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2014届山东省山师大附中高三第二次调研考试数学(理)试题


2014 届山东省山师大附中高三第二次调研考试数学(理)试题
考生注意: 1.本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟. 2.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上. 3.本试卷主要考试内容:高考全部内容, 第一部分(共 5 0 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分) . 1.已知集合

A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则 A∩B=( A. (-∞,2], B.[1,2], C.[-2,2], D.[-2,1] ) )

2.函数 f(x)是 R 上的增函数且 f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)则( A.a>b>0, B.a-b>0, C.a+b>0, D.a>0,b>0 3.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0, B.x-2y+1=0, C.2x+y-2=0, D.x+2y-1=0

4.阅读如图所示的程序框图,如果输出 i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是(



A.S<8, B.S<9, C.S<10, D.S<11 5.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为 1,则样本方差 为 A.2 B.2.3 C .3 D.3.5

6.函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 13, 若f (1) ? 2, 则f (99) 等于 A.

2 13

B.

13 2

C .2

D.13

7.由 0,1,2,3,4 这 5 个数字组成没有重复数字且个位上的数字不能为 1 的 3 位数共有 A.28 个 B.36 个 C.39 个 D.42 个

?y ?1 ? 8.实数 x,y 满足 ? y ? 2 x ? 1, 如果目标函数 z=x—y 的最小值为-2,则实数 m 的值为 ?x ? y ? m ?
A.5 B.6 C .7 D.8

9. 在 ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, 且角 A=60° , 若 S ?ABC ? 则 ABC 的周长等于 A.8+ 19 B.14 C.10+3 5

1 53 , 且 5sinB=3sinC, 4

D.18

? , ) 满 足 ① ai ? 1 ; ② ai ? ai ?1 ? 0 . 若 10 . 设 互 不 相 等 的 平 面 向 量 组 ai (i ? 1, 2, 3, Tm ? a1 ? a2 ? ? ? am (m ? 2) ,则 Tm 的取值集合为
A. {0, 2} B. {1, 3} C. {1, 2, 3} D. {0,1, 2}

第二部分(共 100 分) 二、填空题:把答案填在答题卷中的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) . 11.双曲线

x2 y 2 ? ? 1的焦距为4 2 ,则 m= 4 m
2



12.二项式 (ax ?

2 x

)5 的展开式中常数项为 160,则 a 的值为



13 .已知 2 ? 为 。

2 2 3 3 4 4 ?2 ? 3? ? 3 ? 4? ?4 ..... ,照此规律,第五个等式 3 3 8 8 15 15

14.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,如图所示,长方形 ABCD(AB AD)的周长为 4 米,沿 AC 折叠使 B 到 B′位置,AB′交 DC 于 P.研究发现当 ADP 的面积最大时最节能, 则最节能时长方形 ABCD 的面积为 .

15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A. (不等式选做题)函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3( x ? R) 的值域为 。

B. (几何证明选做题)如图,已知 AB 和 AC 是网的两条弦,过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3,

FB=1,EF=

3 ,则线段 CD 的长为 2



C. (坐标系与参数方程选做题)以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并 在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线的极坐标方程为 ? ?

?
4

( ? R ) ,它与曲线

? x ? 1 ? 2 cos ? (? 为参数)相交于 A 和 B 两点,则 AB= ? ? y ? 2 ? 2sin ?



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) . 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (?1, cos?x ? 3 sin ?x), n ? ( f ( x), cos?x) , 其中 ? ? 0 且 m⊥n, 又函 数 f ( x) 的图像任意两相邻对称轴间距为 (1)求 ω 的值; (2)探讨函数 f ( x)在(?? , ? ) 上的单调性. 17. (本小题满分 12 分) (1)设 {an } 是公差为 d 的等差数列,推导公式:若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则

3 ?. 2

am ? an ? a p ? aq ;
(2)若 {bn } 的前 n 项和 Sn ? An ? Bn ? C ,证明当 C≠0 时,数列 {bn } 不是等差数列.
2

