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高考数学


2011 高考数学备考之

放缩技巧

证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性 和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各 类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的 结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主

要有以下几种:

一、裂项放缩 例 1.(1)求 ?
k ?1 n

2 4k ? 1
2
n

的值;

(2)求证: ? 解析:(1)因为

1 5. ? 2 3 k ?1 k

2 2 1 1 ,所以 n 2 1 2n ? ? ? ? 1? ? ? 2 4n 2 ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 2 n ? 1 2 n ?1 4 k ? 1 k ?1
1 ? n2 1 n2 ? 1 4 ?
n 1 1 1 1 ? 2 5 1 ? ,所以 ? 1 ? 1 ? 2? ? 1 ? ? ? ??? ? ? 1? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 k 3 5 2 n ? 1 2 n ? 1 3 3 ? ? k ? 1 2 n ? 1 2 n ? 1 4n ? 1 ? ?

(2)因为

4

奇巧积累:(1)

1 4 4 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? ? n 2 4n 2 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

(2)

1 2 1 1 ? ? ? 1 2 ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) n ( n ? 1) Cn C ?1 n

(3) Tr ?1 ? Cnr ?
n

1 n! 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? (r ? 2) n r r!(n ? r )! n r r! r (r ? 1) r ? 1 r

(4) (1 ? 1 ) n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 ?1 3 ? 2

1 5 ? n(n ? 1) 2

(5) (6)

1 1 1 ? ? 2 n (2 n ? 1) 2 n ? 1 2 n

1 ? n?2 ? n n?2

(7) 2( (8) (9)

n ?1 ? n) ?

1 n

? 2( n ? n ? 1)

1 ? 1 1 1 ? 2 ? ? ? ?? n ? n ?1 2 n ? 1 2 n ? 3 2 ( 2 n ? 1 ) ? 2 ( 2 n ? 3) ? 2 n ? ?

1 1 1? 1 1 1 ?1 1 ? ? ?? ? ? , ? ? ? ? k (n ? 1 ? k ) ? n ? 1 ? k k ? n ? 1 n(n ? 1 ? k ) k ? 1 ? n n ? 1 ? k ?
n 1 1 ? ? (n ? 1) ! n ! (n ? 1) !
1 n 2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1 2 1 1 n? ? n? 2 2

(10) (11)

? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ?

?

(12)

2n 2n 2n 2n ?1 1 1 ? ? ? ? ? (n ? 2) (2n ? 1) 2 (2n ? 1)(2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 2) (2n ? 1)(2n ?1 ? 1) 2n ?1 ? 1 2n ? 1

(13)

1 n3

?

1 n ? n2

?

? ? 1 1 1 1 ?? ?? ? ? n ?1 ? n ?1 n(n ? 1)(n ? 1) ? n ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) ? ?

1 ? n ?1 ? n ?1 ? 1 ?? ? ? ?? n ? 1 n ?1 ? 2 n ?

1 1 ? n ?1 n ?1
2n 1 2n ? n ? 3 2 ?1 3

(14) (15) (16)

2n ?1 ? 2 ? 2n ? (3 ? 1) ? 2n ? 3 ? 3(2n ? 1) ? 2n ? 2n ? 1 ?

k?2 1 1 ? ? k!?(k ? 1)! ? (k ? 2)! (k ? 1) ! (k ? 2) !

1 ? n ? n ? 1(n ? 2) n(n ? 1)
i2 ? 1 ? j2 ? 1 i2 ? j2 ? i? j (i ? j )( i 2 ? 1 ? i? j i ?1 ?
2

(17)

j ? 1)
2

?

j2 ?1

?1

例 2.(1)求证:1 ?
4

1 1 1 7 1 ? ??? ? ? (n ? 2) 32 5 2 (2n ? 1) 2 6 2(2n ? 1)

(2)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 2 ? 1 ? 1
16 36 4n 2
2 2?4 2?4?6

4n

(3)求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 1 ? 1
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
??? 1 n

(4) 求证: 2( 解析:(1)因为 (2) 1 ?
4

n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 2

?

1 3

? 2 ( 2n ? 1 ? 1)

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) 2 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

,所以

? (2i ? 1)
i ?1

n

1

2

1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? 1? ( ? ) 2 3 2n ? 1 2 3 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 ? (1 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (1 ? 1 ? ) 16 36 4 4 n 4n 2 n
1 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

(3)先运用分式放缩法证明出 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 以得到答案 (4)首先
1 n ? 2( n ? 1 ? n ) ? 2 n ?1 ? n

,再结合

1 n?2

? n?2 ? n

进行裂项,最后就可

,所以容易经过裂项得到 2(

n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 n

再证

1 n

? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ?

2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1

? n?

2 1 1 ? n? 2 2

而由均值不等式知道这是显然成立的,

所以 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 ( 2n ? 1 ? 1)

例 3.求证: 解析:

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3
1 ? n2 1 1 n2 ? 4 ? 1 ? ? 1 ? 2? ? ? 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 4

一方面: 因为 另一方面: 当 n ? 3 时, 当 n ? 2 时,

,所以

?k
k ?1

n

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5

1?

1 1 1 1 1 1 1 n ? ??? 2 ? 1? ? ??? ? 1? ? 4 9 n 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) n ?1 n ?1

6n 1 1 1 n 6n ,当 n ? 1 时, ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n n ? 1 (n ? 1)(2n ? 1)

,

6n 1 1 1 ? 1? ? ??? 2 (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n

,

所以综上有

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3

例 4.(2008 年全国一卷)设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a 设 b ? (a1, 1) ,整数 k ≥ a1 ? b .证明: ak ?1 ? b .
a1 ln b

1

? 1. an?1 ? f (an ) .

解析:

由数学归纳法可以证明 ?an ? 是递增数列, 故 若存在正整数 m ? k , 使 am ? b , 则 ak ?1 ? ak ? b ,
k ?1

若 am ? b(m ? k ) ,则由 0 ? a1 ? am ? b ? 1知 am ln am ? a1 ln am ? a1 ln b ? 0 , a
k 因为 ? a m ?1 m

? ak ? ak ln ak ? a1 ? ? am ln am ,
k m ?1

ln am ? k (a1 ln b) ,于是 ak ?1 ? a1 ? k | a1 ln b |? a1 ? (b ? a1 ) ? b

例 5.已知 n, m ? N? , x ? ?1, Sm ? 1m ? 2m ? 3m ? ? ? nm ,求证: 解析:首先可以证明: (1 ? x)n ? 1 ? nx

nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1.

n m ?1 ? n m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 2) m ?1 ? ? ? 1m ?1 ? 0 ? ?[k m ?1 ? (k ? 1) m ?1 ] 所以要证
n k ?1

nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1只要证:

?[ k
k ?1

n

m ?1

? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? (n ? 1) m ?1 ? 1 ? (n ? 1) m ?1 ? nm ?1 ? nm ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? ? ? 2m ?1 ?1m ?1 ? ?[(k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ]
k ?1 k ?1

n

n

n n n 故只要证 ? [k m ?1 ? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? ?[(k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ] , k ?1 k ?1 k ?1

即等价于 k m?1 ? (k ? 1)m?1 ? (m ? 1)k m ? (k ? 1)m?1 ? k m , 即等价于 1 ? m ? 1 ? (1 ? 1 )m ?1 ,1 ? m ? 1 ? (1 ? 1 ) m ?1
k k k k

而正是成立的,所以原命题成立.

例 6.已知 an ? 4n ? 2n , T

n

?

2n a1 ? a2 ? ? ? an

,求证: T1 ? T2 ? T3 ? ? ? Tn ? 3 .
2
n

解析: Tn ? 41 ? 42 ? 43 ? ? ? 4n ? (21 ? 22 ? ? ? 2n ) ? 4(1 ? 4
1? 4

)

?

2(1 ? 2n ) 4 n ? (4 ? 1) ? 2(1 ? 2n ) 1? 2 3

所以
Tn ?

2n 2n 2n 3 ? 2n 3 2n ? n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ? ? n ?1 n 2 4 n 4 4 4 2 4 ? 3 ? 2 ? 2 2 2 ? (2 ) ? 3 ? 2n ? 1 (4 ? 1) ? 2(1 ? 2n ) ? ? 2 ? 2n ?1 ? ? 2n ?1 3 3 3 3 3

?

