高考数学空间向量与立体几何单元练习题

《空间向量与立体几何》单元练习题
1.如图，在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点.若
A1 B1 =a A1 D1 =b， A1 A =c，则下列向量中与 B1 M 相等的向量是

A.－

1 1 a+ b+c 2 2 1 b+c 2

B.

1 1 a+ b+c 2 2 1 1 a－ b+c 2 2

C. a－

1 2

D.－

2.下列等式中，使点 M 与点 A、B、C 一定共面的是 1 1 1 A. OM ? 3OA ? 2OB ? OC B. OM ? OA ? OB ? OC 2 3 5 C. OM ? OA ? OB ? OC ? 0 D. MA ? MB ? MC ? 0

3.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 1，点 E、F 分别是 AB、 AD 的中点，则 EF ? DC 等于 A.
1 4

B. ?

1 4

C.

3 4

D. ?

3 4

4.若 a ? (1, ? ,2) ， b ? (2,?1,1) ， a 与 b 的夹角为 60 0 ，则 ? 的值为 A.17 或-1 B.-17 或 1 C.-1 D.1

5.设 OA ? (1,1,?2) ， OB ? (3,2,8) ， OC ? (0,1,0) ，则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距 离为 A.
13 2

B.

53 2

C.

53 4

D.

53 4

6.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是

①正方体

②圆锥

③三棱台

④正四棱锥

A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 A. 9π 2 B. 10π C. 11π 3 D. 12π
2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
1

8.如图，ABCD-A1B1C1D1 为正方体，下面结论错误 的是 ．． A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 9.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 A.
6 3

B.

2 5 5

C.

15 5

D.

10 5

10.⊿ABC 的三个顶点分别是 A(1,?1,2) ，B(5,?6,2) ，C (1,3,?1) ，则 AC 边上的高 BD 长为 A.5 B. 41 C.4 D. 2 5 .

11.设 a ? ( x,4,3) ， b ? (3,?2, y) ，且 a // b ，则 xy ?

12.已知向量 a ? (0,?1,1) ， b ? (4,1,0) ， ?a ? b ? 29 且 ? ? 0 ，则 ? =________. 13.在直角坐标系 xOy 中，设 A（-2，3） ，B（3，-2） ，沿 x 轴把直角坐标平面折 成大小为 ? 的二面角后，这时 AB ? 2 11 ，则 ? 的大小为 14.如图，P—ABCD 是正四棱锥，
ABCD ? A1 B1C1D1 是正方体，其中
AB ? 2, PA ? 6 ，则 B1 到平面 PAD

．

的距离为

.

三、解答题（共 80 分） 15.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正 方形，侧棱 PA 的长为 2，且 PA 与 AB、AD 的夹角都等于 600， M P是 PC 的中点， 设 AB ? a, AD ? b, AP ? c ．
M

（1）试用 a, b, c 表示出向量 BM ； （2）求 BM 的长．
A D B
2

C

16.（本小题满分 14 分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得 多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）.（1）在正视 图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求 该多面体的体积； （3）在所给直观图中连结 BC ' ，证明： BC ' ∥面 EFG..
D' G F B' C'

E D A
6 2

C B
2

2 4

4

正视图

侧视图

17. （本小题满分 12 分） 如图， 在四面体 ABCD 中， 点 E，F CB ? CD，AD ? BD ， 分别是 AB，BD 的中点．求证： （1）直线 EF // 面 ACD ； （2）平面 EFC ? 面 BCD ．

18. （本小题满分 14 分） 如图， 已知点 P 在正方体 ABCD ? A' B' C' D' 的对角线 BD' 上，∠PDA=60°. D' （1）求 DP 与 CC' 所成角的大小； C' （2）求 DP 与平面 AA' D' D 所成角的大小.
A' P B'

D A B

C

3

19.（本小题满分 14 分）已知一四棱锥 P－ABCD 的三视图如下，E 是侧棱 PC 上的动点． （1）求四棱锥 P－ABCD 的体积； （2）是否不论点 E 在何位置，都有 BD⊥AE？证明你的结论; （3）若点 E 为 PC 的中点，求二面角 D－AE－B 的大小．
P