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD,∠ABC=60° ,E、 F 分别是 BC,PC 的中点. (1)证明:AE⊥平面 PAD; (2)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 3 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 袋中有大小相同的四个球, 编号分别为 1、 2、 3、 4, 从袋中每次任取一个球, 记下其编号. 若 所取球的编号为偶数,则把该球编号改为 3 后放同袋中继续取球;若所取球的编号为奇数, 则停止取球. (1)求“第二次取球后才停止取球”的概率; (2)若第一次取到偶数,记第二次和第一次取球的编号之和为 X,求 X 的分布列和数学 期望, 20. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 6 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 3 a b
(3,-1) . (1)求椭圆 C 的方程; (2) 若动点 P 在直线 l:x ? ?2 2 上, 过 P 作直线交椭圆 C 于 M, N 两点, 使得 PA=PN, 再过 P 作直线 l ? ? MN , 证明 : 直线l ? 恒过定点,并求出该定点的坐标. 21. (本小题满分 1 4 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? a ln x(a ? R)
2

(1)当 a=-4 时,求 f ( x) 的最小值; (2)若函数 f ( x) 在区间(0,1)上为单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 t≥1 时,不等式 f (2t ? 1) ? 2 f (t ) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围,

2014 届山东省山师大附中高三第二次调研考试 数学(理)试题参考答案

1.D ∵A={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2} ∴A∩B={x|-2≤x≤2}∩{x|x≤1,x∈R}={x|-2≤x≤1} 2.设 a+b≤0,则 a≤-b,b≤-a,
∵f(x)是 R 上的增函数, ∴f(a)≤f(-b) ,f(b)≤f(-a) , ∴f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) , 这与题设 f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)矛盾, ∴a+b>0 故选 C

3.设直线方程为 x-2y+c=0,又经过(1,0) ,
∴1-0+c=0 故 c=-1, ∴所求方程为 x-2y-1=0; 故选 A.

4.框图首先给变量 S 和 i 赋值 S=0,i=1,执行 i=1+1=2,判断 2 是奇数不成立,执行 S=2×2+1=5;
判断框内条件成立,执行 i=2+1=3,判断 3 是奇数成立,执行 S=2×3+2=8; 判断框内条件成立,执行 i=3+1=4,判断 4 是奇数不成立,执行 S=2×4+1=9; 此时在判断时判断框中的条件应该不成立,输出 i=4.而此时的 S 的值是 9,故判断框中的条件应 S<9. 若是 S<8,输出的 i 值等于 3,与题意不符. 故选 B.

a+0+1+2+3 5.A ∵由题可知样本的平均值为 1,∴ =1,解得 a=-1, 5 1 ∴样本的方差为 [(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2. 5 13 6.B 因为 f(x)· f(x+2)=13,所以 f(x+2)= ,解得函数 f(x)周期为 4,f(99) f(x) 13 13 =f(3)= = . f(1) 2
1 2 7.C 由 0,1,2,3,4 这 5 个数字组成没有重复数字的 3 位数有 C4 A4个,其中个位上的 1 1 2 1 1 数字为 1 的 3 位数有 C1 3C3个, 则所求 3 位数有 C4A4-C3C3=39 个.

?y≥1, ? 8.D 先做? 的区域如图可知在三角形 ABC 区域内,由 z=x-y 得 y=x-z 可知,直 ? ?y≤2x-1

线的截距最大时,z 取得最小值,此时直线为 y=x-(-2)=x+2,作出直线 y=x+2,交 y=2x-1 于 A 点,由图象可知,目标函数在该点取得最小值,所以直线 x+y=m 也过 A 点,
?y=2x-1 ?x=3 ? ? 由? ,得? ,代入 x+y=m 得,m=3+5=8. ?y=x+2 ?y=5 ? ?

