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高中数学专题训练--函数的单调性和最值


高中数学专题训练(教师版)—函数的单调性和 最值
一、选择题 1.函数 y=x2-6x+10 在区间(2,4)上是( ) A.递减函数 B.递增函数 C.先减后增 D.先增后减 答案 C 解析 对称轴为 x=3,函数在(2,3]上为减函数,在[3,4)上为增函数. f?x2?-f?x1? 2.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),都有 <0” x2-x1 的是( ) 1 A.f(x)= x B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1) 答案 A f?x2?-f?x1? 解析 满足 <0 其实就是 f(x)在(0,+∞)上为减函数,故选 A. x2-x1 3.若 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4)上是减函数,那么实数 a 的取 值范围是( ) A.a<-3 B.a≤-3 C.a>-3 D.a≥-3 答案 B 解析 对称轴 x=1-a≥4.∴a≤-3. 4.下列函数中既是偶函数,又是区间[-1,0]上的减函数的是( ) A.y=cosx B.y=-|x-1| 2-x C.y=ln D.y=ex+e-x 2+x 答案 D 5.函数 y=loga(x2+2x-3),当 x=2 时,y>0,则此函数的单调递减区间是 ( ) A.(-∞,-3) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-1,+∞) 答案 A 解析 当 x=2 时,y=loga(22+2· 2-3) ∴y=loga5>0,∴a>1 由复合函数单调性知 2 ?x +2x-3>0 单减区间须满足? ,解之得 x<-3. ?x<-1 f?x1?-f?x2? 6.已知奇函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且不等式 >0 x1-x2 对任意两个不相等的正实数 x1、x2 都成立.在下列不等式中,正确的是( ) A.f(-5)>f(3) B.f(-5)<f(3)

C.f(-3)>f(-5) D.f(-3)<f(-5) 答案 C f?x1?-f?x2? 解析 由 >0 对任意两个不相等的正实数 x1、x2 都成立,可知,f(x) x1-x2 在(0,+∞)上为增函数,又 f(x)为奇函数,故 f(x)在(-∞,0)上也为增函数,故 选 C. 7. 函数 f(x)在区间(-2,3)上是增函数, y=f(x+5)的一个递增区间是( 则 ) A.(3,8) B.(-7,-2) C.(-2,-3) D.(0,5) 答案 B 解析 令-2<x+5<3,得:-7<x<-2. 2 ?x +4x,x≥0, 8.(09· 天津)已知函数 f(x)=? 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的 2 ?4x-x ,x<0. 取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 答案 C 解析 y=x2+4x=(x+2)2-4 在[0,+∞)上单调递增;y=-x2+4x=-(x -2)2+4 在(-∞,0)上单调递增. 又 x2+4x-(4x-x2)=2x2≥0, ∴f(2-a2)>f(a)?2-a2>a?a2+a-2<0?-2<a<1,故选 C. 1 1 9.(2010· 北京卷)给定函数①y=x2;②y=log2(x+1);③y=|x-1|;④y=2x +1 ,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 答案 B 解析 ①是幂函数,其在(0,+∞)上为增函数,故此项不符合题意;②中 1 的函数是由函数 y=log2x 向左平移 1 个单位而得到的,因原函数在(0,+∞)上 为减函数,故此项符合题意;③中的函数图象是函数 y=x-1 的图象保留 x 轴上 方的部分,下方的图象翻折到 x 轴上方而得到的,由其图象可知函数符合题意; ④中的函数为指数函数,其底数大于 1,故其在 R 上单调递增,不符合题意,综 上可知选择 B. 二、填空题 10.给出下列命题 1 ①y=x 在定义域内为减函数; ②y=(x-1)2 在(0,+∞)上是增函数; 1 ③y=-x 在(-∞,0)上为增函数; ④y=kx 不是增函数就是减函数.

其中错误命题的个数有________. 答案 3 解析 ①②④错误,其中④中若 k=0,则命题不成立. 11.函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的单调递增区间是________. 答案 [1,+∞) 解析 函数图象如图

12.函数 f(x)=-x2+|x|的递减区间是________. ? 1 ? ?1 ? 答案 ?-2,0?与?2,+∞? ? ? ? ? 解析 数形结合 13.在给出的下列 4 个条件中, ?0<a<1 ?0<a<1 ①? ②? ?x∈?-∞,0? ?x∈?0,+∞? ?a>1 ③? ?a∈?-∞,0? ?a>1 ④? ?x∈?0,+∞?