E

2
D C

2 1

A

B

1 正视图

1 侧视图

1 俯视图

20.（本小题满分 14 分）如图，已知四棱锥 P ? ABCD ，底面 ABCD 为菱形，

PA ? 平面 ABCD ， ?ABC ? 60? ， E，F 分别是 BC，PC 的中点．
（1）证明： AE ? PD ； （2）若 H 为 PD 上的动点， EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 面角 E ? AF ? C 的余弦值．
P

6 ，求二 2

F A B E C D

4

空间向量与立体几何》单元练习题参考答案
一、选择题

1 1 1 1 1. B1 M ? B1 B ? BM ? A1 A ? ( BA ? BC) =c+ (－a+b)=－ a+ b+c，故选 A. 2 2 2 2
2. 由于M、A、B、C四点共面 ? OM ? xOA ? yOB ? zOC ( x, y, z ? R)且x ? y ? z ? 1
? 选项( A)、 ( B)、 (C )都不正确. 由于MA ? MB ? MC ? 0 ? MA ? ? MB ? MC

所以存在x ? ?1, y ? 1, 使 MA ? x MB ? y MC ? MA, MB, MC共面

故选 D. 由于M为公共点? M、A、B、C四点共面， 3.∵ E, F分别是AB, AD的中点 ,? EF // BD且EF ?
? EF ? DC ?

1 1 BD,? EF ? BD , 2 2

1 1 1 1 BD ? DC ? BD ? DC cos ? BD, DC ?? ? 1 ? 1 ? cos120 0 ? ? 2 2 2 4

故选 B. 4.B 5.B

6.D

7.D

8.D
AB ? AC AC

9.D 所以 BD ? ? 4，
AB ? AD ? 5 ,故选 A
2 2

10.由于 AD ? AB ? cos ? AB, AC ? ?

二、填空题 11.9 12.3 13.作 AC⊥x 轴于 C，BD⊥x 轴于 D，则 AB ? AC ? CD ? DB ∵ AC ? 3, CD ? 5, DB ? 2, AC ? CD ? 0, CD ? DB ? 0, AC ? DB ? AC ? DB cos( 180 0 ? ? ) ? ?6 cos?
? AB ? ( AC ? CD ? DB ) 2 ? AC ? CD ? DB ? 2( AC ? CD ? CD ? DB ? DB ? AC ) 1 ? (2 11) 2 ? 3 2 ? 5 2 ? 2 2 ? 2(0 ? 0 ? 6 cos? ),? cos? ? ? .由于 0 0 ? ? ? 180 0 ,?? ? 120 0 2
14.以 A1 B1 为 x 轴， A1 D1 为 y 轴， A1 A 为 z 轴建立空间直角坐标系
2 2 2 2

?? 设平面 PAD 的法向量是 m ? ( x, y, z ) ， ???? ??? ? ?? ? AD ? (0, 2, 0), AP ? (1,1, 2) ，∴ y ? 0, x ? y ? 2 z ? 0 ，取 z ? 1 得 m ? (?2, 0,1) ， ???? ?? B1 A ? m 6 ???? ? B1 A ? (?2, 0, 2) ，∴ B1 到平面 PAD 的距离 d ? ? 5. ?? 5 m

5

三、解答题 15.解： （1）∵ M 是 PC 的中点，∴ BM ?
1 1 1 1 ? [b ? (c ? a )] ? ? a ? b ? c 2 2 2 2
（2）由于AB ? AD ? 1, PA ? 2, ? a ? b ? 1, c ? 2

1 1 ( BC ? BP) ? [ AD ? ( AP ? AB)] 2 2

由于AB ? AD, ?PAB ? ?PAD ? 60 0 , ? a ? b ? 0, a ? c ? b ? c ? 2 ? 1 ? cos 60 0 ? 1
由于BM ?
? BM
2

1 (?a ? b ? c ), 2

?

1 1 1 3 (?a ? b ? c) 2 ? [a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(?a ? b ? a ? c ? b ? c)] ? [12 ? 12 ? 2 2 ? 2(0 ? 1 ? 1)] ? 4 4 4 2

? BM ?