3 2n 3? 1 1 ? ? ? ? ? ? n 2 (2 ? 2 ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ?1 ? 1 ?

从而 T

1

? T2 ? T3 ? ? ? Tn ?

3? 1 1 1 1 1 ? 3 ? n ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? n 2? 3 3 7 2 ? 1 2 ? 1? 2

例 7.已知 x1 ? 1 , x 证明:
4

n

?n(n ? 2k ? 1, k ? Z ) ,求证: 1 1 1 ?? ? ??? ? 2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *) 4 x ?x 4 x ?x 4 x x ?n ? 1(n ? 2k , k ? Z ) 2 3 4 5 2 n 2 n ?1

1 x 2 n x 2 n ?1

?

1
4

(2n ? 1)( 2n ? 1)

?

1
4

4n 2 ? 1

?

1
4

4n 2

?

1 2? n

?

2 2 n

,

因为

2 n ? n ? n ? 1 ,所以
4

1 x 2 n x 2 n ?1

?

2 2 n

?

2 n ? n ?1

? 2( n ?1 ? n)

所以
4

1 1 1 ? ??? ? 2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *) 4 x x x2 ? x3 4 x4 ? x5 2 n 2 n ?1

二、函数放缩 例 8.求证: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 n
2 3 4 3
x
n

? 3n ?

5n ? 6 (n ? N * ) . 6

解析:先构造函数有 ln x ? x ? 1 ? ln x ? 1 ? 1 ,
x

从而 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3
2 3 4 3n

n

1 1 1 ? 3n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ) 2 3 3

而 1 ? 1 ???
2 3

1 ? 1 1? ? 1 1 1 1 1 1? 1 1? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? n ? n ??? n ? 3n ? 2 3 ? ? 4 5 6 7 8 9 ? 2 ?1 3 ? ?2

?

? 3n?1 5 ? 3 3? ? 9 9 ? 3n?1 ? 5n ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? n ? ? n ?1 ? 6 ? 6 9 ? ? 18 27 ? 3 ? ? 2?3 ? 6
n

所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3
2 3 4 3
n

? 3n ? 1 ?

5n 5n ? 6 ? 3n ? 6 6

? ? ? 2 例 9.求证:(1) ? ? 2, ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 2n ? n ? 1 (n ? 2) ? ? ?

2
x

3

n

2(n ? 1)

解析:构造函数 f ( x) ? ln x ,得到 ln n
n?

?

?

ln n 2 n2

,再进行裂项 ln n 2
n2

? 1?

1 1 ,求和后可以得到答案 ? 1? n(n ? 1) n2

函数构造形式:

ln x ? x ? 1 , ln n? ? n? ? 1(? ? 2)

例 10.求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln(n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1
2 3 n ?1
n

2

n

解析:提示: ln(n ? 1) ? ln n ? 1 ? 函数构造形式:

n 2 n ?1 n ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? ln 2 n ?1 1 n n ?1
ln x ? x, ln x ? 1 ? 1 x

y

当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数 f ( x) ? 1 ,
x
E F
n

D C B n x

首先: S

ABCF

?

1 1 ,从而, 1 ? i ? ? ? ln x |n n ? i ? ln n ? ln(n ? i ) ?x n x n ?i n ?i
n

O

A n-i

取 i ? 1 有, 1 ? ln n ? ln(n ? 1) ,
n

所以有

1 ? ln 2 2

,

1 ? ln 3 ? ln 2 3

,…,

1 ? ln n ? ln( n ? 1) n

,

1 ? ln( n ? 1) ? ln n n ?1

,相加后可以得到:

1 1 1 ? ??? ? ln(n ? 1) 2 3 n ?1

另一方面 S 取 i ? 1 有,

ABDE

?

1 n ?i x

?

n

,从而有

1 1 ? i ? ? ? ln x |n n ? i ? ln n ? ln(n ? i ) n?i x n ?i

n

1 ? ln n ? ln( n ? 1) , n ?1
1 1 1 ? ln( n ? 1) ? 1 ? ? ? ? n ?1 2 n

所以有 ln(n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,所以综上有 1 ? 1 ? ? ?
2 n

2

3

例 11.求证: (1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? ? ? (1 ? 1 ) ? e 和 (1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? ? ? (1 ?
2! 3! n!
9 81

1 )? e 32n

.

解析:构造函数后即可证明

例 12.求证: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? ?? [1 ? n(n ? 1)] ? e 2n?3 解析: ln[n(n ? 1) ? 1] ? 2 ?
3 n(n ? 1) ? 1

,叠加之后就可以得到答案
3 1 ? ln(1 ? x) 3 ( x ? 0) ? ? ( x ? 0) x ?1 x x ?1

函数构造形式: ln( x ? 1) ? 2 ?

(加强命题)

例 13.证明: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln n
3 4 5

n ?1

?

n(n ? 1) (n ? N *, n ? 1) 4

解析:构造函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? 1) ,求导,可以得到:
f ' ( x) ? 1 2? x ?1 ? x ?1 x ?1

,令 f ' ( x) ? 0 有 1 ? x ? 2 ,令 f ' ( x) ? 0 有 x ? 2 ,

所以 f ( x) ?
n ?1

2 2 2 f (2) ? 0 ,所以 ln(x ? 1) ? x ? 2 ,令 x ? n ? 1 有, ln n ? n ? 1

所以 ln n ? n ? 1 ,所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln n
2

3

4

5

n ?1

?

n(n ? 1) (n ? N *, n ? 1) 4

例 14. 已知 a 解析:
a n ?1 ? (1 ?

1

? 1, an ?1 ? (1 ?

1 1 )an ? n . n2 ? n 2

证明 a ,

n

? e2 .

1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? ? )a n n(n ? 1) n(n ? 1) 2 n 2

然后两边取自然对数,可以得到 ln a

n ?1

? ln(1 ?

1 1 ? ) ? ln a n n(n ? 1) 2 n

然后运用 ln(1 ? x) ? x 和裂项可以得到答案) 放缩思路:
? ln a n ?
a n ?1 ? (1 ? 1 1 ? )a n ? n2 ? n 2n

ln a n ?1 ? ln(1 ?

1 1 ? ) ? ln a n ? n2 ? n 2n

1 1 ? n2 ? n 2n
n ?1 i ?1

。于是 ln a
2

n ?1

? ln a n ?

1 1 ? n2 ? n 2n



?
i ?1

n ?1

(ln ai ?1 ? ln ai ) ? ? (

1 1 1 ? ) ? ln a n ? ln a1 ? 1 ? ? n i ? i 2i

1 1 ? ( ) n ?1 1 1 2 ? 2 ? ? n ? 2. 1 n 2 1? 2

即 ln an ? ln a1 ? 2 ? an ? e2 . 注:题目所给条件 ln(1 ? x) ? x( x ? 0 )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用; 当然,本题还可用结论 2n ? n(n ? 1)(n ? 2) 来放缩:
a n ?1 ? (1 ? 1 1 )a n ? ? a n?1 ? 1 ? (1 ? 1 )(a n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)
1 1 )? . n(n ? 1) n(n ? 1)

ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ?

? ?[ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ?
i ?2 i ?2

n ?1

n ?1

, 1 1 ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 i(i ? 1) n

即 ln(an ?1) ? 1? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 .

例 16.(2008 年福州市质检)已知函数 f ( x) ? x ln x. 若 a ? 0, b ? 0, 证明: f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b). 解析:设函数 g ( x) ? f ( x) ? f (k ? x), (k ? 0)
f ( x) ? x ln x,? g ( x) ? x ln x ? (k ? x) ln(k ? x), ? 0 ? x ? k . g ?( x) ? ln x ? 1 ? ln(k ? x) ? 1 ? ln 令g ?( x) ? 0, 则有 x , k?x

x 2x ? k k ?1? ? 0 ? ? x ? k. k?x k?x 2
2

∴函数 g ( x)在[ , k )上单调递增,在 (0, k ] 上单调递减.
k ∴ g ( x) 的最小值为 g ( ) ,即总有 g ( x) ? g ( k ). 2 2

k 2

而 g( k ) ?
2

k k k f ( ) ? f (k ? ) ? k ln ? k (ln k ? ln 2) ? f (k ) ? k ln 2, 2 2 2

? g ( x) ? f (k ) ? k ln 2,

即 f ( x) ? f (k ? x) ? f (k ) ? k ln 2. 令 x ? a, k ? x ? b, 则 k ? a ? b.
? f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2.
? f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b).

