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上海市浦东区2013届高三一模数学试题(理科)含答案


浦东新区 2012 学年度第一学期期末质量抽测 高三数学试卷 (理科)
注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

2013.1

一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得

4 分, 否则一律得零分. 1.若集合 A ? { 0, m } , B ? { 0, 2} , A ? B ? { 0,1,2} ,则实数 m ? 2.已知二元一次方程组 ?

?a1 x ? b1 y ? c1 ?1 ? 1 1 ? 的增广矩阵是 ? ?1 1 3 ? ,则此方程组的解是/ ? ? ? ?a2 x ? b2 y ? c2

3.函数 y ? log2 ( x ? 2) 的定义域 4.已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 5.函数 y ? 1 ? x ( x ? 0 )的反函数是 6.函数 f ( x) ? 2sin ?

?? ? ?? ? ? x ?sin ? ? x ? 的最小正周期为 ?4 ? ?4 ?

7.等差数列 ?an ? 中, a6 ? a7 ? a8 ? 12 ,则该数列的前 13 项的和 S13 ? 8.已知数列 {an } 是无穷等比数列,其前 n 项和是 Sn ,若 a2 ? a3 ? 2 , a3 ? a4 ? 1 ,则 lim Sn
n??

的值为 9.若一个圆锥的轴截面是边长为 4 的等边三角形,则这个圆锥的侧面积为 10.二项式 ? x ? 1 ? 的展开式前三项系数成等差数列,则 n ? ? ? 2 x? ? 11.已知甲射手射中目标的频率为 0.9 ,乙射手射中目标的频率为 0.8 ,如果甲乙两射手的射 击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率为
? a b 12. 已知向量 a 与 b ,a ? 2 ,b ? 3 , 、 的夹角为 60 , 1 ? m ? 2,0 ? n ? 2 时,ma ? nb 当
n

?

? ? ??

?? ?

? ?

?

?

的最大值为 13.动点 P 在边长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 的对角线 BD1 上从 B 向 D1 移动,点 P 作 1

— 1 —

垂直于面 BB1D1D 的直线与正方体表面交于 M , N , BP ? x, MN ? y ,则函数 y ? f ( x) 的解 析式为 14.1, 2,..., n 共有 n ! 种排列 a1 , a2 ,..., an ( n ? 2, n ? N ? ) ,其中满足“对所有 k ? 1, 2,..., n 都有

ak ? k ? 2 ”的不同排列有



二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是 正确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知△ABC 两内角 A、B 的对边边长分别为 a、b,则“ A ? B ”是“ a cos A ? b cos B ”的 ( )

( A) 充分非必要条件
16.已知函数 f ( x ) ?

( B ) 必要非充分条件
x

(C ) 充要条件

( D) 非充分非必要条件


( A) ?

1 2

1 1 ,若函数 y ? f ( x ? m) ? 为奇函数,则实数 m 为( 4 4 ?2 1 (B) 0 (C ) ( D) 1 2

17. x1 ,x2 ,x3 , x2013 的方差为 3 , 3( x1 ? 2) , ( x 2 ? 2) , ( x3 ? 2) , 3( x2013 ? 2) 若 …, 则 …, 3 3 的方差为 ( )

( A) 3

(B) 9

(C ) 18

( D) 27

18.定义域为 ? a, b? 的函数 y ? f ( x) 图象的两个端点为 A, B ,向量 ON ? ?OA ? (1 ? ? )OB ,

????

??? ?

??? ?

M ( x, y) 是 f ( x) 图象上任意一点,其中 x ? ?a ? (1 ? ?)b, ? ??0,1? 。若不等式 MN ? k 恒
成立,则称函数 f ( x ) 在 ? a, b? 上满足“ k 范围线性近似”,其中最小的正实数 k 称为该函数的 线性近似阀值.下列定义在 ?1, 2? 上函数中,线性近似阀值最小的是 ( )

( A) y ? x 2

(B) y ?

2 x

(C ) y ? sin

?
3

x

( D) y ? x ?

1 x

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本小题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 如 图 , 直 三 棱 柱

A

B ?

