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点线面关系题型清晰


点线面位置关系总复习

?

知识梳理

一、直线与平面平行 1.判定方法 (1)定义法:直线与平面无公共点。 (2)判定定理:

a ?? b ?? a / /b

a / /?

(3)其他方法:

? / /? a??

a / /?

a / /? 2.性质定理: a ? ? ? ?? ?b

a / /b

二、平面与平面平行 1.判定方法 (1)定义法:两平面无公共点。

a / /? b / /? (2)判定定理: a ? ? b ?? a ?b ? P
(3)其他方法:

? / /?

a ?? a??

? / /? ;

a / /?

? / /?

? / /?

? / /? 2.性质定理: ? ? ? ? a ? ?? ?b

a / /b

三、直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直,则这条直线和这个平面垂直。 (2)判定方法 ① 用定义.

a?b a?c ② 判定定理: b ? c ? A b ?? c ??

a ??

1

③ 推论:

a ?? a / /b

b ??

(3)性质 ①

a ?? b ??

a?b



a ?? b ??

a / /b

四、平面与平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直线二面角,就说这两个平面互相垂直。 (2)判定定理 (3)性质

a ?? a??

? ??

? ?? ? ?? ?l ①性质定理 a ??
a?l

? ??

? ?? ? ?? ?l ② P ?? P A? ? 垂足为 A
? ?? ? ?? ?l P ?? PA ? ?

A?l



PA ? ?

?

“转化思想” 线面平行 线面垂直 线线平行 线线垂直

面面平行 面面垂直

求二面角 1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角. 2.在二面角 的棱上任取一点 O,在两半平面内分别作射线 OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB 叫做二面角 的

平面角 例 1.如图,在三棱锥 S-ABC 中,SA?底面 ABC,AB?BC,DE 垂直平分 SC,且分别交 AC 于 D,交 SC 于 E,又 SA=AB, SB=BC,求以 BD 为棱,以 BDE 和 BDC 为面的二面角的度数。 求线面夹角 定义: 斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角 (或斜线和平面的夹角) 方法:作直线上任意一点到面的垂线,与线面交点相连,利用直角三角形有关知识求得 三角形其中一角就是该线与平面的夹角。 例 1:在棱长都为 1 的正三棱锥 S-ABC 中,侧棱 SA 与底面 ABC 所成的角是________.
2

例 2:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, ①BC1 与平面 AB1 所成的角的大小是___________; ②BD1 与平面 AB1 所成的角的大小是___________; ③CC1 与平面 BC1D 所成的角的大小是___________; ⑤ BC1 与平面 A1BCD1 所成的角的大小是___________; ⑥ BD1 与平面 BC1D 所成的角的大小是___________; 例 3:已知空间内一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC 两两夹角为 60°,试求 OA 与平面 BOC 所成的角的大小. 求线线距离 说明:求异面直线距离的方法有: (1)(直接法)当公垂线段能直接作出时,直接求.此时,作出并证明异面直线的公垂线段,是求异面直线距离的 关键. (2)(转化法)把线线距离转化为线面距离,如求异面直线 a 、 b 距离,先作出过 a 且平行于 b 的平面 ? ,则 b 与 (线面转化法) . ? 距离就是 a 、 b 距离. 也可以转化为过 a 平行 b 的平面和过 b 平行于 a 的平面,两平行平面的距离就是两条异面直线距离. (面面转化 法) . (3)(体积桥法)利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求. (4)(构造函数法)常常利用距离最短原理构造二次函数,利用求二次函数最值来解. 两条异面直线间距离问题,教科书要求不高(要求会计算已给出公垂线时的距离) ,这方面的问题的其他解法, 要适度接触,以开阔思路,供学有余力的同学探求. 例:在棱长为 a 的正方体中,求异面直线 BD 和 B1C 之间的距离。 ? 线面平行(包括线面距离) 例:已知点 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点,且 SA ? SB ? SC , SG 为 ?SAB 上的高, D 、 E 、 F 分别 是 AC 、 BC 、 SC 的中点,试判断 SG 与平面 DEF 内的位置关系,并给予证明

面面平行(包括面面距离) 例 1:已知正方体 ABCD ? A ,求证 平面B1 AD1 / / 平面BC1D 1B 1C1D 1 例 2:在棱长为 a 的正方体中,求异面直线 BD 和 B1C 之间的距离.

