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【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系(含解析)新人教A版


第 7 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题 1.直线 4kx-4y-k=0 与抛物线 y2=x 交于 A,B 两点,若|AB|=4,则弦 AB 的中点到直线 1 x+ =0 的距离等于 2 7 A. 4 B.2 9 C. 4 ( ). D.4

1? 2 解析 直线 4kx-4y-k=0,即 y=k? ?x-4?,即直线 4kx-4y-k=0

过抛物线 y =x 的焦 1 ? 1 7 点? ?4,0?.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+2=4,故 x1+x2=2,则弦 AB 的中点 7 1 7 1 9 的横坐标是 ,弦 AB 的中点到直线 x+ =0 的距离是 + = . 4 2 4 2 4 答案 C 2.设斜率为 2 x2 y2 的直线 l 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)交于不同的两点,且这两个交点在 x 轴上的 2 a b

射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为 ( A. 3 3 1 B. 2 C. 2 2 1 D. 3 ).

解析 由于直线与椭圆的两交点 A,B 在 x 轴上的射影分别为左、右焦点 F1,F2,故|AF1| b2 2 =|BF2|= ,设直线与 x 轴交于 C 点,又直线倾斜角 θ 的正切值为 ,结合图形易得 tan a 2 θ= 2 |AF1| |BF2| 2 2b2 = = ,故|CF1|+|CF2|= =|F1F2|=2c,整理并化简得 2b2= 2(a2- 2 |CF1| |CF2| a 2 . 2

c2)=ac,即 2(1-e2)=e,解得 e= 答案 C

3.抛物线 y2=2px 与直线 2x+y+a=0 交于 A,B 两点,其中点 A 的坐标为(1,2),设抛物线 的焦点为 F,则|FA|+|FB|的值等于 A.7 B.3 5 C .6 ( D.5 ).

解析 点 A(1,2)在抛物线 y2=2px 和直线 2x+y+a=0 上,则 p=2,a=-4,F(1,0),则 B(4,-4),故|FA|+|FB|=7. 答案 A x2 y2 4.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e,过 F2 的直线与 a b 双曲线的右支交于 A,B 两点,若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e2
1

= A.1+2 2 C.5-2 2 解析

(

).

B.4-2 2 D.3+2 2

如图,设 |AF1|= m ,则 |BF1|= 2 m, |AF2|= m

-2a,|BF2|= 2m-2a,∴|AB|=|AF2|+|BF2|=m-2a + 2m-2a=m,得 m=2 2a,又由|AF1|2+|AF2|2= |F1F2|2,可得 m2+(m-2a)2=4c2,即得(20-8 2)a2 c2 =4c2,∴e2= 2=5-2 2,故应选 C. a 答案 C 5.已知直线 l:y=k(x-2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 交于 A,B 两点,F 为抛物线 C 的焦点, 若|AF|=2|BF|,则 k 的值是 1 A. 3 2 2 B. 3 C.2 2 ( ). D. 2 4

解析 法一 据题意画图, 作 AA1⊥l′, BB1⊥l′, BD ⊥AA1. 设直线 l 的倾斜角为 θ,|AF|=2|BF|=2r, 则|AA1|=2|BB1|=2|AD|=2r, 所以有|AB|=3r,|AD|=r, |BD| 则|BD|=2 2r,k=tan θ=tan∠BAD= =2 2. |AD| 法二 直线 y=k(x-2)恰好经过抛物线 y2=8x 的焦点
2 ? ?y =8x, F(2,0),由? 可得 ky2-8y-16k=0,因为|FA|=2|FB|,所以 yA=-2yB.则 yA ?y=k?x-2?, ?

8 8 +yB=-2yB+yB= , 所以 yB=- , y· y =-16, 所以-2y2 即 yB=± 2 2.又 k>0, B=-16, k k A B 故 k=2 2. 答案 C x2 y2 6.过双曲线 2- =1(a>0)的右焦点 F 作一条直线,当直线斜率为 2 时,直线与双曲线 a 5-a2 左、右两支各有一个交点;当直线斜率为 3 时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则 双曲线离心率的取值范围是 A.( 2,5) B.( 5, 10) ( ). D.(5,5 2)

