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高中数学高考知识点总结2014版


高中数学高考知识点总结

专题一 集合与简易逻辑
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性” 。

如:集合A ? ?x | y ? lg x?,B ? ? y | y ? lg x?,C ? ?(x, y) | y ? lg x?,A、B、C 中 元 素 各
表示什么? 2. 进行集合

的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 注 重 借 助 于 数轴和文氏图解集合问题 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
2 如:集合A ? x | x ? 2x ? 3 ? 0 ,B ? ?x | ax ? 1? 若B ? A,则实数a的值构成的集合为

?

?

3. 注意下列性质:
(1)集合?a1,a2,??,an ?的所有子集的个数是

(2) 若A ? B ? A B ? A,A B ? B; (3) CU ? A B ? ? 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
如:已知关于x的不等式 ax ? 5 x ?a
2

,CU ? A

B? ?

? 0的解集为M ,若3 ? M 且5 ? M ,求实数a 的取值范围。

5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或” (?),“且” (?) 和 “非”(?).

若p ? q为真, ?

; 若p ? q为真, ?

; 若?p为真, ?

6.①命题的四种形式及其相互关系是什么? ②若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件.若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件 ③你了解全称命题与特称命题吗?知道如何写出它们的否定形式吗?

1 ? 0 ,则 ? p : x ?1 2. 、若 p 是 q 的充分不必要条件,则 ? q 是 ? p 的
例如:1.若命题 p 为:

; 条件

专题二 函数与导数
1. 对映射的概念了解吗?映射 f:A→B,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对 应元素的唯一性, 哪几种对应能构成映射? (一对一, 多对一, 允许 B 中有元素无原象。 ) 2. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、 对应法则、 值域) 3. 求函数的定义域有哪些常见类型? 例:函数 y ?
x ?4 ? x? lg ? x ? 3 ?
2

的定义域是

4.求复合函数的解析式的方法是什么?(特别要注明有时要注明函数的定义域)
如:f

?

x? 1

??e
x

? ,求 x (f )x.
-1-

高中数学高考知识点总结 5.了解指数函数与对数函数互为反函数 (这两个函数的图象关于 对称) 6. 如何用证明函数的单调性?(①用定义:取值、作差、判正负;②求导)
值是 如:已知a ? 0,函数 f ( x)? x ? 在 ax 1 ? ?? 上是单调增函数,则 的最大 a ?,
3

7. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?(f(x)定义域关于原点对称) 若f (? x) ? ? f ( x 总成立 ) ? f (为奇函数 x) ? 函数图象关于原点对称
若f (? x) ? f ( x 总成立 ) ? f (为偶函数 x) ? 函数图象关于 轴对称 y

注意: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数; 一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 (2)若 f(x)是奇函数且定义域中有原点,则 f(0)=0
如:若f ( x ) ? a ·2 ? a ?2
x

2 ?1
x

为奇函数,则实数a ?

1) x ? (0,时, 1) f ( x) ? 又如: f ( x )为定义在( ?1,上的奇函数,当

2
x

x

4 ?1

, 求f ( x)在? ?11 , ? 上的解析式。

8.知道周期函数的定义吗?
) (若存在实数( T T ? 0),在定义域内总有f ? x ? T ? ? f ( x),则f ( x)为周期 函数,T 是一个周期。

如:若f ? x ? a ? ? ? f ( x),则

;f(x)≠0,若 f ? x ? a ? ? ?

1
f ( x)

,则

9.你掌握常用的图象变换了吗? f(x)与 f(-x)的图象关于 对称;f(x)与-f(x)的图象关于 f(x)与-f(-x)的图象关于 对称; f(a+x)与 f(a-x)的图象关于 对称;f(x)=f(2a-x) ?

对称

?函数 y=f(x)有对称轴

左移a(a?0) 个单位 y ? f ( x ? a) 将y ? f ( x) 图象 ???????? ?? 右移a(a?0) 个单位 y ? f ( x ? a)
注意如下“翻折”变换:
f ( x) ? ?? f ( x) f ( x) ? ?? f (| x|)

上移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b ???????? ?? 下移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b

作出y ? log 2 ? x ? 1? 及y ? log 2 x ? 1 的图象

10. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?(性质包括定义域、值域、单调性、奇偶 性、周期性、最值) ()一次函数 1 (2)反比例函数

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( 3)二次函数y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0?
应用:①“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
ax ? bx ? c ? 0,? ? 0时,两根x1、x2为二次函数y ? ax ? bx ? c的图象与x轴 的两个交点,
2 2

2 也是二次不等式ax ? bx ? c ? 0 (? 0)解集的端点值。

②求闭区间[m,n]上的最值。 ③求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。 (一般有三个要素要考虑: ⊿、 对称轴、 区间端点函数值) 想一想,有哪些情况可以不用考虑⊿或对称轴? 如:已知二次函数 f(x)满足 f(2+x) =f(2-x),f(0)=3;方程 f(x) =0 有两个实根,且两实根的平 方和为 10.若关于 x 的方程 f(x)-2m=0 在区间[0,3]内有根,求实数 m 的取值范围

(4)指数函数:y ?a x ? a?0,a?1? (5)对数函数y ?log a x? a ?0,a ?1?

由图象记性质! (作出草图)

(注意底数的限定! )

(5)“对勾函数”y ? x ?

k ? k ? 0 ? 的基本图象与性质 x

11. 你在基本运算上常出现错误吗?
对数运算: log M · N ? a?0,a?1,M ?0,N ?0? ? a

; log a
log a x

M ? N

log

a

Mn

?

对数恒等式:a

?

对数换底公式: log a b ?

log c b log c a

,可推得 log a b ?

1
log b a

log b ? a
n
m

12 如何解抽象函数问题?

(赋值法、结构变换法)

如:() 1 x ? R,f ( x)满足f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ),证明f ( x)为奇函数。 (先令x ? y ? 0 ? f (0) ? 0再令y ? ? x,??)

