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求递推数列通项的特征根法(不动点法)


求递推数列通项的特征根法(不动点法)
一、形如 a1

? b, an?1 ? can ? d 其中 a1=b

c ? 0, c ? 1, 的数列

? b, an?1 ? can ? d 其中 c ? 0, c ? 1, x ? cx ? d , ;特征方程的根为 x , 求这个数列的通项公式. 特征方程

0
定理 1. 设已知数列 {an } 的项满足 a1 则当 x0 ? a1 时, an 为常数列,即 an

? a1 ;当x0 ? a1时, an ? bn ? x0

x0 ?? a1 , {an ? x0 } 是以 c 为公比的等比数列,
证明:因为 c ? 0,1, 由特征方程得 x 0 ? 则 bn ?1

d . 作换元 bn ? an ? x0 , 1? c d cd ? a n ?1 ? x0 ? ca n ? d ? ? ca n ? ? c(a n ? x0 ) ? cb n . 1? c 1? c

当 x0 ? a1 时, b1 ? 0 ,数列 {bn } 是以 c 为公比的等比数列,故 bn ? b1c n?1 ; 当 x0 ? a1 时, b1 ? 0 , {bn } 为 0 数列,故 an ? a1 , n ? N. (证毕) 例 1.已知数列 {an } 满足: a n ?1 ? ? a n ? 2, n ? N, a1 ? 4, 求 a n .

1 3

1 3 x ? 2, 则x 0 ? ? . 3 2 3 11 1 当 a1 ? 4 时 , a1 ? x0 , b1 ? a1 ? ? . 数 列 {bn } 是 以 ? 为 公 比 的 等 比 数 列 . 于 是 2 2 3 1 11 1 3 3 11 1 bn ? b1 (? ) n ?1 ? (? ) n ?1 , a n ? ? ? bn ? ? ? (? ) n ?1 , n ? N. 3 2 3 2 2 2 3
解:作方程 x ? ?

练习:已知数列 {an } 满足: an?1 ? 3an ? 8, n ? N, a1 ? 4, 求 a n .
已知数列 {an } 满足: an?1 ? 3an ? 2, n ? N, a1 ? 4, 求 a n .

二、 形如、an?1 ? 可作特征方程 x ?

pan ? q h 的数列 (其中 p、 q、 r、 h 均为常数, 且 ph ? qr , r ? 0, a1 ? ? ) r ra n ? h
px ? q , rx ? h

(1) 当特征方程有且仅有一根 x0 时 , 如果 a1 ? x0 则 an ? x0 常数列;如果
a1 ? x0 则 ? ?
? 1 ? a ? x 0 ? ? n

是等差数列。
? n ? x1 ? ? an ? x2 ?

a (2) 当特征方程有两个相异的根 x1 、 x2 时,则 ? ?

是等比数列。

1

例:已知数列 {an } 满足性质:对于 n ? N, an?1 ? an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 {an } 的通项公式.
2an ? 3

x?4 , 变形得 2x 2 ? 2 x ? 4 ? 0, 其根为 ?1 ? 1, ?2 ? ?2. 2x ? 3 故特征方程有两个相异的根,则有

解 : 数列 {an } 的特征方程为 x ?

cn ?

a1 ? ?1 p ? ?1r n?1 3 ? 1 1 ? 1 ? 2 n?1 2 1 ?( ) ? ?( ) , n ? N. ∴ c n ? (? ) n ?1 , n ? N. 5 5 a1 ? ?2 p ? ?2 r 3 ? 2 1? 2 ? 2
?2 cn ? ?1
2 1 ? 2 ? (? ) n?1 ? 1 5 5 ? , n ? N. 2 1 n?1 cn ? 1 (? ) ? 1 5 5

∴a ? n

即 an ?

(?5) n ? 4 , n ? N. 2 ? (?5) n
若 a1 ? 3, ? 5, 求 a n ( ; 2)

练习: 已知数列 {an } 满足: 对于 n ? N, 都有 a 求 a n ; (3)若 a1 ? 6, 求 a n ;

n ?1

?

13an ? 25(1) 若 a1 . an ? 3

变式:(2010,重庆,文,22,本小题满分 12 分)数列

{an }满足a1 ? 1且8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1). 记

bn ?

1 an ? 1 2

(n ? 1).