C.(1, 2)

c 解析 令 b= 5-a2,c= a2+b2,则双曲线的离心率为 e= ,双曲线的渐近线的斜率 a

2

b 为± . a b 据题意,2< <3,如图所示. a b ∵ = e2-1, a ∴2< e2-1<3, ∴5<e2<10, ∴ 5<e< 10. 答案 B 二、填空题 1 1? x2 7.椭圆 +y2=1 的弦被点? ?2,2?平分,则这条弦所在的直线方程是________. 2 解析 设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=1,y1+y2=1. x2 x2 1 2 2 ∵A,B 在椭圆上,∴ +y1 =1, +y2 2=1. 2 2 ?x1+x2??x1-x2? 两式相减得: +(y1+y2)(y1-y2)=0, 2 y1-y2 x1+x2 即 =- , x1-x2 2?y1+y2? ∵x1+x2=1,y1+y2=1, y1-y2 1 1 ∴ =- ,即直线 AB 的斜率为- . 2 2 x1-x2 1 1 1 x- ?, ∴直线 AB 的方程为 y- =- ? 2 2? 2? 即该弦所在直线的方程为 2x+4y-3=0. 答案 2x+4y-3=0 x2 y2 8.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),F( 2,0)为其右焦点,过 F 垂直于 x 轴的直线与椭圆相 a b 交所得的弦长为 2,则椭圆 C 的方程为________. c= 2, ? ?b 由题意,得? =1, a ? ?a =b +c ,
2 2 2 2

解析

?a=2, x2 y2 解得? ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2 ?b= 2,

3

答案

x2 y2 + =1 4 2

x2 y2 9.过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为 M,与 y a b 轴的交点为 B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为________. 解析 由题意知 A 点的坐标为(-a,0),l 的方程为 y=x+a,∴B 点的坐标为(0,a),故 a a 6 - , ?,代入椭圆方程得 a2=3b2,∴c2=2b2,∴e= . M 点的坐标为? 2 2 ? ? 3 答案 6 3

x2 y2 → → 10.已知曲线 - =1(a· b≠0,且 a≠b)与直线 x+y-1=0 相交于 P,Q 两点,且OP· OQ= a b 1 1 0(O 为原点),则 - 的值为________. a b x2 y2 解析 将 y=1-x 代入 - =1,得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2), a b 则 x1+x2= a+ab → → 2a ,x1x2= .OP· OQ=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)· (1-x2)=2x1x2-(x1+x2) a-b a-b

2a+2ab 2a 1 1 +1.所以 - +1=0,即 2a+2ab-2a+a-b=0,即 b-a=2ab,所以 - = a b a-b a-b 2. 答案 2 三、解答题 11.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于不同的 A,B 两点. → → (1)如果直线 l 过抛物线的焦点,求OA· OB的值; → → (2)如果OA· OB=-4,证明:直线 l 必过一定点,并求出该定点. (1)解 由题意:抛物线焦点为(1,0),

设 l:x=ty+1,代入抛物线 y2=4x, 消去 x 得 y2-4ty-4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=4t,y1y2=-4, → → ∴OA· OB=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2 =t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3. (2)证明 设 l:x=ty+b,代入抛物线 y2=4x, 消去 x 得 y2-4ty-4b=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=4t,y1y2=-4b,

4

→ → ∴OA· OB=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2 =t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2 =-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b. 令 b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2, ∴直线 l 过定点(2,0). → → ∴若OA· OB=-4,则直线 l 必过一定点. y2 12.给出双曲线 x2- =1. 2 (1)求以 A(2,1)为中点的弦所在的直线方程; (2)若过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线交于 P1, P2 两点,求线段 P1P2 的中点 P 的轨迹方 程; (3)过点 B(1,1)能否作直线 m,使得 m 与双曲线交于两点 Q1,Q2,且 B 是 Q1Q2 的中点? 这样的直线 m 若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由. 解
2 ?2x2 ? 1-y1=2, (1)设弦的两端点为 P1(x1, y1), P2(x2, y2), 则? 2 2 两式相减得到 2(x1-x2)(x1 ?2x2-y2=2, ?

+x2)=(y1-y2)(y1+y2),又 x1+x2=4,y1+y2=2, y1-y2 所以直线斜率 k= =4. x1-x2 故求得直线方程为 4x-y-7=0. (2)设 P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2), y1-y2 2x 按照(1)的解法可得 = , x1-x2 y 由于 P1,P2,P,A 四点共线, y1-y2 y-1 得 = , x1-x2 x-2 ② ①

2x y-1 由①②可得 = ,整理得 2x2-y2-4x+y=0,检验当 x1=x2 时,x=2,y=0 也满足 y x-2 方程,故 P1P2 的中点 P 的轨迹方程是 2x2-y2-4x+y=0. (3)假设满足题设条件的直线 m 存在,按照(1)的解法可得直线 m 的方程为 y=2x-1. y=2x-1, ? ? 考虑到方程组? 2 y2 无解, ?x - 2 =1 ? 因此满足题设条件的直线 m 是不存在的. 13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1:2x2-y2=1. (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的