6 6 ， ? BM的长为 . 2 2

16.解： （1）如图

1 ?1 284 ? （2） 所求多面体体积 V ? V长方体 ? V正三棱锥 ? 4 ? 4 ? 6 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? (cm2 ) ． 3 ?2 3 ?

（3）证明：在长方体 ABCD ? A?B?C?D? 中， D? G F 连结 AD? ，则 AD? ∥ BC? ． A? 因为 E，G 分别为 AA? ， A?D? 中点， 所以 AD? ∥ EG ， E D 从而 EG ∥ BC? ．又 BC? ? 平面 EFG ， A 所以 BC? ∥面 EFG ． 17.证明： （1）∵E,F 分别是 AB，BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD， ∵AD ? 面 ACD，EF ? 面 ACD，∴直线 EF∥面 ACD； （2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD， ∵CB=CD，F 是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD 又 EF∩CF=F, ∴BD⊥面 EFC， ∵BD ? 面 BCD，∴面 EFC ? 面 BCD .

C?

B?
C B

6

18.解：如图，以 D 为原点， DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz ．
??? ? ???? ? 0， 0) ， CC ? ? (0， 0， 1) ．连结 BD ， B?D? ． 则 DA ? (1，

在平面 BB?D?D 中，延长 DP 交 B?D? 于 H ． ???? ? ??? ? ???? ? 1)(m ? 0) ，由已知 ? DH， 设 DH ? (m，m， DA ?? 60? ，
??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? DH ? ，可得 2m ? 2m2 ? 1 ． 由 DA?DH ? DA DH cos ? DA，

解得 m ?

???? ? ? 2 2 ? 2 1? ，所以 DH ? ? ? 2 ，2 ， ?． 2 ? ?

z

2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 ???? ? ???? ? 2 2 2 （1）因为 cos ? DH， ， ? CC ?? ? 2 1? 2

D? A?
D A x

H P

C?

B?
C B y

???? ? ???? ? 所以 ? DH， CC ? ?? 45? ，即 DP 与 CC ? 所成的角为 45? ．
???? 1， 0) ． （2）平面 AA?D?D 的一个法向量是 DC ? (0，
2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 ???? ? ???? 1 2 因为 cos ? DH， DC ?? 2 ? ， 2 1? 2

???? ? ???? 所以 ? DH， DC ?? 60? ，可得 DP 与平面 AA?D?D 所成的角为 30? ．

19.解： （1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 1 1 2 的正方形，侧棱 PC⊥底面 ABCD，且 PC=2.∴ VP ? ABCD ? S? ABCD ? PC ? 3 3 (2)不论点 E 在何位置，都有 BD⊥AE 证明如下：连结 AC，∵ABCD 是正方形，∴BD⊥AC ∵PC⊥底面 ABCD 且 BD ? 平面 ABCD ∴BD⊥PC 又 AC ? PC ? C ∴BD⊥平面 PAC ∵不论点 E 在何位置，都有 AE ? 平面 PAC ∴不论点 E 在何位置，都有 BD⊥AE (3)解法 1：在平面 DAE 内过点 D 作 DG⊥AE 于 G，连结 BG ∵CD=CB,EC=EC，∴ Rt ?ECD ≌ Rt ?ECB ，∴ED=EB ∵AD=AB，∴△EDA≌△EBA，∴BG⊥EA ∴ ?DGB 为二面角 D－EA－B 的平面角 ∵BC⊥DE，AD∥BC，∴AD⊥DE
2 在 Rｔ△ADE 中 DG ? AD ? DE = =BG AE 3
2 2 2 在△DGB 中，由余弦定理得 cos ?DGB ? DG ? BG ? BD ? ? 1

2 DG ? BG

2
7

∴ ?DGB =

2? 2? ，∴二面角 D－AE－B 的大小为 . 3 3
z

解法 2： 以点 C 为坐标原点， CD 所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示： 则 D(1,0,0), A(1,1,0), B(0,1,0), E(0,0,1) ,从而
???? ??? ? ??? ? ??? ? DE ? (?1, 0,1), DA ? (0,1, 0), BA ? (1, 0, 0), BE ? (0, ?1,1)
P

E x D

设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 ?? ? m ? (a, b, c), n ? (a ', b ', c ')

C

A

由法向量的性质可得： ?a ? c ? 0, b ? 0 ， a ' ? 0, ?b '? c ' ? 0
?? ? 令 c ? 1, c ' ? ?1，则 a ? 1, b ' ? ?1 ，∴ m ? (1, 0,1), n ? (0, ?1, ?1)
?? ? m?n 设二面角 D－AE－B 的平面角为 ? ，则 cos ? ? ??? ? ? ? 1 2 | m |?| n |

y

B

∴? ?

