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平面解析几何知识点


平面解析几何知识复习
一、选择.填空题部分:
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 题号 11 11 11 12 10 12 11 设问 准线方程 直线方程 涉及推论 线段的中垂线;抛物线的焦点及准线方程 圆一般方程求圆心;两直线垂直斜率积为-1;点斜式求 直线方程 已知长轴在 x 轴、离心率、PF1+PF2=12 圆与直线相切(利用圆的几何性质) 抛物线上一点&两定点求圆方程(利用圆的几何性质) 求导得斜率,点斜式求切线方程 求导得斜率,三点共线算参数 难度 易 易 易 易 易 易 易 易

椭圆方程 圆的方程 圆的方程 切线方程 抛物线方 程 2014 10 渐近线方 用离心率代换求得渐近线斜率 程 由上表可知,解析几何部分填空题考点主要有三个: ① 椭圆、抛物线、双曲线定义、标准方程和简单几何性质的考查; ② 直线方程:点斜式,一般由两直线关系或者求导得斜率; ③ 圆的方程:需利用圆的几何性质,作图分析,计算量会谁之减小。

备考策略为:掌握基本的定义、性质;涉及到圆的方程少联立方程解得未知数,多用圆的 几何性质求答案。

二、解答题部分:
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 题号 18 18 19 20 19 20 22 21 设问 (1)圆的方程 (1)椭圆方程 抛物线方程 (1)点的轨迹 方程 (1)点的轨迹 方程 (1)点的轨迹 方程 (1)椭圆方程 (1)椭圆方程 (1)抛物线方 程 涉及推论 利用圆的几何性质:圆到切线的距离为圆半径且圆 心跟切线所成的直线的斜率与切线斜率相乘为-1 抛物线求导再利用点斜式得过抛物线某点的切线 方程 韦达定理求交点的中点; x 的范围要留心是否全体实数 两直线的交点轨迹:两式相乘 垂直向量相乘为 0; 斜率不存在或者 k=0 需讨论:会影响 x 的取值范围 计算:分类讨论 b 的取值范围,二次函数求最值 通过椭圆中参数关系和离心率转换求参数 利用抛物线第二定义和几何性质求参数 p 难度 易 易 中 易 易 中 易 中

由上表可知,近年来圆锥曲线主要考的方向应该是(概率从高到低排列) : ① 点的轨迹; ② 点的坐标 ③ 圆锥曲线的标准方程

备考策略为: 尽量多用几何性质求解;求点的轨迹方程时也别忘了考虑 x 的范围。

1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ? 叫做 直线的倾斜角. 倾斜角 ? ? [0,180?) , ? ? 90? 斜率不存在. (2)直线的斜率: k ?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ), k ? tan? .( P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ). x2 ? x1

2.直线方程的五种形式: (1)点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为 x ? x0 . (2)斜截式: y ? kx ? b (3)两点式: (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 , x1 ? x2 ). ? y 2 ? y1 x2 ? x1 注:① 不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线; ② 方程形式为: ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )(x ? x1 ) ? 0 时,方程可以表示
x y ? ? 1 ( a , b 分别为 x 轴 y 轴上的截距,且 a ? 0, b ? 0 ) . a b 注:不能表示与 x 轴垂直的直线,也不能表示与 y 轴垂直的直线,特别是不能表示
(其中 A、B 不同时为 0).

任意直线. (4)截距式:

过原点的直线. (5)一般式: Ax ? By ? C ? 0 一般式化为斜截式: y ? ?

A A C x ? ,即,直线的斜率: k ? ? . B B B

注: (1)已知直线纵截距 b ,常设其方程为 y ? kx ? b 或 x ? 0 . 已知直线横截距 x0 ,常设其方程为 x ? my ? x0 (直线斜率 k 存在时,m 为 k 的 倒数)或 y ? 0 . 已知直线过点 ( x0 , y0 ) ,常设其方程为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 或 x ? x0 . (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条 直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为 0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等 ....? 直线的斜率为 ? 1 或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数 .......? 直线的斜率为 1 或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等 .......? 直线的斜率为 ?1 或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直:

(1)若 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,有 ① l1 // l 2 ? A1 B2 ? A2 B1且A1C2 ? A2 C1 .② l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . 5.平面两点距离公式:

PP ? (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ), 1 2

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 . x 轴上两点间距离:

AB ? xB ? x A .

x ? x2 ? x0 ? 1 ? ? 2 线段 P . 1P 2 的中点是 M ( x0 , y 0 ) ,则 ? ? y ? y1 ? y 2 0 ? 2 ?
6.点到直线的距离公式: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l:Ax ? By ? C ? 0 的距离: d ? 7.两平行直线间的距离: 两条平行直线 l1:Ax ? By ? C1 ? 0,l 2:Ax ? By ? C2 ? 0 距离: d ? 8.直线系方程: (1)平行直线系方程: ① 直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方程. . ② 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为 Ax ? By ? C1 ? 0 . ③ 过点 P( x0 , y0 ) 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为:

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



C1 ? C 2 A2 ? B 2



A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 .
(2)垂直直线系方程: ① 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 . ② 过点 P( x0 , y0 ) 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为:

B( x ? x0 ) ? A( y ? y0 ) ? 0 .
(3)定点直线系方程:

k ① 经过定点 P 0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 x ? x0 ),其中
是待定的系数.