(先令x ? y ? ?t ? f ?(?t )(?t )? ? f (t · t) ) (2)x ? R, f ( x)满足f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ), 证明f ( x)是偶函数。
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(3)证明单调性:x1 ? x2 , 可设 x2 ? x1 ? b(b ? 0) ; 0 ? x1 ? x2 ,可设 x2 ? x1 ? b(b ? 1)

如: 已知 f(x)在(-1,1)上有定义,f( 判断 f(x)的奇偶性。

x? y 1 )=-1, 且满足 x,y∈(-1, 1)有 f(x)+f(y)=f( ) 2 1 ? xy

13. 掌握求函数值域的常用方法了吗? (配方法,反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,单调性法,导数法等。)
(1)y ? 如求下列函数的最值:

2 x ?4 x ?3

9 (2) y ? 4 x ? ,x ? (0, 1] x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? ? ?x ?x x2 ? x1 ?x 15.导数定义:函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率 是 .....
14. 平均变化率为 或 y ' | x? x0 . 16.导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率,学会定义的多种变形. 如:已知曲线 y= x3 ? . 过点(2,4)的切线方程为
1 3 4 3



则称函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导, 并把这个极限叫做 y ? f ( x) 在 x 0 处的导数, 记作 f ' ( x0 )

又如:.已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的导数为 1,则 lim
x ?0

f (1 ? x) ? f (1) = 2x

17.几个重要函数的导数: ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 导数的四运算法则 ① ② (C 为常数) ③ ④ 注意在复合函数求导时,分清函数是由几层基本初等函数复合而成。 如:求 y ? cos (ax ? b) 的导函数。
2

1 3 x ? f ' (?1) ? x 2 ? x ? 5 ,则 f ' (?1) = 3 ' ' 18.利用导数可以证明或判断函数的单调性,注意当 f ( x) ? 0 或 f ( x) ? 0 ,带上等号.
又如:若函数 f ( x) ?
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高中数学高考知识点总结 如:函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,其中 a, b, c ? R ,当 a ? 3b ? 0 时, f ( x ) 在 R 上 的增减性是 . 19. f ?( x0 ) ? 0 是函数 f(x)在 x0 处取得极值的 条件,
2

20.求函数极值的方法: (1)先找定义域,求导数 f (2)求方程 f
' '

?x ? =0 的根 x1 , x2 ,?, xn 找出定义域的分界点;

?x ? ;

(3)列表,根据单调性求出极值. 已知 f ( x ) 在 x0 处的极值为 A,相当于给出了两个条件:① 函数在此点导数值为零,② 函 数在此点的值为定值. 如: 已知 a ? 2 b ? 0, 且关于 x 的函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? a ? x 2 ? a ? bx 在 R 上有极值, 则 3 2

a 与 b 的夹角的范围为

21.利用导数求最值的步骤: (1)求函数在给定区间上的极值; (2)比较区间端点所对的函数值与极值的大小,确定最大值与最小值.

f ( x) ? x3 ? x ,则当 x ? (0, 2) 时, f ( x) 的值域为

22.含有参数的函数求最值的方法:看导数为 0 的点与定义域之间的关系. 如:已知函数 h( x) ? ?

1 2 x ? ax 2 ? 1 在(1, ??) 单调递减,求 a 的取值范围。 3

23.定积分:设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<?<xi-1<xi<?xn=b 把区间 [a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点 ξi(i=1,2,?n)作和式

?f
i=1

n

(ξi)△x(其中△x 为小区间长度) ,把 n→∞即△x→0 时,和式的极限叫做函数 f(x)

在区间[a,b]上的定积分,记作: ,即 这里, a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间 [a ,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫 做 ,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做 。 24. 定积分的几何意义:在区间[a,b]上函数 f(x)连续,且恒有 f(x)≥0,定积分 ? f ( x)dx
a b

表示由三条直线 x=a,x=b(a<b) ,x 轴及曲线 y=f(x)围成的



平 面图形 是由两 条曲线 y1 ? f ( x) , y2 ? g ( x) , x ? [a, b] 及直 线 x ? a, x ? b 所围 成且
f ( x) ? g ( x) .其面积都可以用公式 A ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx 求之
a b

-5-

高中数学高考知识点总结 25.微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式) :一般地,如果 f(x)是在区间[a,b]上的连续 函数,且 F′(x)= f(x).那么 ? f ( x)dx ?
a b

。其中 F(x)叫做 f(x)的一个

26.定积分在物理中的应用:(1)变速运动的路程公式 (2)变力做功公式 若a ?

? xdx , b ? ?
0

1

1

0

1 ? x dx, c ? ? 1 ? x 2 dx ,则 a , b, c 的大小关系是
0

1

专题三 三角与向量
1. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为 α,半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗? 2. 熟记三角函数的定义,P(x,y)为角 α 终边上一点,|OP|=r.则 sinα= cosα= tanα= 如:已知锐角 α 且 5α 的终边上有一点 P(sin(-500),cos1300),则 α 的值为( A、80 B、440 C、260 D、400 3. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的草图吗?



能由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?
解析式 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调区间 对称轴 对称中心

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
4. 正弦型函数y=Asin ??x+? ?的图象和性质要熟记。或 ? y ? A cos ?? x ? ? ??

()振幅 1

,周期T ?
若f ? x0 ? ? 0,则? x0, 0? 为 。 ,反之也对。

若f ? x0 ? ? ? A,则x ? x0为

? 3? (2)五点作图:令? x ? ?依次为 0, ,?, , 2?,求出x与y,依点(x, y )作图象 2 2
(3)根据图象求解析式。(求A、?、?值)

①利用最大值最小值求 A ②利用周期求 w ③利用最值点求 φ
-6-

高中数学高考知识点总结 5.在三角函数中求角时要注意两个方面:先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。
如: cos ? x ?

? ?

??

2 ? 3? ? ,求x值。 ,x ? ?, ??? ? 2 ? ? 6? 2 ?

6. 熟练掌握三角函数图象变换了吗?
如:函数y ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

??
4?

? ? 1的图象经过怎样的变换才能得到y ? sin x的 图象?(两种方法)

7. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗? (1)平方关系: (2)弦切互化:

? (3) “奇” 、 “偶”指 k 取奇、偶数。 “k · ? ?”—“奇变,偶不变,符号看象限”, 2
如: cos 9? 4 ? tan ? ?

? 7? ? ? sin ? 21? ? ? ? ? 6 ?



化简 1 ? 2sin( ? ? 2) ? cos( ? ? 2) =

8. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?
??? 理解公式之间的联系: sin?? ? ?? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?令 ?? ?? sin 2? ? 2 sin ? cos ?
令? ?? 2 c o? s? ? ?? ? c o s ?c o ? s ?sin ?s i n ? ? ?? ?? c o s 2? ? c o 2 s? ? s i n ? tan ?? ? ?? ? tan ??tan ? 1? t a n ?· t a n ?
2 ? 2c o 2 s? ?1 ? 1? 2s i n ??

2t a n ? tan 2? ? 2 1? t a n ?

1? c o s 2? 2 1? c o s 2? 2 sin ?? 2 c o2 s? ?
2

a sin ? ? b cos ? ?

a ? b sin ?? ? ? ? , tan ? ?
2

b a

应用以上公式对三角函数式化简。 (化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三 角函数,能求值,尽可能求值。 )
? ?? ? ? ? ?? ? 具体方法: ( 1)角的变换:如? ? ?? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 2? ?2 ? ?

