( x ? 2)

?????7 分 ????8 分

3x ? y ? 2 3 ? 0
(3)圆心到直线 AB 的距离 d ?

|2| 1? 3

? 1 ,圆的半径为 r ? 2

????10 分

所以 | AB |? 2 r ? d
2

2

? 2 2 ?1 ? 2

???12 分 ?????? 6 分

18 解: (1)

a ? ?4.
? ? 1? ?; 2?

? (2) 当 b ? 0时,不等式的解集为 ? x x

????? 8 分

? 1? 当b ? 0时,不等式解集为 ? x 0 ? x ? ?; 2? ? ? 1? 当b ? 0时,不等式解集为 ? x x ? 0, 或x ? ? . 2? ?
19、解:设所求圆的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r (r ? 0) ,则
2 2 2

????10 分

??????12 分

???????1 分

? ? ?r ? a ? ? a ? 3b ? 0 ? 2 ?? a ? b ? ? ( 7 ) 2 ? r 2 ? ?? 2 ? ??

???6 分

?a ? 3 ? a ? ?3 ? ? 解得 ?b ? 1 或 ?b ? ?1 . ?r ? 3 ? r ? 3 ? ?
所以,所求圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 ,或 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9
2 2 2 2

???10 分

??12 分

20 解:解:设楼层为 x 层,楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元, 则 f(x)=(560+48x)+
? f (x ) ? 48(x ? 当且仅当x ?

????1 分 ????4 分 ????10 分

2160 ? 10000 10800 =560+48x+ (x ? 10, x ? N ? ) 2000 x x

225 ) ? 560 ? 48 ? 2 225 ? 560 ? 2000 , x

225 , 即x ? 15时等号成立。 x

因此当 x=15 时,f(x)取最小值 f(15)=2000

? ?????11 分 ???12 分 ??1 分

答:为了使楼房平均每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为 15 层。 21. 解: (Ⅰ)由题意,知双曲线

x2 y2 a2 , ? 2 ? 1 的右准线方程为 x ? c a2 b

经过第一象限的双曲线的渐近线的方程为 y ?

b x. a

??2 分

? a2 x? , 2 ? ? c 可得点 P? a , ab ?. ? 联立 ? ? c c ? ? ? ? ?y ? b x ? a ?

??3 分

?

ab 3 ? c 2

c 2 3 ? a 3

? a ? 3, c ? 2, b ? 1

????? 5 分

x2 ? 双曲线方程为 ? y 2 ? 1 3
(Ⅱ)由(Ⅰ) ,可知点 P 的坐标为 ? ,

??????? 6 分

?3 ?2 ?

3? ?, 双曲线的焦点的坐标为 F ?2,0? ??7 分 2 ? ?

而 F ?2,0? 也是抛物线 y ? 8 x 的焦点,设 PF 所在的直线方程为
2

y ? ? 3 ?x ? 2? ,与抛物线相交于 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y 2 ? 两点。
联立 ?

??8 分

? y ? ? 3 ?x ? 2?, ? 2 可得 3x ? 20 x ? 12 ? 0. 2 ? y ? 8x ?

??9 分

20 . 3 32 ∴有抛物线的焦点弦长公式,可知 AB ? x1 ? x 2 ? p ? . 3 32 ∴直线 PF 被抛物线截得的线段长为 . 3 2 2 x y 22 解: (1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) a b
其两根 x1 、 x 2 分别是 A、B 的横坐标,∴ x1 ? x2 ?

??10 分 ??11 分 ?12 分

?a ? 2b ? 2 ? ?a ? 8 则? 4 ?? 2 1 ? a 2 ? b 2 ? 1 ?b ? 2 ? ?

∴椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 ????3 分 8 2

(2) ∵直线 l ∥DM 且在 y 轴上的截距为 m,∴y=

1 x+m 2

1 ? ?y ? 2 x ? m ? ? x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 由? 2 ?x ? 1 ?1 ? 8 b2 ?
∵ l 与椭圆交于 A、B 两点 ∴△=(2m) -4(2m -4)>0 ? -2<m<2(m≠0)??????7 分 (3)设直线 MA、MB 斜率分别为 k1,k2,则只要证:k1+k2=0 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 k1=
2 2 2 2

y1 ? 1 y ?1 ,k2= 2 x2 ? 2 x1 ? 2
2

由 x +2mx+2m -4=0 得 x1+x2=-2m,x1x2=2m -4

而 k1+k2=

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)( x 2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)( x1 ? 2) + = (*) x1 ? 2 x 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

??9 分

又 y1=

1 1 x1+m y2= x2+m 2 2

????????10 分

∴(*)分子=(

1 1 x1+m-1) 2-2)+( (x x2+m -1) 1-2) (x 2 2
????13 分 ????????14 分

=x1x2+(m-2) 1+x2)-4(m-1) (x =2m -4+(m-2) (-m)-4(m-1)=0 ∴k1+k2=0,证之.
2


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