当前位置:首页 >> 数学 >>

广东省2016届高三数学模拟试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年广东省云浮市罗定市泷州中学高三数学试卷(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,3,4} D.{0,2,4} )

2.复数 A. B.10

(i 是虚数单位)的模等于( C. D.5



3.下列命题中的假命题是(



A.?x∈R,lgx=0 B.?x∈R,tanx=0 C.?x∈R,2x>0 D.?x∈R,x2>0

4.如图所示为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象,则|OA|?|OB|等于(



A.

B.﹣

C.±

D.﹣

5.函数 f(x)= A.(0,+∞)

的定义域是( B.(﹣∞,0]



C.(﹣∞,0) D.(﹣∞,+∞)

6.已知函数

,则

=(



A.

B.

C.

D.

第 1 页(共 87 页)

7.已知某几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图是边长为 1 的正方形,俯视图是腰长为 1 的等 腰直角三角形,则该几何体的体积是( )

A.2

B.1

C.

D.

8.已知函数 f(x)= A.log32 B.log23 C.32 D.2

若 f(x)=2,则 x 的值为(



9.若指数函数 f(x)=ax 在[1,2]上的最大值与最小值的差为 ,则 a=( A. B. C. 或 D.1



10.若函数 y=f(x)在 R 上单调递增,且 f(m2+1)>f(﹣m+1),则实数 m 的取值范围是( A.(﹣∞,﹣1) B.(0,+∞) C.(﹣1,0) D.(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞)



11.已知 f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,a≠1),若 f(3)?g(3)<0,那么 f(x)与 g(x)在 同一坐标系内的图象可能是下图中的( )

A.

B.

C.

D.

12.设 a=log3π,b=log2

,则(



第 2 页(共 87 页)

A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若 sin( +α)= ,则 cos2α= .

14.函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的单调递增区间是



15.已知 f(lgx)= ,则 f(1)=



16.函数 y=

(x>0)的值域是



三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.如图,△ AOB 是边长为 2 的正三角形,设直线 x=t 截这个三角形所得到位于此直线左方的图形 面积为 S,求 S=f(t)的解析式.

18.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取 50 个作为样本,称出 它们的重量(单位:克),重量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到 样本的重量频率分布直方图(如图), (1)求 a 的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值; (2)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在[5,15]内的小球个数为 X,求 X 的分布列和数学期 望.(以直方图中的频率作为概率)

第 3 页(共 87 页)

19. (2010?许昌模拟)已知 a>0,设命题 p:函数 y=ax 在 R 上单调递增;命题 q:不等式 ax2﹣ax+1 >0 对?x∈R 恒成立.若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,求 a 的取值范围.

20.已知函数 f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.

21.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二 氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x

(吨)之间的函数关系可近似的表示为:

,且每处理

一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元,若该项目不获得,国家将给予补偿. (Ⅰ)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家 每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (Ⅱ)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

请在第 22、23、24 题中任选一题解答.如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请写清题号.

选修 4-1:几何证明选讲 22.(选修 4﹣1 几何证明选讲)

第 4 页(共 87 页)

如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直 于 AB 于 F,连接 AE,BE,证明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD?BC.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为 (t 为参数),以该直角坐标系的原点 O sinθ.

为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆 C2 的方程为 ρ=﹣2cosθ+2 (Ⅰ)求直线 C1 的普通方程和圆 C2 的圆心的极坐标; (Ⅱ)设直线 C1 和圆 C2 的交点为 A,B,求弦 AB 的长.

选修 4-5:不等式选讲 24.已知 m>1 且关于 x 的不等式 m﹣|x﹣2|≥1 的解集为[0,4]. (1)求 m 的值; (2)若 a,b 均为正实数,且满足 a+b=m,求 a2+b2 的最小值.

第 5 页(共 87 页)

2015-2016 学年广东省云浮市罗定市泷州中学高三(上)9 月 月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,3,4} D.{0,2,4} )

【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;集合. 【分析】由题意,集合?UA={0,4},从而求得(?UA)∪B={0,2,4}. 【解答】解:∵?UA={0,4}, ∴(?UA)∪B={0,2,4}; 故选 D. 【点评】本题考查了集合的运算,属于基础题.

2.复数 A. B.10

(i 是虚数单位)的模等于( C. D.5



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】首先将复数化简为 a+bi 的形式,然后求模. 【解答】解: 故选:A. 【点评】本题考查了复数的混合运算以及复数模的求法;属于基础题. =1+ =3+i,故模为 ;

3.下列命题中的假命题是(



A.?x∈R,lgx=0 B.?x∈R,tanx=0 C.?x∈R,2x>0 D.?x∈R,x2>0 【考点】命题的真假判断与应用.
第 6 页(共 87 页)

【专题】简易逻辑. 【分析】举例说明是 A、B 真命题, 根据指数函数的定义与性质,判断 C 是真命题; 举例说明 D 是假命题. 【解答】解:对于 A,x=1 时,lg1=0,∴A 是真命题; 对于 B,x=0 时,tan0=0,∴B 是真命题; 对于 C,?x∈R,2x>0,∴C 是真命题; 对于 D,当 x=0 时,x2=0,∴D 是假命题. 故选:D. 【点评】本题考查了特称命题与全称命题的应用问题,也考查了命题真假的判断问题,是综合性题 目.

4.如图所示为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象,则|OA|?|OB|等于(



A.

B.﹣

C.±

D.﹣

【考点】二次函数的性质. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】由函数图象我们可以分析出 A,B 分别是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 X 轴的交点,则 |OA|?|OB|=|x1x2|=| |,由图象开口朝下,得 a<0,由函数图象与 y 轴的交点在 x 轴上方,得 c>0, 代入根据绝对值的定义即可得到答案. 【解答】解:由图易得:A,B 分别是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 X 轴的交点, 则|OA|=|x1|,|OB|=|x2| 又∵图象开口朝下, ∴a<0, 又∵函数图象与 Y 轴的交点在 X 轴上方
第 7 页(共 87 页)

∴c>0 ∴|OA|?|OB|=|OA?OB|=|x1x2|=| |=﹣ , 故选:b 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解 答的关键.

5.函数 f(x)= A.(0,+∞)

的定义域是( B.(﹣∞,0]



C.(﹣∞,0) D.(﹣∞,+∞)

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】由分母中根式内部的代数式大于 0,然后求解指数不等式得答案. 【解答】解:由 1﹣ex>0,得 ex<1,∴x<0. 即函数 f(x)= 故选:C. 【点评】本题考查函数的定义域及其求法,考查了指数不等式的解法,是基础题. 的定义域是(﹣∞,0).

6.已知函数

,则

=(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】首先求出 的函数值,然后判断此函数值所在范围,继续求其函数值. 【解答】解:因为 >0,所以 f( )= 故选:B. 【点评】本题考查了分段函数的函数值求法;关键是明确自变量所属的范围,代入对应的解析式计 算即可.
第 8 页(共 87 页)

=﹣2,又﹣2<0,所以 f(﹣2)=2﹣2= ;

7.已知某几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图是边长为 1 的正方形,俯视图是腰长为 1 的等 腰直角三角形,则该几何体的体积是( )

A.2

B.1

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱;结合图中数据 求出它的体积. 【解答】解:根据几何体的三视图,得 该几何体是如图所示的直三棱柱; 且该三棱柱的底面是边长为 1 的等腰直角三角形 1,高为 1; 所以,该三棱柱的体积为 V=Sh= ×1×1×1= . 故选:C.

【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,也考查了空间想象能力的应用问题,是基础 题目.

第 9 页(共 87 页)

8.已知函数 f(x)= A.log32 B.log23 C.32 【考点】函数的零点. 【专题】函数的性质及应用. D.2

若 f(x)=2,则 x 的值为(



【分析】根据分段函数分别列出不等式组解之. 【解答】解:由题意,f(x)=2,则 解得 x=log32,



此不等式组无解;

所以 x=log32; 故选 A. 【点评】本题考查了分段函数的已知函数值求自变量;关键是正确列出各段对应的不等式组解之.

9.若指数函数 f(x)=ax 在[1,2]上的最大值与最小值的差为 ,则 a=( A. B. C. 或 D.1



【考点】函数的最值及其几何意义;指数函数的单调性与特殊点;函数零点的判定定理. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用指数函数的性质写出方程求解即可. 【解答】解:指数函数 f(x)=ax 在[1,2]上的最大值与最小值的差为 , 可得|a2﹣a|= , 可得|a﹣1|= . 解得 a= 或 . 故选:C. 【点评】本题考查指数函数的简单性质的应用,考查计算能力.

10.若函数 y=f(x)在 R 上单调递增,且 f(m2+1)>f(﹣m+1),则实数 m 的取值范围是(
第 10 页(共 87 页)



A.(﹣∞,﹣1)

B.(0,+∞)

C.(﹣1,0)

D.(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞)

【考点】函数单调性的性质. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】若函数 y=f(x)在 R 上单调递增,且 f(m2+1)>f(﹣m+1),则 m2+1>﹣m+1,解二次 不等式,可得答案. 【解答】解:∵函数 y=f(x)在 R 上单调递增, 若 f(m2+1)>f(﹣m+1), 则 m2+1>﹣m+1, 即 m2+m>0, 解得:m∈(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞), 故选:D 【点评】 本题考查的知识点是函数单调性的性质, 其中根据函数的单调性, 将已知不等式转化为 m2+1 >﹣m+1,是解答的关键.

11.已知 f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,a≠1),若 f(3)?g(3)<0,那么 f(x)与 g(x)在 同一坐标系内的图象可能是下图中的( )

A.

B.

C.

D.

【考点】对数函数的图象与性质;函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据条件 f(3)?g(3)<0,确定 a 的取值范围,然后利用指数函数和对数函数的单调性 进行判断. 【解答】解:∵f(3)=a3>0, ∴由 f(3)?g(3)<0,得 g(3)<0, 即 g(3)=loga3<0, ∴0<a<1, ∴f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,a≠1),都为单调递减函数, 故选:C.
第 11 页(共 87 页)

【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用指数函数的性质先判断 f(3)>0 是解决本题 的关键.

12.设 a=log3π,b=log2

,则(



A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 【考点】对数值大小的比较. 【分析】利用对数函数 y=logax 的单调性进行求解.当 a>1 时函数为增函数当 0<a<1 时函数为减 函数, 如果底 a 不相同时可利用 1 做为中介值. 【解答】解:∵ ∵ ,故选 A

【点评】本题考查的是对数函数的单调性,这里需要注意的是当底不相同时可用 1 做为中介值.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若 sin( +α)= ,则 cos2α= ﹣ .

【考点】二倍角的余弦;运用诱导公式化简求值. 【专题】三角函数的求值. 【分析】利用诱导公式化简求出 cosα,然后利用二倍角公式求解即可. 【解答】解:sin( 可得 cosα= , cos2α=2cos2α﹣1=2× 故答案为:﹣ . ﹣1=﹣ . +α)= ,

【点评】本题考查二倍角公式以及诱导公式的应用,考查计算能力.

14.函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的单调递增区间是 【考点】对数函数的图象与性质. 【专题】函数的性质及应用.

(1,+∞) .

第 12 页(共 87 页)

【分析】根据 logax 的符号化简 f(x)的解析式,从而得出答案. 【解答】解:①当 logax≥0,即 0<x≤1 时,f(x)=logax,∵0<a<1,∴f(x)在(0,1]上是减函 数; ②当 logax<0,即 x>1 时,f(x)=﹣logax,∴f(x)在(1,+∞)上是增函数. 故答案为(1,+∞). 【点评】本题考查了绝对值的化简,对数函数的单调性,属于基础题.

15.已知 f(lgx)= ,则 f(1)= 【考点】函数解析式的求解及常用方法.



【专题】方程思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】利用函数的解析式求解函数值即可. 【解答】解:f(lgx)= ,则 f(1)=f(lg10)= 故答案为: . .

【点评】本题考查函数值的求法,考查计算能力.

