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高考数学(理)二轮练习【专题8】(第3讲)分类讨论思想(含答案)


第3讲

分类讨论思想

1.分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或 分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题 实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问 题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度. 2.分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论.有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、 对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的数学定理、公式、性质是分类给出的, 在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等. (3)由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数真数 与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定 义域等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论.有的图形类型、位置需要分类:如角的终边所在的象 限;点、线、面的位置关系等. (5)由参数的变化引起的分类讨论.某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参 数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法. (6)由实际意义引起的讨论.此类问题在应用题中,特别是在解决排列、组合中的计数问题时 常用. 3.分类讨论的原则 (1)不重不漏. (2)标准要统一,层次要分明. (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟,决不无原则地讨论. 4.解分类问题的步骤 (1)确定分类讨论的对象,即对哪个变量或参数进行分类讨论. (2)对所讨论的对象进行合理的分类. (3)逐类讨论,即对各类问题详细讨论,逐步解决. (4)归纳总结,将各类情况总结归纳.

热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论 例 1
2 ? ?x +x,x<0, ? (1)(2014· 浙江 ) 设函数 f(x) = 若 f(f(a))≤2 ,则实数 a 的取值范围是 2 ?-x ,x≥0, ?

________. 3 9 (2)在等比数列{an}中,已知 a3= ,S3= ,则 a1=________. 2 2 答案 (1)a≤ 2 3 (2) 或 6 2

解析 (1)f(x)的图象如图,由图象知,满足 f(f(a))≤2 时,得 f(a)≥-2,而满足 f(a)≥-2 时, 得 a≤ 2.

3 (2)当 q=1 时,a1=a2=a3= , 2 9 S3=3a1= ,显然成立; 2

?a q =a =2, 当 q≠1 时,由题意,得? a ?1-q ? 9 ? 1-q =S =2.
1 2 3 1 3 3

3

?a q =2, 所以? 9 ?a ?1+q+q ?=2,
1 2 1 2

3

① ②

1+q+q2 由①②,得 =3,即 2q2-q-1=0, q2 1 所以 q=- 或 q=1(舍去). 2 1 a3 3 当 q=- 时,a1= 2=6.综上可知,a1= 或 a1=6. 2 q 2

思维升华 (1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延,合理进行分类;(2)运算 引起的分类讨论有很多,如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数运算中真数与底 数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域 等.
?log2?x+1?,x>3, ? (1)已知函数 f(x)=? x-3 满足 f(a)=3,则 f(a-5)的值为( ? ?2 +1, x≤3

)

17 A.log23 B. 16

3 C. 2

D.1 )

(2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=pn-1(p 是常数),则数列{an}是( A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上都不对 答案 (1)C (2)D

?a≤3 ?a>3 ? ? 解析 (1)分两种情况分析,? a-3 ①或者? ②,①无解,由②得,a=7, ?log2?a+1?=3 ?2 +1=3 ? ?

3 - 所以 f(a-5)=22 3+1= ,故选 C. 2 (2)∵Sn=pn-1, ∴a1=p-1,an=Sn-Sn-1=(p-1)pn 1(n≥2),


当 p≠1 且 p≠0 时,{an}是等比数列; 当 p=1 时,{an}是等差数列; 当 p=0 时,a1=-1,an=0(n≥2),此时{an}既不是等差数列也不是等比数列. 热点二 由图形位置或形状引起的讨论 x-y+3≥0, ? ? (1)不等式组?x+y≥0, ? ?x≤2

例2

表示的平面区域内有________个整点(把横、纵坐标都是

整数的点称为整点). (2)设圆锥曲线 T 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 T 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|= 4∶3∶2,则曲线 T 的离心率为________. 1 3 答案 (1)20 (2) 或 2 2 解析 (1)画出不等式组表示的平面区域(如图). 结合图中的可行域可知

