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2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征


2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
1. 样本平均数 x = , . 标准差s=

2.样本方差s2=

例 1. 甲乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件,现在从中各抽测 10 个,它们的尺寸分 别为(单位:mm) 甲: 10.2 乙: 10.3 10.1 10.4 10.9 9.6 8.9 9.9 9.9 10.

1 10.3 10 9.7 9.8 10 9.7 9.9 10.2 10.1 10

分别计算上面两个样本的平均数与方差.如果图纸上的设计尺寸为 10mm,从计算结果看,用哪 台机床加工这种零件较合适.

变式训练 1:假定下述数据是甲乙两个供货商的交货天数: 甲:10 乙:8 9 10 10 14 10 7 11 10 11 11 9 10 11 8 10 15 10 12

估计两个供货商的交货情况,并问哪个供货商交货时间短一些,哪个供货商交货时间较具一致 性与可靠性.

例 2、对甲乙的学习成绩进行抽样分析,各抽 5 门功课,得到的观测值如下: 甲:60 80 70 90 70 乙:80 60 70 80 75

问:甲乙谁的各科平均成绩好?谁的各门功课发展较平衡?

变式训练 2、 对甲、 乙两名自行车赛手在相同条件下进行了 6 次测试, 测得他们的最大速度(m/s) 的数据如下表: 甲 乙 (1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息? (2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、标准差,并判断选谁参加 比赛比较合适? 27 33 38 29 30 38 37 34 35 28 31 36

2 2 1.两个样本甲和乙,其中 x甲 =10, x乙 =10, s甲 =0.055, s乙 =0.015,那么样本甲比样本乙波动

A. 大

B. 相等

C. 小

D.无法确定 ( D.极差 ( D.平均数

( )

)

2.能反映一组数据的离散程度的是 A.众数 B.平均数 C.标准差

3.下列数字特征一定是数据组中数据的是 A.众数 B.中位数 C.标准差

)

4.数据:1,1,3,3 的众数和中位数分别是 A. 1 或 3,2 B. 3,2 C. 1 或 3,1 或 3 D. 3,3

(

)

5.如果 5 个数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的平均数是 7 ,那么 x1 +1, x2 +1, x3 +1, x4 +1, x5 +1 这 5 个数的平均 数是 A.5 B.6 C.7 D.8

6.某农科所种植的甲、乙两种水稻,连续六年在面积相等的两块稻田中作对比试验,试验得出平
2 2 均产量是 x甲 = x乙 =415 ㎏ , 方差是 s甲 =794, s乙 =958, 那么这两个水稻品种中产量比较稳定的是

(

) A.甲 B.乙 C.甲、乙一样稳定 D.无法确定

7.对一射击选手的跟踪观测,其环数及相应频率如下: 求该选手的平均成绩__________。 环数 频率 6 15% 7 25% 8 40% 9 10% 10 10%

8.五个数 1,2,3,4, a 的平均数是 3 ,则 a =_______,这五个数的标准差是___________. 9.已知 2,4,2 x ,4 y 四个数的平均数是 5, 而 5,7,4 x ,6 y 四个数的平均数是 9,则 x y 的值是___. 10.已知样本数据 x1 , x2 ,… xn 的方差为 4,则数据 2 x1 +3,2 x2 +3,…2 xn +3 的标准差是_____. 11、由正整数组成的 一组数据 x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是 2,且标准差等于 1,则 这组数据为__________。(从小到大排列) 12.甲.乙两名射手在相同条件下射击 10 次,环数如下: 甲:7 乙:7 8 7 8 8 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 10

(1)分别求甲、乙的平均值和标准差;(2)问哪一名选手的成绩稳定?

13、在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n ( n ? 1,2?,6 )的同学所 得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 1 成绩 xn 70 2 76 3 72 4 70 5 72

(1)求第 6 位同学的成绩 x6 ,及这 6 位同学成绩的标准差 s ; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率.

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
例 1 解: x甲 ?
x乙 ?
2 S甲 ?

1 (10. 2+ 10. 1+ 10. 9+ 10

+ 10. 1)= 10

1 (10.3 ? 10.4 ? 9.6 ? 10

? 10) ? 10

1 2 2 [ (10. 2- 10) +( 10. 1- 10) + 10 2 +( 10. 1- 10) ] = 0. 228
2 S乙 ?

?

1 [(10.3 ? 10)2 ? (10.4 ? 10)2 10 ? (10 ? 10)2 ] ? 0.06

2 2 ? x甲 ? x乙 ? 10 , S甲 ? S乙

所以乙比甲稳定,用乙较合适. 变式训练 1、解: x甲 ? 10.1
x乙 ? 10.5
2 S甲 ? 0.49 2 2 S乙 ? 6.05 ? S甲

从交货天数的平均值看来,甲供货商的供货天数短一些;从方差来看,甲供货商的交货天数较 稳定,因此甲是较具一致性与可靠性的供货商. 例 2、解: x甲 ? 74
x乙 ? 73
2 S甲 ? 104 2 S乙 ? 56 2 2 因为 x甲 ? x乙 , S甲 .所以甲的平均成绩较 ? S乙

好,乙的各门发展较平衡. 变式训练 2、 【解析】(1)画出茎叶图,中间数为数据的十位数.

从这个茎叶图上可以看出,甲的中位数是 33,乙的中位数是 33.5;甲的极差是 11,乙的极差是 10;甲、乙的得分情况都是分布均匀的,只是乙更稳定一些。 (写 出两点即可)
- - (2)根据公式得: x 甲=33, x 乙=33;S 甲=3.96,S 乙=3.35;综合比较选乙参加比赛较为合适. 1.A 2.C 3.A 4.A 5.D 6.A 7.7.75 8. 5 , 2 9. 6 10. 4 11.略

12、解:(1) x ?
2

5 1 6 ? x ? 6 x ? xn ? 6 ? 75 ? 70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? 90, x ? 75 ? ?n 6 6 n?1 n ?1

1 6 1 s ? ? ( xn ? x)2 ? (52 ? 12 ? 32 ? 52 ? 32 ? 152 ) ? 49 , 6 n?1 6

? s ? 7.

(2)从 5 位同学中随机选取 2 位同学,共有如下 10 种不同的取法:{1,2},{1, 3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}, 选出的 2 位同学中,恰有 1 位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下 4 种取 法:{1,2},{2,3},{2,4},{2,5},故所求概率为 .
2 5


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