16.函数 y=

(x>0)的值域是



【考点】函数的值域. 【专题】计算题. 【分析】注意到自变量 x 是正数,所以将分式的分子和分母都除以 x,得到其分母变成 的形

式,接下来可以用基本不等式求分母的最小值,最后采用不等式的倒数法则进行等价变形,可以求 得原函数的值域. 【解答】解:∵x>0 ∴y= =

又∵ ∴ ∴ ,当且仅当 x=1 时等号成立 ,即函数的值域为
第 13 页(共 87 页)

故答案为: 【点评】本题考查了分式函数的值域、基本不等式等知识点,属于中档题.采用倒数的方法解题是 解决本题的关键,解题的同时还要注意函数定义域问题.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.如图,△ AOB 是边长为 2 的正三角形,设直线 x=t 截这个三角形所得到位于此直线左方的图形 面积为 S,求 S=f(t)的解析式.

【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据 t 所在的范围进行讨论,从而得到阴影部分的面积. 【解答】解:当 0<t≤1 时,阴影部分为三角形, 设 OB 所在直线方程为 y1=kx, 由题可知 B(1,√3),带入直线方程得 OB 所在直线方程为 y1= 所以阴影部分面积为 y= x, t2, =k,

当 1<t<2 时,阴影部分为四边形, 设 AB 所在直线为 y2=kx+b, 由题知 A(2,0)B(1, 2k+b=0 ① =k+b ② 联立①②,解得 k=﹣ 所以方程为 y2=﹣ x+2 b=2 , t﹣ ﹣ , , )带入方程得,

所以阴影部分面积为 y=2

第 14 页(共 87 页)

当 t≥2 时,面积就为△ OAB 面积即 y= 当 t<0 时,无面积,即 y=0.



∴S=f(t)=



【点评】本题考查了求函数的解析式问题,考查了分类讨论思想,考查了三角形的面积根式,是一 道中档题.

18.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取 50 个作为样本,称出 它们的重量(单位:克),重量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到 样本的重量频率分布直方图(如图), (1)求 a 的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值; (2)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在[5,15]内的小球个数为 X,求 X 的分布列和数学期 望.(以直方图中的频率作为概率)

【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【专题】概率与统计. 【分析】(1)求解得 a=0.03,由最高矩形中点的横坐标为 20,可估计盒子中小球重量的众数约为 20 根据平均数值公式求解即可. (2)X~B(3, ),根据二项分布求解 P(X=0),P(X=1),P(X=2)= 分布列,求解数学期望即可. 【解答】解:(1)由题意得,(0.02+0.032+a+0.018)×10=1 解得 a=0.03;
第 15 页(共 87 页)

,P(X=3),列出

又由最高矩形中点的横坐标为 20, 可估计盒子中小球重量的众数约为 20, 而 50 个样本小球重量的平均值为: =0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克) 故估计盒子中小球重量的平均值约为 24.6 克. (2)利用样本估计总体,该盒子中小球的重量在[5,15]内的 0.2; 则 X~B(3, ), X=0,1,2,3; P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= ×( )3= ×( )2× = ; ; ;

×( )×( )2= ×( )3= ,

∴X 的分布列为: X P 即 E(X)=0× = . 0 1 2 3

【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列,数学期望的求解,注意阅读题意,得出随机 变量的数值,准确求解概率,难度不大,需要很好的计算能力

19. (2010?许昌模拟)已知 a>0,设命题 p:函数 y=ax 在 R 上单调递增;命题 q:不等式 ax2﹣ax+1 >0 对?x∈R 恒成立.若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,求 a 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;复合命题的真假;指数函数的单调性与特殊点. 【专题】计算题;分类讨论. 【分析】先解命题,再研究命题的关系,函数 y=ax 在 R 上单调递增,由指数函数的单调性解决;等 式 ax2﹣ax+1>0 对?x∈R 恒成立,用函数思想,又因为是对全体实数成立,可用判断式法解决,若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,两者是一真一假,计算可得答案. 【解答】解:∵y=ax 在 R 上单调递增,∴a>1;
第 16 页(共 87 页)

又不等式 ax2﹣ax+1>0 对?x∈R 恒成立, ∴△<0,即 a2﹣4a<0,∴0<a<4, ∴q:0<a<4. 而命题 p 且 q 为假,p 或 q 为真,那么 p、q 中有且只有一个为真,一个为假. ①若 p 真,q 假,则 a≥4; ②若 p 假,q 真,则 0<a≤1. 所以 a 的取值范围为(0,1]∪[4,+∞). 【点评】本题通过逻辑关系来考查了函数单调性和不等式恒成立问题,这样考查使题目变得丰富多 彩,考查面比较广.

20.已知函数 f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 【考点】函数奇偶性的判断;对数的运算性质;对数函数的定义域;对数函数的单调性与特殊点. 【专题】计算题. 【分析】(1)根据对数的性质可知真数大于零,进而确定 x 的范围,求得函数的定义域. (2)利用函数解析式可求得 f(﹣x)=﹣f(x),进而判断出函数为奇函数. f x) f x) (3) 根据当 a>1 时, ( 在定义域{x|﹣1<x<1}内是增函数, 可推断出 ( >0, 进而可知 进而求得 x 的范围. 【解答】解:(1)f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x),则 故所求定义域为{x|﹣1<x<1}. (2)f(x)为奇函数 由(1)知 f(x)的定义域为{x|﹣1<x<1}, 且 f(﹣x)=loga(﹣x+1)﹣loga(1+x)=﹣[loga(x+1)﹣loga(1﹣x)]=﹣f(x), 故 f(x)为奇函数. (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|﹣1<x<1}内是增函数, 所以 .
第 17 页(共 87 页)

解得﹣1<x<1.

解得 0<x<1. 所以使 f(x)>0 的 x 的取值范围是{x|0<x<1}. 【点评】本题主要考查了函数的定义域,奇偶性的判断和单调性的应用.要求考生对函数的基本性 质熟练掌握.

21.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二 氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x

(吨)之间的函数关系可近似的表示为:

,且每处理

一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元,若该项目不获得,国家将给予补偿. (Ⅰ)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家 每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (Ⅱ)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? 【考点】函数模型的选择与应用;函数的最值及其几何意义. 【分析】(I)当 x∈[200,300]时,该项目获利 S=200x﹣ <0,说明不获

利;当 x=300 时,S 取得最大值﹣5000,说明国家每月至少补贴 5000 元才能使该项目不亏损;

(II)二氧化碳的每吨平均处理成本为:

=

;分段讨论,

①当 x∈[120,144)时,求出 的最小值;②当 x∈[144,500]时,求出 的最小值;比较得每月处 理量为多少吨时,能使每吨的平均处理成本最低. 【解答】解:(I)当 x∈[200,300]时,设该项目获利为 S,则 S=200x﹣ =﹣ x2+400x﹣80000=﹣ (x﹣400)2;

当 x∈[200,300]时,S<0,此时该项目不会获利; 当 x=300 时,S 取得最大值﹣5000,所以,国家每月至少补贴 5000 元才能使该项目不亏损. (II)由题意知,二氧化碳的每吨平均处理成本为:

第 18 页(共 87 页)

=



则:①当 x∈[120,144)时, 值 240; ②当 x∈[144,500]时, 当且仅当 x= = x+

= x2﹣80x+5040= (x﹣120)2+240,∴当 x=120 时, 取得最小

﹣200≥2

﹣200=200,

,即 x=400 时, 取得最小值 200;

∵200<240,∴当每月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低. 【点评】本题考查了分段函数模型的应用题目,并且考查了求二次函数的最值,利用基本不等式求 函数的最值等问题,是中档题.

请在第 22、23、24 题中任选一题解答.如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请写清题号. 选修 4-1:几何证明选讲 22.(选修 4﹣1 几何证明选讲) 如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直 于 AB 于 F,连接 AE,BE,证明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD?BC.

【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】综合题. 【分析】 (1)直线 CD 与⊙O 相切于 E,利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB.由 AB 为⊙O 的直径, 可得∠AEB=90°.又 EF⊥AB,利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB,从而得证.

第 19 页(共 87 页)

(2)利用(1)的结论及∠ECB=90°=∠EFB 和 EB 公用可得△ CEB≌△FEB,于是 CB=FB.同理可 得△ ADE≌△AFE,AD=AF.在 Rt△ AEB 中,由 EF⊥AB,利用射影定理可得 EF2=AF?FB.等量 代换即可. 【解答】证明:(1)∵直线 CD 与⊙O 相切于 E,∴∠CEB=∠EAB. ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠AEB=90°. ∴∠EAB+∠EBA=90°. ∵EF⊥AB,∴∠FEB+∠EBF=90°. ∴∠FEB=∠EAB. ∴∠CEB=∠EAB. (2)∵BC⊥CD,∴∠ECB=90°=∠EFB, 又∠CEB=∠FEB,EB 公用. ∴△CEB≌△FEB. ∴CB=FB. 同理可得△ ADE≌△AFE,∴AD=AF. 在 Rt△ AEB 中,∵EF⊥AB,∴EF2=AF?FB. ∴EF2=AD?CB. 【点评】熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射影定 理等是解题的关键.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为 (t 为参数),以该直角坐标系的原点 O sinθ.

为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆 C2 的方程为 ρ=﹣2cosθ+2 (Ⅰ)求直线 C1 的普通方程和圆 C2 的圆心的极坐标; (Ⅱ)设直线 C1 和圆 C2 的交点为 A,B,求弦 AB 的长. 【考点】参数方程化成普通方程.

【分析】(Ⅰ)把参数方程化为直角坐标方程,求出圆心的直角坐标,再把它化为极坐标. (Ⅱ)由(Ⅰ)求得(﹣1, )到直线 x﹣y+1=0 的距离 d,再利用弦长公式求得弦长.

【解答】解:(Ⅰ)由 C1 的参数方程消去参数 t 得普通方程为 x﹣y+1=0, 圆 C2 的直角坐标方程(x+1)2+ =4,
第 20 页(共 87 页)

所以圆心的直角坐标为(﹣1, 所以圆心的一个极坐标为(2, (Ⅱ)由(Ⅰ)知(﹣1, 所以 AB=2 = .

), ). = ,

)到直线 x﹣y+1=0 的距离 d=

【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式、弦长公式的应 用,属于基础题.

选修 4-5:不等式选讲 24.已知 m>1 且关于 x 的不等式 m﹣|x﹣2|≥1 的解集为[0,4]. (1)求 m 的值; (2)若 a,b 均为正实数,且满足 a+b=m,求 a2+b2 的最小值. 【考点】绝对值不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】(1)去掉绝对值,求出解集,利用解集为[0,4],求 m 的值; (2)利用柯西不等式,即可求 a2+b2 的最小值. 【解答】解:(1)∵不等式 m﹣|x﹣2|≥1 可化为|x﹣2|≤m﹣1,m>1.… ∴1﹣m≤x﹣2≤m﹣1,即 3﹣m≤x≤m+1,… ∵其解集为[0,4], ∴ ∴m=3.… (2)由(Ⅰ)知 a+b=3, ∵(a2+b2)(12+12)≥(a×1+b×1)2=(a+b)2=9, ∴a2+b2≥ , ∴a2+b2 的最小值为 .… 【点评】本题考查不等式的解法,考查柯西不等式,正确运用柯西不等式是关键. ,

第 21 页(共 87 页)

2015-2016 学年广东省阳江市阳东县广雅学校高三(数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|x≥﹣1},N={x|2﹣x2≥0},则 M∪N=( A.[﹣ ,+∞) B.[﹣1, ] C.[﹣1,+∞) ) ]∪[﹣1,+∞)

D.(﹣∞,﹣

2.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于( A. B. C. D.