例 15.(2008 年厦门市质检) 已知函数 f ( x) 是在 (0,??) 上处处可导的函数,若 x ? f ' ( x) ? 恒成立.

f ( x) 在 x ? 0 上

(I)求证:函数 g ( x) ?

f ( x) 上是增函数; 在(0,?? ) x

(II)当 x1 ? 0, x2 ? 0时, 证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ; (III) 已 知 不 等 式
ln(1 ? x) ? x在x ? ?1且x ? 0
(n ? N * ).

















1 1 1 1 n ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)(n ? 2) 22 3 4 (n ? 1) 2

解析:(I) g ' ( x) ?

f ' ( x) x ? f ( x) ?0 x2

,所以函数 g ( x) ? f ( x) 在(0,?? ) 上是增函数
x

(II)因为 g ( x) ? f ( x) 在(0,?? ) 上是增函数,所以
x

f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) x1 ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x1 x1 ? x2 x1 ? x2
f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) x2 ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x2 x1 ? x2 x1 ? x2

两式相加后可以得到 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) (3)
f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x1 ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x1 x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x2 …… ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x2 x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

f ( xn ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) xn ? ? f ( xn ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) xn x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

相加后可以得到:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn )

所以 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? x3 ln x3 ? ? ? xn ln xn ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ln(x1 ? x2 ? ? ? xn ) 令
xn ? 1 (1 ? n) 2

,有

? 1 1 1 1 ? 1 1 1 1 ? ? 1 1 1 ? 2 2 2 2? ?? ? 2 2 ln 2 ? 32 ln 3 ? 4 2 ln 4 ? ? ? (n ? 1) 2 ln(n ? 1) ? ??? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ? ? ? ln? ? 2 ? 32 ? ? ? (n ? 1) 2 ? ? ? ? ?2 3 4 ? ?2 ?

1 ?? 1 1 ? n ? 1 1 1 ? ? 1 1 1 ??? ?? ?? ? ??? ?? ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1)n ? ? ? n ? 1 ?? 2 n ? 2 ? ? 2 2 ? 32 ? ? ? (n ? 1) 2 ? ? ? ln? 2 ( n ? 1 )(n ? 2) ? ? ? ?

所以 (方法二) ln(n ? 1)
(n ? 1)
2

1 1 1 1 n ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)(n ? 2) 22 3 4 (n ? 1) 2
2

(n ? N * ).

?

ln(n ? 1) 2 ln 4 1 ? ? 1 ? ? ln 4? ? ? (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2) ? n ?1 n ? 2 ?

所以

1 1 1 1 1 ? n ln 4 ?1 ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? ln 4? ? ?? 22 3 4 (n ? 1) 2 ? 2 n ? 2 ? 2(n ? 2)

又 ln 4 ? 1 ?

1 ,所以 1 1 1 1 n ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? (n ? N * ). n ?1 2(n ? 1)(n ? 2) 22 3 4 (n ? 1) 2

三、分式放缩 姐妹不等式: b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 和 b ? b ? m (a ? b ? 0, m ? 0)
a a?m a a?m

记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之. 例 19. 姐妹不等式: (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ?
3 5 1 1 也可以表示 ) ? 2n ? 1 和 (1 ? 1 )(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? 2n ? 1 2 4 6 2n 2n ? 1
1 2n ? 1

成为

和 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ?? 2n ? 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1? 3 ? 5 ??? (2n ? 1)
a a?m

解析: 利用假分数的一个性质 b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 可得
2 4 6 2n ? ? ? ? 3 ? 5 ? 7 ? 2n ? 1 ? 1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n
1 3 5 2n ? 1
1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? (2n ? 1) 2 4 6 2n

? ( 2 ? 4 ? 6 ? 2n ) 2 ? 2n ? 1 即 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 )? (1 ?

3

5

1 ) ? 2n ? 1. 2n ? 1

例 20.证明: (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ?
4 7

1 ) ? 3 3n ? 1. 3n ? 2

解析: 运用两次次分式放缩:
2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n ? ? ?? ? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 2 5 8 3n ? 1
2 5 8 3n ? 1 4 7 10 3n ? 1 ? ? ??? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 3 6 9 3n

(加 1) (加 2)

相乘,可以得到:
3n ? 1 ? 4 7 10 3n ? 1 1 4 7 3n ? 2 ?2 5 8 ? ? ? ? ?? ? (3n ? 1) ? ? ? ? ?? ? ? . ? ? ?? ? 3n ? 2 ? 2 5 8 3n ? 1 2 5 8 3n ? 1 ?1 4 7
2

所以有 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ?
4 7

1 ) ? 3 3n ? 1. 3n ? 2

四、分类放缩 例 21.求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 3 1 n ? 2n ?1 2

解析:

1?

1 1 1 1 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? n ? 1 ? ? ( ? ) ? ( 3 ? 3 ? 3 ? 3 ) ? ? ? ( n ? n ? ? ? n ) ? n ? ? (1 ? n ) ? 2 2 2 3 2 4 4 2 2 2 2 2 2 ?1 2 2 2 2

例 22.(2004 年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系 xoy 中, y 轴正半轴上的点列 上的点列 ?Bn ?满足 OAn ? OB n ? 1 , 直线 ?An ?与曲线 y ? 2 x( x ≥0)
n

An Bn 在 x 轴上的截距为 an .

点 Bn 的横坐标为 bn , n ? N ? . (1)证明 an > an?1 >4, n ? N ? ; (2)证明有 n0 ? N ? ,使得对 ?n ? n0 都有 b2 ? b3 ? ? ?
b1 b2 bn bn?1 ? bn?1 bn

< n ? 2008 .

解析:(1) 依题设有: A ? 0, 1 ? , B
n

? ?

? n?

n

?b ,
n

2bn , ? bn ? 0 ?

?

,由 OB

n

?

1 n

得:

bn 2 ? 2bn ?

1 1 ,?bn ? 2 ? 1 ? 1, n ? N * n2 n

,又直线 A B 在 x 轴上的截距为 an 满足
n n

? an ? 0? ? ?
?

1? ? 1? 2bn ? ? ? ? 0 ? ? ? bn ? 0 ? n? ? n?

an ?

bn 1 ? n 2bn

2n2bn ? 1 ? n2bn 2 ? 0, bn ? 2 ?

1 n2bn

? an ?

bn 1 ? n 2bn bn 1 2 ? ? 2 ? ? bn ? 2 ? 2bn ? 4 ? an ? 12 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 12 ? 1 1 ? 2n2bn n bn n bn n n 1 ? n 2bn
1 ?0 n ?1

?

?

显然,对于 1 ?
n

,有 an ? an?1 ? 4, n ? N *

(2)证明:设 c
cn ?

n

? 1?

,则 bn ?1 ,n? N* bn
1
2

1 ?1 ? n2

? n ? 1?

?1

1 ? 1 ?1 n2

? 1 1 ? ? n2 ? 2 ? ? ? n ? n ? 1?2 ? ? ?

1 ?1 ?1 n2 1 1 ?1 ? ?1 2 n2 ? n ? 1?

?

2n ? 1

? n ? 1?

2

? ? 1 ?1 ?1 ? 2n ? 1 ? 1 1 2n ? 1 n2 ? ? ?? ? 2 2 2 ? 2 ? n ? 1? 1 1 n ? 1? ? ? 2 2 ?1 2 2 ?1 ? ? n n ? ?
2

? 2n ? 1?? n ? 2 ? ? 2 ? n ? 1?
设 Sn ? c1 ? c2 ?
1 1 Sn ? ? ? 3 4
? 2?

? n ? 0,? cn ?

1 ,n? N* n?2

? cn , n ? N * ,则当 n ? 2k ? 2 ? 1? k ? N * ? 时,

?

1 1 ?1 1? ? 1 ? k ? ? ? ??? 2 ? 2 ?1 2 ? 3 4 ? ? 2 ? 1
k

?

1? ? 1 ? ??? 23 ? ? 2k ?1 ? 1

?

1 ? ? 2k ?

1 1 ? 22 ? 3 ? 22 2

? 2k ?1 ?

