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2012年河北省普通高中学业水平考试-数学考试题3001(5月)


2012 年 5 月河北省普通高中学业水平考试 数
注意事项: 1.本试卷共 4 页,30 道小题,总分 100 分,考试时间 120 分钟. 2.所有答案在答题卡上作答,在本试卷和草稿纸上作答无效.答题前请仔细阅读答题卡 上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 3.做选择题时,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,请用橡皮将 原选涂答案擦干净,再选涂其它答案. 4.考试结束后,请将本试卷与答题卡一并收回. 参考公式: 柱体的体积公式:V=Sh(其中 S 为柱体的底面面积,h 为高) 1 锥体的体积公式:V= Sh(其中 S 为锥体的底面面积,h 为高) 3 1 台体的体积公式:V= (S ?+ S ?S +S)h(其中 S ?、S 分别为台体的上、下底面面积,h 为高) 3 4 球的体积公式:V= ?R3(其中 R 为球的半径) 3 球的表面积公式:S=4?R2(其中 R 为球的半径) 一、选择题(本题共 22 道小题,1-10 题,每题 2 分,11-22 题,每题 3 分,共 56 分.在 每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.直线 2x-y+1=0 的斜率为 A. 1 2 B .2 C.- 1 2 D.-2



2.半径为 3 的球的体积等于 A.9π B.12π C.36π D.54π

3.已知集合 M={x|x>-1},下列关系式正确的是 A.{0}? M B.0? M C.{0}∈M D.?∈M

4.在等差数列{an}中,a2=2,a5=10,则 a8= A.16 1 5.不等式 ≥2 的解集是 x A.{x|0<x≤2} B.{x|x≥ 1 } 2
1

B.18

C.20

D.50

C.{x|x≤

1 } 2

D. {x|0<x≤

1 } 2

6.函数 y=2x

-1

的值域是 B.(-1,+∞) C.(1,+∞) 1 D.( ,+∞) 2
3 1 正视图 侧视图

A.(0,+∞)

3 ? 7.已知 sin x= ,且 <x<π,则 tan x= 5 2 4 4 3 3 A. B.- C. D.- 5 5 4 4 x 8.函数 f (x)=2 +x-2 的零点所在的区间是 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

9.一个正三棱柱 的三视图如图所示,则这个正三棱柱的 高和底面边长分别为 A.1, 3 B. 2,1 C.2,1 D.1,2

俯视图

10.点 P (x,y)在直线 x+y-4=0 上,O 是坐标原点,则|OP|的最小值是 A. 7 B. 6 C .2 2 D. 5

11.从装有 3 个红球、2 个白球的口袋里随机取出一个球,得到红球的概率是 1 2 3 A. B. C. D.1 5 5 5 12.等边三角形 ABC 的边长为 2,则→ AB ?→ BC = A.-2 B .2 C.-2 3 D.2 3

13.若 a>b,则下列不等式一定成立的是 A.ac>bc B.a2>b2 C.a+c>b+c 1 1 D. < a b
开始 输入 n S=n(n+1) S>100? 是 输出 n 结束 n=n+1 否

? 14. 函数 y=3sin (2x+ )(x∈R)图象的一条对称轴方程是 6 A.x=0 ? B.x=- 12 ? C.x= 6 ? D.x= 3

15.按右图表示的算法,若输入一个小于 10 的整数 n,则输 出 n 的值是 A.9 B.10 C.11 D.110
[

? 16.函数 y=sin (x - )(x∈R)的一个单调递增区间为 3 2? ? ? 5? ? 4? A.[- , ] B .[ - , ] C.[ , ] 3 3 6 6 3 3 17.已知数列{an},an=2n+1,那么数列{an}的前 10 项和为 A.211+8 B.211-1 C.210+9

5? 11? D.[ , ] 6 6 D.210-2

18.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且(a+b+c)(b+c-a)=bc,则 A = A.30? B.60? C.120? D.150?
2

? ?x≥0, 19.已知实数 x,y 满足?y≥0, 则目标函数 z=x+y 的最小值是 ?x+4y≥4, ?
A.0 B .5 C .4 D.1

20.某单位共有职工 120 人,其中男职工 90 人,现采用分层抽样(按男、女分层)的方 法抽取一个样本,该样本中有 9 名女职工,则样本容量为 A.27 B.36 C.40 D.44

21.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AB 和 AA1 的中点,则直线 EF 与 平面 ACC1A1 所成的角等于
D1

A.30? C.60?

B.45? D.90?