3.复数 z=

,则(



A.|z|=2 B.z 的实部为 1 C.z 的虚部为﹣i D.z 的共轭复数为﹣1+i

4.函数 f(x)=

是(



A.偶函数,在(0,+∞)是增函数 B.奇函数,在(0,+∞)是增函数 C.偶函数,在(0,+∞)是减函数 D.奇函数,在(0,+∞)是减函数

5. 如果椭圆 A.12 B.14

上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6, 那么点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 ( C.16 D.20



6.已知向量 A.1 B. C.2

, D.4

,则

=(



7.执行如图所示的程序框图,则输出的 a=(



第 22 页(共 87 页)

A.

B.﹣

C.5

D.

8.已知命题 p: 所有有理数都是实数;命题 q: ?x∈R,sinx= A.¬p∨q B.p∧q C.¬p∧¬q D.¬p∨¬q

,则下列命题中为真命题的是 (



9.已 sin( A. B.

﹣x)= ,则 sin2x 的值为( C. D.±



10.等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( A.﹣24 B.0 C.12 D.24



11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



第 23 页(共 87 页)

A.

B.

+6

C.

+5

D.

+5

12.已知 a>0,且 a≠1,则函数 f(x)=ax+(x﹣1)2﹣2a 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.与 a 有关



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.函数 f(x)=log2(2x﹣1)的定义域为 .

14.若 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值为



15.已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 l:x+ .

y=0 垂直,C 的一个焦

点到 l 的距离为 1,则 C 的方程为

16.如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则 BC 的长为 .

三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列{an}中,前 n 项和 Sn=kn(n+1)﹣n,k 是常数,且首项为 1. (1)求 k 与 an; (2)若数列{bn}满足 b1=2,bn﹣bn﹣1=2 (n≥2),求 bn.

第 24 页(共 87 页)

18.某公司对夏季室外工作人员规定如下:当气温超过 35℃时,室外连续工作时间严禁超过 100 分 钟; 不少于 60 分钟的, 公司给予适当补助. 随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间 (单位: 分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中工作时间范围是[0,100],样本数据分 组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]. (1)求频率分布直方图中 x 的值; (2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数; (3)用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率;用分层抽样的方法从享受补助人员和 不享受补助人员中抽取 25 人的样本,检测他们健康状况的变化,那么这两种人员应该各抽取多少 人?

19.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)若 AB=AC,BC=AA1=2,求点 A1 到平面 ADC1 的距离.

20.斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

21.已知函数 f(x)=2ex﹣ax﹣2(a∈R) (1)讨论函数的单调性;
第 25 页(共 87 页)

(2)当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a 的取值范围.

选修 4-4:坐标系与参数方程 22. x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ρ=2cosθ﹣2sinθ, 在直角坐标系中, 以原点为极点, 已知圆 C: 直线 l 的参数方程为 同于 M、N 的任意一点. (1)写出 C 的直角坐标方程和 l 的普通方程; (2)求△ PMN 面积的最大值. (t 为参数),直线 l 与圆 C 分别交于 M、N,点 P 是圆 C 上不

第 26 页(共 87 页)

2015-2016 学年广东省阳江市阳东县广雅学校高三(上)8 月 月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|x≥﹣1},N={x|2﹣x2≥0},则 M∪N=( A.[﹣ ,+∞) B.[﹣1, ] C.[﹣1,+∞) ) ]∪[﹣1,+∞)

D.(﹣∞,﹣

【考点】并集及其运算. 【专题】集合. 【分析】解不等式求出集合 N,根据集合并集的定义得到答案. 【解答】解:∵集合 M={x|x≥﹣1},N={x|2﹣x2≥0}={x|﹣ ∴M∪N={x|x≥﹣ 故选:A 【点评】本题考查的知识点是集合的并集及其运算,属于基础题. }=[﹣ ,+∞), ≤ x≤ },

2.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于( A. B. C. D.



【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】本题是一个求概率的问题,考查事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为 5”这是一 个古典概率模型,求出所有的基本事件数 N 与事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为 5” 包含的基本事件数 N,再由公式 求出概率得到答案 【解答】解:抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是 6×6=36 事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为 5”所包含的基本事件有(1,4),(2,3),(3, 2),(4,1)共四种 故事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为 5”的概率是
第 27 页(共 87 页)

= ,

故选:B. 【点评】本题是一个古典概率模型问题,解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点 数之和为 5”,由列举法计算出事件所包含的基本事件数,判断出概率模型,理解求解公式 是本题 的重点,正确求出事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为 5”所包含的基本事件数是本题的 难点.

3.复数 z=

,则(



A.|z|=2 B.z 的实部为 1 C.z 的虚部为﹣i D.z 的共轭复数为﹣1+i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算,化简复数为 a+bi 的形式,然后判断选项即可. 【解答】解:复数 z= = = =﹣1﹣i.

显然 A、B、C 都不正确,z 的共轭复数为﹣1+i.正确. 故选:D. 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的基本概念的应用,考查计算能力.

4.函数 f(x)=

是(



A.偶函数,在(0,+∞)是增函数 B.奇函数,在(0,+∞)是增函数 C.偶函数,在(0,+∞)是减函数 D.奇函数,在(0,+∞)是减函数 【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】判断函数的定义域为 R,然后利用定义判断 f(x)与 f(﹣x)的关系,利用 2x 的单调性判 断 f(x)单调性. 【解答】解:f(x)的定义域为 R, f(﹣x)= 则函数 f(x)为奇函数;
第 28 页(共 87 页)

=﹣f(x),

又 y=2x 为增函数,y=﹣2﹣x 为增函数, ∴f(x)为增函数; 故选 B. 【点评】本题考查了函数奇偶性的判定以及单调性的判定.

5. 如果椭圆 A.12 B.14

上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6, 那么点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 ( C.16 D.20



【考点】椭圆的定义. 【专题】计算题. 【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,,根据椭圆 6,可求点 P 到另一个焦点 F2 的距离 【解答】解:根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a, ∵椭圆 ∴6+|PF2|=20 ∴|PF2|=14 故选 B. 【点评】本题的考点是椭圆的定义,主要考查椭圆定义的运用,属于基础题. 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于

6.已知向量 A.1 B. C.2

, D.4

,则

=(



【考点】向量的模. 【分析】根据向量的加法算出 【解答】解:∵ ∴| |= , =2 再求模. ,∴ =(﹣1, )

故选 C. 【点评】本题主要考查向量的加法和模的运算.
第 29 页(共 87 页)

7.执行如图所示的程序框图,则输出的 a=(



A.

B.﹣

C.5

D.

【考点】循环结构. 【专题】算法和程序框图. 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值,模拟程 序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:当 n=1 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,b=5,a=5,n=2, 当 n=2 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,b= ,a= ,n=3, 当 n=3 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,b=﹣ ,a=﹣ ,n=4, 当 n=4 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,b=5,a=5,n=5, 当 n=5 时,不满足进行循环的条件, 故输出的 a 值为 5, 故选:C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结 论,是基础题.

8.已知命题 p: 所有有理数都是实数;命题 q: ?x∈R,sinx= A.¬p∨q B.p∧q C.¬p∧¬q D.¬p∨¬q

,则下列命题中为真命题的是 (



【考点】复合命题的真假.
第 30 页(共 87 页)

【专题】简易逻辑. 【分析】先判断出 p,q 的真假,从而判断出其复合命题的真假即可. 【解答】解:命题 p:所有有理数都是实数,p 是真命题; 命题 q:?x∈R,sinx= ,q 是假命题,

则¬p∨q 是假命题,p∧q 是假命题, ¬p∧¬q 是假命题,¬p∨¬q 是真命题, 故选:D. 【点评】本题考查了复合命题的判断,是一道基础题.

9.已 sin( A. B.

﹣x)= ,则 sin2x 的值为( C. D.±



【考点】二倍角的正弦. 【专题】三角函数的求值. 【分析】利用角之间的关系将 sin2x 化为 cos2x,再利用二倍角公式求解. 【解答】解:sin2x=cos( 故选 C. 【点评】本题考查了三角函数的诱导公式以及二倍角公式的运用. ﹣2x)=1﹣2sin2( )=1﹣2× = ;

10.等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( A.﹣24 B.0 C.12 D.24



【考点】等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由题意可得(3x+3)2=x(6x+6),解 x 的值,可得此等比数列的前三项,从而求得此等比 数列的公比,从而求得第四项. 【解答】解:由于 x,3x+3,6x+6 是等比数列的前三项,故有(3x+3)2=x(6x+6),解 x=﹣3, 故此等比数列的前三项分别为﹣3,﹣6,﹣12,故此等比数列的公比为 2,故第四项为﹣24, 故选 A. 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的性质,属于基础题.
第 31 页(共 87 页)

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A.

B.

+6

C.

+5

D.

+5

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】三视图复原的组合体是下部是正方体,上部是四棱锥,根据三视图数据,求出表面积即可. 【解答】解:三视图复原的组合体是下部是棱长为 1 的正方体, 上部是底面边长为 1 的正方形,高为 1 的四棱锥, 组合体的表面积为:5×1×1+4× ×1× 故选:C 【点评】本题考查由三视图求表面积,考查计算能力,空间想象能力,是基础题. = +5,

12.已知 a>0,且 a≠1,则函数 f(x)=ax+(x﹣1)2﹣2a 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.与 a 有关



【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】令 g(x)=ax﹣2a,h(x)=﹣(x﹣1)2,而 x=1 时:g(x)=ax﹣2a=﹣a<0,h(x)=﹣ (x﹣1)2=0,从而得出函数有 2 个交点,即函数 f(x)有 2 个零点. 【解答】解:令 f(x)=0, 得:ax﹣2a=﹣(x﹣1)2, 令 g(x)=ax﹣2a,h(x)=﹣(x﹣1)2, x=1 时:ax﹣2a=﹣a<0,﹣(x﹣1)2=0,
第 32 页(共 87 页)

a>1 时,画出函数 g(x)和 h(x)的草图, 如图示:



两个函数有 2 个交点; 0<a<1 时,画出函数 g(x)和 h(x)的草图, 如图示:



两个函数有 2 个交点, 故选:B. 【点评】本题考查了函数的零点问题,考查转化思想,考查数形结合思想,是一道基础题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.函数 f(x)=log2(2x﹣1)的定义域为 ( ,+∞) . 【考点】对数函数的定义域. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】函数 f(x)=log2(2x﹣1)的定义域满足 2x﹣1>0,由此能求出结果. 【解答】解:∵函数 f(x)=log2(2x﹣1)的定义域满足:
第 33 页(共 87 页)

2x﹣1>0, 解得 x> , ∴函数 f(x)=log2(2x﹣1)的定义域为( ,+∞). 故答案为:( ,+∞). 【点评】本题考查对数函数的定义域的求法,是基础题,解题时要注意函数的性质的合理运用.

14.若 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值为 9 .

【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;作图题. 【分析】首先作出可行域,再作出直线 l0:y=2x,将 l0 平移与可行域有公共点,直线 y=2x﹣z 在 y 轴上的截距最小时,z 有最大值,求出此时直线 y=2x﹣z 经过的可行域内的点的坐标,代入 z=2x﹣y 中即可. 【解答】解:如图,作出可行域,作出直线 l0:y=2x,将 l0 平移至过点 A 处时,函数 z=2x﹣y 有最 大值 9.

【点评】本题考查线性规划问题,考查数形结合思想.

15.已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 l:x+

y=0 垂直,C 的一个焦

点到 l 的距离为 1,则 C 的方程为 x2﹣ 【考点】双曲线的简单性质.

=1 .

【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
第 34 页(共 87 页)

【分析】 利用双曲线 C: ﹣

=1 b>0) x+ (a>0, 的一条渐近线与直线 l:

y=0 垂直, 可得 =



由 C 的一个焦点到 l 的距离为 1,可得 =1,求出 a,b,即可求出双曲线的方程.

【解答】解:∵双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 l:x+

y=0 垂直,

∴ =



∵C 的一个焦点到 l 的距离为 1, ∴ =1, ∴c=2, ∴a=1,b= , =1.

∴C 的方程为 x2﹣

故答案为:x2﹣

=1.

【点评】本题考查用待定系数法求双曲线的标准方程,以及点到直线的距离公式的应用.