1

C

1

中 , A1 B

A1

C

c1

A ?B

A 1 C , ?ABC ? 45? ? 2 ?A A
B1

— 2 —
A C

B

(1) 求点 A 到平面 A BC 的距离; 1 (2) 求二面角 A ? AC ? B 的大小。 1

20. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建一个占地面积为 S 的矩形 AMPN 健身场地,如图点 M 在 AC 上,点 N

x 在 AB 上, P 点在斜边 BC 上, 且 已知 ?ACB ? 60 且 | AC |? 30 米,AM =x , ? [10,20] 。
?

(1)试用 x 表示 S ,并求 S 的取值范围; (2)设矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为

B

37k ,再把矩形 S
N P

12k AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为 ( k 为正 S
常数) 求总造价 T 关于 S 的函数 T ? f (S ) ; , 试问如何选取 | AM | 的长 使总造价 T 最低。 (不要求求出最低造价)

A

M

C

21. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) — 3 —

已知复数 z1 ? 2sin ? ? 3i, z2 ? 1 ? (2cos? )i , ? ? [ (1)若 z1 ? z2 为实数,求角 ? 的值;

? ?

, ]。 3 2
? ? ? ?

(2)若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 a, b ,存在 ? 使等式 (? a ? b ) ? ( a ? ? b ) ? 0 成立,求实 数 ? 的取值范围。

? ?

22. (本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 定义数列 {xn } ,如果存在常数 p ,使对任意正整数 n ,总有 ( xn?1 ? p)( xn ? p) ? 0 成立, 那么我们称数列 {xn } 为“ p ? 摆动数列”. (1)设 an ? 2n ? 1, bn ? q n ( ? 1 ? q ? 0 ) n ? N ,判断数列 {an } 、{bn } 是否为“ p ? 摆 , 动数列”,并说明理由; (2)已知“ p ? 摆动数列” {cn } 满足 cn ?1 ?
?

1 , c1 ? 1 ,求常数 p 的值. cn ? 1

(3)设 dn ? (?1)n ? (2n ? 1) ,且数列 { d n } 的前 n 项和为 Sn ,求证:数列 { Sn } 是“ p ? 摆动数 列”,并求出常数 p 的取值范围。

— 4 —

上海市浦东区 2013 届高三一模数学试题(理科) 参考答案
一、填空题 1、1 2、 ?

?x ? 2 ? y ?1

3、 [3,??) 4、

1 16

5、 y ? ( x ?1)2 ( x ? 1 ) 6、 ? 7、52 8、

16 3

9、 8? 10、8 11、0.98 12、 2 19

? ? 2 6 x, x ? ?0, ? 3 ? ? 13、 y ? ? ? 2 6 ? ? 2 2 ? 3 x, x ? ? ? ? ?
14、 2 ? 3
n? 2

3? ? 2 ? ? 3 , 3? 2 ?

或 2? | 2 ?

2 6 x | x ?[0, 3] 给分 3

二、选择题 15、A 16、C 17、D 18、D — 5 —

三、解答题 19、解: (1)? AB ? AC ? 2, ?ABC ? 45? ,??BAC ? 90?

?VA1 ? ABC ?

4 3

? A1B ? BC ? AC ? 2 2,? S?A1BC ? 2 3 -------3 分 1
设点 A 到平面距离为 h 由 h ? S?A1BC ? VA1 ? ABC ,? h ?

1 3

2 3 3
-------6 分

? 点 A 到平面距离为

2 3 3

(2)设 AC 的中点为 M ,连结 BM , AM 1

? BA1 ? BC, AA1 ? AC,? BM ? AC, AM ? AC 1 1
??AMB 是二面角 A ? AC ? B 的平面角 1
-------8 分

tan ?AMB ? 2,??AMB ? arctan 2

? 二面角 A ? AC ? B 的大小为 arctan 2 。 1

-------12 分

20、解: (1)在 Rt?PMC 中,显然 | MC |? 30 ? x , ?PCM ? 60 所以 | PM |?| MC | ? tan?PCM ? 3(30 ? x) -----2 分

?

矩形 AMPN 的面积 S ?| PM | ? | MC |? 3x(30 ? x) , x ?[10, 20] ------4 分 于是 200 3 ? S ? 225 3 为所求--------6 分 (2) 矩形 AMPN 健身场地造价 T1 ? 37k S --------------7 又 ?ABC 的面积为 450 3 ,

— 6 —

即草坪造价 T2 ?

12k (450 3 ? S ) , S

--------8 分

由总造价 T ? T1 ? T2 所以 T ? 25k ( S ?