3 x∈[- ,2],y∈[-2,5]. 2 由图形及不等式组,知 -x≤y≤x+3, ? ? ? 3 ?-2≤x≤2,且x∈Z. ? 当 x=-1 时,1≤y≤2,有 2 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤3,有 4 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤4,有 6 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤5,有 8 个整点; 所以平面区域内的整点共有 2+4+6+8=20(个). (2)不妨设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t,若该圆锥曲线为椭圆,则有|PF1|+|PF2|=6t=2a, c 2c 3t 1 |F1F2|=3t=2c,e= = = = ;若该圆锥曲线是双曲线,则有|PF1|-|PF2|=2t=2a, a 2a 6t 2 c 2c 3t 3 |F1F2|=3t=2c,e= = = = . a 2a 2t 2 1 3 所以圆锥曲线 T 的离心率为 或 . 2 2 思维升华 求解有关几何问题时,由于几何元素的形状、位置变化的不确定性,所以需要根

据图形的特征进行分类讨论. 一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括:二次函数对称轴位置的变化;函数问题中区 间的变化;函数图象形状的变化;直线由斜率引起的位置变化;圆锥曲线由焦点引起的位置 变化或由离心率引起的形状变化. x≥0, ? ? (1)已知变量 x,y 满足的不等式组?y≥2x, ? ?kx-y+1≥0 的平面区域,则实数 k 等于( 1 A.- 2 C.0 ) 1 B. 2 1 D.- 或 0 2

表示的是一个直角三角形围成

x2 y2 (2)设 F1,F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,P 为椭圆上一点.已知 P,F1,F2 是一个直角三角 9 4 形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则 7 答案 (1)D (2)2 或 2 |PF1| 的值为________. |PF2|

x≥0, ? ? 解析 (1)不等式组?y≥2x, ? ?kx-y+1≥0

表示的可行域如图(阴影部分)所示,由图可知若不等式组

x≥0, ? ? ?y≥2x, 表示的平面区域是直角三角形,只有直线 y=kx+1 与直线 x=0 垂直(如图①) ? ?kx-y+1≥0 或直线 y=kx+1 与直线 y=2x 垂直(如图②)时,平面区域才是直角三角形.

1 由图形可知斜率 k 的值为 0 或- . 2 (2)若∠PF2F1=90° , 则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2, ∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5, 解得|PF1|= 14 4 |PF1| 7 ,|PF2|= ,∴ = . 3 3 |PF2| 2

若∠F2PF1=90° , 则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 =|PF1|2+(6-|PF1|)2, 解得|PF1|=4,|PF2|=2, ∴ |PF1| |PF1| 7 =2.综上所述, =2 或 . |PF2| |PF2| 2

热点三 由参数引起的分类讨论 例3 (2014· 四川改编)已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28?为自然

对数的底数. 设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值. 解 由 f(x)=ex-ax2-bx-1, 有 g(x)=f′(x)=ex-2ax-b. 所以 g′(x)=ex-2a. 因此,当 x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a]. 1 当 a≤ 时,g′(x)≥0, 2 所以 g(x)在[0,1]上单调递增,

因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; e 当 a≥ 时,g′(x)≤0,所以 g(x)在[0,1]上单调递减, 2 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b; 1 e 当 <a< 时,令 g′(x)=0 得 x=ln(2a)∈(0,1), 2 2 所以函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增. 于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b. 1 综上所述,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 2 g(0)=1-b; 1 e 当 <a< 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 2 2 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b; e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 2 g(1)=e-2a-b. 思维升华 一般地,遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义及对结果的影响进行

分类讨论,此种题目为含参型,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义 时还要考虑适当地运用数形结合思想,分类要做到分类标准明确,不重不漏. ax 已知函数 g(x)= (a∈R),f(x)=ln(x+1)+g(x). x+1 (1)若函数 g(x)过点(1,1),求函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线方程; (2)判断函数 f(x)的单调性. a 2x 解 (1)因为函数 g(x)过点(1,1),所以 1= ,解得 a=2,所以 f(x)=ln(x+1)+ .由 f′(x) 1+1 x+1 = x+3 1 2 + ,则 f′(0)=3,所以所求的切线的斜率为 3.又 f(0)=0,所以切点为 2= x+1 ?x+1? ?x+1?2

(0,0),故所求的切线方程为 y=3x. (2)因为 f(x)=ln(x+1)+ ax (x>-1), x+1

a?x+1?-ax x+1+a 1 所以 f′(x)= + = . x+1 ?x+1?2 ?x+1?2 ①当 a≥0 时,因为 x>-1,所以 f′(x)>0, 故 f(x)在(-1,+∞)上单调递增.
?f′?x?<0, ? ②当 a<0 时,由? 得-1<x<-1-a, ?x>-1, ?