(2)名的变换:化弦或化切 (3)次数的变换:升、降幂公式 (4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。

-7-

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如:已知 sin ? cos ? 1 ? cos 2? 2 ? 1, tan ?? ? ? ? ? ? ,求 tan ? ? ? 2? ? 的值。 3

1 又如:已知 sin ? ? cos ? ? ,求值:① sin ? ? cos ? ;② sin 2

3

? ? cos 3 ? ;③ sin 4 ? ? cos 4 ?

9. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形? 余弦定理应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。

?a ? 2 R sin A ? 正弦定理: ? ? ? 2 R ? ?b ? 2 R sin B (已知两边及其一边所对的角可能有两解) sin A sin B sin C ?c ? 2 R sin C ?
a b c

余弦定理:

如?ABC中, 2 sin

2

A? B 2

? cos 2C ? 1

(1)求角C;

(2)若a ? b ?
2 2

c

2

2

,求 cos 2 A ? cos 2 B的值。

10.共线向量:规定零向量与任意向量平行。 共线向量定理: b ∥ a ( b ? 0 ) ? 存在唯一实数?,使 b ? ? a
? ? ? ? ? ?

三点共线的充要条件 P , A, B 三点共线 ? OP ? xOA ? yOB(且x ? y ? 如图,在 ?ABC 中, AN ?

);

1 2 NC ,点 P 是 BN 上一点,若 AP ? m AB ? AC 则实数 3 11

m 值为
11.你熟悉向量的运算吗?(平行四边形法则和三角形法则) 起点相同对角线,首尾相连首尾连,若要向量两相减,终点相连向前。 12.平面向量基本定理:

-8-

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?

e1 , e 2 是平面内的两个不共线向量, a 为该平面任一向量,则存在唯一 实数对?1、?2,
? ? ? ? ?

?

?

使得 a ? ?1 e1 ? ?2 e 2 , e1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底。

13.熟悉向量的坐标表示吗?相关公式熟练吗? 14.平面向量的数量积及其性质
( 1 ) a · b ?| a |· | b | cos ?叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)。
? ? ? ? ? ?

?为向量 a 与 b 的夹角,? ??0,??

?

?

a 在 b 方向上的射影:
如:设 ?ABC, P 0B ? 0 是边 AB 上一定点,满足 P

1 AB ,且对于边 AB 上任一点 P ,恒有 4

PB ? PC ? P0 B ? P0C .则(
A. ?ABC ? 90
0


0

B. ?BAC ? 90

C. AB ? AC

D. AC ? BC

(2)数量积的运算法则

① a · b ? b · a ②( a ? b) c ? a · c ? b · c ③ a · b ? ?x1,y1 ?·?x 2 ,y 2 ? ? x1x 2 ? y1 y 2
注意:数量积不满足结合律 ( a · b ) · c ? a · ( b · c )
(3)重要性质:设 a ? ?x1 ,y1 ?, b ? ?x 2 ,y 2 ? ① a ⊥ b ? a · b ? 0 ? x 1 ·x 2 ? y 1 ·y 2 ? 0
? ?

?

?

?

?

? ? ?

?

? ?

?

?

?

?

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?

?

?

?

?

?

?

?

② a ∥ b ? a · b ?| a | ·| b| 或 a · b ? ?| a | ·| b| ? a ? ? b ( b ? 0,?惟一确定)
2 2 ③ a ?| a |2 ? x1 ? y1 ,| a · b| ?| a | ·| b| ?2 ? ? ? ? ?
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0
x1 x 2 ? y1 y 2
2 2 x ? y1 · x2 2 ? y2 2 1

④c o s ??

a·b

? ?

| a | ·| b|
2 2

?

?

⑤向量运算中特别注意 a ?| a | 的应用.研究向量的模常先转化为模平方再进行向量运算 如(1)已知向量 a ? (1,3) , b ? (?2,1) , c ? (3,2) .若向量 c 与向量 ka ? b 共线,则实数 k ? ___.
? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)已知正方形ABCD,边长为1, AB ? a , BC ? b , AC ? c ,则 | a ? b ? c | ?

(3) 若向量 a ? ? x,, 1? b ? ? 4,x ?,当x ?
? ?

?

?

?

a 与 b 共线且方向相同
? ?

?

(4)已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为60o,那么 | a ? 3 b |?
15.常用结论

?ABC,A ? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,C ? x3,y3 ? ,则重心坐标公式为:
-9-

高中数学高考知识点总结 如果 O 满足 已知△ABC,点 P 满足 AP ? ? ( (向量条件) ,则 O 为三角形的重心

AB | AB |

?

AC | AC |

), (? ? R ) 则点 P 的轨迹是

已知△ABC,点 D 是 BC 边上的中点,则

专题四 数列与不等式
1 等差数列的定义与性质

定义:a n?1 ? a n ? d (d为常数) ,a n ? a1 ? ?n ? 1?d ;推广式

等差中项:x,A,y成等差数列 ? 2A ? x ? y
前n项和S n ?

?a 1 ? a n ?n ? na
2

1

?

n?n ? 1? 2

d=

(关于 n 的二次式) ; ?a2n?1?, ?a2n ?, ?kan ? b? 仍为等差数列;

()若 1 m?n ? p?q ? 性质:

(2) Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n ? 仍为等差数列

(3)若三个数成等差数列,可设为a ? d,a,a ? d; 四个数成等差,设为
(4 )若a n ,b n 是等差数列S n ,Tn 为前n项和,则 a m S 2 m?1 ? ; b m T2 m?1

(5) Sn 的最值可求二次函数Sn ? an2 ? bn的最值;或者求出?a n ?中的正、负分界 项,即:

?a n ? 0 当a 1 ? 0,d ? 0,解不等式组? 可得S n 达到最大值时的n值。 ?a n?1 ? 0
?a n ? 0 当a 1 ? 0,d ? 0,由? 可得S n 达到最小值时的n值。 ?a n?1 ? 0

如:等差数列?a n ?,S n ? 18,a n ? a n?1 ? a n?2 ? 3,S3 ? 1,则n ?
2. 等比数列的定义与性质

定义:

a n?1 ? q(q为常数,q ? 0),a n ? a 1q n?1 ;推广式 an

等比中项:x、G、y成等比数列 ? G2 ? xy,或G ? ? xy
前 n 项和: Sn ? ()若 1 m?n ? p?q ? 性质: (注意 q 取值范围)

- 10 -

高中数学高考知识点总结

(2)Sn ,S2 n ? Sn ,S3n ? S2 n ??仍为等比数列
3. 一般数列求通项: (1)利用 Sn 与 an 的关系 (n ? 1时,a 1 ? S1 ,n ? 2时,a n ? S n ? S n?1 ) 例如:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ?? 1?
n?1

n ,求 an

(2)累加法:由an ? an?1 ? f (n),a1 ? a0,求an 如: 数列?a n ?,a 1 ? 1,a n ? 3n?1 ? a n?1 ?n ? 2?,求a n

(3)累乘法:由

an ? f (n),a1 ? a0,求an an?1

例如:数列?a n ?中,a1 ? 3,

a n ?1 n ? ,求a n an n ?1

(4)等比型递推公式: a n ? ca n ?1 ? d c、d为常数,c ? 0,c ? 1,d ? 0

?

