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高中数学必修1知识点总结:第二章 基本初等函数


高中数学必修 1 知识点总结
第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算
(1)根式的概念 ①如果 x 号
n

n

? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时, a 的 n 次方根用符

r />的 n 次方根

a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 ? n a 表示;0

是 0;负数 a 没有 n 次方根. ②式子
n

这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 当 n 为奇数时,a 为任意实数; 当 n 为偶数时,a ? 0 . a 叫做根式,

③根式的性质: ( n (2)分数指数幂的概念

a )n ? a ;当 n 为奇数时, n an ? a ;当 n 为偶数时,

n

(a ? 0) ?a a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)



①正数的正分数指数幂的意义是: a

m n

? n am (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等于 0.
m n

②正数的负分数指数幂的意义是: a

?

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的负分数指数幂没 a a

有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ①a
r

? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R)
r

② (a

r s

) ? ars (a ? 0, r, s ? R)

③ (ab)

? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R)
【2.1.2】指数函数及其性质

(4)指数函数 函数名称 定义 函数 指数函数

y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数
0 ? a ?1

a ?1

y
图象

y ? ax

y ? ax

y

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义域

1

x 0
R

O

1

x 0

值域

(0, ??)
图象过定点 (0,1) ,即当 x 非奇非偶 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

过定点 奇偶性 单调性

? 0 时, y ? 1 .

a x ? 1 ( x ? 0)
函数值的 变化情况

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变化对

图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低.

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义 ①若 a
x

? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N

的对数,记作 x

? log a N ,其中 a 叫做底数, N

叫做真数.

②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x ? loga (2)几个重要的对数恒等式

N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , log a ab ? b .
(3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 (4)对数的运算性质 ①加法: loga 如果 a . N (其中 e ? 2.71828 …)

N ;自然对数: ln N

,即 log e

? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么
②减法: log a ④a
log a N

M ? loga N ? loga (MN )
M ? loga M n (n ? R)
n log a M (b ? 0, n ? R) b

M ? log a N ? log a

M N

③数乘: n loga ⑤ log

?N

ab

Mn ?

⑥换底公式: log a

N?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数 函数 名称 定义 函数 对数函数

y ? loga x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1

y
图象

x?1

y ? loga x

y

x?1

y ? loga x

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)
R

O

(1, 0) 1 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

图象过定点 (1, 0) ,即当 x 非奇非偶

? 1 时, y ? 0 .

在 (0, ??) 上是减函数

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对
设函数

图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

(6)反函数的概念

y ? f ( x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y ? f ( x) 中解出 x ,得式子 x ? ? ( y ) .如果对于 y 在 C 中

的任何一个值,通过式子 x 函数 x

? ? ( y ) , x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子 x ? ? ( y ) 表示 x 是 y 的函数,

? ? ( y ) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数,记作 x ? f ?1 ( y) ,习惯上改写成 y ? f ?1 ( x) .

(7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 ③将 x

y ? f ( x) 中反解出 x ? f ?1 ( y) ;

? f ?1 ( y) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质 ①原函数 ②函数

y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称.

y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域、定义域. y ? f ( x) 的图象上,则 P' (b, a) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上.

③若 P ( a, b) 在原函数

④一般地,函数

y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数.
〖2.3〗幂函数

(1)幂函数的定义 一般地,函数

y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数.

(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关 于

y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.

②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ?

? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象在 (0, ??) 上
y 轴.

为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与

④奇偶性:当 ? 为奇数时, 幂函数为奇函数, 当 ? 为偶数时, 幂函数为偶函数. 当?
q p

?
q p

q (其中 p, q 互质, p 和 q ? Z p

) ,

若 则

p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x 是偶函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,

y?x

q p

是非奇非偶函数.

⑤图象特征:幂函数 直线

y ? x? , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方,若 x ? 1 ,其图象在

y ? x 上方,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方.
〖补充知识〗二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ②顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ③两根式:

f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 (3)二次函数图象的性质 ①二次函数

f ( x) 更方便.