1 1 3 15 9.A ∵S△ABC= bcsin A= bc× = 3,∴bc=15.又 5sin B=3sin C,根据正弦定理得 2 2 2 4
? ?bc=15, 5b = 3c .由? 解得 b = 3 , c= 5 ,∴由余弦定理得 a= b2+c2-2bccos A = 19 , ?5b=3c, ?

∴△ABC 的周长为 8+ 19. 10.D 由题知 a1⊥a2,a2⊥a3,a3⊥a4,则 a1=-a3,a2=-a4,a1⊥a4,且 i 的最大值为 4.
2 T2 ai2+2(a1· a2+a1· a3+…+am-1· am) m=(a1+a2+…+am) = ∑ = i 1 m

=m+2(a1· a2+a1· a3+…+am-1· am) .
2 2 若 m=2 时,Tm =2,Tm= 2;若 m=3 时,Tm =1,Tm=1;若 m=4 时,T2 m=0,Tm=0.

11.4 由题可知 c=2 2,∴m=c2-a2=8-4=4. 12.2 由通项公式得常数项为(-2)4· C4 5a=160,解得 a=2. 13. 式子为 6 6+ =6 35 6 6+ =6 35 6 由前三个式子归纳的规律为 35 6 . 35 n+ n =n n2-1 n ,所以第五个 n2-1

14 . 2 2 - 2

设 AB = x , DP = y , BC = 2 - x , PC = x - y .因 x>2 - x ,故 1<x<2 ,因

△ADP≌△CB′P,故 PA=PC=x-y.由 PA2=AD2+DP2,得(x-y)2=(2-x)2+y2? y 1 1 2 =2(1- ) ,1<x<2,记△ADP 的面积为 S1,则 S1=(1- ) (2-x)=3-(x+ )≤3-2 2, x x x 当且仅当 x= 2∈(1,2)时,S1 取得最大值,此时长方形 ABCD 的面积 S2=x(2-x)= 2 (2- 2)=2 2-2. 15.A.[2,+∞) f(x)=|x-1|+|x-3|≥|(x-1)-(x-3)|=2. 4 B. 3 如图,连结 BC,BE,则∠1=∠2,∠2=∠A,

CB BF CB CF ∴∠A=∠1,又∠B=∠B,∴△CBF∽△ABC,∴ = , = ,代入数值得 BC=2, AB BC AB AC AC=4,又由平行线等分线段定理得 AC AF 4 = ,解得 CD= . CD FB 3

C. 14

?x=1+2cos α, ? 把曲线? (α 为参数)化为直角坐标方程为(x-1)2+(y-2)2= ? y = 2 + 2 sin α ?

π 4,把直线的极坐标方程 θ= (ρ∈R)转化为直角坐标方程为 y=x,圆心到直线的距离为 d 4 |1-2| 2 = = ,所以|AB|=2 r2-d2= 14. 2 2 1+cos 2ωx 16.解: (1)由题意,得 m· n=0,所以 f(x)=cos ωx· (cos ωx+ 3sin ωx)= + 2 3sin 2ωx π 1 =sin(2ωx+ )+ . 2 6 2 根据题意知,函数 f(x)的最小正周期为 3π, 1 又 ω>0,所以 ω= . (5 分) 3 2 π 1 (2)由(1)知 f(x)=sin( x+ )+ , 3 6 2 π 2 π 5π ∵x∈(-π,π) ,∴- < x+ < , 2 3 6 6 π 2 π π π 当- < x+ < ,即-π<x< 时,函数 f(x)单调递增; 2 3 6 2 2 π 2 π 5π π 当 ≤ x+ < ,即 ≤x<π 时,函数 f(x)单调递减. 2 3 6 6 2 π π 综上可知,函数 f(x)在(-π, )上单调递增,在[ ,π)上单调递减. (12 分) 2 2 17.解: (1)因为数列{an}为等差数列,所以 am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+ (m+n-2)d, ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+ (p+q-2)d,又 m+n=p+q,所以 am+ an=ap+aq. (6 分) (2)当 n=1 时,b1=S1=A+B+C;当 n≥2 时, bn=Sn-Sn-1=An2+Bn+C-[A(n-1)2+B(n-1)+C]=2An-A+B,即当 n≥2 时,