C1 B1

A1 F A

22.定义在 R 上的奇函数 f (x)满足 f (x+2)=f (x)+1,则 f (5)= A.0 B .1 1 C. 2 5 D. 2

D E B

C

二、填空题(本大题共 4 道小题,每小题 3 分,满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ............ 23.sin 165?·cos 15?=_________. 24.已知向量 a=(-2,3),b=(x,-6),若 a⊥b,则 x=_____ ______. 25.函数 f (x)=lg (x2-1)的定义域是___________. S1+S2+?+Sn 26.设有穷数列{an}的前 n 项和为 Sn,定义数列{an}的期望和为 Tn= ,若数 n 列 a1, a2, ?, a9 的期望和 T9=100, 则数列 2, a1, a2, ?, a9 的期望和 T10=________. 三、解答题(本大题共 4 道小题,满分 32 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过 程) 27. (本小题满分 8 分) 已知函数 f (x)=(sin x-cos x)2+m,x∈R. (Ⅰ)求 f (x)的最小正周期; (Ⅱ)若 f (x)的最大值为 3,求 m 的值.

28. (本小题满分 8 分) 数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 3Sn=an+4(n∈N*) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若等差数列{bn}的公差为 3,且 b2a5=-1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn 的最小值.

3

29. (本小题满分 8 分) PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,PM2.5 日均值在 35 微克/立方米及其以下 空气质量为一级,在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级,在 75 微 克/立方米及其以上空气质量为超标. 某试点城市环保局从该市市区 2011 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机抽取 6 天的 数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) ,若从这 6 天的数据中 随机抽出 2 天.
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

3 4 7 9

PM2.5 日均值(微克/m3) 3 8 1 9 3 7

(Ⅰ)求恰有一天空气质量超标的概率; (Ⅱ)求至多有一天空气质量超标的概 率.

30. (本小题满分 8 分) 1 已知动点 P 与两个定点 E (1,0),F (4,0)的距离之比是 . 2 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)直线 l:y=kx+3 与曲线 C 交于 A,B 两点,在曲线 C 上是否存在点 M,使得 四边形 OAMB(O 为坐标原点)为菱形,若存在,求出此时直线 l 的斜率;若 不存在,说明理由.

:学科网]

4

2012 年 5 月河北省普通高中学业水平考试数学答案
一、选择题:BCABD;ADBDC;CACCB;BACDB;AD. 1 二、填空题:23. ;24.-9;25.(-∞,-1)∪(1,+∞);26.92. 4 三、解答题: 27.解: (Ⅰ)f (x)=(sinx-cos x)2+m=m+1-sin2x, 2? 所以 f (x)的最小正周期为 T= =?.??????????????4 分 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 sin2x=-1 时,f (x)取最大值, 故有 m+2=3,得 m=1. ??????????8 分 28.解: (Ⅰ)由 3Sn=an+4,得 3Sn-1=an-1+4,两式相减,得 an 1 3(Sn-Sn-1)=(an+4)-(an-1+4)=an-an-1,整理,得 =- (n≥2) . 2 an-1 1 又 3a1=a1+4,得 a1=2,所以数列{an}是以 2 为首项,以- 为公比的等比数列, 2 1 n-1 故有 an=2× - . ??????4 分 2 1 (Ⅱ)由已 知,得 b2=- =-8,又等差数列{bn}的公差 d=3, a5 故 bn=b2+(n-2)d=3n-14,因此当 n≤4 时,bn<0,当 n≥5 时,bn>0 , 4(b1+b4) 所以 n=4 时,{bn}的前 n 项和 Tn 最小,最小值为 T4= =-26. ?8 分 2 29.解:由茎叶图知:6 天有 4 天空气质量未超标,有 2 天空气质量超标. 记未超标的 4 天为 a,b,c,d,超标的两天为 e,f.则从 6 天中抽取 2 天的所有情况 为:ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,基本事件数为 15. ?2 分 (Ⅰ)记“6 天中抽取 2 天,恰有 1 天空气质量超标”为事件 A, 可能结果为:ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,基本事件数为 8. 8 ∴P(A)= . ?5 分 15 (Ⅱ)记“至多有一天空气质量超标”为事件 B, “2 天都超标”为事件 C,其可能结 1 14 果为 ef,故 P(C)= ,∴P(B)=1-P(C)= . ???????8 分 15 15 (x-1)2+y2 1 2 2 30.解: (Ⅰ)设点 P(x,y),由 2 2= 2 ,化简,得轨迹 C 的方程是:x +y =4. (x-4) +y

(

)

???????4 分 (Ⅱ)因为直线 l:y=kx+3 与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点, |3| 5 5 所以 2 <2,解得 k> 2 或 k<- 2 . 1+k 假设存在点 M,使得四边形 OAMB 为菱形,则 OM 与 AB 互相垂直且平分,所以原点 |3| 1 O 到直线 l:y=kx+3 的距离为 d= |OM|=1.所以 =1,解得 k2=8,即 k 2 1+k2 =±2 2 ,经验证满足条件. 所以存在两点 M,使得四边形 OAMB 为菱形.
5
2 2

???????8 分


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