1 能使函数 y=logax2为单调递减函数的是________. (把你认为正确的条件编号都填上). 答案 ①④ 解析 利用复合函数的性质,①④正确. 14.若奇函数 f(x)在(-∞,0]上单调递减,则不等式 f(lgx)+f(1)>0 的解集是 ________. 1 答案 (0,10) 解析 因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),又因为 f(x)在(-∞,0]上单 调递减,所以 f(x)在[0,+∞)上也为单调递减函数,所以函数 f(x)在 R 上为单调 递减函数. 1 不等式 f(lgx)+f(1)>0 可化为 f(lgx)>-f(1)=f(-1), 所以 lgx<-1, 解得 0<x<10. k k (2010· 深圳)若函数 h(x)=2x-x+3在(1,+∞)上是增函数,则实数 k 的取值 范围是________. 答案 [-2,+∞) k 解析 由 h′(x)=2+x2≥0,得 k≥-2x2,由于-2x2 在[1,+∞)内的最大 值为-2,于是,实数 k 的取值范围是[-2,+∞). 三、解答题 x 15.(2011· 惠州调研)已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增;

(2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. 答案 (1)略 (2)0<a≤1 解析 (1)证明 任设 x1<x2<-2, 2?x1-x2? x1 x2 则 f(x1)-f(x2)= - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2? ∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)解 任设 1<x1<x2,则 a?x2-x1? x1 x2 f(x1)-f(x2)= - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a? ∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述知 0<a≤1. 16.函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3. 4 答案 (1)略 (2){m|-1<m<3} 解 (1)证明:设 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0. ∴f(x2)>f(x1). 即 f(x)是 R 上的增函数. (2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, ∴f(2)=3, ∴原不等式可化为 f(3m2-m-2)<f(2), ∵f(x)是 R 上的增函数, 4 ∴3m2-m-2<2,解得-1<m<3, 4 故 m 的解集为{m|-1<m<3}.

1.函数 f(x)=log0.5(x+1)+log0.5(x-3)的单调递减区间是( ) A.(3,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,-1) 答案 A ?x+1>0, 解析 由已知易得? 即 x>3,又 0<0.5<1,∴f(x)在(3,+∞)上单 ?x-3>0, 调递减. 1 2.设函数 f(x)=2x+x -1(x<0),则 f(x)( ) A.有最大值 B.有最小值

C.是增函数 答案 A 解析

D.是减函数 1 ?-2x?· x ?=2 2, ?-

1 1 当 x<0 时, -x>0, -(2x+x )=(-2x)+(- x)≥2

1 1 即 2x+x ≤-2 2,2x+ x -1≤-2 2-1,即 f(x)≤-2 2-1,当且仅当-2x= 1 2 -x,即 x=- 2 时取等号,此时函数 f(x)有最大值,选 A. 1 3. 已知 f(x)为 R 上的减函数, 则满足 f(|x |)<f(1)的实数 x 的取值范围是( ) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 答案 C 1 解析 由已知得:|x|>1?-1<x<0 或 0<x<1,故选 C. x2 4.函数 f(x)= (x∈R 且 x≠1)的单调增区间是________. x-1 答案 (-∞,0)和(2,+∞) x2 1 解析 将原函数 y= 变形为 y=(x-1)+ +2 x-1 x-1 显然 x-1 在区间(-∞,-1)和(1,+∞)内取值时,函数单调递增,即得 x 在区间(-∞,0)和(2,+∞)内取值时,函数单调递增. 2 ?ax +1,x≥0 5.(2011· 合肥)函数 f(x)=? 2 在(-∞,+∞)上单调,则 a 的 ax ??a -1?e ,x<0 取值范围是________. 答案 (-∞,- 2 ]∪(1, 2 ] 解析 因为 f(x)为单调函数,若 a>0,则当 x≥0 时,f(x)=ax2+1 是单调递 增函数,故当 x<0 时,f(x)也是单调递增函数,又 a>0 时,eax 为单调递增函数, 所以 a2-1>0,又 f(x)在(-∞,+∞)上单调,故还应满足(a2-1)·0≤a×02+1, e 即需满足 a>0

?2 ?a -1>0?1<a≤ ?a2-1≤1

2

?a<0 2 同理,当 a<0 时,满足?a -1>0?a≤- ?a2-1≥1
综上得 1<a≤ 2或 a≤- 2.

2.


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