② 经过定点 P 0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待 定的系数. (4)共点直线系方程:经过两直线 l1:A1 x ? B1 y ? C1 ? 0,l 2:A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 交 点的直线系方程为 A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除

l2 ),其中λ 是待定的系数.
9.曲线 C1 : f ( x, y) ? 0 与 C2 : g ( x, y) ? 0 的交点坐标 ? 方程组 10.圆的方程: (1)圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ( r ? 0 ) . (2)圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0) . (3)圆的直径式方程: 若 A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ) ,以线段 AB 为直径的圆的方程是:

?gf ((xx,, yy)) ?? 00

的解.

( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? 0 .
注:(1)在圆的一般方程中,圆心坐标和半径分别是 ( ? (2)一般方程的特点:
2 ① x 和 y 的系数相同且不为零;② 没有 xy 项; ③ D ? E ? 4F ? 0
2 2 2

D E 1 ,? ) , r ? D 2 ? E 2 ? 4F . 2 2 2

(3)二元二次方程 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的等价条件是:
2 2

① A ? C ? 0;

② B ? 0;

③ D ? E ? 4 AF ? 0 .
2 2

11.圆的弦长的求法: (1)几何法:当直线和圆相交时,设弦长为 l ,弦心距为 d ,半径为 r , l 2 2 2 则: “半弦长 +弦心距 =半径 ”—— ( ) 2 ? d 2 ? r 2 ; 2 (2)代数法:设 l 的斜率为 k , l 与圆交点分别为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) ,则

| AB |? 1 ? k 2 | x A ? x B |? 1 ?

1 | y A ? yB | k2

(其中 | x1 ? x2 |, | y1 ? y 2 | 的求法是将直线和圆的方程联立消去 y 或 x ,利用韦达定理求 解) 12.点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种
2 2 2

① P 在在圆外 ? d ? r ? ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 .

② P 在在圆内 ? d ? r ? ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 . ③ P 在在圆上 ? d ? r ? ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 . 【 P 到圆心距离

d ? (a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 】
13.直线与圆的位置关系: 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 (d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

):

圆心到直线距离为 d ,由直线和圆联立方程组消去 x (或 y )后,所得一元二次方程的 判别式为 ? .

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
14.两圆位置关系:设两圆圆心分别为 O1 , O2 ,半径分别为 r1 , r2 , O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线.

15.圆系方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ? 4F ? 0)
2 2 2 2

(1)过点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 的圆系方程:

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] ? 0 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?(ax ? by ? c) ? 0 ,其中 ax ? by ? c ? 0 是直
线 AB 的方程.
2 2 (2)过直线 l:Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程:

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0 ,λ 是待定的系数.
(3)过圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交
2 2 2 2

点的圆系方程: x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,λ 是
2 2 2 2

待定的系数.特别地,当 ? ? ?1 时,

x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? ?( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 就是
( D1 ? D2 ) x ? (E1 ? E2 ) y ? (F1 ? F2 ) ? 0 表示两圆的公共弦所在的直线方程,即过两圆
交点的直线. 16.圆的切线方程: (1)过圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上的点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为: x0 x ? y0 y ? r 2 . (2)过圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 上的点 P( x0 , y0 ) 的切线方程 为: ( x ? a)(x0 ? a) ? ( y ? b)( y0 ? b) ? r 2 . (3)过圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 上的点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为:
2 2

D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0. 2 2 (4) 若 P( x0 , y0 )是圆 x2 ? y 2 ? r 2 外一点,由 P( x0 , y0 )向圆引两条切线, 切点分别为 A,B x0 x ? y0 y ?
则直线 AB 的方程为 xx0 ? yy0 ? r 2 (5) 若 P( x0 , y0 )是圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 外一点, 由 P( x0 , y0 )向圆引两条切线, 切 点分别为 A,B 则直线 AB 的方程为 ( x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2 (6)当点 P( x0 , y0 ) 在圆外时,可设切方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,利用圆心到直线距离等 于半径, 即 d ? r ,求出 k ;或利用 ? ? 0 ,求出 k .若求得 k 只有一值,则还有一条斜率不 存在的直线 x ? x0 . 17.把两圆 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 方程相减 即得相交弦所在直线方程: ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0 . 18.空间两点间的距离公式: 若 A ( x1 , y1 , z1 ) , B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2 2 2