3

? 面面垂直 例 1:已知直线 PA 垂直正方形 ABCD 所在的平面,A 为垂足。求证:平面 PAC?平面 PBD。

例 2:已知直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面,A 为垂足,AB 为圆 O 的直径,C 是圆周上异于 A、B 的一点。求证:平面 PAC?平面 PBC。

课后作业:
一、选择题 1.教室内任意放一支笔直的铅笔,则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线( A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 ) )

2.若 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( A.若 m?β,α⊥β,则 m⊥α B.若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β C.若 m⊥β,m∥α,则 α⊥β D.若 α⊥γ,α⊥β,则 β⊥γ

3.(改编题)设 P 是△ABC 所在平面外一点,P 到△ABC 各顶点的距离相等,而且 P 到△ABC 各边的距离也相等, 那么△ABC( )

A.是非等腰的直角三角形 B.是等腰直角三角形 C.是等边三角形 D.不是 A、B、C 所述的三角形 4.把等腰直角△ABC 沿斜边上的高 AD 折成直二面角 B—AD—C,则 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为 ( A. 2 B. 2 2 C.1 D. 3 3 ) )

5.如图,已知△ABC 为直角三角形,其中∠ACB=90° ,M 为 AB 的中点,PM 垂直于△ACB 所在平面,那么( A.PA=PB>PC C.PA=PB=PC 二、填空题: 6. 正四棱锥 S—ABCD 的底面边长为 2, 高为 2, E 是边 BC 的中点, 动点 P 在表面上运动, 并且总保持 PE⊥AC,则动点 P 的轨迹的周长为 . B.PA=PB<PC D.PA≠PB≠PC

7. α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④ m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: 三、解答题 11.如图(1),等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60° ,E 是 BC 的中点,如图(2),将△ABE 沿 AE 折起, 使二面角 B—AE—C 成直二面角,连接 BC,BD,F 是 CD 的中点,P 是棱 BC 的中点. .

4

(1)求证:AE⊥BD;(2)求证:平面 PEF⊥平面 AECD;(3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC?并说明理由. 12. 如图,已知PA ? 矩形ABCD所在平面。M , N 分别是AB, PC的中点。
( 1)求证:MN ? 面PAD (2)求证:MN ? CD (3)若?PDA ? 45O , 求证:MN ? 面PCD

12.如图所示,已知△BCD 中,∠BCD=90° ,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60° ,E、F 分别是 AC、AD 上 的动点,且 AE AF = =λ(0<λ<1). AC AD

(1)求证:不论 λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (2)当 λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD?

13.如图,在矩形 ABCD 中,AB=2BC,P、Q 分别为线段 AB、CD 的中点,EP⊥平面 ABCD.

(1)求证:DP⊥平面 EPC; (2)问在 EP 上是否存在点 F 使平面 AFD⊥平面 BFC?若存在,求出 的值.

FP AP

5

参考答案 ? 求二面角 分析:找二面角的平面角,有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线 ,它们所成的角就是二 面角的平面角. 解:

在 RtΔSAC 中,SA=1,SC=2,∴∠ECA=30?, 在 RtΔDEC 中,∠DEC=90?, ∴∠EDC=60?, ∴ 所求的二面角为 60?。 ? 求线线距离 解法 1: (直接法)如图:
1 于 M 、 N 两点, 1 分别交 AC 、 BC 取 BC 的中点 P ,连结 PD 、 PB

易证: DB1 // MN , DB1 ? AC , DB1 ? BC1 .

1 3 MN ? DB1 ? a 3 3 . ∴ MN 为异面直线 AC 与 BC1 的公垂线段,易证:
小结:此法也称定义法,这种解法是作出异面直线的公垂线段来解.但通常寻找公垂线段时,难度较大. 解法 2: (转化法)如图: ∵ AC // 平面 A1C1B , ∴ AC 与 BC1 的距离等于 AC 与平面 A1C1B 的距离,
1 中,作斜边上的高 OE ,则 OE 长为所求距离, 在 Rt?OBO

OB ?


2 a 2 , OO1 ? a ,



O1B ?

OO1 ? OB 3 3 OE ? ? a a O1B 3 . 2 ,∴

小结:这种解法是将线线距离转化为线面距离. 解法 3: (转化法)如图:
6

1 // 平面 A 1C1 B , ∵平面 ACD 1 与平面 A 1C1 B 的距离. ∴ AC 与 BC1 的距离等于平面 ACD 1 ,且被平面 ACD 1 和平面 A 1C1 B 三等分; ∵ DB1 ? 平面 ACD

1 3 B1 D ? a 3 . ∴所求距离为 3
小结:这种解法是线线距离转化为面面距离. 解法 4: (构造函数法)如图: 任取点 Q ? BC1 ,作 QR ? BC 于 R 点,作 PK ? AC 于 K 点,设 RC ? x ,
2 2 2 则 BR ? QR ? a ? x , CK ? KR ,且 KR ? CK ? CR

KR 2 ?