?

可转化为等比数列,设a n ? x ? c?a n?1 ? x?
如: 数列?a n ?满足a 1 ? 9,3a n?1 ? a n ? 4,求a n

(5)倒数法

例如:a 1 ? 1,a n ?1 ?

2a n ,求a n an ? 2

4. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗? (1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。 1 1 1 求和:1 ? ? ? ?? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n (2)错位相减法: 若 ?a n ?为等差数列,?b n ?为等比数列,求数列 ?a n b n ?(差比数列)前n项 和
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如:求Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? 4x3 ? ?? ? nxn?1
(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。
? S n ? a 1 ? a 2 ? ?? ? a n ?1 ? a n ? ? 2a ? ?na?1 ? 1 ? a n? ? ?相加 2Sn ? ? a S n ? a n ? a n ?1 ? ?? ? a 2 ? a 1 ? ?

??

1

a ? ?na ??

如: 已知f ( x) ?

x2 ? 1? ? 1? ? 1? ,则f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? f ? ? ? f (4) ? f ? ? ? ? 2? ? 3? ? 4? 1 ? x2

5. 你知道储蓄、贷款问题吗? 若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年) 后为第一次还款日,如此下去,第 n 次还清。如果每期利率为 r(按复利) ,那么每期应 还 x 元,满足: p(1 ? r ) n ? x?1 ? r ?
n ?1

? x?1 ? r ?

n ?2

? ?? ? x?1 ? r ? ? x
pr ?1 ? r ?
n

?1 ? ?1 ? r ? n ? ?1 ? r ? n ? 1 ? x? ??x 1 ? 1 ? r r ? ? ? ? ? ?

∴x ?

?1 ? r ? n ? 1

p——贷款数,r——利率,n——还款期数 6. 不等式的性质有哪些? ①(对称性)②(传递性)③(可加性) (同向可加性) (异向可减性) ④(可积性) ⑤(同向正数可乘性)⑥(平方法则)⑦(开方法则) ⑧(倒数法则)
如:若 1 a ? 1 b ? 0,则下列结论不正确的是( )

A.a2 ? b2

B.ab ? b2

C . |a ? | b| ? |a ? | b

|

D

a b

?.

b a

?
2

2

? a?b? 7 利用均值不等式 a ? b ? 2ab ? a,b ? R ?;a ? b ? 2 ab; ab ? ? ? 求最值时, ? 2 ?
2 2 ?

你是否注意到一正、二定、三相等? 注意如下结论:
a ?b
2 2

2

?

a?b 2

?

ab ?

2ab a?b

? a,b ? R ?
?

当且仅当a ? b时等号成立

a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ? 当且仅当a ? b ? c时取等号。
b b?m a?n a ? ?1? ? a a?m b?n b a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 (三个正数的算术—几何平均不等式) 3 a ? b ? c 时取到等号).
糖水不等式: a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0,则
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高中数学高考知识点总结

4 如:若x ? 0, 2 ? 3x ? 的最大值为 x

又如:x ? 2 y ? 1,则2x ? 4 y的最小值为
8.不等式证明的基本方法都掌握了吗?(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等) 并注意简单放缩法的应用。

如:证明1 ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 2 2 2 3 n

9.解分式不等式

f ( x) ? a ? a ? 0 ?的一般步骤是什么? g ( x)

(移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为 1,穿轴法解得结果。 ) 10.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶不穿” ,在 x 系数均正的情况下从最大根 的右上方开始。

如: ? x ? 1?? x ? 1? ? x ? 2 ? ? 0
2 3

11 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 例如:解形如 ax ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论
2

的标准有:⑴讨论 a 与 0 的大小;⑵讨论 ? 与 0 的大小;⑶讨论两根的大小. 解不等式 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ? 0(a ? R)
2

12.绝对值不等式的性质与应用
当a ? 0时, x ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a;

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.

绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b . 例如:不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? a 的解集不是空集,求 a 的取值范围

对含有两个绝对值的不等式如何解?(找零点,分段去绝对值符号,最后取并集) 例如:解不等式 | x ? 3 ? | x |? ? 1| 1

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高中数学高考知识点总结 13. 柯西不等式: (a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 . 例如: (1) .已知 x, y, z 为正数, 且满足 x2 ? 2 y2 ? 3z 2 ? 4 , 则 x ? 2 y ? 3z 的最大值是__________. (2)设 x, y , z ? R ,且满足: x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 , x ? 2 y ? 3z ? 14 ,则 x ? y ? z ? _______. 14.不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题) a ? f ( x)恒成立 ? a ? f ( x)的最小值 a ? f ( x)恒成立 ? a ? f ( x)的最大值 如:已知正数 a,b,对任意 a>b 且 a,b∈(0,1)不等式 ax ? ax ? a ? bx ? bx ? b 恒成
2 2 2 2

立,则实数 x 的取值范围是

15.可成立问题: a ? f ( x)可成立(有解) ? a ? f ( x)的最大值 a ? f ( x)可成立(有解) ? a ? f ( x)的最小值 又如:不等式 kx ? k ? 2 ? 0 有解,求 k 的取值范围。
2

16.不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、分析法(格式非常重要) ; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法: ①添加或舍去一些项,如: a ? 1 ? a ,
2

n(n ? 1) ? n ,

②将分子或分母放大(或缩小)如: ③应用“糖水不等式” : “若 0 ? ④利用基本不等式; ⑤利用函数的单调性和有界性,如 ⑥利用常用结论:如:

1 1 1 ? 2? n(n ? 1) n n(n ? 1)

a ? b , m ? 0 ,则 a ? a ? m ”
b b?m

sin x

≤ 1 ? x ? R?