2? 2? ，∴二面角 D－AE－B 的大小为 . 3 3

20.（1）证明：由四边形 ABCD 为菱形， ?ABC ? 60? ，可得 △ABC 为正三角形． 因为 E 为 BC 的中点，所以 AE ? BC ． 又 BC ∥ AD ，因此 AE ? AD ． 因为 PA ? 平面 ABCD ， AE ? 平面 ABCD ，所以 PA ? AE ． 而 PA ? 平面 PAD ， AD ? 平面 PAD 且 PA ? AD ? A ， 所以 AE ? 平面 PAD ．又 PD ? 平面 PAD ， 所以 AE ? PD ． （2）解：设 AB ? 2 ， H 为 PD 上任意一点，连接 AH，EH ． 由（1）知 AE ? 平面 PAD ， 则 ?EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角． 在 Rt△EAH 中， AE ? 3 ， 所以当 AH 最短时， ?EHA 最大， 即当 AH ? PD 时， ?EHA 最大． 此时 tan ?EHA ?
AE 3 6 ? ? ， AH AH 2

因此 AH ? 2 ．又 AD ? 2 ，所以 ?ADH ? 45? ， 所以 PA ? 2 ． 解法一：因为 PA ? 平面 ABCD ， PA ? 平面 PAC ， 所以平面 PAC ? 平面 ABCD ．
8

过 E 作 EO ? AC 于 O ，则 EO ? 平面 PAC ， 过 O 作 OS ? AF 于 S ，连接 ES ，则 ?ESO 为二面角 E ? AF ? C 的平面角，
sin 30? ? 在 Rt△AOE 中， EO ? AE ? 3 3 ， AO ? AE ?cos 30? ? ， 2 2 3 2 ， 4

sin 45? ? 又 F 是 PC 的中点，在 Rt△ASO 中， SO ? AO?

3 2 3 9 30 SO 15 ， 又 SE ? EO ? SO ? ，在 Rt△ESO 中， cos ?ESO ? ? ? ? 4 ? 4 8 4 SE 5 30 4
2 2

即所求二面角的余弦值为

15 ． 5

解法二：由（1）知 AE，AD，AP 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的 空间直角坐标系，又 E，F 分别为 BC，PC 的中点，所以
A(0， 0，， 0) B( 3， ? 1，， 0) C ( 31 ， ，， 0) D(0， 2， 0) ，
? 3 1 ? P (0， 0， 2)，E ( 3， 0，， 0) F ? ， 1? ， ? 2 ， 2 ? ? ? ??? ? ??? ? ? 3 1 ? 0，， 0) AF ? ? ， 1? ． 所以 AE ? ( 3， ? 2 ， 2 ? ? ?
P z

F A B D E x C y

设平面 AEF 的一法向量为 m ? ( x1，y1，z1 ) ，

??? ? ? 3 x1 ? 0， ? ? ?m ?AE ? 0， 则 ? ??? 因此 ? 3 ? 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0． ? ? ?m ?AF ? 0， ? 2 2
取 z1 ? ?1 ，则 m ? (0， 2， ?1) ， 因为 BD ? AC ， BD ? PA ， PA ? AC ? A ，所以 BD ? 平面 AFC ，
??? ? 故 BD 为平面 AFC 的一法向量．

??? ? ??? ? ??? ? m?BD 2?3 15 3， 0) ，所以 cos ? m， 又 BD ? (? 3， ． BD ?? ? ??? ? ? 5 5 ? 12 m ?BD
因为二面角 E ? AF ? C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为
15 ． 5

9