16.如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则 BC 的长为 8 .

【考点】解三角形. 【专题】计算题. 【分析】设出 BD=x,利用余弦定理建立方程,整理后求得 x,进而利用正弦定理求得 BC. 【解答】解:在△ ABD 中,设 BD=x,则 BA2=BD2+AD2﹣2BD?AD?cos∠BDA,即 142=x2+102﹣ 2?10x?cos60°, 整理得 x2﹣10x﹣96=0,解之得 x1=16,x2=﹣6(舍去). 在△ BCD 中,由正弦定理: = ,

第 35 页(共 87 页)

∴BC= 故答案为:8

?sin30°=8



【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了考查对正弦定理和余弦定理的灵活运用.

三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列{an}中,前 n 项和 Sn=kn(n+1)﹣n,k 是常数,且首项为 1. (1)求 k 与 an; (2)若数列{bn}满足 b1=2,bn﹣bn﹣1=2 【考点】数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】(1)由题设得 a1=S1=2k﹣1=1,解得 k=1,可得 Sn=n2,a2=S2﹣S1=3,可得 d=a2﹣a1,即 可得出 an. bn=bn﹣1+2 (2)
﹣1

(n≥2),求 bn.

=bn﹣2+2

+2

=…=b1+2

+2

+…+2

+2

. 由 (1) 知2

=22n

,利用等比数列的前 n 项和公式即可得出.

【解答】解:(1)由题设得 a1=S1=2k﹣1=1, ∴k=1, ∴Sn=n(n+1)﹣n=n2,a2=S2﹣S1=22﹣1=3, 则 d=a2﹣a1=2, ∴an=a1+(n﹣1)d=2n﹣1. (2)bn=bn﹣1+2 由(Ⅰ)知 2 又∵b1=2, ∴bn=21+23+25+…+22n﹣3+22n﹣1= 明显,n=1 时,也成立. 综上所述,bn= . = . =bn﹣2+2 =22n﹣1, +2 =…=b1+2 +2 +…+2 +2 .

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前 n 项和公式、递推关系,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.
第 36 页(共 87 页)

18.某公司对夏季室外工作人员规定如下:当气温超过 35℃时,室外连续工作时间严禁超过 100 分 钟; 不少于 60 分钟的, 公司给予适当补助. 随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间 (单位: 分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中工作时间范围是[0,100],样本数据分 组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]. (1)求频率分布直方图中 x 的值; (2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数; (3)用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率;用分层抽样的方法从享受补助人员和 不享受补助人员中抽取 25 人的样本,检测他们健康状况的变化,那么这两种人员应该各抽取多少 人?

【考点】频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】(1)由频率分布直方图中,各组的累积频率为 1,构造关于 x 的方程,解方程可得答案; (2)设中位数为 t,则 20×0.0125+(t﹣20)×0.0250=0.5,解得中位数; (3)根据已知数据可得享受补助人员占总体的 12%,享受补助人员占总体的 88%,进而根据抽取的 样本容量为 25,得到结论. 【解答】解:(1)由直方图可得:20×(x+0.0250+0.0065+0.0030+0.0030)=1, 解得 x=0.0125.… (2)设中位数为 t,则 20×0.0125+(t﹣20)×0.0250=0.5,得 t=30. 样本数据的中位数估计为 30 分钟.… (3)享受补助人员占总体的 12%,享受补助人员占总体的 88%. 因为共抽取 25 人,所以应抽取享受补助人员 25×12%=3 人, 抽取不享受补助人员 25×88%=22 人.…
第 37 页(共 87 页)

【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图,用样本估计总体,是统计基本概念的直接考查,难 度不大,属于基础题.

19.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)若 AB=AC,BC=AA1=2,求点 A1 到平面 ADC1 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】(Ⅰ)连接 A1C,交 AC1 于点 E,连接 DE,则 DE∥A1B.由此能证明 A1B∥平面 ADC1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 A1B∥平面 ADC1,则点 A1 与 B 到与平面 ADC1 的距离相等,从则 C 到与平面 ADC1 的距离即为所求. 【解答】(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:连接 A1C,交 AC1 于点 E, 则点 E 是 A1C 及 AC1 的中点. 连接 DE,则 DE∥A1B. 因为 DE?平面 ADC1,所以 A1B∥平面 ADC1.… (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 A1B∥平面 ADC1, 则点 A1 与 B 到与平面 ADC1 的距离相等, 又点 D 是 BC 的中点,点 C 与 B 到与平面 ADC1 的距离相等, 则 C 到与平面 ADC1 的距离即为所求.… 因为 AB=AC,点 D 是 BC 的中点,所以 AD⊥BC,又 AD⊥A1A, 所以 AD⊥平面 BCC1B1,平面 ADC1⊥平面 BCC1B1. 作于 CF⊥DC1 于 F,则 CF⊥平面 ADC1,CF 即为所求距离.… 在 Rt△ DCC1 中,CF= = .
第 38 页(共 87 页)

所以 A1 到与平面 ADC1 的距离为

.…

【点评】本题考查直线与平面平行的证明,考查点到平面的距离的求法,解题时要认真审题,注意 空间思维能力的培养.

20.斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题. 【分析】抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),准线方程为 x=﹣1,由题意可得直线 AB 的方程为 y=x﹣ 1,联立方程 可得 x2﹣6x+1=0,根据方程的根与系数的关系可得,xA+xB=6,xA?xB=1

(法一):由抛物线的定义可知,AB=AF+BF=xA+1+xB+1,代入可求 (法二) : 由弦长公式可得 AB= 代入可求 【解答】解:抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),准线方程为 x=﹣1 ∴直线 AB 的方程为 y=x﹣1 联立方程 可得 x2﹣6x+1=0 = ?

∴xA+xB=6,xA?xB=1 (法一):由抛物线的定义可知,AB=AF+BF=xA+1+xB+1=xA+xB+2=8 (法二) : 由弦长公式可得 AB= = =8 = ?

【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系:相交关系的应用,方程的根系数的关系的应用, 其中法(一)主要体现了抛物线的定义的灵活应用.
第 39 页(共 87 页)

21.已知函数 f(x)=2ex﹣ax﹣2(a∈R) (1)讨论函数的单调性; (2)当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】(1)先求函数的定义域,易知 x∈R,然后对原函数求导,借助于函数 y=2ex 的图象,通过 变换得到 f′(x)=2ex﹣a 的图象,解不等式得到原函数的单调区间. (2)这是一道不等式恒成立问题,因此只需当 x≥0 时,f(x)min≥0 即可,再结合(1)中对函数单 调性的研究,确定 f(x)的最小值,则问题可解. 【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=2ex﹣a. 若 a≤0,则 f′(x)>0,f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增; 若 a>0,令 f′(x)=0 得 x=ln ,易知 当 x∈(﹣∞,ln )时,f′(x)<0,∴f(x)在(﹣∞,ln )上单调递减; 当 x∈(ln ,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在[ln ,+∞)上单调递增; 综上,a≤0 时,f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;a>0 时,f(x)在(﹣∞,ln )上单调递减, 在 ln ,+∞)上单调递增. (Ⅱ)注意到 f(0)=0. (1)当 a≤0 时,则当 x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,只需 f(x)min=f(0)=0,显然成立. (2)当 a>0 时 若 ln ≤0,即 0<a≤2,则当 x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,f(x)≥f(0)=0,符合题意. 若 ln >0,即 a>2,则当 x∈(0,ln )时,f(x)单调递减,又因为 f(0)=0,所以此时 f(x) <0,不合题意. 综上所述,a 的取值范围是(﹣∞,2]. 【点评】本题重点考查利用导数研究函数的单调性,以及不等式恒成立问题.对于此类问题在解不 等式时要充分利用数形结合的思想辅助分析,进行讨论;而不等式恒成立问题往往转化为函数的最 值问题,再进一步利用导数研究函数的单调性求最值.
第 40 页(共 87 页)

选修 4-4:坐标系与参数方程 22. x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ρ=2cosθ﹣2sinθ, 在直角坐标系中, 以原点为极点, 已知圆 C: 直线 l 的参数方程为 同于 M、N 的任意一点. (1)写出 C 的直角坐标方程和 l 的普通方程; (2)求△ PMN 面积的最大值. 【考点】参数方程化成普通方程. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】(1)利用极坐标与直角坐标方程的互化,写出结果即可. (2)求出圆心到直线的距离,求出 P 到直线 MN 的距离的最大值,然后求解三角形的面积. 【解答】(本小题满分 10 分) 解:(1)圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x﹣2y,即(x﹣1)2+(y+1)2=2. 直线 l 的普通方程为 (2)圆心(1,﹣1)到直线 l: 所以,|MN|=2 = = . = . … .… 的距离为 d= = , (t 为参数),直线 l 与圆 C 分别交于 M、N,点 P 是圆 C 上不

而点 P 到直线 MN 的距离的最大值为 r+d= S△ PMN= =

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用,极坐标与直角坐标方程的互化,考查计算能力.

第 41 页(共 87 页)

2015-2016 学年广东省阳江市阳东县广雅学校高三数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|x≥﹣1},N={x|2﹣x2≥0},则 M∪N=( A.[﹣ ,+∞) B.[﹣1, ] C.[﹣1,+∞) ) ]∪[﹣1,+∞)

D.(﹣∞,﹣

2.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于( A. B. C. D.



3.复数 z=

,则(



A.|z|=2 B.z 的实部为 1 C.z 的虚部为﹣i D.z 的共轭复数为﹣1+i

4.函数 f(x)=

是(



A.偶函数,在(0,+∞)是增函数 B.奇函数,在(0,+∞)是增函数 C.偶函数,在(0,+∞)是减函数 D.奇函数,在(0,+∞)是减函数

5. 如果椭圆 A.12 B.14

上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6, 那么点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 ( C.16 D.20



6.已知向量 A.1 B. C.2

, D.4

,则

=(



7.执行如图所示的程序框图,则输出的 a=(



第 42 页(共 87 页)

A.

B.﹣

C.5

D.

8.已知命题 p: 所有有理数都是实数;命题 q: ?x∈R,sinx= A.¬p∨q B.p∧q C.¬p∧¬q D.¬p∨¬q

,则下列命题中为真命题的是 (



9.已 sin( A. B.

﹣x)= ,则 sin2x 的值为( C. D.±



10.等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( A.﹣24 B.0 C.12 D.24



11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



第 43 页(共 87 页)

A.

B.

+6

C.

+5

D.

+5

12.已知 a>0,且 a≠1,则函数 f(x)=ax+(x﹣1)2﹣2a 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.与 a 有关



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.函数 f(x)=log2(2x﹣1)的定义域为 .

14.若 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值为



15.已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 l:x+ .

y=0 垂直,C 的一个焦

点到 l 的距离为 1,则 C 的方程为

16.如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则 BC 的长为 .

三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列{an}中,前 n 项和 Sn=kn(n+1)﹣n,k 是常数,且首项为 1. (1)求 k 与 an; (2)若数列{bn}满足 b1=2,bn﹣bn﹣1=2 (n≥2),求 bn.

第 44 页(共 87 页)

18.某公司对夏季室外工作人员规定如下:当气温超过 35℃时,室外连续工作时间严禁超过 100 分 钟; 不少于 60 分钟的, 公司给予适当补助. 随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间 (单位: 分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中工作时间范围是[0,100],样本数据分 组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]. (1)求频率分布直方图中 x 的值; (2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数; (3)用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率;用分层抽样的方法从享受补助人员和 不享受补助人员中抽取 25 人的样本,检测他们健康状况的变化,那么这两种人员应该各抽取多少 人?

19.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)若 AB=AC,BC=AA1=2,求点 A1 到平面 ADC1 的距离.

20.斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

21.已知函数 f(x)=2ex﹣ax﹣2(a∈R) (1)讨论函数的单调性;
第 45 页(共 87 页)

(2)当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a 的取值范围.