1 2 2 ? ? ?2 k k? k k ? k ?1

?

k ?1 ? k

? ?k ? N

*

, k ? 1? ,

17.线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断: 法一:直线定界,特殊点定域. 法二:根据 Ax+By+C>0(或<0),将 A 化为正值,若>0,取右边,若<0,取左边 ⑵利用线性规划求目标函数 z=Ax+By(A,B 为常数)的最值

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高中数学高考知识点总结 ⑶常见的目标函数的类型:①“截距”型: z ? Ax ? By; ②“斜率”型: z ?

y ?b ; x?a

③“距离”型: z ? x 2 ? y 2 或 z ?

x 2 ? y 2 ; z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2

(5) 若实际问题要求最优解必为整数 ,而我们利用图解法得到的解不是整数解,应作适当 .. 的调整,方法是以“与线性目标函数的直线的距离”,在直线附近找出与此直线距离最近 的点.(可用网络线) 例如:若关于 x , y 的不等式组 ? y ? x, ? 个直角三角形,则 k ? .
? x ? 0,

( k 是常数)所表示的平面区域的边界是一

? kx ? y ? 1 ? 0 ?

专题五 立体几何
1. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗? ①平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
线∥线 ? ?? 线∥面 ? ?? 面∥面 判定 性质 ? ??? 线⊥线 ? ?? 线⊥面 ? ?? 面⊥面 ???? 线∥线 ? ?? 线⊥面 ? ?? 面∥面

②平面的基本性质是高考中立体几何的重点内容.要掌握平面的基本性质,特别注意:不 共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时,要注意讨论点在平面的同侧还是 两侧,会根据不同的情况作出相应的图形. 如:已知线段 AB 长为 3,A、B 两点到平面 ? 的距离分别为 1 与 2,则 AB 所在直线与 平面 ? 所成角的大小为 ③正方体中线面关系可以说是高考中的重点内容,相当一部分的高考题是以正方体作为 载体进行命题,或是截取正方体的一部分进行命题.请特别关注正方体表面按不同形式的 展开图,会由展开的平面图形想象立体图形. 如:正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,点 P 在侧面 BCC 1 B 1 及其边界上运动,并且总保持 AP⊥BD 1 ,则动点 P 的轨迹( A .线段 B 1 C C .线段 BC 1 )

B . BB 1 的中点与 CC 1 中点连成的线段 D . CB 中点与 B 1 C 1 中点连成的线段
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高中数学高考知识点总结 2 三类角的定义及求法 (1)异面直线所成的角θ ,θ ∈ (2)直线与平面所成的角θ ,θ ∈ (3) 二面角:二面角? ? l ? ?的平面角?, θ ∈ 三类角的求法: 一、几何法步骤 ①找出或作出有关的角。 (i)异面直线所成角:平移直线,构造三角形;遇到中点的问题经常用的是找中位线。 (ii)直线与平面所成角: 直接法(利用线面角定义) ;先求斜线上的点到平面距离 h,与 A 斜线段长度作比,得 sin ? (此时不一定要做角)。 (iii)二面角:②证明其符合定义,并指出所求作的角。 n ③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理) 。 B 二、向量求法:①线线角即为两向量所夹锐角 .. ②对线面角 ? ,有 sin ?= . . .

AB ? n (如图) | AB | ? | n |

③对二面角,要由图分析该角是锐是钝,再求出两个法向量所夹对应大小的角。 如:正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1=8,BD1 与侧面 B1BCC1 所成的为 30°。 ① 求 BD1 和底面 ABCD 所成的角; ② ②求异面直线 BD1 和 AD 所成的角; ③求二面角 C1—BD1—B1 的大小。

3.空间如何求距离? 点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。 ①几何法:将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(如:三 垂线定理法,或者用等积转化法) 。 如:正方形 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,则: (1) 点 C 到面 AB1C1 的距离为___________; (2) 点 B 到面 ACB1 的距离为____________; ②向量法:点面距公式 如:已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 (A)1 (B) 3
o

(C)2

(D)3

已知二面角α -l-β 为 60

,动点 P.Q 分别在面α .β 内,P 到β 的距离为 3 ,Q 到α

的距离为 2 3 ,则 P.Q 两点之间距离的最小值为 4.你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质? 关于长方体的结论:长方体的性质:长方体体对角线=
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高中数学高考知识点总结 关于正四面体的性质:设棱长为 a ,则正四面体的: 高: h ? ;对棱间距离: ;外接球半径: ; 三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清楚 心:三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等(充要条件) ; 心:三侧面与底面所成的二面角相等(充要条件) ; 心:相对的棱垂直(充要条件)或三侧棱两两垂直(充分条件). 图形的分解、组合是立几命题的新思路,学会平面到空间、空间到平面的转化. 5.球有哪些性质? (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面r ? R 2 ? d 2
(2)S球 ? ,V球 ?

(3)球内接长方体的对角线是球的 。 (注意常有三条侧棱两两垂直的三棱锥求外 接球半径,可采用补形成为长方体来求) 如: 设 A、 B、 C、 D 是半径为 2 的球面上四个不同的点, 且满足 AB ? AC ? 0 , AD ? AC ? 0 ,

AB ? AD ? 0 ,则 S?ABC ? S?ABD ? S?ACD 的最大值为
6.空间向量相关补充: ①共面向量定理: 如果两个向量 a, b 不共线, 则向量 P 与向量 a, b 共面的充要条件是存在 实数对 x、y 使 P ? xa ? yb . ②空间任一点 、 B 、 C ,则 OP ? xOA? yOB ? zOC( x ? y ? z ? 1) 是 PABC ...O .和不共线三点 ......A . . . . . 四点共面的充要条件. 7.三视图与直观图 (1)三视图。 正视图:由光线从几何体的 面向 面 投影得到 侧视图:由光线从几何体的 面向 面 投影得到 俯视图:由光线从几何体的 面向 面 投影得到 (2)直观图: 画直观图的方法叫斜二测画法,其规则是 ①在已知图形中建立直角坐标系 xOy,画直观图时,它们分别对应 x′轴和 y′轴,两轴交 于点 O′,使__________,它们确定的平面表示_______________ . ②已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于_________的线段. ③已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持________;平行于 y 轴的线段,长度 为 _______. 如:1.如图,某三棱锥的三视图都是直角边为

2 的等腰直角三角形,则该三棱锥的四个面
的面积中最大的是

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高中数学高考知识点总结 2. ?A?B ?C ? 是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图, 若 ?A?B ?C ? 的面积为 3 ,那么△ABC 的面积为__________ 3. 某四棱台的三视图如图所 示,则该四棱台的体积是
1 2 2
正视图 侧视图

1
1
俯视图

专题六 解析几何
1.熟记下列知识了吗? (1) l直线的倾斜角? ? ?0,? ?,k ? tan ? ?

y2 ? y1 ? ? ? ? ? ? ,x1 ? x2 ? (用点斜或斜截设直 x2 ? x1 ? 2 ?

