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4.1平面向量的概念及线性运算


平面向量的概念及线性运算 一、向量的概念及线性运算
1.若向量 a 与 b 不相等,则 a 与 b 一定( A.有不相等的模 C.不可能都是零向量 B.不共线 D.不可能都是单位向量 ) )

2.若 m∥n,n∥k,则向量 m 与向量 k( A.共线 B.不共线 D.不一定共线

C.共线且同向

→ 3.D

是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量CD等于( → 1→ A.-BC+ BA 2 → 1→ C.BC- BA 2 → 1→ B.-BC- BA 2

)

→ 1→ D.BC+ BA 2

二、向量的数乘及共线向量 1.设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λ b 与 2a-b 共线,则 λ =________. → → → 2. 已知向量 a, b, 且AB=a+2b, BC=-5a+6b, CD=7a-2b, 共线的三点是________. 给出下列五个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②若|a|=|b|,则 a=b; → → ③在?ABCD 中,一定有AB=DC; ④若 m=n,n=p,则 m=p; ⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中不正确的个数是( A.2 C.4 D.5 ) B.3

1.给出下列命题: → → ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若 a=b, b=c, 则 a=c; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是________.

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考向二 平面向量的线性运算 如图,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C、D 是半圆弧的两个三等分点, → → → AB=a,AC=b,则AD=( 1 A.a- b 2 1 C.a+ b 2 1 D. a+b 2 ) ) 1 B. a-b 2

→ → → (2))若 O 是△ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边的中点, 且 2OA+OB+OC=0, 那么(

A.AO=OD B.AO=2OD C.AO=3OD D.2AO=OD
【典例精讲】 (1)连接 OC、OD、CD,由点 C、D 是半圆弧的三等分点,有∠AOC=∠COD =∠BOD=60°,且 OA=OC=OD,则△OAC 与△OCD 均为边长等于圆 O 的半径的等边三角形, → → → 1→ → 1 所以四边形 OACD 为菱形,所以AD=AO+AC= AB+AC= a+b. 2 2 → → → (2)如图,OB+OC=2OD → → → 又∵2OA+OB+OC=0 → → → ∴OB+OC=-2OA → → ∴2OD=-2OA → → ∴OD=AO. 【答案】 (1)D (2)A → → → →









2.两个重要结论 (1)向量的中线公式:若 P 为线段 AB 中点, → 1 → → 则OP= (OA+OB). 2 (2)向量加法的多边形法则 → → → → A1A2+A2A3+A3A4+?+An-1An=A1An.

→ → → → → → 2.已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0,若存在实数 m 使得AB+AC=mAM成立,则 m =( )

A.2 B.3 C.4 D.5

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→ → → 解析: 选 B.由MA+MB+MC=0, 易得 M 是△ABC 的重心, 且重心 M 分中线 AE 的比为 AM∶ME =2∶1, → → → → 2m → ∴AB+AC=2AE=m·AM= ·AE, 3 ∴ 2m =2,∴m=3. 3

考向三 共线向量定理及应用 → → → 设 e1,e2 是两个不共线向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2. (1)求证:A,B,D 三点共线; → (2)若BF=3e1-ke2,且 B,D,F 三点共线,求 k 的值. 【典例精讲】 (1)证明:由已知得 →

BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)
=e1-4e2, → → → ∵AB=2e1-8e2,∴AB=2BD, 又有公共点 B,∴A,B,D 三点共线. → (2)由(1)可知BD=e1-4e2, → 且BF=3e1-ke2, 由 B,D,F 三点共线,所以存在 → → 实数 λ ,使得BF=λ BD, 即 3e1-ke2=λ e1-4λ e2, 得?
? ?λ=3, ?-k=-4λ , ?





解得 k=12,

∴k=12.

向量共线与其方向关系不清致误 2014·郑州模拟)已知向量 a,b 不共线,且 c=λ a+
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b,d=a+(2λ -1)b,若 c 与 d 同向,则实数 λ 的值为________.
【正解】 由于 c 与 d 同向,所以 c=kd(k>0),

于是 λ a+b=k[a+(2λ -1)b], 整理得 λ a+b=ka+(2λ k-k)b.
? ?λ=k, 由于 a,b 不共线,所以有? ?2λk-k=1, ?

1 2 整理得 2λ -λ -1=0,所以 λ =1 或 λ =- . 2 又因为 k>0,所以 λ >0,故 λ =1. 【答案】 1 解答本题时,由于对两个向量共线、同向、反向的概念理解不清,混淆

【易错点】

它们之间的关系,导致错解:认为有两解. 【警示】 两个向量共线,是指两个向量的方向相同或相反,也称它们为平行向量,

因此共线包含两种情况:同向共线或反向共线.在求解相关问题时要注意区分三者.一般 地,若 a=λ b,那么 a 与 b 共线;当 λ >0 时,a 与 b 同向;当 λ <0 时,a 与 b 反向.

1.(2012·高考辽宁卷)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正 确的是( ) B.a⊥b D.a+b=a-b

A.a∥b C.|a|=|b|

解析:选 B.|a+b|=|a-b|表示平行四边形对角线相等,此时平行四边形为矩形,∴

a⊥b.
2.(2013·高考广东卷)设 a 是已知的平面向量且 a≠0.关于向量 a 的分解,有如下四 个命题: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c; ②给定向量 b 和 c,总存在实数 λ 和 μ ,使 a=λ b+μ c; ③给定单位向量 b 和正数 μ ,总存在单位向量 c 和实数 λ ,使 a=λ b+μ c; ④给定正数 λ 和 μ ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a=λ b+μ c. 上述命题中的向量 b,c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:选 C.利用向量的平行四边形法则或三角形法则、平面向量基本定理进行判断. 对于①,若向量 a,b 确定,因为 a-b 是确定的,故总存在向量 c,满足 c=a-b,即

a=b+c,故正确;
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对于②,因为 c 和 b 不共线,由平面向量基本定理知,总存在唯一的一对实数 λ ,μ, 满足 a=λ b+μ c,故正确; 对于③,如果 a=λ b+μ c,则以|a|,|λb|,|μc|为三边长可以构成一个三角形, 如果 b 和正数 μ 确定,则一定存在单位向量 c 和实数 λ 满足 a=λ b+μ c,故正确; 对于④,如果给定的正数 λ 和 μ 不能满足“以|a|,|λb|,|μc|为三边长可以构成 一个三角形”,这时单位向量 b 和 c 就不存在,故错误.故选 C. → → → 3. (2013·高考四川卷)在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB+AD=λ AO, 则 λ =________. 解析:根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义求解. → → → 由向量加法的平行四边形法则,得AB+AD=AC. → → 又 O 是 AC 的中点,∴AC=2AO,∴AC=2AO, → → → ∴AB+AD=2AO. → → → 又AB+AD=λ AO,∴λ=2. 答案:2 1 2 4.(2013·高考江苏卷)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC. 2 3 → → → 若DE=λ 1AB+λ 2AC(λ 1,λ 2 为实数),则 λ 1+λ 2 的值为________. → → → 解析:利用平面向量的加、减法的运算法则将DE用AB,AC表示出来,对照已知条件, 求出 λ 1,λ2 的值即可. → → → 2→ 1→ 由题意DE=BE-BD= BC- BA 3 2 2 → → 1→ = (AC-AB)+ AB 3 2 1→ 2→ =- AB+ AC, 6 3 1 2 1 于是 λ 1=- ,λ2= ,故 λ 1+λ 2= . 6 3 2 答案: 1 2

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