选修 4-4:坐标系与参数方程 22. x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ρ=2cosθ﹣2sinθ, 在直角坐标系中, 以原点为极点, 已知圆 C: 直线 l 的参数方程为 同于 M、N 的任意一点. (1)写出 C 的直角坐标方程和 l 的普通方程; (2)求△ PMN 面积的最大值. (t 为参数),直线 l 与圆 C 分别交于 M、N,点 P 是圆 C 上不

第 46 页(共 87 页)

2015-2016 学年广东省阳江市阳东县广雅学校高三(上)8 月 月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|x≥﹣1},N={x|2﹣x2≥0},则 M∪N=( A.[﹣ ,+∞) B.[﹣1, ] C.[﹣1,+∞) ) ]∪[﹣1,+∞)

D.(﹣∞,﹣

【考点】并集及其运算. 【专题】集合. 【分析】解不等式求出集合 N,根据集合并集的定义得到答案. 【解答】解:∵集合 M={x|x≥﹣1},N={x|2﹣x2≥0}={x|﹣ ∴M∪N={x|x≥﹣ 故选:A 【点评】本题考查的知识点是集合的并集及其运算,属于基础题. }=[﹣ ,+∞), ≤ x≤ },

2.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于( A. B. C. D.



【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】本题是一个求概率的问题,考查事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为 5”这是一 个古典概率模型,求出所有的基本事件数 N 与事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为 5” 包含的基本事件数 N,再由公式 求出概率得到答案 【解答】解:抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是 6×6=36 事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为 5”所包含的基本事件有(1,4),(2,3),(3, 2),(4,1)共四种 故事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为 5”的概率是
第 47 页(共 87 页)

= ,

故选:B. 【点评】本题是一个古典概率模型问题,解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点 数之和为 5”,由列举法计算出事件所包含的基本事件数,判断出概率模型,理解求解公式 是本题 的重点,正确求出事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为 5”所包含的基本事件数是本题的 难点.

3.复数 z=

,则(



A.|z|=2 B.z 的实部为 1 C.z 的虚部为﹣i D.z 的共轭复数为﹣1+i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算,化简复数为 a+bi 的形式,然后判断选项即可. 【解答】解:复数 z= = = =﹣1﹣i.

显然 A、B、C 都不正确,z 的共轭复数为﹣1+i.正确. 故选:D. 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的基本概念的应用,考查计算能力.

4.函数 f(x)=

是(



A.偶函数,在(0,+∞)是增函数 B.奇函数,在(0,+∞)是增函数 C.偶函数,在(0,+∞)是减函数 D.奇函数,在(0,+∞)是减函数 【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】判断函数的定义域为 R,然后利用定义判断 f(x)与 f(﹣x)的关系,利用 2x 的单调性判 断 f(x)单调性. 【解答】解:f(x)的定义域为 R, f(﹣x)= 则函数 f(x)为奇函数;
第 48 页(共 87 页)

=﹣f(x),

又 y=2x 为增函数,y=﹣2﹣x 为增函数, ∴f(x)为增函数; 故选 B. 【点评】本题考查了函数奇偶性的判定以及单调性的判定.

5. 如果椭圆 A.12 B.14

上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6, 那么点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 ( C.16 D.20



【考点】椭圆的定义. 【专题】计算题. 【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,,根据椭圆 6,可求点 P 到另一个焦点 F2 的距离 【解答】解:根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a, ∵椭圆 ∴6+|PF2|=20 ∴|PF2|=14 故选 B. 【点评】本题的考点是椭圆的定义,主要考查椭圆定义的运用,属于基础题. 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于

6.已知向量 A.1 B. C.2

, D.4

,则

=(



【考点】向量的模. 【分析】根据向量的加法算出 【解答】解:∵ ∴| |= , =2 再求模. ,∴ =(﹣1, )

故选 C. 【点评】本题主要考查向量的加法和模的运算.
第 49 页(共 87 页)

7.执行如图所示的程序框图,则输出的 a=(



A.

B.﹣

C.5

D.

【考点】循环结构. 【专题】算法和程序框图. 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值,模拟程 序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:当 n=1 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,b=5,a=5,n=2, 当 n=2 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,b= ,a= ,n=3, 当 n=3 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,b=﹣ ,a=﹣ ,n=4, 当 n=4 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,b=5,a=5,n=5, 当 n=5 时,不满足进行循环的条件, 故输出的 a 值为 5, 故选:C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结 论,是基础题.

8.已知命题 p: 所有有理数都是实数;命题 q: ?x∈R,sinx= A.¬p∨q B.p∧q C.¬p∧¬q D.¬p∨¬q

,则下列命题中为真命题的是 (



【考点】复合命题的真假.
第 50 页(共 87 页)

【专题】简易逻辑. 【分析】先判断出 p,q 的真假,从而判断出其复合命题的真假即可. 【解答】解:命题 p:所有有理数都是实数,p 是真命题; 命题 q:?x∈R,sinx= ,q 是假命题,

则¬p∨q 是假命题,p∧q 是假命题, ¬p∧¬q 是假命题,¬p∨¬q 是真命题, 故选:D. 【点评】本题考查了复合命题的判断,是一道基础题.

9.已 sin( A. B.

﹣x)= ,则 sin2x 的值为( C. D.±



【考点】二倍角的正弦. 【专题】三角函数的求值. 【分析】利用角之间的关系将 sin2x 化为 cos2x,再利用二倍角公式求解. 【解答】解:sin2x=cos( 故选 C. 【点评】本题考查了三角函数的诱导公式以及二倍角公式的运用. ﹣2x)=1﹣2sin2( )=1﹣2× = ;

10.等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( A.﹣24 B.0 C.12 D.24



【考点】等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由题意可得(3x+3)2=x(6x+6),解 x 的值,可得此等比数列的前三项,从而求得此等比 数列的公比,从而求得第四项. 【解答】解:由于 x,3x+3,6x+6 是等比数列的前三项,故有(3x+3)2=x(6x+6),解 x=﹣3, 故此等比数列的前三项分别为﹣3,﹣6,﹣12,故此等比数列的公比为 2,故第四项为﹣24, 故选 A. 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的性质,属于基础题.
第 51 页(共 87 页)

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A.

B.

+6

C.

+5

D.

+5

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】三视图复原的组合体是下部是正方体,上部是四棱锥,根据三视图数据,求出表面积即可. 【解答】解:三视图复原的组合体是下部是棱长为 1 的正方体, 上部是底面边长为 1 的正方形,高为 1 的四棱锥, 组合体的表面积为:5×1×1+4× ×1× 故选:C 【点评】本题考查由三视图求表面积,考查计算能力,空间想象能力,是基础题. = +5,

12.已知 a>0,且 a≠1,则函数 f(x)=ax+(x﹣1)2﹣2a 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.与 a 有关



【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】令 g(x)=ax﹣2a,h(x)=﹣(x﹣1)2,而 x=1 时:g(x)=ax﹣2a=﹣a<0,h(x)=﹣ (x﹣1)2=0,从而得出函数有 2 个交点,即函数 f(x)有 2 个零点. 【解答】解:令 f(x)=0, 得:ax﹣2a=﹣(x﹣1)2, 令 g(x)=ax﹣2a,h(x)=﹣(x﹣1)2, x=1 时:ax﹣2a=﹣a<0,﹣(x﹣1)2=0,
第 52 页(共 87 页)

a>1 时,画出函数 g(x)和 h(x)的草图, 如图示:



两个函数有 2 个交点; 0<a<1 时,画出函数 g(x)和 h(x)的草图, 如图示:



两个函数有 2 个交点, 故选:B. 【点评】本题考查了函数的零点问题,考查转化思想,考查数形结合思想,是一道基础题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.函数 f(x)=log2(2x﹣1)的定义域为 ( ,+∞) . 【考点】对数函数的定义域. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】函数 f(x)=log2(2x﹣1)的定义域满足 2x﹣1>0,由此能求出结果. 【解答】解:∵函数 f(x)=log2(2x﹣1)的定义域满足:
第 53 页(共 87 页)

2x﹣1>0, 解得 x> , ∴函数 f(x)=log2(2x﹣1)的定义域为( ,+∞). 故答案为:( ,+∞). 【点评】本题考查对数函数的定义域的求法,是基础题,解题时要注意函数的性质的合理运用.

14.若 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值为 9 .

【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;作图题. 【分析】首先作出可行域,再作出直线 l0:y=2x,将 l0 平移与可行域有公共点,直线 y=2x﹣z 在 y 轴上的截距最小时,z 有最大值,求出此时直线 y=2x﹣z 经过的可行域内的点的坐标,代入 z=2x﹣y 中即可. 【解答】解:如图,作出可行域,作出直线 l0:y=2x,将 l0 平移至过点 A 处时,函数 z=2x﹣y 有最 大值 9.

【点评】本题考查线性规划问题,考查数形结合思想.

15.已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 l:x+

y=0 垂直,C 的一个焦

点到 l 的距离为 1,则 C 的方程为 x2﹣ 【考点】双曲线的简单性质.

=1 .

【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
第 54 页(共 87 页)

【分析】 利用双曲线 C: ﹣

=1 b>0) x+ (a>0, 的一条渐近线与直线 l:

y=0 垂直, 可得 =



由 C 的一个焦点到 l 的距离为 1,可得 =1,求出 a,b,即可求出双曲线的方程.

【解答】解:∵双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 l:x+

y=0 垂直,

∴ =



∵C 的一个焦点到 l 的距离为 1, ∴ =1, ∴c=2, ∴a=1,b= , =1.

∴C 的方程为 x2﹣

故答案为:x2﹣

=1.

【点评】本题考查用待定系数法求双曲线的标准方程,以及点到直线的距离公式的应用.

16.如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则 BC 的长为 8 .

【考点】解三角形. 【专题】计算题. 【分析】设出 BD=x,利用余弦定理建立方程,整理后求得 x,进而利用正弦定理求得 BC. 【解答】解:在△ ABD 中,设 BD=x,则 BA2=BD2+AD2﹣2BD?AD?cos∠BDA,即 142=x2+102﹣ 2?10x?cos60°, 整理得 x2﹣10x﹣96=0,解之得 x1=16,x2=﹣6(舍去). 在△ BCD 中,由正弦定理: = ,

第 55 页(共 87 页)

∴BC= 故答案为:8

?sin30°=8



【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了考查对正弦定理和余弦定理的灵活运用.

三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列{an}中,前 n 项和 Sn=kn(n+1)﹣n,k 是常数,且首项为 1. (1)求 k 与 an; (2)若数列{bn}满足 b1=2,bn﹣bn﹣1=2 【考点】数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】(1)由题设得 a1=S1=2k﹣1=1,解得 k=1,可得 Sn=n2,a2=S2﹣S1=3,可得 d=a2﹣a1,即 可得出 an. bn=bn﹣1+2 (2)
﹣1

(n≥2),求 bn.

=bn﹣2+2

+2

=…=b1+2

+2

+…+2

+2

. 由 (1) 知2

=22n

,利用等比数列的前 n 项和公式即可得出.

【解答】解:(1)由题设得 a1=S1=2k﹣1=1, ∴k=1, ∴Sn=n(n+1)﹣n=n2,a2=S2﹣S1=22﹣1=3, 则 d=a2﹣a1=2, ∴an=a1+(n﹣1)d=2n﹣1. (2)bn=bn﹣1+2 由(Ⅰ)知 2 又∵b1=2, ∴bn=21+23+25+…+22n﹣3+22n﹣1= 明显,n=1 时,也成立. 综上所述,bn= . = . =bn﹣2+2 =22n﹣1, +2 =…=b1+2 +2 +…+2 +2 .

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前 n 项和公式、递推关系,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.
第 56 页(共 87 页)

18.某公司对夏季室外工作人员规定如下:当气温超过 35℃时,室外连续工作时间严禁超过 100 分 钟; 不少于 60 分钟的, 公司给予适当补助. 随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间 (单位: 分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中工作时间范围是[0,100],样本数据分 组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]. (1)求频率分布直方图中 x 的值; (2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数; (3)用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率;用分层抽样的方法从享受补助人员和 不享受补助人员中抽取 25 人的样本,检测他们健康状况的变化,那么这两种人员应该各抽取多少 人?