线要考虑是否能没有斜率) (2)知道直线方程的几种形式吗?注:I.过原点的直线横纵截距相等,但不能写成截距式。 II.求与坐标轴围成的图形面积最值时,截距式有优势。 如:与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 相切,且在两坐标轴上截距相等的直线有 条

(3)点P?x 0 ,y 0 ?到直线l :Ax ? By ? C ? 0的距离 d ?
2.如何判断两直线平行、垂直?

Ax 0 ? By 0 ? C A 2 ? B2
? l1 ∥//l2
? l1 ⊥ ? l2

注意充分和充要的区别! 3.对称问题:点 A、B 关于直线 l 对称即 l 是线段 AB 的垂直平分线,垂直是斜率关 系,平分说明 AB 的中点在 l 上.特别注意:当对称轴所在直线的斜率为 1 或-1 时, 对称点的坐标可用代入的方法求得.即点 ( x0 , y0 ) 关于直线 x ? y ? c ? 0 的对称点 是 ;点 ( x0 , y0 ) 关于直线 x ? y ? c ? 0 的对称点是 。

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高中数学高考知识点总结 如:抛物线 C1: y 2 ? 2 x 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称的抛物线为 C2,则 C2 的焦点 坐标为 4. 圆的方程及其求法: ⑴ 标准方程: ⑵ 一般方程: 5.圆的方程的求法:⑴ 待定系数法;⑵ 几何法;⑶ 圆系法。 6.怎样判断直线 l 与圆 C 的位置关系? ? 怎样判断直线与圆锥曲线的位置? 注:I. 圆可以用几何法判断;II.双曲线与抛物线有相交但只有一个交点的情况。 如:已知点 ( a, b) 是圆 x 2 ? y 2 ? r 2 外的一点,则直线 ax ? by ? r 2 与圆的位置关系是 7.两圆交点弦方程为 8.圆的弦长如何求?圆的切线长如何求? 9.几个结论:圆上任意两点的垂直平分线是圆的直径所在的直线;直线平分圆的充要条 件是此直线一定过该圆的圆心等. 直线 l 过定点 M (4,0) 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交于 A、B 两点,则弦 AB 中点 N 的轨迹方程 为 10. 两圆之间的位置关系的判断主要是利用两圆的半径的差或和与两圆的圆心距之间的 大小关系 注:两圆的位置关系也可以由两圆的公切线的条数上来分. 如:已知动圆 C 与定圆 M: ( x ? 2) ? y ? 1 相切,且与 y 轴相切,则圆心 C 的轨迹方
2 2

程是 11.分清圆锥曲线的定义
| 2a , 2 a? 2 c? 1 |F2 F | ?椭圆 ?| P F 1 |? | PF 2 ? ? ? || , 2 a 2 a? 2 c? 1 |F2 F | ?双曲线 ?| |P F 1 |? | P F 2

抛物线:|PF |? d p到直线l

0 ? e ? 1 ? 椭圆;e ? 1 ? 双曲线;e ? 1 ? 抛物线

定义中要注意隐含的条件:以椭圆为例,定值大于两定点之间的距离. 如: 已知 F 为椭圆 5 x 2 ? 9 y 2 ? 45 的左焦点, 则 FP 的最大值为 P 是此椭圆上的动点, 最小值为 12.结论:⑴圆锥曲线的弦长公式: AB ? 注:(I)焦点弦长:抛物线: AB = (II)通径:① 椭圆、双曲线: ; ;② 抛物线:
2 2



=

。 ( m, n 同时大于 0 且

⑵过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为: mx ? ny ? 1 m 不等于 n 时表示 , mn ? 0 时表示
- 19 -

) ;

高中数学高考知识点总结 ⑶ 椭圆中的结论:① 椭圆焦点三角形: S ?PF1F2 ? b tan
2

?
2

, ( ? ? ?F1 PF2 ) ;

② 当点 P 与椭圆短轴顶点重合时 ?F1 PF2 最 ③ 解决焦点三角形的要素:椭圆定义;余弦定理 如:椭圆



x2 y2 ? ? 1 上有 2007 个不同的点 P 1, P 2 , ?, P 2007 ,椭圆的右焦点为 F, 4 3

数列 {| FP ,2,3,?,2007 ) 是公差为 d 的等差数列,则 d 的取值范围是__ n |}( n ? 1 ⑷双曲线中的结论:
2 2 ① 双曲线 x ? y ? 1(a>0,b>0)的渐近线: 2 2 a b b ② 共渐进线 y ? ? x 的双曲线标准方程为 a

; ;

③双曲线焦点三角形: S?PF1F2 ? b2

1 tan

?
2

, ( ? ? ?F1 PF2 ) ;

④P 是双曲线

x2 y2 - =1(a>0,b>0)的左(右)支上一点,F1、F2 分别为左、右焦点, a2 b2


则△ PF1F2 的内切圆的圆心横坐标为 ⑤双曲线为等轴双曲线 ? e ?

? 渐近线为

? 渐近线互相垂直;

如:一双曲线与 双曲线的方程为

x2 x2 ? y 2 ? 1 有共同渐近线且与椭圆 ? y 2 ? 1 有共同焦点,则此 3 3

若关于 x 的方程 x 2 ? 1 ? k ( x ? 2) 有两个不等的实数根,则实数 k 的取值范围是. 双曲线

x2 2 ? y ? 1(n ? 1) 的两焦点为 F1 , F2 , P 是此双曲线上一点,满足 | PF1 | ? | PF2 | = 2 n ? 2 , n

则△ PF 1 F2 的面积为 ⑸ 抛物线中的结论:
2 抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点弦 AB 性质:<Ⅰ >. x1 x2 ?

; y1 y2 ?



<Ⅱ >以 AB 为直径的圆与准线相切; <III>. 以 AF (或 BF) 为直径的圆与 y 轴相切; 。

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高中数学高考知识点总结 如:已知抛物线的焦点为 F (1,1) ,对称轴为 y ? x ,且过 M(3,2) ,则此抛物线的 准线方程为 又如:直线 l 过抛物线的焦点与抛物线交于 A、B 两点,O 是抛物线的顶点,则△ ABO 的形状是 13.直线与圆锥曲线问题解法:联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。 注意以下问题: ① 联立的关于“ x ”还是关于“ y ”的一元二次方程? ②直线斜率不存在时考虑了吗? ③ 判别式验证了吗? 注意:当直线过 x 轴上的定点 A(a,0) 时,若直线不是 x 轴,则此直线方程可以设成

x ? my ? a .这样可以避免讨论直线斜率是否存在.

y2 如:已知直线 l 过点 M (1,1) ,双曲线 C: x ? ? 1. 3
2

(1)若直线 l 与双曲线有且仅有一个公共点,求直线 l 的方程; (2)若直线与双曲线的右支有两个不同的交点,求直线 l 斜率的取值范围; (3)是否存在直线 l 使其与双曲线的有两个不同的交点 A、B,且以 AB 为直径的圆过 坐标原点?若存在求出此直线的斜率,不存在说明理由.