19、简单线性规划(确定可行域,求最优解,建立数学模型) ⑴、目标函数: 要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。 用关于变量是一次不 等式(等式)表示的条件较线性约束条件。 ⑵、线性规划:求线性目标函数在线性的约束条件下的最值问题 二、轨迹问题 (一)求轨迹的步骤 1、建模:设点建立适当的坐标系,设曲线上任一点 p(x,y) 2、立式:写出适条件的 p 点的集合

3、代换:用坐标表示集合列出方程式 f(x,y)=0 4、化简:化成简单形式,并找出限制条件 5、证明:以方程的解为坐标的点在曲线上 (二)求轨迹的方法 1、直接法:求谁设谁,按五步去直接求出轨迹 2、定义法:利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义 3、转移代入法:适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题 4、交轨法:适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线, 然后联立,消去变量即可。 5、参数法:用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标,联立消参。 6、同一法:利用两种思维分别求出同一条直线,再参考参数法,找到轨迹方程。 三、椭圆 椭圆:平面内到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间距离)的点的集合 1、定义: PF1 ? PF2 ? 2a (2a ? F1 F2 )

????

???? ?

???? ?

第二定义:

PF c ? e ? (0 ? e ? 1) d a

2、标准方程:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2



y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) ; a 2 b2

3、参数方程 ?

? x ? a cos ? ? y ? b sin ?

( ? 为参数) ? 几何意义:离心角

4、几何性质: (只给出焦点在 x 轴上的的椭圆的几何性质) ①、顶点 (? a, 0), (0, ?b) ②、焦点 (?c, 0) ③、离心率 e ?

c (0 ? e ? 1) a

a2 ④准线: x ? ? (课改后对准线不再要求,但题目中偶尔给出) c
5、焦点三角形面积: S? PF1F2 ? b ? tan
2

?
2

(设 ?F1PF2 ? ? )

6、椭圆面积: S椭 ? ? ? a ? b (了解即可) 7、直线与椭圆位置关系:相离( ? ? 0 ) ;相交( ? ? 0 ) ;相切( ? ? 0 ) 判定方法:直线方程与椭圆方程联立,利用判别式判断根的个数 8、椭圆切线的求法

x2 y 2 1)切点( x0 y0 )已知时, 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

切线

x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b y0 y x0 x ? 2 ?1 a2 b

切线

2)切线斜率 k 已知时,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

切线 y ? kx ? a 2k 2 ? b 2

切线 y ? kx ? b 2k 2 ? a 2

9、焦半径:椭圆上点到焦点的距离

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 y2 a2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
四、双曲线 1、定义: PF1 ? PF2 ? ?2a

r ? a ? ex0 (左加右减) r ? a ? ey0 (下加上减)

第二定义:

PF c ? e ? (e ? 1) d a

2、标准方程:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) (焦点在 x 轴) a 2 b2 y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) (焦点在 y 轴) a 2 b2

参数方程:? 3、几何性质

? x ? a ? sec? ( ? 为参数) 用法: 可设曲线上任一点 P (a sec ? , b tan ? ) ? y ? b ? tan ?

① 顶点 (? a,0) ② 焦点 (?c,0) ③ 离心率 e ? ④ 准线 x ?

c 2 ? a 2 ? b2
e ?1

c a

a2 c x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2 y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2
y?? b x2 y 2 x或 2 ? 2 ?0 a a b

⑤ 渐近线

b y 2 x2 y?? x或 2 ? 2 ?0 a a b

4、特殊双曲线

①、等轴双曲线

x2 y 2 ? ?1 a2 a2

e? 2

渐近线 y ? ? x

②、双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? ?1 的共轭双曲线 a 2 b2 a 2 b2

性质 1:双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线 性质 2:双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 5、直线与双曲线的位置关系 ① 相离( ? ? 0 ) ;② 相切( ? ? 0 ) ; ③ 相交( ? ? 0 ) 判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起 ? ? 0 时可以是相交也可以是相切 6、焦半径公式

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

点 P 在右支上 r ? ex0 ? a (左加右减) 点 P 在左支上 r ? ?(ex0 ? a) (左加右减)

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

点 P 在上支上 r ? ey0 ? a (下加上减) 点 P 在上支上 r ? ?(ey0 ? a) (下加上减)

7、双曲线切线的求法 ① 切点 P ( x0 , y0 ) 已知

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2 y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

切线

x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b y0 y x0 x ? 2 ?1 a2 b

切线

② 切线斜率 K 已知

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

b y ? kx ? a 2 k 2 ? b 2 ( k ? ) a b y ? kx ? a 2 ? b 2 k 2 ( k ? ) a

8、焦点三角形面积: S? PF1F2 ? b ? cot
2

?
2

( ? 为 ?F 1PF 2)

(重要)弦长公式: y ? kx ? b 与曲线交与两点 A、B 则

??? ? 1 d ? AB ? x2 ? x1 1 ? k 2 ? y2 ? y1 1 ? 2 k


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