1 k ?1 。 ? 2k 2
0

所以,取 n0 ? 24009 ? 2 ,对 ?n ? n 都有:
? bn ?1 ? ? b2 ? ? b3 ? 4017? 1 ? ? 2008 ?1 ? b ? ??? ?1 ? b ? ? ??? ? ?1 ? b ? ? ? S n ? S n0 ? 2 1 ? 2 ? n ? ? ? ?

故有 b2
b1

?

b3 b b ? ? ? n ? n?1 b2 bn?1 bn

< n ? 2008 成立。

例 23.(2007 年泉州市高三质检) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b ? 1, c ? R) ,若 f ( x) 的定义域为[-1, 0],值域也为[-1,0].若数列 {bn } 满足 b
n

?

f ( n) (n ? N * ) ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,问是 n3
? A ?并证明你的结论。

否存在正常数 A,使得对于任意正整数 n 都有 T 解析:首先求出 f ( x) ? x2 ? 2x ,∵ b ∴
n

n

?

f ( n) n 2 ? 2n 1 ? ? n3 n3 n

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1 ?

1 1 1 ? ??? 2 3 n

,∵

1 1 1 1 ? ? 2? ? 3 4 4 2

,

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 4? ? 5 6 7 8 8 2

k 1 1 1 1 1 k ? ? ? ? k ? 2 k ?1 ? k ? ,故当 n ? 2 时, Tn ? ? 1 , 2 k ?1 ? 1 2 k ?1 ? 2 2 2 2 2

因此,对任何常数 A,设 m 是不小于 A 的最小正整数, 则当 n ? 2 2 m?2 时,必有 Tn ? 2m ? 2 ? 1 ? m ? A .
2

故不存在常数 A 使 T

n

? A 对所有 n

? 2 的正整数恒成立.
? x ? 0,

例 24.(2008 年中学教学参考)设不等式组 ? ? y ? 0,

表示的平面区域为 D ,
n

? y ? ? nx ? 3n ?

设 D 内整数坐标点的个数为 an .设 S n ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,
n

a n?1

an? 2

a2n

当 n ? 2 时,求

证: 1
a1

?

1 1 1 7n ? 11 . ? ??? ? a 2 a3 a 2n 36
? 3n ,所以,要证 1
a1

解析:容易得到 a

n

?

1 1 1 7n ? 11 ? ??? ? a 2 a3 a 2n 36

只要证 S

2n

?1?

1 1 1 7n ? 11 ,因为 ? ??? n ? 2 3 2 12

S2 n ? 1 ?

1 3 7 7n ? 11 ,所以原 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ? ? ( n ?1 ? ? ? ? n ? 1 ? ? T21 ? T2 2 ? ? ? T2 n ?1 ? ? (n ? 1) ? 2 2 12 12 2 3 4 5 6 7 8 2 ? 1 2n ?1 ? 2 2

命题得证

五、迭代放缩 例 25. 已知 x
n ?1

?

n xn ? 4 , x1 ? 1 ,求证:当 n ? 2 时, ?| xi ? 2 | ? 2 ? 21? n xn ? 1 i ?1

解析:通过迭代的方法得到 x n ? 2 ? 例 26. 设 S 解析:

1 2 n ?1

,然后相加就可以得到结论

n

sin 1! sin 2! sin n! ? 1 ? 2 ? ? ? n ,求证:对任意的正整数 2 2 2
sin( n ? 1)! sin( n ? 2)! sin( n ? k ) ? ??? | 2 n ?1 2 n?2 2 n?k

k,若 k≥n 恒有:|Sn+k-Sn|< n

1

| S n ? k ? S n |?|

?|

sin( n ? 1)! sin( n ? 2)! s i nn (? k) 1 1 1 |?| | ??? | |? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? n ? k 2 n ?1 2 n?2 2 n?k 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? k ) ? n ? (1 ? k ) ? n 2n 2 22 2 2 2 2

?

1 n 又 2n ? (1 ? 1) n ? Cn0 ? Cn ? ? ? Cn ?n

所以 | S

n?k

? S n |?

1 1 ? 2n n

六、借助数列递推关系

例 27.求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2n ? 2 ? 1

解析: 设 a

n

?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 则 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

a n ?1 ?

2n ? 1 a n ? 2(n ? 1)a n?1 ? 2nan ? a n ,从而 2(n ? 1)

an ? 2(n ? 1)an?1 ? 2nan ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2(n ? 1)a n?1 ? 2a1 ? 2(n ? 1) ? 1 2n ? 3 ? 1 ? (2n ? 2) ? 1 2n ? 2 ?1

所以 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2n ? 2 ? 1

例 28. 求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2n ? 1 ? 1

解析: 设 a n ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 则
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
a n ?1 ? 2n ? 1 ,从而 a n ? [2(n ? 1) ? 1]a n?1 ? (2n ? 1)a n ? a n ?1 2(n ? 1)

an ?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (2n ? 1)a n?1 ? 3a1 ? (2n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 1 ? 1 2

例 29. 若 a1 ? 1, an?1 ? an ? n ? 1 ,求证: 1
a1

?

1 1 ??? ? 2( n ? 1 ? 1) a2 an

解析:

an? 2 ? an?1 ? n ? 2 ? an ? an?1 ? 1 ?

1 ? an?2 ? an an?1

所以就有 1 ?
a1

1 1 1 ??? ? ? an?1 ? a n ? a2 ? a1 ? 2 a n?1an ? a2 ? 2 n ? 1 ? 2 a2 a n a1

七、分类讨论 例 30. 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和
1 1 1 7 ? ??? ? a 4 a5 am 8

Sn

满足

Sn ? 2an ? (?1)n , n ? 1.

证明:对任意的整数

m?4

,有

解析:容易得到 a

n

?

2 n?2 2 ? (?1) n ?1 . 3

?

?,

由于通项中含有 (?1) n ,很难直接放缩,考虑分项讨论: 当 n ? 3 且 n 为奇数时 1
an ? 1 3 1 1 3 2 n?2 ? 2 n?1 ? ( ? )? ? an?1 2 2 n?2 ? 1 2 n?1 ? 1 2 2 2n?3 ? 2 n?1 ? 2 n?2 ? 1

?

3 2 n ?2 ? 2 n ?1 3 1 1 (减项放缩) ,于是 ? ? ? ( n ?2 ? n ?1 ) 2 2 2 2 2 n ?3 2

①当 m ? 4 且 m 为偶数时

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ??? ( ? ) ? ??? ? a4 a5 a 6 a m?1 a m a 4 a5 am 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 7 ? ? ( 3 ? 4 ? ? ? m ? 2 ) ? ? ? ? (1 ? m ? 4 ) ? ? ? . 2 2 2 2 2 4 2 8 8 2 2 2
1 1 1 ? ??? ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 a 4 a5 am a 4 a5 a m a m?1

②当 m?4 且 m 为奇数时
1 1 1 1 7 ? ??? ? ? . a 4 a5 a m a m?1 8

(添项放缩)由①知

由①②得证。

八、均值不等式放缩 例 32.设 Sn ?
1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1). 求证 n(n ? 1) ? S
2
n

?

(n ? 1) 2 . 2

解析: 此数列的通项为 a
? k ? k (k ? 1) ?

k

? k (k ? 1) , k ? 1,2,?, n.

k ? k ?1 1, n n 1 , ?k? ? ? k ? S n ? ? (k ? ) 2 2 2 k ?1 k ?1
n(n ? 1) n (n ? 1) 2 ? ? . 2 2 2
a?b 2

即 n(n ? 1) ? S
2

n

?

注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式
k (k ? 1) ? k ? 1则得 S ? (k ? 1) ? (n ? 1)(n ? 3) ? (n ? 1) ? n 2 2 k ?1
n 2

ab ?

,若放成

,就放过“度”了!

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
a ? ? ? an n ? n a1 ? a n ? 1 ? 1 1 n ??? a1 an
2 a12 ? ? ? a n n

其中, n ? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。

例 33. 已 知 函 数

f ( x) ?

1 1 ? a ? 2 bx

,若

f (1) ?

4 5

,且

f ( x)

在 [0 , 1] 上 的 最 小 值 为

1 2

,求证:

f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ?

1 1 ? . 2 n ?1 2

解析:

f ( x) ?