【考点】频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】(1)由频率分布直方图中,各组的累积频率为 1,构造关于 x 的方程,解方程可得答案; (2)设中位数为 t,则 20×0.0125+(t﹣20)×0.0250=0.5,解得中位数; (3)根据已知数据可得享受补助人员占总体的 12%,享受补助人员占总体的 88%,进而根据抽取的 样本容量为 25,得到结论. 【解答】解:(1)由直方图可得:20×(x+0.0250+0.0065+0.0030+0.0030)=1, 解得 x=0.0125.… (2)设中位数为 t,则 20×0.0125+(t﹣20)×0.0250=0.5,得 t=30. 样本数据的中位数估计为 30 分钟.… (3)享受补助人员占总体的 12%,享受补助人员占总体的 88%. 因为共抽取 25 人,所以应抽取享受补助人员 25×12%=3 人, 抽取不享受补助人员 25×88%=22 人.…
第 57 页(共 87 页)

【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图,用样本估计总体,是统计基本概念的直接考查,难 度不大,属于基础题.

19.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)若 AB=AC,BC=AA1=2,求点 A1 到平面 ADC1 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】(Ⅰ)连接 A1C,交 AC1 于点 E,连接 DE,则 DE∥A1B.由此能证明 A1B∥平面 ADC1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 A1B∥平面 ADC1,则点 A1 与 B 到与平面 ADC1 的距离相等,从则 C 到与平面 ADC1 的距离即为所求. 【解答】(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:连接 A1C,交 AC1 于点 E, 则点 E 是 A1C 及 AC1 的中点. 连接 DE,则 DE∥A1B. 因为 DE?平面 ADC1,所以 A1B∥平面 ADC1.… (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 A1B∥平面 ADC1, 则点 A1 与 B 到与平面 ADC1 的距离相等, 又点 D 是 BC 的中点,点 C 与 B 到与平面 ADC1 的距离相等, 则 C 到与平面 ADC1 的距离即为所求.… 因为 AB=AC,点 D 是 BC 的中点,所以 AD⊥BC,又 AD⊥A1A, 所以 AD⊥平面 BCC1B1,平面 ADC1⊥平面 BCC1B1. 作于 CF⊥DC1 于 F,则 CF⊥平面 ADC1,CF 即为所求距离.… 在 Rt△ DCC1 中,CF= = .
第 58 页(共 87 页)

所以 A1 到与平面 ADC1 的距离为

.…

【点评】本题考查直线与平面平行的证明,考查点到平面的距离的求法,解题时要认真审题,注意 空间思维能力的培养.

20.斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题. 【分析】抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),准线方程为 x=﹣1,由题意可得直线 AB 的方程为 y=x﹣ 1,联立方程 可得 x2﹣6x+1=0,根据方程的根与系数的关系可得,xA+xB=6,xA?xB=1

(法一):由抛物线的定义可知,AB=AF+BF=xA+1+xB+1,代入可求 (法二) : 由弦长公式可得 AB= 代入可求 【解答】解:抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),准线方程为 x=﹣1 ∴直线 AB 的方程为 y=x﹣1 联立方程 可得 x2﹣6x+1=0 = ?

∴xA+xB=6,xA?xB=1 (法一):由抛物线的定义可知,AB=AF+BF=xA+1+xB+1=xA+xB+2=8 (法二) : 由弦长公式可得 AB= = =8 = ?

【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系:相交关系的应用,方程的根系数的关系的应用, 其中法(一)主要体现了抛物线的定义的灵活应用.
第 59 页(共 87 页)

21.已知函数 f(x)=2ex﹣ax﹣2(a∈R) (1)讨论函数的单调性; (2)当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】(1)先求函数的定义域,易知 x∈R,然后对原函数求导,借助于函数 y=2ex 的图象,通过 变换得到 f′(x)=2ex﹣a 的图象,解不等式得到原函数的单调区间. (2)这是一道不等式恒成立问题,因此只需当 x≥0 时,f(x)min≥0 即可,再结合(1)中对函数单 调性的研究,确定 f(x)的最小值,则问题可解. 【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=2ex﹣a. 若 a≤0,则 f′(x)>0,f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增; 若 a>0,令 f′(x)=0 得 x=ln ,易知 当 x∈(﹣∞,ln )时,f′(x)<0,∴f(x)在(﹣∞,ln )上单调递减; 当 x∈(ln ,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在[ln ,+∞)上单调递增; 综上,a≤0 时,f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;a>0 时,f(x)在(﹣∞,ln )上单调递减, 在 ln ,+∞)上单调递增. (Ⅱ)注意到 f(0)=0. (1)当 a≤0 时,则当 x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,只需 f(x)min=f(0)=0,显然成立. (2)当 a>0 时 若 ln ≤0,即 0<a≤2,则当 x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,f(x)≥f(0)=0,符合题意. 若 ln >0,即 a>2,则当 x∈(0,ln )时,f(x)单调递减,又因为 f(0)=0,所以此时 f(x) <0,不合题意. 综上所述,a 的取值范围是(﹣∞,2]. 【点评】本题重点考查利用导数研究函数的单调性,以及不等式恒成立问题.对于此类问题在解不 等式时要充分利用数形结合的思想辅助分析,进行讨论;而不等式恒成立问题往往转化为函数的最 值问题,再进一步利用导数研究函数的单调性求最值.
第 60 页(共 87 页)

选修 4-4:坐标系与参数方程 22. x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ρ=2cosθ﹣2sinθ, 在直角坐标系中, 以原点为极点, 已知圆 C: 直线 l 的参数方程为 同于 M、N 的任意一点. (1)写出 C 的直角坐标方程和 l 的普通方程; (2)求△ PMN 面积的最大值. 【考点】参数方程化成普通方程. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】(1)利用极坐标与直角坐标方程的互化,写出结果即可. (2)求出圆心到直线的距离,求出 P 到直线 MN 的距离的最大值,然后求解三角形的面积. 【解答】(本小题满分 10 分) 解:(1)圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x﹣2y,即(x﹣1)2+(y+1)2=2. 直线 l 的普通方程为 (2)圆心(1,﹣1)到直线 l: 所以,|MN|=2 = = . = . … .… 的距离为 d= = , (t 为参数),直线 l 与圆 C 分别交于 M、N,点 P 是圆 C 上不

而点 P 到直线 MN 的距离的最大值为 r+d= S△ PMN= =

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用,极坐标与直角坐标方程的互化,考查计算能力.

第 61 页(共 87 页)

2015-2016 学年广东省清远市盛兴中英文学校高三数学试卷(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.设集合 M={m∈Z|﹣3<m<2},N={n∈N|﹣1≤n≤3},则 M∩N=( A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2} )

2.复数 A. B.10

(i 是虚数单位)的模等于( C. D.5



3.下列命题中的假命题是(



A.?x∈R,lgx=0 B.?x∈R,tanx=0 C.?x∈R,2x>0 D.?x∈R,x2>0

4.函数

的定义域为(

) D.(﹣1,1]

A.(﹣4,﹣1) B.(﹣4,1)

C.(﹣1,1)

5.设 a=log3π,b=log2

,则(



A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a

6.已知函数

,则

=(



A.

B.

C.

D.

7.已知 p:不等式 x2+2x+m>0 的解集为 R;q:指数函数 成立的( ) B.必要不充分条件
第 62 页(共 87 页)

为增函数,则 p 是 q

A.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分条件也不必要条件

8.若 f(x)是偶函数,其定义域为(﹣∞,+∞),且在[0,+∞)上是减函数,则 的大小关系是( A. C. > < B. D. ) ≥ ≤

9.方程 2x+x=2 的解所在区间是(



A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

10.函数 y=

的图象大致为(



A.

B.

C.

D.

11.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x﹣1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0,可得其 中一个零点 x0∈________,第二次应计算________.以上横线上应填的内容为( A.(0,0.5),f(0.25) B.(0,1),f(0.25) f(0.125) )

C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),

第 63 页(共 87 页)

12.对于函数 f(x)=x2+2x 在使 f(x)≥M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大值 Mmax=﹣1 叫做 f(x)=x2+2x 的下确界,则对于正数 a,b, 的下确界( )

A.4

B.2

C.

D.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知集合 A={﹣1,3,2m﹣1},集合 B={3,m2}.若 B?A,则实数 m= .

14.已知函数 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数.当 x∈(﹣∞,0)时,f(x)=x﹣x4,则 当 x∈(0,+∞)时,f(x)= .

15.已知集合 P={(x,y)|y=m},Q={(x,y)|y=ax+1,a>0,a≠1},如果 P∩Q 有且只有一个元素, 那么实数 m 的取值范围是 .

16.已知函数 f(x)=( )x 的图象与函数 g(x)的图象关于直线 y=x 对称,令 h(x)=g(1﹣|x|), 则关于 h(x)有下列命题: ①h(x)的图象关于原点对称; ②h(x)为偶函数; ③h(x)的最小值为 0; ④h(x)在(0,1)上为减函数. 其中正确命题的序号为: .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知{an}为等差数列,且满足 a1+a3=8,a2+a4=12. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3,ak+1,Sk 成等比数列,求正整数 k 的值.
第 64 页(共 87 页)

18.已知指数函数 y=g(x)满足:g(2)=4,定义域为 R 的函数 f(x)= (1)确定 y=g(x)的解析式; (2)求 m,n 的值;

是奇函数.

(3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 恒成立,求实数 k 的取值范围.

19.已知函数 f (x)= 合是 B. (1)求集合 A,B.

的定义域集合是 A,函数 g(x)=lg[x2﹣(2a+1)x+a2+a]的定义域集

(2)若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围.

20.对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数 f(x)称为不等函数. ①对任意的 x∈[0,1],总有 f(x)≥0; ②当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时,总有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立. 已知函数 g(x)=x3 与 h(x)=2x﹣a 是定义在[0,1]上的函数. (1)试问函数 g(x)是否为不等函数?并说明理由; (2)若函数 h(x)是不等函数,求实数 a 组成的集合.

21.设函数 f(x)=x2﹣mlnx,h(x)=x2﹣x+a. (1)当 a=0 时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)﹣h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范 围; (3)是否存在实数 m,使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存在, 求出 m 的值,若不存在,说明理由.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.【选修 4-1:几何证 明选讲】
第 65 页(共 87 页)

22.(选修 4﹣1 几何证明选讲) 如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直 于 AB 于 F,连接 AE,BE,证明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD?BC.

选修 4-4:坐标系与参数方程(共 1 小题,满分 0 分) 23.在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为 (t 为参数),以该直角坐标系的原点 O sinθ.

为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆 C2 的方程为 ρ=﹣2cosθ+2 (Ⅰ)求直线 C1 的普通方程和圆 C2 的圆心的极坐标; (Ⅱ)设直线 C1 和圆 C2 的交点为 A,B,求弦 AB 的长.

选修 4-5:不等式选讲(共 1 小题,满分 0 分) 24.已知 m>1 且关于 x 的不等式 m﹣|x﹣2|≥1 的解集为[0,4]. (1)求 m 的值; (2)若 a,b 均为正实数,且满足 a+b=m,求 a2+b2 的最小值.

第 66 页(共 87 页)

2015-2016 学年广东省清远市盛兴中英文学校高三(上)8 月 月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.设集合 M={m∈Z|﹣3<m<2},N={n∈N|﹣1≤n≤3},则 M∩N=( A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2} )

【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】由题意知集合 M={m∈z|﹣3<m<2},N={n∈N|﹣1≤n≤3},然后根据交集的定义和运算法则 进行计算. 【解答】解:∵M={﹣2,﹣1,0,1},N={0,1,2,3}, ∴M∩N={0,1}, 故选:A. 【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则,是一道比较基础的题.