数列{bn}的通项公式为 bn=2An-A+B,当 n=1 时,b1=A+B+C≠A+B,所以数列{bn}不 是等差数列. (12 分) 18. (1)证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60° ,可得△ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD,AE 平面 ABCD,所以 PA⊥AE. 而 PA 平面 PAD,AD 平面 PAD 且 PA∩AD=A, 所以 AE⊥平面 PAD. (4 分)

(2)解:设 AB=2,H 为 PD 上任意一点,连结 AH,EH. 由(1)知 AE⊥平面 PAD,则∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. 在 Rt△EAH 中,AE= 3,所以当 AH 最短时,∠EHA 最大, AE 3 即当 AH⊥PD 时,∠EHA 最大.此时 tan∠EHA= = = 3 , AH AH 2 3 因此 AH=1.又 AD=2,所以∠ADH=30° ,所以 PA=AD tan 30° = . (8 分) 3 (法一)因为 PA⊥平面 ABCD,PA 平面 PAC,所以平面 PAC⊥平面 ABCD. 过 E 作 EO⊥AC 于 O,则 EO⊥平面 PAC, 过 O 作 OS⊥AF 于 S,连结 ES,则∠ESO 为二面角 E-AF-C 的平面角, 在 Rt△AOE 中,EO=AE· sin 30° = 3 3 ,AO=AE· cos 30° = . 2 2 4 3 , 3

又 F 是 PC 的中点,如图,PC= PA2+AC2= 1 2 3 1 ∴AF= PC= ,sin ∠SAO= FK = , 2 3 AF 2 3 在 Rt△ASO 中,SO=AO· sin ∠SAO= , 4 所以 SE= EO2+SO2= 3 9 21 + = , 4 16 4

3 4 SO 21 在 Rt△ESO 中,cos∠ESO= = = , SE 7 21 4 即所求二面角的余弦值为 21 . (12 分) 7

(法二)由(1)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐 标系,又 E,F 分别为 BC,PC 的中点,所以 A(0,0,0) ,B( 3,-1,0) ,C( 3,1, 0) ,D(0,2,0) ,P(0,0,2) ,E( 3,0,0) ,F( 3 1 3 , , ) , 2 2 3

3 1 3 → → 所以AE=( 3,0,0) ,AF=( , , ) . 2 2 3 设平面 AEF 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1) , 3x =0, → ? ? ? 1 AE=0, ?m· 则? 因此? 3 1 3 → ? ? 2 x1+2y1+ 3 z1=0. AF=0, ?m· ? 2 3 取 z1=-1,则 m=(0, ,-1) ,因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A, 3 → 所以 BD⊥平面 AFC,故BD为平面 AFC 的一个法向量. → m· BD → → 又BD=(- 3,3,0) ,所以 cos〈m,BD〉= = → |m||BD| 2 3 21 = . 7 7 × 12 3 21 . (12 分) 7

因为二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为 19.解: (1)记“第二次取球后才停止取球”为事件 A.

2 1 易知第一次取到偶数球的概率为 = ,第二次取球时袋中有三个奇数, 4 2 3 所以第二次取到奇数球的概率为 ,而这两次取球相互独立, 4 1 3 3 所以 P(A)= × = . (6 分) 2 4 8 (2)若第一次取到 2 时,第二次取球时袋中有编号为 1,3,3,4 的四个球; 若第一次取到 4 时,第二次取球时袋中有编号为 1,2,3,3 的四个球. 所以 X 的可能取值为 3,5,6,7, 1 1 1 1 2 1 1 3 所以 P(X=3)= × = ,P(X=5)= × + × = , 2 4 8 2 4 2 4 8 1 1 1 1 1 1 2 1 P(X=6)= × + × = ,P(X=7)= × = , 2 4 2 4 4 2 4 4 所以 X 的分布列为 X P 3 1 8 5 3 8 6 1 4 7 1 4