4x 1 1 1 ?1? ?1? ( x ? 0) ? f (1) ? ? ? f (n) ? (1 ? ) 2? 2 1? 4x 1? 4x 2 ? 2x

? (1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ) ? ? ? (1 ? ) ? n ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) ? n ? n ?1 ? . 4 2 2 2 ? 22 2 ? 2n 2 2

例 34.已知 a , b 为正数,且 1 ? 1 ? 1 ,试证:对每一个 n ? N ? , (a ? b) n ? a n ? b n ? 22n ? 2n?1 .
a b

解 析 :



1 1 ? ?1 a b

得 ab ? a ? b , 又

1 1 a b (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 4 a b b a

, 故 ab ? a ? b ? 4 , 而

0 n 1 n?1 r n ?r r n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ,

1 n?1 r n ?r r n?1 i n?i ,倒序 令 f (n) ? (a ? b) n ? a n ? b n ,则 f (n) = Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn abn?1 ,因为 Cn ? Cn
1 r n?1 相加得 2 f (n) = Cn (a n?1b ? abn?1 ) ? ? ? Cn (a n?r b r ? a r b n?r ) ? ? ? Cn (abn?1 ? a n?1b) ,

而 a n?1b ? abn?1 ? ? ? a n?r b r ? a r b n?r

? ? ? abn?1 ? a n?1b ? 2 a n b n ? 2 ? 4 2 ? 2 n?1 ,
? (2 n ? 2) ? 2
n ?1

n

1 r n?1 则 2 f (n) = (Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn )(a r b n?r ? a n?r b r ) ? (2n ? 2)(a r b n?r ? a n?r b r )

,所以

f (n) ? (2 n ? 2) ? 2

n

,即对每一个 n ? N ? , (a ? b) n ? a n ? b n ? 2 2n ? 2 n?1 .
n?1

1 2 3 n 例 35.求证 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n ? 2 2 (n ? 1, n ? N )

1 2 3 n 解析: 不等式左 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 n ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ? n ? n 1? 2 ? 22 ??? 2n?1 = n ? 2

n ?1 2



原结论成立. 例 36.已知 f ( x) ? e x ? e ? x ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (n) ? (e n?1 ? 1) 2 解析: f ( x ) ? f ( x ) ? (e
1 2 x1

n

?

1 1 e x1 e x2 1 ) ? (e x2 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? x1 x2 ? e x1 ? x2 ? 1 e x1 e e e e ?e
n

经过倒序相乘,就可以得到 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (n) ? (e n?1 ? 1) 2 例 37.已知 f ( x) ? x ? 1 ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n) ? 2n (n ? 1)n
x

解析: (k ? 1 )(2n ? 1 ? k ?
k

1 k 2n ? 1 ? k 1 ) ? k (2n ? 1 ? k ) ? ? ? ? 2(2n ? 1 ? k ) ? 2 2n ? 1 ? k 2n ? 1 ? k k k (2n ? 1 ? k )

其中: k ? 1,2,3,?,2n ,因为 k ? 2n ? k (1 ? k ) ? 2n ? (k ? 1)(2n ? k ) ? 0 ? k (2n ? 1 ? k ) ? 2n 所以 (k ? 1 )( 2n ? 1 ? k ?
k 1 ) ? 2n ? 2 2n ? 1 ? k

从而 [ f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n)]2 ? (2n ? 2)2n ,所以 f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n) ? 2n (n ? 1)n . 例 38.若 k ? 7 ,求证: Sn ? 1 ?
n 1 1 1 3 ? ??? ? . n ?1 n ? 2 nk ? 1 2

解析: 2Sn ? ( 1 ?
n

1 1 1 1 1 1 1 )?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) nk ? 1 n ? 1 nk ? 2 n ? 2 nk ? 3 nk ? 1 n

因为当 x ? 0, y ? 0 时, x ? y ? 2 xy , 1 ? 1 ? 2 ,所以 ( x ? y)( 1 ? 1 ) ? 4 ,所以 1 ? 1 ? 4 ,当且仅当
x y xy
x y x y x? y
x ? y 时取到等号.

所以 2S 所以

n

?

4 4 4 4 4n(k ? 1) ? ? ??? ? n ? nk ? 1 n ? 1 ? nk ? 2 n ? 2 ? nk ? 3 n ? nk ? 1 n ? nk ? 1

Sn ?

2(k ? 1) 2(k ? 1) 4 3 ? ? 2? ? 1 k ? 1 k ? 1 2 1? k ? n

所以 S

n

?

1 1 1 1 3 ? ? ??? ? n n ?1 n ? 2 nk ? 1 2

例 39.已知 f ( x) ? a( x ? x1)(x ? x2 ) ,求证: f (0) ? f (1) ? a .
2

16

解析: f (0) ? f (1) ? a 2[ x1 (1 ? x1 )][x2 (1 ? x2 )] ? a 2 .
16

例 40.已知函数 f(x)=x2-(-1)k·2lnx(k∈N*).k 是奇数, n∈N*时, 求证: [f’(x)]n-2n-1·f’(xn)≥2n(2n-2). 解析: 由已知得 f ?( x) ? 2 x ? 2 ( x ? 0) ,
x

(1)当 n=1 时,左式= (2 x ? 2 ) ? (2 x ? 2 ) ? 0 右式=0.∴不等式成立.
x x

(2) n ? 2 , 左式= [ f ?( x)] n ? 2 n?1 ? f ?( x n ) ? (2 x ? 2 ) n ? 2 n?1 ? (2 x n ? 2n )
x x
1 n?2 2 n?4 n?2 ? 2 n (C n x ? Cn x ? ? ? Cn

1 1 n ?1 ? Cn ). x n?4 x n?2
1 n ?1 1 ? Cn x n?4 x n?2

令 S ? Cn1 x n?2 ? Cn2 x n?4 ? 由倒序相加法得:
1 2S ? C n ( x n?2 ?

n?2 ? Cn

1 1 1 2 n ?1 ) ? Cn ( x n?4 ? n?4 ) ? ? ? C n ( n?2 ? x n?2 ) x n?2 x x

1 2 n?1 ? 2(Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? 2(2n ? 2) ,

所以 S ? (2n ? 2). 所以 [ f ?( x)]n ? 2n?1 ? f ?( x n ) ? 2n (2n ? 2)成立. 综上,当 k 是奇数, n ? N ? 时,命题成立

例 41. (2007 年东北三校)已知函数 f ( x) ? a

x

? x(a ? 1)

(1)求函数 f ( x) 的最小值,并求最小值小于 0 时的 a 取值范围;
1 ' 2 ' n?1 ' (2)令 S (n) ? Cn f (1) ? Cn f (2) ? ? ? Cn f (n ? 1) 求证: S (n) ? (2
n

n ? 2) ? f ' ( ) 2

(1)由f ' ( x) ? a x ln a ? 1, f ' ( x) ? 0,即:a x ln a ? 1,? a x ? 同理:f ' ( x) ? 0, 有x ? ? loga ln a,

1 , 又a ? 1? x ? ? loga ln a ln a

所以f ' ( x)在(??,? loga ln a)上递减,在(? loga ln a,??)上递增; 所以f ( x) min ? f (? loga ln a) ? 若f ( x) min ? 0, 即 1 ? ln ln a ln a

1 ? ln ln a 1 ? 0, 则 ln ln a ? ?1,? ln a ? ln a e
1

? a的取值范围是 1 ? a ? ee

1 2 n ?1 ( 2) S ( n ) ? C n (a ln a ? 1) ? C n (a 2 ln a ? 1) ? ? ? C n (a n ?1 ln a ? 1) 1 2 2 n ?1 n ?1 1 2 n ?1 ? (C n a ? Cn a ? ? ? Cn a ) ln a ? (C n ? Cn ? ? ? Cn )

1 1 2 n ?1 ? [C n (a ? a n ?1 ) ? C n (a 2 ? a n ?2 ) ? ? ? C n (a n ?1 ? a )]ln a ? (2 n ? 2) 2
n

? a 2 (2 n ? 2) ln a ? (2 n ? 2) n ? (2 n ? 2)(a 2 ln a ? 1) ? (2 n ? 2) f ' ( ), 2 所以不等式成立。
n

★例 42. (2008 年江西高考试题 ) 已知函数 f ? x ? ?
1 ? f ? x? ? 2.