14.求轨迹的常用方法: (1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式) ; (3)代入法(相关 点法或转移法) ;⑷ 待定系数法; (5)参数法; (6)交轨法。 如:设点 P 为双曲线

x2 ? y 2 ? 1 上的动点,F 是它的左焦点,M 是线段 PF 的中点,则 4

点 M 的轨迹方程是 (要注意动点可能有的范围) 15.有关中点弦问题可考虑用“点差法” 。 2 2 如:椭圆mx ? ny ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于M、N两点,原点与MN中点连
线的斜率为 2 m ,则 的值为 2 n

16.特别关注向量背景下的解几问题,及解几背景下的向量问题.能熟练地将“向量语言” 转化为“解几语言” ,如: OA ? OB ? 0 ? 以弦 AB 为直径的圆过点 O 即 OA⊥OB;

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高中数学高考知识点总结 ,如: AB ∥ AC 即 A、B、C 共线等;有时也需要将“几何语言”转化为“向量语言” ∠APB 为锐角等价于: PA ? PB ? 0 ,且 A、P、B 不共线.

专题七 排组、二项式定理、分布列
1.解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。 (1)排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素, 叫做从 n 个
m 元素中取出 m 个的一个排列。 An ?

; 规定:0! ? 1 ,叫做从 n 个元素中取 ; 规定:C 0 n ?1

(2)组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素 出 m 个的一个排列。 Cnm ? (3) 组合数性质: ;

2. 解排列与组合问题的规律是: ① 直接法. ② 排除法. ③ 捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之 后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”, 例如:1.有 n 个不同座位,A、B 两个不能相邻,则有排列法种数为 . 2.有 n 件不同商品,若其中 A、B 排在一起有 . 3.有 n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有 . ④ 插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此 法主要解决“元素不相邻问题”. 例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少? ⑤ 占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般 元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置. 即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥ 部分元素固序法:当若 n 个元素排成一列,其中 m 个元素次序一定,共有 种排列方 法. ⑦隔板法:常用于名额等元素相同的分配问题.10 个名额分给 4 个班,共有 分法。 ⑧分堆问题:注意平均分堆与不平均分堆,要做到先分堆再分配 如:从 3 位男同学,5 位女同学这 8 位同学中选出 3 人参加学校一项活动,求至少有 2
2 位女同学的选法种数.一位同学是这样解的:先从 5 位女同学中选出 2 名有 C5 种选法, 1 2 1 再在剩下的 6 位同学中任选一位有 C6 种选法, 所以共有 C5 种不同的选法.请分析这 ? C6

位同学的错误原因,并给出正确的解法. 3. 二项式定理: (a ? b)n ? 的性质: Cr n 为二项式系数(区别于该项的系数)
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;通项公式 Tr ?1 ?

高中数学高考知识点总结 (1)二项式系数: ; (2)最值:n 为偶数时,n+1 为奇数, 的二项式系数最大; n 为奇数时,n+1 为偶数, 的二项式系数最大。 注意要分清楚系数最大 和二次项系数最大 .... .......
如:在二项式? x ? 1? 的展开式中,系数最小的项系数为
11

(用数字 表示)

? ? a0 ? a2004 ? ? ? a0 ? a1 ? ? ? a0 ? a2 ? ? ? a0 ? a3 ? ? ??

4. 对某一事件概率的求法: (1)分清所求的是古典概型还是几何概型(其区分标准是



(2)若A、B互斥,则P?A ? B? ? P(A) ? P(B)
( 3)若A、B相互独立,则P A·B ? P?A ?·P? B?
k k (4) n 次独立重复试验中某事件发生 k 次的概率: Pn ?k ? ? Cn p ?1 ? p? n ?k

?

?

(5)条件概率:在事件 A 发生的情况下事件 B 发生的条件概率为: P(B A) = n( AB) =
n( A)

例如:定义非空集合 A 的真子集的真子集为 A 的“孙集” ,集合 A={1,3,5,7,9}的真子集 可以作为 A 的“孙集”的概率是 3 设 A、B 为两个事件,若事件 A 和 B 同时发生的概率为 ,在事件 A 发生的条件下, 10 1 事件 B 发生的概率为 ,则事件 A 发生的概率为________. 2 甲、乙两人约定在 5:00 到 6:00 见面,设甲到达的时间为 x,乙到达的时间为 y.要求 甲先到,但甲等候乙最多 15 分钟,过时即不再等了,求他们能见到对方的概率.

6、离散型随机变量: ξ 取每一个值 x 1 (i ? 1,2, ?) 的概率 P(? ? x i ) ? p i ,则表称为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的分布列.有性质① ; ② 7.二项分布: 如果在一次试验中某事件发生的概率是 P, 那么在 n 次独立重复试验中这个 事件恰好发生 k 次称这样的随机变量 ξ 服从二项分布,记作 ? ~B(n· p) ,其中 n,p 为
k n ?k 参数,并记 Ck ? b(k;n ? p) . np q

8、期望的含义:一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ? x1 x2 xi … P
p1 p2

… …


- 23 -

pi

高中数学高考知识点总结 则称 E? ? x 1 p 1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ? ? 为 ξ 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望. 数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 9.均值的性质⑴ 随机变量 ? ? a? ? b 的数学期望: E? ? E (a? ? b) ? aE? ? b (2)二项分布: ? ~ B(n, p) 则 E? ? np 10、方差的性质.⑴ 随机变量 ? ? a? ? b 的方差 D(? ) ? D(a? ? b) ?a 2 D? .(a、b 均为常数) (2)二项分布: D? ? npq 例:学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5 人,现从中选 2 人.设 ? 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且 P (? ? 0) ? (1) 求文娱队的人数; (2) 写出 ? 的概率分布列并计算 E? .

7 . 10

又如:如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成 125 个同样大小的小正方体.经过搅 拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为 X ,则 X 的均值为 E ? X ? ?