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ?

b , 顶点坐标是 2a

(?

b 4ac ? b2 , ). 2a 4a
? 0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ??, ?
b b b ] 上递减,在 [ ? , ?? ) 上递增,当 x ? ? 时, 2a 2a 2a

②当 a

f min ( x) ?

4ac ? b2 4a

; 当a

? 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ??, ?

b b b ] 上递增,在 [ ? , ?? ) 上递减,当 x ? ? 2a 2a 2a

时,

f max ( x) ?

4ac ? b2 4a



③二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点

M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M1M 2 |?| x1 ? x2 |?
(4)一元二次方程 ax
2

? . |a|

? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且 解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统 地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .令 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,从以下四个方
?? b 2a
③判别式: ? ④端点函数值符号.

面来分析此类问题:①开口方向: a ②对称轴位置: x ①k<x1≤x2

?

y
f (k ) ? 0
?

y
a?0

x??

b 2a

O

k x1
x??
②x1≤x2<k

k
x2
b 2a

O

x

?

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

?
y y
f (k ) ? 0
?

a?0
O

x??
O

b 2a

x1

x2

k x
b 2a

k
x2
?

x1
a?0

x

x??
③x1<k<x2

f (k ) ? 0

?
y

af(k)<0

y
a?0
?

f (k ) ? 0 x2 x
a?0

O

k
?

x1

x2

x

x1

O

k

f (k ) ? 0

④k1<x1≤x2<k2

?
a?0
?

y
?

y

f ( k1 ) ? 0 f ( k ) ? 0 2 x1 x2 k2 x
O

x??

b 2a

O k 1

k1
?

x1

x2

k2
?

x

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0
f(k1)f(k2) ? 0,并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两

⑤有且仅有一个根 x1(或 x2)满足 k1<x1(或 x2)<k2 种情况是否也符合

?

y
?

a?0

y
f ( k1 ) ? 0
?

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

O k 1

x2

x

O

x1 k 1
a?0

x2

k2

?

x

f (k 2 ) ? 0
⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2 此结论可直接由⑤推出. (5)二次函数 设

f (k 2 ) ? 0

?

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值
,最小值为 m ,令 x0

f ( x) 在区间 [ p, q ] 上的最大值为 M
(Ⅰ)当 a

?

1 ( p ? q) . 2
③若 ?

? 0 时(开口向上)
②若

①若 ?

b ? p ,则 m ? f ( p) 2a
a?0

p??

b b ? q ,则 m ? f (? ) 2a 2a

b ? q ,则 m ? f (q) 2a
a?0

yx ? ? b f (q) p
O

2a

a?0

y

x??

f (p) q
x

b 2a

y

x??

f (q)
O
f (? b )

f (p) q
x

b 2a

q p
O

f
b f ((p) ? ) b 2 a ? f (q ) ? x0 ,则 M ①若 ? 2a

p

x
b ) 2a

a?0
(Ⅱ)当 a

yx ? ? b

b 2a ? x0 ,则 M ? f ( p) ②? 2a y b a?0
x??

f f (? (q)

? 0 时(开口向下 f) b x(q) p f ( p) ? p ,则 M ①若 ? 0 ? ? 2a q
O a?0

2a

f

2a

(p) q b x0 b b ?? q ,则 M ? f (? ) ③若 ? ? q ,则 M ? f (q) ②若 p ? ? 2a p O 2a x 2a
x

yb b f( ((p) ? ) ) f ? 2a a 2 (p)
O

f f q p
x

b x ? ?(q) 2a
①若 ?

f

f f (? ) y b 2a a?0 (q) f (? ) 2a f (p) q O p x f b x ? ?(q) 2a
②?

b

a?0

f f( ?

yb
2a

)

(q) p
O

q
x?? b 2a

x

f (p)

b ? x0 ,则 m ? f (q) 2a
a?0
f (?

b ? x0 ,则 m ? f ( p) . 2a
a?0
f f( ?

yb
2a

)

yb
2a

)

f (p)
O

(q)

x0 ? p
b x ? ?(q)

q
x

x0 p ?
f

O

q
x?? b

x

f


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