1 1 ax ? ? ax ? 8 1? x 1? a

, x ??0, ? ?? . 对任意正数 a , 证明

解析:对任意给定的 a ? 0 , x ? 0 ,由
f ( x) ?

1 1 ? ? 1? x 1? a

1 1? 8 ax

,

若令

b?

8 ,则 abx ? 8 ① ax

,而

f ? x? ?

1 1 1 ? ? 1? x 1? a 1? b



(一) 、先证 f ? x ? ? 1;因为

1 1 , 1 1 , 1 , 1 ? ? ? 1? x 1? x 1? b 1? b 1? a 1? a

又由 2 ? a ? b ? x ? 2 2a ? 2 bx ? 4 4 2abx ? 8 ,得 a ? b ? x ? 6 . 所以 f ? x ? ?
?
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1? x 1? a 1? b 1? x 1? a 1? b

?

3 ? 2(a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b)

9 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) 1 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) ? abx ? ? 1. (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b)

(二) 、再证 f ? x? ? 2 ;由①、②式中关于 x, a, b 的对称性,不妨设 x ? a ? b .则 0 ? b ? 2 (ⅰ) 、当 a ? b ? 7 ,则 a ? 5 ,所以 x ? a ? 5 ,因为
1 ? 1, 1? b

1 1 2 ,此时 f ? x ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 . ? ? ?1 1? x 1? a 1? b 1? x 1? a 1? 5

(ⅱ) 、当 a ? b ? 7 ③,由①得 , x ? 8 ,
ab

1 ab ? ab ? 8 1? x

, ④

因为 同理得 今证明 只要证

1 b b2 b 2 所以 ?1 ? ? ? [1 ? ] 1? b 1? b 4 ( 1 ? b2 ) 2? (1 b )

1 b ? 1? 2(1 ? b) 1? b

1 a ? 1? 2(1 ? a) 1? a

⑤ ,于是

1? a b ab ? ⑥ f ? x? ? 2 ? ? ? ?2 ? 2? 1 ? a 1 ? b ab ?8 ? ? ?

a b ab ⑦, ? ?2 1? a 1? b ab ? 8

因为

a b ab ? ?2 1? a 1? b (1 ? a)(1 ? b)



ab ab, 即 ab ? 8 ? (1 ? a)(1 ? b) , 也即 a ? b ? 7 , 据③, 此为显然. ? ( 1? a ) ( ? 1 b ) a b? 8
f ( x) ? 2 .

因此⑦得证.故由⑥得

综上所述,对任何正数 a, x ,皆有1 ? f ? x ? ? 2 .

例 43.求证:1 ?

1 1 1 ? ??? ?2 n ?1 n ? 2 3n ? 1
1 1 1 1 ?1 1? 1 2 ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?1 n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ? 3 4 ? 2 4

解析:一方面:(法一) (法二)
?

1 1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1? 1 ?? ? 1 ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ?? n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ? ? 3n ? 1 n ? 1 ?? ?? n ? 1 3n ? 1 ? ? n ? 2 3n ?

? 1 ? 4n ? 2 4n ? 2 4n ? 2 ? ?? ? ??? 2 ? (n ? 1)(3n ? 1) ? ? (3n ? 1)(n ? 1) 3n(n ? 2) ?

? ? (2n ? 1) 2 1 1 1 ?? ? ?2n ? 1? ? ? ? ? ? ? ?1 2 2 2 2 2 2 2 ? (2n ? 1) ? n (2n ? 1) ? (n ? 1) (2n ? 1) ? n ? ? ? (2n ? 1)

另一方面:

1 1 1 2n ? 1 2n ? 2 ? ??? ? ? ?2 n ?1 n ? 2 3n ? 1 n ? 1 n ?1

九、二项放缩
0 1 n 1 , 2 n ? Cn0 ? Cn 2 n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n ? 1,

0 1 2 2 n ? Cn ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 2

2 n ? n(n ? 1)(n ? 2)

例 44. 已知 a 解析:

1

? 1, an ?1 ? (1 ?

1 1 )an ? n . 证明 n2 ? n 2

a n ?1 ? (1 ?

1 1 1 )a n ? ? a n ?1 ? 1 ? (1 ? )(a n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)
1 1 )? . n(n ? 1) n(n ? 1)
2

ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ?

? ?[ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ?
i ?2 i ?2

n ?1

n ?1

1 1 ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 i(i ? 1) n



即 ln(an ?1) ? 1? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e . 45.设 a
n

1 ? (1 ? ) n n

,求证:数列 {an } 单调递增且 an ? 4.

解析: 引入一个结论:若 b ? a ? 0 则 b n?1 ? a n?1 ? (n ? 1)b n (b ? a) (证略) 整理上式得 a n?1 ? b n [(n ? 1)a ? nb]. ( ? ) 以 a ? 1?
1 1 代入( ? ,b ? 1? n ?1 n

)式得 (1 ?

1 n ?1 1 ) ? (1 ? ) n . n ?1 n

即 {an } 单调递增。 以 a ? 1, b ? 1 ? 1 代入( ? )式得1 ? (1 ?
2n

1 n 1 1 ) ? ? (1 ? ) 2 n ? 4. 2n 2 2n
n

此式对一切正整数 n 都成立,即对一切偶数有 (1 ? 1 )
n

?4

,又因为数列 {an } 单调递增,所

以对一切正整数 n 有 (1 ? 1 )
n

n

? 4。

注:①上述不等式可加强为 2 ? (1 ? 1 ) n ? 3. 简证如下:
n

利用二项展开式进行部分放缩: a n

1 1 1 1 2 n 1 ? (1 ? ) n ? 1 ? C n ? ? Cn ? 2 ? ? ? Cn . n n n nn

n 1 1 n n ?1 n ? k ?1 1 1 1 C k ? ? ? ?? ? ? ? k ?1 . k! n n n k! 1 ? 2 ? 2 2 n
k n

只取前两项有 a n ? 1 ? C n1 ? 1 ? 2. 对通项作如下放缩:

故有 an ? 1 ? 1 ? 1 ?
2

1 1 1 1 ? (1 / 2) n ?1 ? ? ? n ?1 ? 2 ? ? ? 3. 2 2 1 ? 1/ 2 2 2

②上述数列 {an } 的极限存在,为无理数 e ;同时是下述试题的背景:已知 i, m, n 是正整
i i ; 数,且 1 ? i ? m ? n.(1)证明 ni Am (2)证明 (1 ? m) n ? (1 ? n) m .(01 年全国卷理科第 20 ? mi An

题) 简析 对第(2)问:用 1 / n 代替 n 得数列 {b } : b
n 1 n

? (1 ? n) n
1 m

是递减数列;借鉴此结论可有如
1

下简捷证法:数列 {(1 ? n) } 递减,且 1 ? i ? m ? n, 故 (1 ? m)

1 n

? (1 ? n) n ,

即 (1 ? m) n ? (1 ? n) m 。

当然,本题每小题的证明方法都有 10 多种,如使用上述例 5 所提供的假分数性质、贝 努力不等式、 甚至构造“分房问题”概率模型、 构造函数等都可以给出非常漂亮的解决! 详见文[1]。

例 46.已知 a+b=1,a>0,b>0,求证: a n ? b n ? 21? n. 解析: 因为 a+b=1,a>0,b>0,可认为 a, 1 , b 成等差数列,设 a ? 1 ? d , b ? 1 ? d ,
2
2 2

从而 a

n

?1 ? ?1 ? ? b n ? ? ? d ? ? ? ? d ? ? 21? n ?2 ? ?2 ?

n

n

例 47.设 n ? 1, n ? N ,求证 ( 2 ) n ?
3
3

8 . (n ? 1)(n ? 2)
n

解析: 观察 ( 2 ) n 的结构,注意到 ( 3 )
2

1 ? (1 ? ) n 2

,展开得

1 1 1 n n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) ? 6 ,即 1 1 2 3 1 (n ? 1)( n ? 2) ,得证. (1 ? ) n ? 1 ? C n ? ? Cn ? 2 ? Cn ? 3 ?? ? 1? ? ? (1 ? ) n ? 2 2 2 8 8 2 2 2 8

例 48.求证: ln 3 ? ln 2 ? ln(1 ?
n

1 ln 2 . )? 2n n

解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)

例 42.(2008 年北京海淀 5 月练习) 已知函数 y ? f ( x), x ? N* , y ? N* ,满足: ①对任意 a, b ? N* , a ? b ,都有 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ;