5

三角形的面积. (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点.若 l 与圆 x2+y2=1 相切,求证:OP⊥OQ. (3)设椭圆 C2:4x2+y2=1.若 M、N 分别是 C1、C2 上的动点,且 OM⊥ON,求证:O 到 直线 MN 的距离是定值. (1)解 x2 2 双曲线 C1: -y2=1,左顶点 A?- ,0?,渐近线方程:y=± 2x. 1 ? 2 ? 2

不妨取过点 A 与渐近线 y= 2x 平行的直线方程为 y= 2?x+

?

2? ,即 y= 2x+1. 2? 2

?x=- 4 , ?y=- 2x, 解方程组? 得? 1 ?y= 2x+1 ?y=2.
1 2 所以所求三角形的面积为 S= |OA||y|= . 2 8 (2)证明 设直线 PQ 的方程是 y=x+b. 因为直线 PQ 与已知圆相切,故 |b| =1,即 b2=2. 2

?y=x+b, ? 由? 2 2 得 x2-2bx-b2-1=0. ?2x -y =1 ? ?x1+x2=2b, ? 设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则? 2 ? ?x1x2=-1-b .

又 y1y2=(x1+b)(x2+b),所以 → → OP· OQ=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2 =2(-1-b2)+2b2+b2=b2-2=0. 故 OP⊥OQ. (3)证明 当直线 ON 垂直于 x 轴时, |ON|=1,|OM|= 2 3 ,则 O 到直线 MN 的距离为 . 2 3

当直线 ON 不垂直于 x 轴时,设直线 ON 的方程为 y=kx?显然|k|>

?

2? , 2?

1 则直线 OM 的方程为 y=- x. k
?y=kx, ? 由? 2 2 ? ?4x +y =1

?x =4+k , 得? k ?y =4+k ,
2 2 2 2 2

1

所以|ON|2=

1+k2 . 4+k2

6

同理|OM|2=

1+k2 . 2k2-1

设 O 到直线 MN 的距离为 d, 因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2, 3k2+3 1 1 1 3 所以 2= =3,即 d= . 2+ 2= 2 d |OM| |ON| 3 k +1 综上,O 到直线 MN 的距离是定值. 14.在圆 x2+y2=4 上任取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线段,D 为垂足,点 M 在线段 PD 上, 且|DP|= 2|DM|,点 P 在圆上运动. (1)求点 M 的轨迹方程; → → (2)过定点 C(-1,0)的直线与点 M 的轨迹交于 A, B 两点, 在 x 轴上是否存在点 N, 使NA· NB 为常数,若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由. 解 (1)设 P(x0,y0),M(x,y),则 x0=x,y0= 2y.
2 ∵P(x0,y0)在 x2+y2=4 上,∴x2 0+y0=4.

x2 y2 ∴x2+2y2=4,即 + =1. 4 2 x2 y2 点 M 的轨迹方程为 + =1(x≠± 2). 4 2 (2)假设存在.当直线 AB 与 x 轴不垂直时, 设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),N(n,0), y=k?x+1?, ? ?2 2 联立方程组?x y ? ? 4 + 2 =1, 整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-4=0, 2k2-4 4k2 ∴x1+x2=- . 2,x1x2= 1+2k 1+2k2 → → ∴NA· NB=(x1-n,y1)· (x2-n,y2) =(1+k2)x1· x2+(x1+x2)(k2-n)+n2+k2 2k2-4 -4k2 2 =(1+k2)× +k2+n2 2+(k -n)× 1+2k 1+2k2 k2?4n-1?-4 2 = +n 1+2k2 1 2 1 ?2k +1??4n-1?- ?4n-1?-4 2 2 = +n2 1+2k2

7

7 2n+ 2 1 2 = (2n +4n-1)- . 2 1+2k2 7 → → ∵NA· NB是与 k 无关的常数,∴2n+ =0. 2 7 7 15 → → - ,0?,此时NA· ∴n=- ,即 N? NB=- . ? 4 ? 4 16 7 15 → → 当直线 AB 与 x 轴垂直时,若 n=- ,则NA· NB=- . 4 16 7 ? → → 综上所述,在 x 轴上存在定点 N? NB为常数. ?-4,0?,使NA·

8


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