(Ⅰ) 求 b1、 b2、b3、b4 的值; (Ⅱ) 求数列 {bn } 的通项公式及数列 {an bn } 的前 n 项和 S n . 解:由已知,得 an?1 ?
2a n ? 5 16 ? 8an

,其特征方程为 x ? 2 x ? 5 解之得, x1 ? 1 或 x
16 ? 8 x

2

2

?

5 4

5 1 12(a n ? ) 6(a n ? ) 5 4 2 ,a ? ? ? an?1 ? 1 ? n ?1 4 16 ? 8a n 2 16 ? 8a n

1 1 1 1 an ? an ? a1 ? n ?1 1 2? ? 2, 2? 2 ? ( 1 ) n?1 ? ? 4 ? a ? 2 ? 5 ? ? n 5 2 5 5 5 2 2n ? 4 2n a n?1 ? an ? an ? a1 ? 4 4 4 4 1 n 4 bn ? ? 2 ? ( n ? 1) 由b ? 1 得a b ? 1 b ? 1, n n n n 3 3 1 2 a n?1 ?
an ? 2
1 (1 ? 2n ) 5 3 ? n 1? 2 3

故S n ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ? 1 (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n ?
2

1 ? (2n ? 5n ? 1) 3

三、形如 an?2 ? pan?1 ? qan ( p, q 是常数)的数列 形如 a1 ? m1, a2 ? m2 , an? 2 ? pan?1 ? qan ( p, q是常数)的二阶递推数列都可用特征根 法求得通项 an ,其特征方程为 x2 ? px ? q …①

若①有二异根 ? , ? ,则可令 an ? c1? n ? c2 ? n (c1, c2 是待定常数)
2

若①有二重根 ? ? ? ,则可令 an ? (c1 ? nc2 )? n (c1, c2 是待定常数)
再利用 a1 ? m1 , a2 ? m2 , 可求得 c1 , c2 ,进而求得 an 例 1:已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an 解:其特征方程为 x2 ? 3x ? 2 ,解得 x1 ? 1, x2 ? 2 , (有二异根)令 an ? c1 ?1n ? c2 ? 2n ,
? a1 ? c1 ? 2c2 ? 2 c 由? ,得 ? ? ? ? a2 ? c1 ? 4c2 ? 3 ?c
?
1

?1 ? 1 2



?an ? 1 ? 2n?1

2

例 2:已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, 4an?2 ? 4an?1 ? an (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an 解:其特征方程为 4 x 2 ? 4 x ? 1 ,解得 x1 ? x2 ? 由? ?
? 1 ?c1 ? ?4 ?1 ,得 ? , 2 ? c2 ? 6 ? 1 ? a ? ( c ? 2c ) ? ? 2 2 1 2 ? ? 4 a1 ? (c1 ? c2 ) ?

1 ?1? , (二重根)令 an ? ? c1 ? nc2 ? ? ? , 2 ?2? ? an ? 3n ? 2 2n ?1

n

这样数列 ? ? 练习:

? 1 ? ? an ? ? ?

是首项为

1 an ? ?

,公差为 c 的等差数列,于是这样可求得。

(1) 已知数列 {an } 满足 an?2 ? an?1 ? 2an , a2 ? 2, a1 ? 0 求数列 {an } 的通项 an 答案是:(1) a(n)=[(2^n)+2*(-1)^n]/3
练习题: 1,已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?
n n an?1 ? 2 (n ? 2) ,求数列 {an } 的通项 an ? an ? 3n ? (?1) n 2an?1 ? 1 3 ? (?1)

2,已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an?1 ?

2an ? 1 (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an ? an ? 13 ? 5n 10n ? 6 4an ? 6

3,设 {an } 满足 a1 ? 1, a n ?1

an ? 2 2 n?1 ? (?1) n * ? , n ? N ,求数列 {an } 的通项公式 a n ? n an 2 ? (?1) n
a a2 求数列 {an } 的通项公式 a n ? a ? ,a ? 0, n an

4, 数列 {an } 满足下列关系:a1 ? 2a, an?1 ? 2a ?

5.已知数列

{an } 满足 an?2 ? 3an?1 ? 2an , a2 ? 3, a1 ? 1 求数列 {an } 的通项 a (2^n)-1 n

3


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