②对任意 n ? N 都有 f [ f (n)] ? 3n .
*

(I)试证明: f ( x) 为 N* 上的单调增函数; (II)求 f (1) ? f (6) ? f (28) ; (III)令 an ? f (3n ), n ? N* ,试证明:
n 1 1 ≤ ? ? 4n ? 2 a1 a2 ? 1 1. ? an 4

解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ,所以可以得到 (a ? b) f (a) ? (a ? b) f (b) ? 0 , 也就是 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 , 不妨设 a ? b , 所以 , 可以得到
N* 上的单调增函数.
f (a) ? f (b) , 也就是说 f ( x) 为

(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么 结论,一发现就有思路了! 由(1)可知 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,令 b ? 1, a ?
f (1) ,则可以得到

( f ( x) ? 1)( f ( f (1)) ? f (1)) ? 0 ,又 f ( f (1)) ? 3 ,所以由不等式可以得到 1 ? f (1) ? 3 ,又 f (1) ? N * ,所以可以得到 f (1) ? 2



接下来要运用迭代的思想: 因为 f (1) ? 2 ,所以 f (2) ?
f [ f (1)] ? 3 , f (3) ? f [ f (2)] ? 6 , f (6) ? f [ f (3)] ? 9



f (9) ? f [ f (6)] ? 18 , f (18) ? f [ f (9)] ? 27 , f (27) ? f [ f (18)] ? 54 , f (54) ? f [ f (27)] ? 81

在此比较有技巧的方法就是:
81 ? 54 ? 27 ? 54 ? 27 ,所以可以判断 f (28) ? 55



当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论 ,所以还可以列项的方法 ,把所有项数 尽可能地列出来,然后就可以得到结论. 所以,综合①②③有 f (1) ? f (6) ? f (28) = 55 ? 9 ? 2 ? 66 (3)在解决 {an} 的通项公式时也会遇到困难.

f [ f (3n )] ? 3n?1, f (3n?1) ? f { f [ f (3n )]} ? 3 f (3n ), ? an?1 ? 3an

,所以数列

an ? f (3n ), n ? N*

的方程为

an ? 2 ? 3n ,从而 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (1 ? 1 ) , a1 a2 an 4 3n

一方面 1 (1 ?
4

1 1 n n 0 0 1 1 ) ? ,另一方面 3 ? (1 ? 2) ? Cn ? 2 ? Cn ? 2 ? 2n ? 1 n 3 4

所以 1 (1 ?
4

1 1 1 1 2n n ,所以,综上有 ) ? (1 ? )? ? ? n 3 4 2n ? 1 4 2n ? 1 4n ? 2

n 1 1 ≤ ? ? 4n ? 2 a1 a2

?

1 1. ? an 4

例 49. 已知函数 f?x?的定义域为[0,1],且满足下列条件: ① 对 于 任 意 x ? [0,1] , 总 有
f? 1 x? x ? ? 2

f ? x? ? 3

,且

f ?1? ? 4

;② 若

x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1,

则有

? f ?1 x ? (

f)2 x ? 3.

(Ⅰ)求 f?0?的值; (Ⅱ)求证:f?x?≤4; (Ⅲ)当 x ? ( 1n ,
1 ](n ? 1,2,3, ???) 时,试证明: f ( x) ? 3x ? 3 . 3 3n?1

解析: (Ⅰ)解:令 x1 ? x2 ? 0 ,由①对于任意 x ?[0,1],总有 f ? x ? ? 3 , ∴ f (0) ? 3 又由②得 f (0) ? 2 f (0) ? 3, 即 f (0) ? 3; (Ⅱ)解:任取 x1 , x2 ?[0,1], 且设 x1 ? x2 , 因为 x
2

∴ f (0) ? 3. 则 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 3, ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

? x1 ? 0 ,所以 f ( x2 ? x1 ) ? 3 ,即 f ( x2 ? x1 ) ? 3 ? 0,

∴当 x ?[0,1]时, f ( x) ? f (1) ? 4 . (Ⅲ)证明:先用数学归纳法证明: f (
3

1 1 )? ? 3(n ? N*) 3n?1 3n?1
1 ? 3 ,不等式成立; 30

(1) 当 n=1 时, f ( 10 ) ? f (1) ? 4 ? 1 ? 3 ? (2) 假设当 n=k 时, f ( 由 f(

1 1 )? ? 3(k ? N*) 3k ?1 3k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ) ? f [ k ? ( k ? k )] ? f ( k ) ? f ( k ? k ) ? 3 3k ?1 3 3 3 3 3 3
1 1 ) ? 6 ? k ?1 ? 9. 3k ?1 3

? f(

1 1 1 )? f ( k )? f ( k )?6 3k 3 3

得3f ( 1 ) ? f (
3k

即当 n=k+1 时,不等式成立 由(1) 、 (2)可知,不等式 f ( 于是,当 x ? ( 1n ,
1 1 )? ? 3 对一切正整数都成立. 3n?1 3n?1

1 1 1 1 ](n ? 1,2,3, ???) 时, 3x ? 3 ? 3 ? n ? 3 ? n?1 ? 3 ? f ( n?1 ) , 3 3n?1 3 3 3

而 x ?[0,1], f ? x ? 单调递增

∴ f ( 1n ) ? f (
3

1 ) 3n?1

所以, f ( x) ? f (

1 ) ? 3x ? 3. 3n?1

例 50. 已知: a1 ? a2 ?

? an ? 1, ai ? 0

(i ? 1,2? n)

求证:

2 a12 a2 ? ? a1 ? a2 a2 ? a3

?

2 2 an an 1 ?1 ? ? an?1 ? an an ? a 1 2

解析:构造对偶式:令 A ?

2 2 2 an an a12 a2 ?1 ? ??? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1

B?

2 2 2 a3 an a2 a12 ? ??? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1



2 2 2 a 2 ? a3 a 2 ? an a 2 ? a12 a12 ? a2 ? 2 ? ? ? n?1 ? n a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1 (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? ? ? (an?1 ? an ) ? (an ? a1 ) ? 0,? A ? B

A? B ?



又? ai2 ? a 2j
ai ? a j

?

1 (ai ? a j ) 2

( i, j ? 1,2?n)

?A?

2 2 2 a 2 ? a3 a 2 ? an a 2 ? a12 ? 1 ?(a ? a ) ? (a ? a ) ? ? ? (a ? a ) ? (a ? a )? ? 1 1 1 a 2 ? a2 ( A ? B) ? ( 1 )? 2 ? ? ? n?1 ? n 1 2 2 3 n ?1 n n 1 2 2 2 a1 ? a2 a 2 ? a3 an?1 ? an an ? a1 4

十、部分放缩(尾式放缩) 例 55.求证: 解析:
1 1 1 4 ? ??? ? 3 ?1 3? 2 ?1 3 ? 2 n ?1 ? 1 7

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 ? ??? ? ? ??? ? ? ??? 11 1 4 47 48 4 n ?1 n ?1 2 n ?1 ? ? ? ? ? ? 3 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 4 7 3 ? 2 ? 1 28 3 ? 2 3? 2 28 3 1? 1 2 84 84 7

例 56. 设 a 解析:

n

? 1?

1 1 1 ? a ? ? ? a , a ? 2. 求证: a n ? 2. a 3 n 2

an ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? a ??? a ? 1? 2 ? 2 ??? 2 . a 3 n 2 3 n 2

又 k 2 ? k ? k ? k (k ? 1), k ? 2 (只将其中一个 k 变成 k ? 1 , 进行部分放缩) , ?

1 1 1 1 ? ? ? k 2 k (k ? 1) k ? 1 k



于是 a

n

? 1?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2 ? ? 2. n 2 2 3 n ?1 n 2 2 32 n

2 例 57.设数列 ?an ?满足 an?1 ? an ? nan ? 1?n ? N ? ? ,当 a1 ? 3 时

证明对所有 n ? 1, 有 (i)an ? n ? 2 ; (ii)

1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an 2

解析: (i) 用数学归纳法:当 n ? 1 时显然成立,假设当 n ? k 时成立即 ak ? k ? 2 ,则当 n ? k ? 1 时
ak ?1 ? ak (ak ? k ) ? 1 ? ak (k ? 2 ? k ) ? 1 ? (k ? 2) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。

(ii ) 利 用 上 述 部 分 放 缩 的 结 论 ak ?1 ? 2ak ? 1 来 放 缩 通 项 , 可 得
ak ?1 ? 1 ? 2(ak ? 1) ? a k ? 1 ? ? ? 2 k ?1 (a1 ? 1) ? 2 k ?1 ? 4 ? 2 k ?1 ?