故 f(x)在(-1,-1-a)上单调递减;
? ?f′?x?>0, 由? 得 x>-1-a, ?x>-1, ?

故 f(x)在(-1-a,+∞)上单调递增. 综上,当 a≥0 时,函数 f(x)在(-1,+∞)上单调递增; 当 a<0 时,函数 f(x)在(-1,-1-a)上单调递减, 在(-1-a,+∞)上单调递增.

分类讨论思想的本质是“化整为零,积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作 过程:明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类 是否完备(即分类对象彼此交集为空集,并集为全集).做到“确定对象的全体,明确分类的标 准,分类不重复、不遗漏”的分析讨论. 常见的分类讨论问题有: (1)集合:注意集合中空集?的讨论. (2)函数:对数函数或指数函数中的底数 a,一般应分 a>1 和 0<a<1 的讨论;函数 y=ax2+bx +c 有时候分 a=0 和 a≠0 的讨论;对称轴位置的讨论;判别式的讨论. (3)数列:由 Sn 求 an 分 n=1 和 n>1 的讨论;等比数列中分公比 q=1 和 q≠1 的讨论. (4)三角函数:角的象限及函数值范围的讨论. (5)不等式:解不等式时含参数的讨论,基本不等式相等条件是否满足的讨论. (6)立体几何:点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论; (7)平面解析几何:直线点斜式中 k 分存在和不存在,直线截距式中分 b=0 和 b≠0 的讨论; 轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论. (8)排列、组合、概率中的分类计数问题. (9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.

真题感悟 1 1.(2014· 课标全国Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC 等于( 2 A.5 C.2 答案 B B. 5 D.1 )

1 1 1 解析 ∵S△ABC= AB· BC· sin B= ×1× 2sin B= , 2 2 2 ∴sin B= 2 π 3π ,∴B= 或 . 2 4 4

3π 当 B= 时,根据余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos B=1+2+2=5,所以 AC= 5, 4 此时△ABC 为钝角三角形,符合题意; π 当 B= 时,根据余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos B=1+2-2=1,所以 AC=1,此 4 时 AB2+AC2=BC2,△ABC 为直角三角形,不符合题意.故 AC= 5. 2.(2013· 安徽)“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 C 解析 当 a=0 时,f(x)=|(ax-1)x|=|x|在区间(0,+∞)上单调递增; 当 a<0 时,结合函数 f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0,+∞)上单调递增,如图(1) 所示; B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

当 a>0 时,结合函数 f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0,+∞)上先增后减再增,不符 合条件,如图(2)所示. 所以,要使函数 f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)上单调递增只需 a≤0. 即“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的充要条件. 3.(2014· 广东)设集合 A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合 A 中满 足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( A.60 C.120 答案 D 解析 在 x1, x2,x3,x4,x5 这五个数中,因为 xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5, 所以满足条件 1≤|x1| +|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3 的可能情况有“①一个 1(或-1),四个 0,有 C1 5×2 种;②两个 1(或
2 -1),三个 0,有 C2 5×2 种;③一个-1,一个 1,三个 0,有 A5种;④两个 1(或-1),一个- 1 1 2 1(或 1),两个 0,有 C2 ⑤三个 1(或-1),两个 0,有 C3 5C3×2 种; 5×2 种.故共有 C5×2+C5×2 2 1 3 +A2 5+C5C3×2+C5×2=130(种),故选 D.

)

B.90 D.130

押题精练

2 ? ?ax +1, 1. 已知函数 f(x)=? ax ??a+2?e ?

x≥0, x<0 B.[-2,0)

为 R 上的单调函数, 则实数 a 的取值范围是(

)

A.(0,+∞) C.[-1,0) 答案 C

D.[-1,+∞)