2.复数 A. B.10

(i 是虚数单位)的模等于( C. D.5



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】首先将复数化简为 a+bi 的形式,然后求模. 【解答】解: 故选:A. 【点评】本题考查了复数的混合运算以及复数模的求法;属于基础题. =1+ =3+i,故模为 ;

3.下列命题中的假命题是(


第 67 页(共 87 页)

A.?x∈R,lgx=0 B.?x∈R,tanx=0 C.?x∈R,2x>0 D.?x∈R,x2>0 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 【分析】举例说明是 A、B 真命题, 根据指数函数的定义与性质,判断 C 是真命题; 举例说明 D 是假命题. 【解答】解:对于 A,x=1 时,lg1=0,∴A 是真命题; 对于 B,x=0 时,tan0=0,∴B 是真命题; 对于 C,?x∈R,2x>0,∴C 是真命题; 对于 D,当 x=0 时,x2=0,∴D 是假命题. 故选:D. 【点评】本题考查了特称命题与全称命题的应用问题,也考查了命题真假的判断问题,是综合性题 目.

4.函数

的定义域为(

) D.(﹣1,1]

A.(﹣4,﹣1) B.(﹣4,1)

C.(﹣1,1)

【考点】对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 【专题】计算题. 【分析】由题意知 域. 【解答】解:由题意知,函数 的定义域为 ,解得﹣1<x<1,由此能求出函数 的定义

, 解得﹣1<x<1, 故选 C. 【点评】本题考查对数函数的定义域,解题时要注意不等式组的解法.

第 68 页(共 87 页)

5.设 a=log3π,b=log2

,则(



A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 【考点】对数值大小的比较. 【分析】利用对数函数 y=logax 的单调性进行求解.当 a>1 时函数为增函数当 0<a<1 时函数为减 函数, 如果底 a 不相同时可利用 1 做为中介值. 【解答】解:∵ ∵ ,故选 A

【点评】本题考查的是对数函数的单调性,这里需要注意的是当底不相同时可用 1 做为中介值.

6.已知函数

,则

=(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】首先求出 的函数值,然后判断此函数值所在范围,继续求其函数值. 【解答】解:因为 >0,所以 f( )= 故选:B. 【点评】本题考查了分段函数的函数值求法;关键是明确自变量所属的范围,代入对应的解析式计 算即可. =﹣2,又﹣2<0,所以 f(﹣2)=2﹣2= ;

7.已知 p:不等式 x2+2x+m>0 的解集为 R;q:指数函数 成立的( ) B.必要不充分条件

为增函数,则 p 是 q

A.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分条件也不必要条件 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】计算题.
第 69 页(共 87 页)

【分析】由 p:不等式 x2+2x+m>0 的解集为 R,解得 m>1.由 q:指数函数 增函数,解得 .所以 p 是 q 成立的充分不必要条件.



【解答】解:∵p:不等式 x2+2x+m>0 的解集为 R, ∴△=4﹣4m<0,解得 m>1. ∵q:指数函数 ∴ ,解得 . 为增函数,

∴p?q,但 q 推不出 p, ∴p 是 q 成立的充分不必要条件. 故选 A. 【点评】本题考查命题的真假判断和应用.解题时要注意不等式的解法和指数函数单调性的应用.

8.若 f(x)是偶函数,其定义域为(﹣∞,+∞),且在[0,+∞)上是减函数,则 的大小关系是( A. C. > < B. D. ) ≥ ≤

【考点】函数单调性的性质;函数奇偶性的判断. 【专题】计算题. 【分析】先根据偶函数将 f( )转化成 f( ),在同一个单调区间上比较 a2+2a+ 与 的大小,

再根据函数的单调性进行判定即可. 【解答】解:∵f(x)是偶函数 ∴f( )=f( )

而 a2+2a+ ﹣ =(a+1)2≥0 ∴a2+2a+ ≥ >0 ∵函数 f(x)在[0,+∞)上是减函数 ∴ 故选 B
第 70 页(共 87 页)



【点评】本题主要考查了函数单调性的应用,以及函数奇偶性的判断,属于基础题

9.方程 2x+x=2 的解所在区间是(



A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题. 【分析】构造函数 f(x)=2x+x﹣2,分别计算区间端点的函数值,再验证是否符合函数零点存在的 判定内容. 【解答】解:令 f(x)=2x+x﹣2, A、由 f(0)=﹣1,f(1)=2+1﹣2=1 知,f(0)f(1)<0,故 A 正确; B、由 f(2)=4+2﹣2=4,f(1)=2+1﹣2=1 知,f(2)f(1)>0,故 B 不正确; C、由 f(2)=4+2﹣2=4,f(3)=8+3﹣2=9 知,f(2)f(3)>0,故 C 不正确; D、由 f(4)=16+4﹣2=18,f(3)=8+3﹣2=9 知,f(2)f(3)>0,故 D 不正确; 故选 A. 【点评】本题考查了函数零点的判定定理应用,一般的方法是把方程转变为对应的函数,求出区间 端点的函数值,并验证它们的符号即可.

10.函数 y=

的图象大致为(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象与图象变化. 【专题】函数的性质及应用.
第 71 页(共 87 页)

【分析】欲判断图象大致图象,可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑,还可从函数的单调性(在函数 当 x>0 时函数为减函数)方面进行考虑即可. 【解答】解析:函数有意义,需使 ex﹣e﹣x≠0, 其定义域为{x|x≠0},排除 C,D, 又因为 所以当 x>0 时函数为减函数,故选 A 答案:A. 【点评】本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的 函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考查其余的性质. ,

11.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x﹣1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0,可得其 中一个零点 x0∈________,第二次应计算________.以上横线上应填的内容为( A.(0,0.5),f(0.25) B.(0,1),f(0.25) f(0.125) 【考点】二分法求方程的近似解;函数的图象与图象变化. 【专题】计算题. 【分析】本题考查的是二分法研究函数零点的问题.首先应结合零点存在性定理判断函数零点的所 在区间,然后用二分法的思想将区间逐次减半,即可获得问题解答. 【解答】解:由题意可知:对函数 f(x)=x3+3x﹣1, ∵f(0)<0,f(0.5)>0,且函数在区间(0,0.5)上连续, 可得其中一个零点 x0∈(0.0.5),使得 f(x0)=0, 根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算 f(0.25), 所以答案为:(0,0.5),f(0.25). 故选 A. 【点评】本题考查的是二分法研究函数零点的问题,属于基础题.在解答的过程当中充分体现了函 数与方程的思想、零点存在性定理以及数据处理的能力,值得同学们体会和反思. )

C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),

第 72 页(共 87 页)

12.对于函数 f(x)=x2+2x 在使 f(x)≥M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大值 Mmax=﹣1 叫做 f(x)=x2+2x 的下确界,则对于正数 a,b, 的下确界( )

A.4

B.2

C.

D.

【考点】不等式比较大小. 【专题】计算题;新定义. 【分析】首先利用基本不等式整理出要求的算式中两个量之间的关系,把整理的关系代入分式,进 行整理约分,得到函数的值域,得到下确界. 【解答】解:∵a2+b2≥2ab, ∴ ,

∴对于正数 a,b,



=

∴函数的下确界是 故选 D. 【点评】本题考查函数的值域和基本不等式的应用,解题的关键是求出函数的值域,本题是一个新 定义问题,注意理解所给的新定义.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知集合 A={﹣1,3,2m﹣1},集合 B={3,m2}.若 B?A,则实数 m= 1 . 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题. 【分析】根据题意,若 B?A,必有 m2=2m﹣1,而 m2=﹣1 不合题意,舍去,解可得答案,注意最 后进行集合元素互异性的验证. 【解答】解:由 B?A,m2≠﹣1, ∴m2=2m﹣1.解得 m=1. 验证可得符合集合元素的互异性, 此时 B={3,1},A={﹣1,3,1},B?A 满足题意.
第 73 页(共 87 页)

故答案为:1 【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系,注意解题时要验证互异性,属于基础题.

14.已知函数 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数.当 x∈(﹣∞,0)时,f(x)=x﹣x4,则 当 x∈(0,+∞)时,f(x)= ﹣x4﹣x . 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;转化思想. 【分析】先设 x∈(0,+∞)得﹣x∈(﹣∞,0),代入已知的解析式求出 f(﹣x),再由偶函数的 关系式 f(x)=f(﹣x)求出. 【解答】解:设 x∈(0,+∞),则﹣x∈(﹣∞,0), ∵当 x∈(﹣∞,0)时,f(x)=x﹣x4,∴f(﹣x)=﹣x﹣x4, ∵f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数, ∴f(x)=f(﹣x)=﹣x﹣x4, 故答案为:﹣x4﹣x. 【点评】本题考查了利用函数奇偶性求函数的解析式,即求谁设谁,利用负号转化到已知范围内, 求出 f(﹣x)的关系式,再利用偶函数的关系式求出 f(x)的表达式,考查了转化思想.

15.已知集合 P={(x,y)|y=m},Q={(x,y)|y=ax+1,a>0,a≠1},如果 P∩Q 有且只有一个元素, 那么实数 m 的取值范围是 (1,+∞) . 【考点】指数函数的图象与性质. 【专题】计算题. 【分析】由集合 P={(x,y)|y=m},Q={(x,y)|y=ax+1,a>0,a≠1},如果 P∩Q 有且只有一个元 素, 我们易得 P 集合表示的直线与 Q 表示的指数函数 y=ax+1 (a>0, 且 a≠1) 图象只有一个公共点. 利 用指数函数的图象我们易得到答案. 【解答】解:如果 P∩Q 有且只有一个元素, 即函数 y=m 与 y=ax+1(a>0,且 a≠1)图象只有一个公共点. ∵y=ax+1>1, ∴m>1. ∴m 的取值范围是(1,+∞).
第 74 页(共 87 页)

故答案:(1,+∞) 【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象及指数函数的值域,根据 P∩Q 有且只有一个元素,将 问题转化为函数 y=m 与 y=ax+1(a>0,且 a≠1)图象只有一个公共点,是解答本题的关键.

16.已知函数 f(x)=( )x 的图象与函数 g(x)的图象关于直线 y=x 对称,令 h(x)=g(1﹣|x|), 则关于 h(x)有下列命题: ①h(x)的图象关于原点对称; ②h(x)为偶函数; ③h(x)的最小值为 0; ④h(x)在(0,1)上为减函数. 其中正确命题的序号为: ②③ . 【考点】四种命题的真假关系;函数的最值及其几何意义;函数奇偶性的判断;奇偶函数图象的对 称性. 【专题】压轴题. 【分析】根据题意画出 h(x)的图象就一目了然. 【解答】解:根据题意可知 g(x)= ∴(1﹣|x|)>0 ∴﹣1<x<1 ∴函数 h(x)的图象为 ∴②③正确. (x>0)

【点评】本题考查了命题的判断,但复合函数的性质和图象更为重要.

第 75 页(共 87 页)

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知{an}为等差数列,且满足 a1+a3=8,a2+a4=12. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3,ak+1,Sk 成等比数列,求正整数 k 的值. 【考点】等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】(Ⅰ)由题意可得首项和公差的方程组,解方程组可得通项公式; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 Sn,进而可得 a3,ak+1,Sk,由等比数列可得 k 的方程,解方程即可. 【解答】解:(Ⅰ)设数列{an}的公差为 d, 由题意可得 ,

解方程组可得 a1=2,d=2, ∴an=2+2(n﹣1)=2n; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ,

∴a3=2×3=6,ak+1=2(k+1), ∵a3,ak+1,Sk 成等比数列,∴ ∴(2k+2)2=6(k2+k), 化简可得 k2﹣k﹣2=0, 解得 k=2 或 k=﹣1, ∵k∈N*,∴k=2

, ,

【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,涉及等比数列的通项公式,属中档题.

18.已知指数函数 y=g(x)满足:g(2)=4,定义域为 R 的函数 f(x)= (1)确定 y=g(x)的解析式; (2)求 m,n 的值;

是奇函数.