216 3 ) , 200 3 ? S ? 225 3 -------------10 分 S
-------------11 分

? S?

216 3 ? 12 6 3 S

当且仅当 S ?

216 3 即 S ? 216 3 时等号成立---------12 分 S

此时 3x(30 ? x) ? 216 3 ,解得 x ? 12 或 x ? 18 , 所以选取 | AM | 的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低。---------------14 分

21、解: (1) z1 ? z 2 ? (2 sin ? ? 3i)? ? (2 cos? )i? 1 = (2 sin ? ? 2 3 cos? ) ? (2 sin 2? ? 3)i ? R ……………2 分

? sin 2? ?


3 …………………………………4 分 2

2? 2 ? ? 2? ? ? ,? 2? ? ? ,即 ? ? ……………6 分 3 3 3

(2) a ? b ? 8 ,…………………………………8 分

?2

?2

? ? a ? b ? 2sin ? ? 2 3 cos? ,…………………………………10 分
(? a ? b ) ? ( a ? ? b ) ? ? ( a ? b ) ? (1 ? ?2 ) a? b ? 0
得 8? ? (1 ? ?2 )(2 sin? ? 2 3 cos? ) ? 0 整理得
? ? ? ?

?2

?2

? ?

2? ? ? ? sin(? ? ) …………………………………12 分 2 1? ? 3

— 7 —

因为 ? ?

? ? 1 ? [0, ] 所以 sin(? ? ) ? [0, ] 3 6 3 2 1 2? ? 0 即可,………………………………13 分 只要 ? ? 2 1 ? ?2 ?
解得 ? ? ?2 ? 3 或 ? 2 ? 3 ? ? ? 0 …………14 分

22、 (1)解:假设数列 {an } 是“ p ? 摆动数列”, 即存在常数 p ,总有 2n ? 1 ? p ? 2n ? 1 对任意 n 成立, 不妨取 n ? 1 时则 1 ? p ? 3 ,取 n ? 2 时则 3 ? p ? 5 ,显然常数 p 不存在, 所以数列 {an } 不是“ p ? 摆动数列”;……………………………………2 分 由 bn ? q n ,于是 bnbn ?1 ? q2n ?1 ? 0 对任意 n 成立,其中 p ? 0 所以数列 {bn } 是“ p ? 摆动数列”。……………… ……………………4 分 (2)由数列 {cn } 为“ p ? 摆动数列”, c1 ? 1 ? c2 ? 即存在常数

1 , 2

1 ? p ? 1 ,使对任意正整数 n ,总有 (cn ?1 ? p)(cn ? p) ? 0 成立 2 即有 (cn ? 2 ? p)(cn ?1 ? p) ? 0 成立
则 (cn ? 2 ? p)(cn ? p) ? 0 ,……………………6 分 所以 c1 ? p ?? c3 ? p ? ? ? c2n ?1 ? p ……………………7 分 同理 c2 ? p ? c4 ? p ? ? ? c2n ? p ……………………8 分 所以 c2n ? p ? c2n ?1 ? 同理

1 c2 n ?1 ? 1

? c2 n ?1 解得 c2 n ?1 ?

5 ?1 5 ?1 即p? ………9 分 2 2

1 5 ?1 5 ?1 即p? ……………………10 分 ? c2 n 解得 c2 n ? 2 2 c2 n ? 1

5 ?1 ;……………………11 分 2 (3)证明:由 dn ? (?1)n ? (2n ? 1) ? Sn ? (?1)n ? n ,……………………13 分
综上 p ? 显然存在 p ? 0 ,使对任意正整数 n ,总有 Sn Sn ?1 ? (?1)2n ?1 ? n(n ? 1) ? 0 成立, 所以数列 {Sn } 是“ p ? 摆动数列”; ……………………14 分 当 n 为奇数时 Sn ? ?n 递减,所以 Sn ? S1 ? ?1,只要 p ? ?1即可 当 n 为偶数时 Sn ? n 递增, Sn ? S2 ? 2 ,只要 p ? 2 即可 综上 ? 1 ? p ? 2 , p 的取值范围是 (?1,2) 。……………………16 分 (取 (?1,2) 中的任意一个值,并给予证明均给分) 如取 p ?