1 1 CR 2 ? x 2 2 2 . 1 2 x ? (a ? x) 2 2 3 2 1 1 ? ( x ? a) 2 ? a 2 ? a 2 2 3 3 3 ,

QK 2 ?


3 a BC QK 1 的距离等于 3 故 的最小值,即 AC 与 .
小结:这种解法是恰当的选择未知量,构造一个目标函数,通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离. 解法 5: (体积桥法)如图: 当求 AC 与 BC1 的距离转化为求 AC 与平面 A1C1B 的距离后,设 C 点到平面 A1C1 B 的距离为 h ,



VC ? A1C1B ? VA1 ?BCC1
h


1 3 1 1 h? ( 2a ) 2 ? ? a ? a 2 4 3 2 , .∵ 3

3 3 a a BC 3 .即 AC 与 1 的距离等于 3 .
的高,

小结:本解法是将线线距离转化为线面距离,再将线面距离转化为锥体化为锥体 然后用体积公式求之.这种方法在后面将要学到.

? 线面平行 例: 分析 1:如图,观察图形,即可判定 SG // 平面 DEF ,要证明结论成立,只需证明 SG 与平面 DEF 内的一条直线平 行.

7

观察图形可以看出:连结 CG 与 DE 相交于 H ,连结 FH , FH 就是适合题意的直线. 怎样证明 SG // FH ?只需证明 H 是 CG 的中点. 证法 1:连结 CG 交 DE 于点 H , ∵ DE 是 ?ABC 的中位线, ∴ DE // AB . 在 ?ACG 中, D 是 AC 的中点,且 DH // AG , ∴ H 为 CG 的中点. ∵ FH 是 ?SCG 的中位线,∴ FH // SG . 又 SG ? 平面 DEF , FH ? 平面 DEF , ∴ SG // 平面 DEF . 分析 2 :要证明 SG // 平面 DEF ,只需证明平面 SAB // 平面 DEF ,要证明平面 DEF // 平面 SAB ,只需证明

SA // DF , SB // EF 而 SA // DF , SB // EF 可由题设直接推出.
证法 2:∵ EF 为 ?SBC 的中位线, ∴ EF // SB . ∵ EF ? 平面 SAB , SB ? 平面 SAB , ∴ EF // 平面 SAB . 同理: DF // 平面 SAB , EF ? DF ? F , ∴平面 SAB // 平面 DEF ,又∵ SG ? 平面 SAB , ∴ SG // 平面 DEF .

? 面面平行 例一: 证明:∵ ABCD - A1B1C1D1 为正方体, ∴ D1 A // C1B ,

又 C1 B ? 平面 C1BD , 故 D1 A // 平面 C1BD . 同理 D1 B1 // 平面 C1BD . 又 D1 A ? D1B1 ? D1 ,

8

∴ 平面 AB1D1 // 平面 C1BD . 例二: 根据正方体的性质,易证:

BD // B1 D1 ? ? ? 平面A1 BD // 平面CB1 D1 A1B // D1C ?
连结 AC1 ,分别交平面 A1BD 和平面 CB1D1 于 M 和 N 因为 CC1 和 AC1 分别是平面 ABCD 的垂线和斜线, AC 在平面 ABCD 内, AC ? BD 由三垂线定理: AC1 ? BD ,同理: AC1 ? A1D ∴ AC1 ? 平面 A1BD ,同理可证: AC1 ? 平面 CB1D1 ∴平面 A1BD 和平面 CB1D1 间的距离为线段 MN 长度. 如图所示: 在对角面 AC1 中, O1 为 A1C1 的中点, O 为 AC 的中点



AM ? MN ? NC1 ?

1 3 AC1 ? a 3 3 .

3 a ∴ BD 和 B1C 的距离等于两平行平面 A1BD 和 CB1D1 的距离为 3 .
? 面面垂直

例 1:

例 2:
AB是圆O的直径 C是圆周上异于A、B的一点

? ? ? BC ? AC ?
PA ? 平面ABC ? ? ? BC ? PA BC ? 平面ABC ? AC ? 平面PAC,PA ? 平面PAC
AC PA ? A

? ? ? BC ? 平面PAC ? ? ? PAC ? 平面PBC。 ? BC ? 平面PBC ? 平面 ? ? ? ?

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作业: 一、选择题: 1. D 2. C 3. C

4. B

5. C

6.解析:如图,取 CD 的中点 F、SC 的中点 G,连接 EF,EG,FG,EF 交 AC 于点 H,易知 AC⊥EF,又 GH∥SO,

∴GH⊥平面 ABCD, ∴AC⊥GH,∴AC⊥平面 EFG, 故点 P 的轨迹是△EFG, 其周长为 2+ 6. 答案: 2+ 6 7. ① ③ ④ ?② ;② ③ ④ ?①

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