专题八 总体估计、概率与统计
1.抽样方法主要有简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体数目较少时,主 要特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,主要特征是均衡分成 若干部分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按 抽样,主要使用于总体 中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。 2. 用样本的数字特征估计总体的数字特征 ①众数:在一组数据中出现 的数据叫做这组数据的众数; ②中位数:将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列,处在中间位置上的一个数据 (或中间两位数据的 )叫做这组数据的中位数; ③平均数 x = ;反映了一组数据的平均水平。 2 ④方差 s = 与标准差 s= ; 反映了样本数据的离散程度。 3.①频率分布直方图: 具体做法如下:求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) ;决定组距与组数;将数据 分组;列频率分布表;画频率分布直方图。 当通过频率分布的直方图来估计数学特征时:
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高中数学高考知识点总结 众数: ; 中位数: ; 平均数: . ②茎叶图:茎是指 一列数,叶是从茎的 生长出来的数 在学校开展的综合实践活动中, 某班进行了小制作评比, 作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日.评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计,绘制了频率分布直方图如 下.已知从左至右各长方形的高的比为 2∶3∶4∶6∶4∶1,第三组的频数为 12,请解答 下列问题: (1)本次活动共有多少件作品参加评比?(2)哪组上交的作品数量最多?有 多少件?(3)经过评比,第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖,这两组哪组获 奖率较高?

4.线性回归方程: 变量与变量之间的关系大致可分为为两类:确定的函数关系, 和不确定的相关关系,不确定的两变量之间也有规律可循,回归分析就是研究这种相关关 系的一种数理统计方法. 如果 n 组数据(x1,y1), (x2,y2),??(xn,yn)对应的点大致分布在一条直线附近,这条直线就叫

b? 回归直线,方程为 y ? bx ? a, , 其中 a、 b 是待定系数.

^

,a ?

,

5.回归分析 ?i ? yi ? y ? i .通过残差来判断模型拟合的效果,判断 ①样本值与回归值的差叫残差,即 e 原始数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工作称为残差分析. ②相关指数
R ? 1?
2

? ( y ? y? ) ? ( y ? y)
i ?1 i i ?1 n i i

n

2

越接近 1 说明拟合性越

2

5、正态分布与正态曲线:若 ξ 服从参数为 ?, ? 的正态分布,用 ? ~ N (?,? 2) 表示. 正态分布的期望与方差:若 ? ~ N (?,? 2) ,则 ξ 的期望与方差分别为: E? ? ? , D? ?? 2 . 正态曲线的性质:① 曲线在 x 轴上方,与 x 轴不相交. ② 曲线关于直线 x ? ? 对称. ③ 当 ? 一定时, 曲线的形状由 ? 确定,? 越大, 曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散;? 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中. 6.“3 ? ”原则的应用:若随机变量 ξ 服从正态分布 N (?,? 2) 则 ξ 落在 内的概

率为 99.7% 亦即落在 之外的概率为 0.3%,此为小概率事件,如果此事 件发生了,就说明此种产品不合格(即 ξ 不服从正态分布).
2 如: (1)已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2, ? ) ,若 p(? ? 4) =0.84,则 p(? ? 0) =

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高中数学高考知识点总结 (2)假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N 800,502 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0 . (I)求 p0 的值 (若 X

?

?

N ? ? , ? 2 ? ,有 P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826 , P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544

P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974 .)
(II)某客运公司用 A . B 两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往 返一次, A . B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的运营成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆.公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多 于 A 型车 7 辆.若每天要以不小于 p0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地 去乙地的运营成本最小,那么应配备 A 型车. B 型车各多少辆?

7. 判断两变量的相关性 根据观测数据写出 2X2 列联表。计算由 K2= n(ad-bc)2 给出 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

的检验随机变量 K2 的值 k,其值越大,说明“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大.

专题九

算法初步、数学证明

1.算法的特点:(1)有限性;(2)确定性;(3)顺序性与正确性(4)不唯一性(5)普遍性 2 三种基本逻辑结构 名称 内容 顺序结构 条件结构 循环结构

框图

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高中数学高考知识点总结 3.输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能 INPUT、PRINT、变量=表达式 注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。②赋值号 左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代 数式的演算。 (如化简、因式分解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 4.条件语句 ①IF-THEN 格式 ②IF-THEN-ELSE 格式 5.循环语句 ①UNTIL 语句 ②WHILE 语句 注意:在用 WHILE 语句和 UNTIL 语句编写程序解决问题时,一定要注意格式和条件的 表述方法,WHILE 语句是当条件满足时执行循环体,UNTIL 语句是当条件不满足时执 行循环体. 例:阅读如下程序框图,如果输出 i ? 5 ,那么在空白矩形框中应填入的语句为( )

A. S ? 2* i ? 2 B. S ? 2* i ? 1 6. 辗转相除法与更相减损术 求 840 与 1764 的最大公约数

C. S ? 2* i

D. S ? 2* i ? 4

7.秦九韶算法: f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 首先计算最内层括号内依次多项式的值,即 v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项 式的值,即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0 这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。 例:多项式 f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1 当 x=2 时的 V2 值为 8.将 k 进制数转换为十进制数,关键是先写成幂的积的形式再求和,将十进制数转换为 k 进制数,用“除 k 取余法”,“除基数,倒取余,一直除到商为 0” 将 63(8)转化为二进制的数. 9.合情推理与演绎推理 ①归纳推理:把从个别事实中推演出一般性结论的推理. ②类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比) . 合情推理:归纳推理和类比推理统称为合情推理 ③演绎推理 演绎推理的一般模式———“三段论” ,包括 ⑴大前提-----已知的一般原理; ⑵小前提-----所研究的特殊情况; ⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断.
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高中数学高考知识点总结 11.直接证明与间接证明 ⑴综合法:顺推证法;由因导果. ⑵分析法:逆推证法;执果索因. ⑶反证法的一般步骤:(1)(反设)假设命题的结论不成立; (2)(推理)根据假设进行 推理,直到导出矛盾为止;(3)(归谬)断言假设不成立;(4)(结论)肯定原命题的结论 成立. 12.数学归纳法:设 P(n) 是一个与正整数 n 有关的命题,如果 ①当 n ? n 0 ( n0 ? N ? )时, P(n) 成立; ②假设当 n ? k ( k ? N ? , k ? n0 )时, P(n) 成立,推得 n ? k ? 1 时, P(n) 也成立. 那么,根据①②对一切自然数 n ? n 0 时, P(n) 都成立. 1 1 1 用数学归纳法证明不等式 1+ + +…+ n <n(n∈N*)的过程中,由 n=k 递推到 n=k 2 3 2 -1 +1 时,不等式左端增加的项数是

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