解析 若 a=0,则 f(x)在定义域的两个区间内都是常函数,不具备单调性;若 a>0,函数 f(x) 在两段上都是单调递增的,要使函数在 R 上单调递增,只要(a+2)e0≤1,即 a≤-1,与 a>0 矛盾,此时无解.若-2<a<0,则函数在定义域的两段上都是单调递减的.要使函数在 R 上单 调递减,只要 a+2≥1 即 a≥-1,即-1≤a<0.当 a≤-2 时,函数 f(x)不可能在 R 上单调.综 上,a 的取值范围是[-1,0). 2.等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21,则公比 q 的值是( A.1 1 C.1 或- 2 答案 C 解析 当公比 q=1 时,a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求. a1?1-q3? 1 1 当 q≠1 时,a1q =7, =21,解之得,q=- 或 q=1(舍去).综上可知,q=1 或- . 2 2 1-q
2

)

1 B.- 2 1 D.-1 或 2

3.抛物线 y2=4px (p>0)的焦点为 F,P 为其上的一点,O 为坐标原点,若△OPF 为等腰三角 形,则这样的点 P 的个数为( A.2 B.3 C.4 D.6 答案 C 解析 当|PO|=|PF|时,点 P 在线段 OF 的中垂线上,此时,点 P 的位置有两个;当|OP|=|OF| 时,点 P 的位置也有两个;对|FO|=|FP|的情形,点 P 不存在.事实上,F(p,0),若设 P(x,y), 则|FO|=p,|FP|= ?x-p?2+y2,若 ?x-p?2+y2=p,则有 x2-2px+y2=0,又∵y2=4px,∴x2 +2px=0,解得 x=0 或 x=-2p,当 x=0 时,不构成三角形.当 x=-2p(p>0)时,与点 P 在 抛物线上矛盾.所以符合要求的点 P 一共有 4 个. 4.6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交 换的两位同学互赠一份纪念品.已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,则收到 4 份纪念品的 同学人数为( A.1 或 3 C.2 或 3 答案 D 解析 设 6 位同学分别用 a,b,c,d,e,f 表示. ) B.1 或 4 D.2 或 4 )

若任意两位同学之间都进行交换共进行 15 次交换,现共进行了 13 次交换,说明有两次交换 没有发生,此时可能有两种情况: (1)由 3 人构成的 2 次交换,如 a-b 和 a-c 之间的交换没有发生,则收到 4 份纪念品的有 b, c 两人. (2)由 4 人构成的 2 次交换,如 a-b 和 c-e 之间的交换没有发生,则收到 4 份纪念品的有 a, b,c,e 四人.故选 D. 5.已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(4-an)qn
-1

(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

解 (1)设数列{an}的公差为 d,
? ? ?3a1+3d=6, ?a1=3, 由已知,得? 解得? ?8a1+28d=-4, ?d=-1. ? ?

故 an=3-(n-1)=4-n. (2)由(1)可得 bn=n· qn 1,


于是 Sn=1· q0+2· q1+3· q2+?+n· qn 1.


若 q≠1,将上式两边同乘 q,得 qSn=1· q1+2· q2+?+(n-1)· qn 1+n· qn.


两式相减,得(q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-?-qn qn-1 nqn 1-?n+1?qn+1 =nqn- = . q-1 q-1


-1

nqn 1-?n+1?qn+1 于是,Sn= . ?q-1?2


n?n+1? 若 q=1,则 Sn=1+2+3+?+n= . 2 n?n+1? ? ? 2 ?q=1?, 综上,S =? nq -?n+1?q +1 ?q≠1?. ? ? ?q-1?
n n+1 n 2

6.已知函数 f(x)=(a+1)ln x+ax2+1,试讨论函数 f(x)的单调性. 解 由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞), a+1 2ax2+a+1 f′(x)= +2ax= . x x ①当 a≥0 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当 a≤-1 时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递减. ③当-1<a<0 时,令 f′(x)=0,解得 x= a+1 - , 2a

则当 x∈?0, 当 x∈? 故 f(x)在?0, 在?

? ?



a+1? ?时,f′(x)>0; 2a ?

? ? ? ?

a+1 ? - ,+∞?时,f′(x)<0. 2a ? a+1? ?上单调递增, - 2a ?

? ?

a+1 ? - ,+∞?上单调递减. 2a ?

综上,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 a≤-1 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当-1<a<0 时,f(x)在?0, 在?

? ?



a+1? ?上单调递增, 2a ?

? ?

a+1 ? - ,+∞?上单调递减. 2a ?


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