1 1 ? . a k ? 1 2 k ?1

?
i ?1

n

n 1 1 1 ? ? i ?1 ? ? 1 ? a i i ?1 2 4

1 1? ( ) n 2 ? 1. 1 2 1? 2

注 : 上 述 证 明 (i) 用 到 部 分 放 缩 , 当 然 根 据 不 等 式 的 性 质 也 可 以 整 体 放 缩 :
ak ?1 ? (k ? 2)(k ? 2 ? k ) ? 1 ? k ? 3 ;证明 (ii ) 就直接使用了部分放缩的结论 ak ?1 ? 2ak ? 1

十四、经典题目方法探究 探究 1.(2008 年福建省高考)已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x .若 f ( x) 在区间 [0, n](n ? N *) 上的最小值 bn , 令 an ? ln(1 ? n) ? bn .求证: a1 ? a1 ? a3
a2 a2 ? a4 ??? a1 ? a3 ? a5 ? ?? a2 n ?1 ? 2an ? 1 ? 1 . a2 ? a4 ? a6 ? ?? a2 n
1 2n ? 1
y P A

证明:首先:可以得到 an ? nn .先证明 1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

(方法一)

(2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 ?1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? 1? 3 3 ? 5 ? ? ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? ? 2 2 ? 4 2 ? ? ? ( 2 n) 2 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

2

所以 1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
2 ?1 3 4 4 ?1
2

1 2n ? 1
2n 2n ? 1 2n ,相乘得: 2n ? 1

O

T

B

x

(方法二)因为 1 ? 1 ? 1 ? 2 , 3 ? 3 ? 1 ? 4 , ? , 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 ?
2 5

1 ,从而 1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) 1 ?1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? . ? ? 2 ? 4 ? 6 ? ?? 2n ? ? 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n 2 n ?1 ? ?

(方法三)设 A= 1? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ,B=
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ,因为 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (2n ? 1)

A<B,所以 A2<AB,
1 . 2n ? 1

所以 ?1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? 下面介绍几种方法证明 a1 ? a1 ? a3
a2 a2 ? a4

1 , ? 2 ? 4 ? 6 ? ?? 2n ? ? 2n ? 1 ? ?
2

从而 1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

???

a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n ?1 ? 2an ? 1 ? 1 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n

(方法一)因为

2n ? 1 ?

2n ? 1 ? 2n ? 1 ,所以 1 ,所以有 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 2 2n ? 1

n 1 1? 3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? ? 2 k ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n k ?1

(方法二)

n?2 ? n ?

2 n?2 ? n

,因为
1 2n ? 1

1 ? n?2

2 n?2 ? n

,所以

1 ? n?2 ? n n?2

令 n ? 2n ? 1 ,可以得到

? 2n ? 1 ? 2n ? 1

,所以有

n 1 1? 3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? ? 2 k ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n k ?1

(方法三)设 an ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) , an ?1 ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2n ? 1 所以 2(n ? 1)a ? a ? (2n ? 1)a ? a , an n ?1 n ?1 n n ?1 2n ? 2

从而 an?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,从而 an ? (2n ? 1)an ? (2n ?1)an?1
a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 1)a n ?1 ? (2n ? 1)a n ?1 ? (2n ? 3)a n ?2 ? ? ? 5a 2 ? 3a1 ? (2n ? 1)a n ?
an ? 1 ,所以 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 1 ? 1 2 2n ? 1

3 2



(方法四)运用数学归纳法证明: (i)当 n ? 1 时,左边=
1 3

?
k ?1

n

1 2k ? 1

? 2n ? 1 ? 1

,右边=
3 ?1 ? 2 3 ?1 ? 1 3 ?1 2

显然不等式成立;

(ii)假设 n ? k (k ? 1) 时, 所以要证明

?
i ?1

k

1 2i ? 1

? 2k ? 1 ? 1

,则 n ? k ? 1 时,

1 3

?

1 5

???

1 2k ? 1
1

?

1 2k ? 3

? 2k ? 1 ? 1 ?

1 2k ? 3
1

, ,

?
i ?1

k ?1

1 2i ? 1

? 2k ? 3 ? 1

, 只要证明
2k ? 1 ?

1 2k ? 3

? 2k ? 3 ?

2k ? 3

? 2 k ? 3 ? 2k ? 1 ?

2k ? 3 ? 2k ? 1 2

这是成立的. 这就是说当 n ? k ? 1时,不等式也成立,所以,综上有 a 探究 2.(2008 年全国二卷)设函数 f ( x) ? 围. 解析:因为 f ( x) ?
sin x 2 ? cos x sin x 2 ? cos x
1

a2

?

a1 ? a3 a ? a ? a ? ?? a2 n ?1 ??? 1 3 5 ? 2an ? 1 ? 1 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ?? a2 n

.如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax ,求 a 的取值范

,所以 f ' ( x) ? cos x(2 ? cos x) ? sin
(cosx ? 2)
2

2

x

?

1 ? 2 cos x (cosx ? 2) 2

设 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则 因为 | cos x |? 1 ,所以 (i)当 a ? 1 时,
3

g ' ( x) ? f ' ( x) ? a ?

g (0) ? 0 1 ? 2 cos x cos x ? 2 ? cos x ? 2 ? 1 ? 2 2 3 ?a? ?a? ? ?a (cos x ? 2) 2 (cos x ? 2) 2 cos x ? 2 (cos x ? 2) 2

,

2 3 ? 1? ? ? ? 1, ? cos x ? 2 (cosx ? 2) 2 ? ? 3?

g ' ( x) ? 0

恒成立,即 g ( x) ? g (0) ? 0 ,所以当 a ? 1 时,
3

f ( x) ≤ ax 恒成立.

(ii)当 a ? 0 时, f (? ) ? 1 ? 0 ? a ? (? ) ,因此当 a ? 0 时,不符合题意.
2 2 2

(iii)当 0 ? a ? 1 时,令 h( x) ? sin x ? 3ax ,则 h?( x) ? cos x ? 3a 故当 x ??0, arccos3a ? 时, h?( x) ? 0 .
3

因此 h( x) 在 ?0, arccos3a) 时, h( x) ? h(0) ? 0 , arccos3a ? 上单调增加.故当 x ? (0,

即 sin x ? 3ax .于是,当 x ? (0, arccos3a) 时, f ( x) ? 所以综上有 a 的取值范围是 ? 1 ,?? ?
?3 ? ? ?

sin x sin x ? ? ax 2 ? cos x 3

变式:若 0 ? xi ? arccos3a ,其中 i ? 1,2,3,?, n 且 0 ? a ? 1 , x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? arccos3a ,求证:
3

x x x1 x 3a ? tan 2 ? tan 3 ? ? ? tan n ? arccos3a . 2 2 2 2 2 证明:容易得到 tan xi ? sin xi ? sin xi 2 cos xi ? 1 2 tan

由上面那个题目知道 sin xi ? 3axi 就可以知道 tan
x x x1 x 3a ? tan 2 ? tan 3 ? ? ? tan n ? arccos3a 2 2 2 2 2

★同型衍变:(2006 年全国一卷)已知函数 的取值范围.

f ( x) ?

1 ? x ? ax .若对任意 e 1? x

x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a

解析:函数 f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为 f ?( x) ? ax2 ? 2 ? a e ?ax .
(1 ? x) 2

(ⅰ) 当 0< a≤2 时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意 x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时 a 满足要求. (ⅱ) 当 a>2 时, f (x) 在区间 (如取 x
? 1 2
a?2 , a
a?2 a

,

a?2 a

)为减函数, 故在区间(0,

a?2 a

) 内任取一点, 比

0

就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时 a 不满足要求.

(ⅲ) 当 a≤0 时, 对于任意 x∈(0, 1) 恒有
f ( x) ? 1 ? x ? ax ≥ 1 ? x , e ?1 1? x 1? x

这时 a 满足要求.

综上可知, 所求 a 的取值范围为 a≤2.


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