1 1 1 1 1 n n ?1 时, ( S n ? )( S n ?1 ? ) ? [( ?1) n ? ][( ?1) (n ? 1) ? ] 2 2 2 2 2

— 8 —

1 1 1 1 ? (?1) 2 n ?1 ? n(n ? 1) ? (?1) n ? ? ?n(n ? 1) ? (?1) n ? 2 4 2 4 1 1 1 3 n 因为 ? ? (?1) ? ? , ? n(n ? 1) ? ?2 4 2 4 4 1 1 1 存在 p ? ,使 ( S n ? )( S n ?1 ? ) ? 0 成立, 2 2 2 所以数列 {Sn } 是“ p ? 摆动数列”;

? 1 ? 0? x? ?2sin 2 x ? ? 3 23. (1)解:函数 y ? T (sin x) ? ? ? 1 2 ?2 ? 2sin x ? x ?1 ? 2 3 ?
函数 y ? sin ?

单调递增区间 ? 0,

? 1? ? 3? ?

? 1? ?? ? T ( x) ? ? sin ?x ( 0 ? x ? 1 )单调递增区间 ? 0, ? ? 2? ?2 ? 1 ? 1 ? 0? x? 0 ? ax ? ?2ax, ?2ax, ? 2 ? 2 (2)解: y ? aT ( x ) ? ? , y ? T (ax) ? ? ?2a(1 ? x), 1 ? x ? 1 ?2(1 ? ax), 1 ? ax ? 1 ? ? ? 2 ? 2 当 a ? 0 时,显然 a(T ( x)) ? T (ax) ? 0 恒成立 当 a ? 0 时,显然 a ? 1 使 a(T ( x)) ? T (ax) ? T ( x) 恒成立 综上可知当 a ? 0 或 a ? 1 时, a(T ( x)) ? T (ax) 恒成立 1 ? 1 ? j ? (3)解:① 当 x ? ? 0, n ? 时,对于任意的正整数 j ? N ,? i ? n ?1 ,都有 0 ? 2 x ? 1 2 ? 2 ? 2 j n?1 n 故有 y ? Tn ( x) ? Tn?1 (2x) ? Tn?2 (2 x) ? ? ? Tn? j (2 x) ? ? ? T (2 x) ? 2 x
② 由① 可知 x ? ? 0, 当 x??

? ?

1 ? 时有 Tn ( x) ? 2n x ,根据命题的结论可得 2n ? ?
时,

? 1 2 ? ? 0 2 ? , n ? n, n n ?2 2 ? ?2 2 ? ? ? ?

1 ? 0 1 ? ? 0 2 ? ? x?? n , n ? ? ? n , n ? n ?1 2 ?2 2 ? ?2 2 ?

1 1 ? x)=2n ( n ?1 ? x) ? ?2n x ? 2 n ?1 2 2 ? i i ?1 ? n 因此同理归纳得到,当 x ? ? n , n ? ( i ? N, ? i ? 2 ?1) 时, 0 ?2 2 ?
故有 Tn ( x) ? Tn (

? n 1 1 ?2 x ? i, i 是偶数 Tn ( x) ? (?1) (2 x ? i ? ) ? = ? n 2 2 ?-2 x ? i ? 1,i 是奇数 ?
i n

对于给定的正整数 m , x ? ?

? i i ?1 ? , m 时, 解方程 Tm ( x) ? kx 得, m ?2 2 ? ?
— 9 —

x?

? (?1) 2k ? 2i ? 1? ? (?1)i ? i ? 1 恒成立, 解得 k ? ( 0 , 2m ) i 必须 m ? m?1 2m ? 1 2 2 ? (?1)i 2k 2m ? 2n ?1? ? (?1)n 若将这些根从小到大排列组成数列 ?xn ? ,由此可得 xn ? m?1 2 ? (?1)n 2k m 故数列 ?xn ? 所有 2 项的和 S ? x1 ? x2 ? ? x2m ?1 ? x2m 2
i

? 2i ? 1? ? (?1)i ,要使方程 T
m?1

m

( x) ? kx 在 x?? 0,1 ? 上恰有 2m 个不同的实数根,

?

0 ? 2 ? 4 ? ? ? (2m ? 2) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2m 2m ?1 (4m ? 2k ) ? ? 。 2m ? k 2m ? k 4m ? k 2

— 10 —


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