(3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 恒成立,求实数 k 的取值范围. 【考点】函数解析式的求解及常用方法;奇偶性与单调性的综合.
第 76 页(共 87 页)

【专题】计算题;综合题;转化思想. 【分析】(1)根据指数函数 y=g(x)满足:g(2)=4,即可求出 y=g(x)的解析式; (2)由题意知 f(0)=0,f(1)=﹣f(﹣1),解方程组即可求出 m,n 的值; (3)由已知易知函数 f(x)在定义域 f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数.我们可将 f(t2﹣2t)+f (2t2﹣k)<0 转化为一个关于实数 t 的不等式组,解不等式组,即可得到实数 t 的取值范围. 【解答】解:(1)∵指数函数 y=g(x)满足:g(2)=4, ∴g(x)=2x; (2)由(1)知:f(x)= 是奇函数.

因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0,即

,∴n=1;

∴f(x)=

,又由 f(1)=﹣f(﹣1)知

,∴m=2;

(3)由(2)知 f(x)= 易知 f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数. 又因 f(x)是奇函数,从而不等式:



f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 等价于 f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2), 因 f(x)为减函数,由上式推得:t2﹣2t>k﹣2t2, 即对一切 t∈R 有:3t2﹣2t﹣k>0, 从而判别式△ =4+12k<0,解得:k< .

【点评】本题考查的知识点:待定系数法求指数函数的解析式,函数的奇偶性和函数单调性的性质, 其中根据函数的单调性将 f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 转化为一个关于实数 t 的不等式组是解答本题 的关键,体现了转化的思想,考查了运算能力和灵活应用知识分析解决问题的能力,属中档题.

19.已知函数 f (x)= 合是 B. (1)求集合 A,B.

的定义域集合是 A,函数 g(x)=lg[x2﹣(2a+1)x+a2+a]的定义域集

第 77 页(共 87 页)

(2)若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围. 【考点】函数的定义域及其求法;并集及其运算. 【分析】(1)被开方数≥0,求 A,对数的真数>0 求出 B. (2)由题意 A 是 B 的子集,可解出实数 a 的取值范围. 【解答】解:(1)由题意 所以 A={x|x≤﹣1 或 x>2};

x2﹣(2a+1)x+a2+a>0 B={x|x<a 或 x>a+1}; (2)由 A∪B=B 得 A?B, 因此 解得:﹣1<a≤1, ∴实数 a 的取值范围是(﹣1,1]. 【点评】本题考查函数的定义域及其求法,并集及运算,是基础题.

20.对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数 f(x)称为不等函数. ①对任意的 x∈[0,1],总有 f(x)≥0; ②当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时,总有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立. 已知函数 g(x)=x3 与 h(x)=2x﹣a 是定义在[0,1]上的函数. (1)试问函数 g(x)是否为不等函数?并说明理由; (2)若函数 h(x)是不等函数,求实数 a 组成的集合. 【考点】指数函数综合题. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)根据不等函数的定义和条件进行判断即可; (2)根据 h(x)是不等函数,验证两个条件即可. 【解答】解:(1)当 x∈[0,1]时,总有 g(x)=x3≥0,满足①; 当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时, g(x1+x2)=(x1+x2)3= + +3 ?x2+3x1? ≥ + =g(x1)+g(x2),满足②,

所以函数 g(x)是不等函数. (2)h(x)=2x﹣a(x∈[0,1])为增函数,h(x)≥h(0)=1﹣a≥0,所以 a≤1. 由 h(x1+x2)≥h(x1)+h(x2),得 ﹣a≥ ﹣a+ ﹣a,

第 78 页(共 87 页)

即 a≥

+



=1﹣(

﹣1)(

﹣1).

因为 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1, 所以 0≤ 所以 0≤( ﹣1≤1,0≤ ﹣1)( ﹣1≤1,x1 与 x2 不同时等于 1, ﹣1)<1,所以 0<1﹣( ﹣1)( ﹣1)]max=1, ﹣1)( ﹣1)≤1.

当 x1=x2=0 时,[1﹣( 所以 a≥1. 综合上述,a∈{1}.

【点评】本题主要考查函数的应用,根据不等函数的定义,进行推理是解决本题的关键.考查学生 的推理能力.

21.设函数 f(x)=x2﹣mlnx,h(x)=x2﹣x+a. (1)当 a=0 时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)﹣h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范 围; (3)是否存在实数 m,使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存在, 求出 m 的值,若不存在,说明理由. 【考点】函数恒成立问题;函数单调性的性质;函数的零点与方程根的关系. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】(1)当 a=0 时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,即:x2﹣mlnx≥x2﹣x,转化为即: m≤ 在(1,+∞)上恒成立,从而得出实数 m 的取值范围.

(2)当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)﹣h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,即:k(x)=x﹣2lnx ﹣a,设 y1=x﹣2lnx,y2=a,分别画出它们的图象,由图得实数 a 的取值范围. (3)先假设存在实数 m,使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性,由图可 知,只须函数 f(x)=x2﹣mlnx 在 x= 处取得极小值即可. 【解答】解:(1)当 a=0 时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立, 即:x2﹣mlnx≥x2﹣x, mlnx≤x,即:m≤ 在(1,+∞)上恒成立,
第 79 页(共 87 页)

因为 ∴m≤e.

在(1,+∞)上的最小值为:e,

实数 m 的取值范围:m≤e (2)当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)﹣h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点, 即:k(x)=x﹣2lnx﹣a, 设 y1=x﹣2lnx,y2=a,分别画出它们的图象, 由图得: 实数 a 的取值范围(2﹣2ln2,3﹣2ln3]; (3)假设存在实数 m,使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性, 由图可知,只须函数 f(x)=x2﹣mlnx 在 x= 处取得极小值即可. ∵f(x)=x2﹣mlnx ∴f′(x)=2x﹣m× ,将 x= 代入得: 1﹣2m=0, ∴m= 故存在实数 m= ,使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性.

第 80 页(共 87 页)

【点评】数形结合思想是解析函数图象交点个数、函数零点个数中最常用的方法,即画出满足条件 的图象,然后根据图象直观的分析出答案,但数形结合的前提是熟练掌握各种基本初等函数的图象 和性质.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.【选修 4-1:几何证 明选讲】 22.(选修 4﹣1 几何证明选讲) 如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直 于 AB 于 F,连接 AE,BE,证明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD?BC.

【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】综合题. 【分析】 (1)直线 CD 与⊙O 相切于 E,利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB.由 AB 为⊙O 的直径, 可得∠AEB=90°.又 EF⊥AB,利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB,从而得证. (2)利用(1)的结论及∠ECB=90°=∠EFB 和 EB 公用可得△ CEB≌△FEB,于是 CB=FB.同理可 得△ ADE≌△AFE,AD=AF.在 Rt△ AEB 中,由 EF⊥AB,利用射影定理可得 EF2=AF?FB.等量 代换即可. 【解答】证明:(1)∵直线 CD 与⊙O 相切于 E,∴∠CEB=∠EAB. ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠AEB=90°. ∴∠EAB+∠EBA=90°. ∵EF⊥AB,∴∠FEB+∠EBF=90°. ∴∠FEB=∠EAB. ∴∠CEB=∠EAB.
第 81 页(共 87 页)

(2)∵BC⊥CD,∴∠ECB=90°=∠EFB, 又∠CEB=∠FEB,EB 公用. ∴△CEB≌△FEB. ∴CB=FB. 同理可得△ ADE≌△AFE,∴AD=AF. 在 Rt△ AEB 中,∵EF⊥AB,∴EF2=AF?FB. ∴EF2=AD?CB. 【点评】熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射影定 理等是解题的关键.

选修 4-4:坐标系与参数方程(共 1 小题,满分 0 分) 23.在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为 (t 为参数),以该直角坐标系的原点 O sinθ.

为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆 C2 的方程为 ρ=﹣2cosθ+2 (Ⅰ)求直线 C1 的普通方程和圆 C2 的圆心的极坐标; (Ⅱ)设直线 C1 和圆 C2 的交点为 A,B,求弦 AB 的长. 【考点】参数方程化成普通方程.

【分析】(Ⅰ)把参数方程化为直角坐标方程,求出圆心的直角坐标,再把它化为极坐标. (Ⅱ)由(Ⅰ)求得(﹣1, )到直线 x﹣y+1=0 的距离 d,再利用弦长公式求得弦长.

【解答】解:(Ⅰ)由 C1 的参数方程消去参数 t 得普通方程为 x﹣y+1=0, 圆 C2 的直角坐标方程(x+1)2+ 所以圆心的直角坐标为(﹣1, 所以圆心的一个极坐标为(2, (Ⅱ)由(Ⅰ)知(﹣1, 所以 AB=2 = . ), ). = , =4,

)到直线 x﹣y+1=0 的距离 d=

【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式、弦长公式的应 用,属于基础题.

选修 4-5:不等式选讲(共 1 小题,满分 0 分)
第 82 页(共 87 页)

24.已知 m>1 且关于 x 的不等式 m﹣|x﹣2|≥1 的解集为[0,4]. (1)求 m 的值; (2)若 a,b 均为正实数,且满足 a+b=m,求 a2+b2 的最小值. 【考点】绝对值不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】(1)去掉绝对值,求出解集,利用解集为[0,4],求 m 的值; (2)利用柯西不等式,即可求 a2+b2 的最小值. 【解答】解:(1)∵不等式 m﹣|x﹣2|≥1 可化为|x﹣2|≤m﹣1,m>1.… ∴1﹣m≤x﹣2≤m﹣1,即 3﹣m≤x≤m+1,… ∵其解集为[0,4], ∴ ∴m=3.… (2)由(Ⅰ)知 a+b=3, ∵(a2+b2)(12+12)≥(a×1+b×1)2=(a+b)2=9, ∴a2+b2≥ , ∴a2+b2 的最小值为 .… 【点评】本题考查不等式的解法,考查柯西不等式,正确运用柯西不等式是关键. ,

第 83 页(共 87 页)

第 84 页(共 87 页)

第 85 页(共 87 页)

第 86 页(共 87 页)

第 87 页(共 87 页)


相关文章:
2016届广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
(共 23 页) 2016 年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个...
2016届广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016届广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2016 年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)一、选择题 1.若复数 z 满足(1+i)z...
广东省韶关市2016年高三第一次模拟考试理科数学(含答案)
广东省韶关市2016年高三第一次模拟考试理科数学(含答案)_数学_高中教育_教育...二、填空题: 题号 答案 13 14 15 16 5 3 ' 8 2 3 (13) 【解析】...
广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学(理)试题(解...
广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学(理)试题(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科) 1.复数 z ...
2016届广东省中山市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(解...
2016届广东省中山市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2016 年广东省中山市高考数学模拟试卷(理科) (4 月份)一、选择题:本大题...
2016届福建省南平市高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
2016届福建省南平市高考数学模拟试卷(理科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2016 年福建省南平市高考数学模拟试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小...
广东省揭阳市2016届高三第二次高考模拟数学理试题(详解...
广东省揭阳市2016届高三第二次高考模拟数学试题(详解版)_数学_高中教育_教育专区。绝密★启用前 揭阳市 2016 年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科) ...
广东省江门市2016届高三4月高考模拟数学理试题(解析版)
广东省江门市2016届高三4月高考模拟数学试题(解析版)_数学_高中教育_教育专区。江门市 2016 年高考模拟考试数学(理科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题...
广东省清远市2016届高三上学期期末考试数学(理)试卷 Wo...
广东省清远市2016届高三上学期期末考试数学(理)试卷 Word版含答案_高三数学_...a b c 6 清远市 2015—2016 学年度第一学期期末教学质量检测 高三理科数学 ...
广东省惠州市2016届高三4月模拟考试数学(理)试卷(解析版)
广东省惠州市2016届高三4月模拟考试数学(理)试卷(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。惠州市 2016 届高三模拟考试 数 学(理科) 2016.4 注意事项: 1....
更多相关标签: