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二次函数最值课件


二次函数中的最值问题

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y 0 x

y

0

x

抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值

y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ? ? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线 x ? ? 2a

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ? ? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线 x ? ? 2a

a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大 . 2

a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小 . 2

当x ? ?

b 4ac ? b 时, y最小值为 2a 4a

当x ? ?

b 4ac ? b 时, y最大值为 2a 4a

二次函数最值(生活情境类)
1、阳光公园内喷水池喷出的抛物线形水柱,其 解析式 为 y = -x 2 + 4x + 2 , 则水柱的最大高度是( ) A、2 B、4 C、6 D、2 ? 6

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在自变量取值有限制下的最值 例:已知函数y=x2+2x+2,求此函数在下列各范围内的最值: ① -3 ≤x≤-2;
② 0 ≤x≤1

y
显示 点 显示 对象 显示 文本对象 隐藏 函数图像

y

5

5

2 -3 -2 -1 O x -1

2
O1 x

自变量的取值范围在对称轴同侧 :最值在两端点处取得.

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在自变量取值有限制下的最值 已知函数y=x2+2x+2, 求此函数在下列各范围内的最值: 练习: ③
-2 ≤x≤1 ;

④ -3 ≤x≤

1 2

y
显示 点 显示 对象 显示 文本对象 隐藏 函数图像

y

5

5

1 -2 -1 O 1 x
-3

1

-1

1 2

x

自变量的取值范围在对称轴两侧 :一个最值在顶点处取得, 另一个在端点处取得.

二次函数求最值(经济类问题)
? 某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发 现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x (元) 满足一次函数. m ? 162? 3x,30 ? x ? 40 ? (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销 售价 x之间的函数关系式; ? (2) 若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的 售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?

思路分析
解:(1) 由已知得每件商品的销售利润为( x ? 30)元,

那么 m 件的销售利润为 y ? m( x ? 30) , m ? 162 ? 3 x

y ? ( x ? 30)(162? 3x) ? ?3x ? 252x ? 4860
2

(2) 由(1)知对称轴为

x ? 42 ,因为抛物线开口向下,

ymax ? ?3 ? 422 ? 252 ? 42 ? 4860 ? 432
想一想:这种做法对吗?

错误分析
y ? ?3x ? 262x ? 4860 , (30 ? x ? 40)
2

对称轴x=42不在范围内,因为抛物线开口向下, 所以在对称轴左侧,函数随自变量的增大而增 大,当x=40,函数有最大值

y

max

? ?3 ? 40 2 ? 252 ? 40 ? 4860 ? 420

试一试


? 1 ? x ? 2 时,求函数 y ? ?x ? x ? 1 的最值。
2

最值的求法:
1. 自变量为任意实数时: 最值在顶点处取得 2. 自变量的取值范围有限制时 ,结合二次函数的图像: (1)自变量的取值范围在对称轴同侧,最值在两端点处取得. (2)自变量的取值范围在对称轴两侧,一个最值在顶点处取得, 另一个在端点处取得.

应用二次函数解决实际生活中的最值问题:
? 一列:找出问题中的变量、常量之间的函数关系,列函数关系式 ? 二解:结合自变量的取值范围求出最值


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