1 3 1 1 11 数学期望 EX=3× +5× +6× +7× = . (12 分) 8 8 4 4 2 9 1 20.解: (1)由题意知点(3,-1) 在椭圆 C 上,即 2+ 2=1, ① a b 又椭圆的离心率为
2 2 6 c2 a -b 6 2 ,所以 2= 2 =( )2= ,② 3 a a 3 3

x2 y2 联立①②可解得 a2=12,b2=4,所以椭圆 C 的方程为 + =1. (5 分) 12 4 2 3 2 3 (2)因为直线 l 的方程为 x=-2 2,设 P(-2 2,y0) ,y0∈(- , ) , 3 3 当 y0≠0 时,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,显然 x1≠x2, x2 y2 1 1 + =1, 2 2 2 2 12 4 x1-x2 y1-y2 y1-y2 1 x1+x2 联立 2 则 + =0,即 =- · , 2 12 4 3 y1+y2 x - x x2 y2 1 2 + =1, 12 4

? ? ?

又 PM=PN,即 P 为线段 MN 的中点, 1 -2 2 2 2 故直线 MN 的斜率为- · = , 3 y0 3y0 又 l′⊥MN,所以直线 l′的方程为 y-y0=- 3y0 4 2 即 y=- (x+ ) , 3 2 2 4 2 显然 l′恒过定点(- ,0) ; 3 3y0 (x+2 2) , 2 2

4 2 当 y0=0 时,直线 MN 即 x=-2 2,此时 l′为 x 轴亦过点(- ,0) . 3 4 2 综上所述,l′恒过定点(- ,0) . (13 分) 3 21.解: (1)f(x)=x2+2x-4ln x(x>0) , 4 2(x+2)(x-1) f′(x)=2x+2- = , x x 当 x>1 时,f′(x)>0,当 0<x<1 时,f′(x)<0, ∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴f(x)min=f(1)=3. (4 分)
2 a 2x +2x+a (2)f′(x)=2x+2+ = , x x

若 f(x)在(0,1)上单调递增,则 2x2+2x+a≥0 在 x∈(0,1)上恒成立 ? a≥-2x2-2x 恒成立, 1 1 令 u=-2x2-2x,x∈(0,1) ,则 u=-2(x+ )2+ , 2 2 ∴a≥0. 若 f(x)在(0,1)上单调递减,则 2x2+2x+a≤0 在 x∈(0,1)上恒成立 ? a≤-2x2-2x 恒成立, 故 a≤-4. 综上,a 的取值范围是(-∞,-4]∪[0,+∞) . (8 分) (3) (2t-1)2+2(2t-1)+aln(2t-1)≥2t2+4t+2aln t-3 恒成立 ? a[ln(2t-1)-2ln t]≥-2t2+4t-2 ? a[ln(2t-1)-ln t2]≥2[(2t-1)-t2]. 当 t=1 时,不等式显然成立, 当 t > 1 时, t2 -( 2t- 1 )= t2 - 2t+ 1 =( t- 1 ) 2 > 0 ? t2 > 2t- 1 ? ln t2 > ln ( 2t- 1 )

? a≤ln(2t-1)-ln t2在 t>1 时恒成立.
2[(2t-1)-t2] 令 u= ,即求 u 的最小值. ln(2t-1)-ln t2 设 A(t2,ln t2) ,B(2t-1,ln(2t-1) ) ,则 kAB= ln(2t-1)-ln t2 ,且 A、B 两点在 g(x) (2t-1)-t2

2[(2t-1)-t2]

1 =ln x 的图像上,又∵t2>1,2t-1>1,故 0<kAB<g′(1)=1,∴u=2· >2,故 a≤2, kAB 即实数 a 的取值范围是(-∞,2]. (14 分)


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