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电磁学第一章


第一 章
一、选择题(每题三分)

真空中静电场的基本规律

1) 将一个试验电荷 Q(正电荷)放在带有正电荷的大导体附近 P 点处,测得它所受力为 F,若考虑到电量 Q 不是足够小,则: () A B F/Q 比 P 点处原先的场强数值大 F/Q 比 P 点处原先的场强数值小 C D F/Q 等于原先 P 点处场强的数值 F/Q 与 P 点处场强数值关系无法确定 答案(B)

_

·P +Q

2) 图中所示为一沿 X 轴放置的无限长分段均匀带电直线,电荷线密度分别为+λ (X<0)和一个-λ (X>0) ,则 OXY 坐标平面上点(0, a)处的场强 E 为( ) A 、0

Y

? B、 ? i 2??0 a

? C、 ? i 4??0 a

? ? D、 ?( i ? j) 4??0 a

(0,a)

答案(B)

O X 3) 图中所示曲线表示球对称或轴对称静电场的某一物理量随径向距离 r 变化的关系,请指出该曲线可描述下面那方面内容(E 为电场强
度的大小,U 为静电势) ( ) C、半径为 R 的均匀带正电球体电场的 U-r 关系 D、半径为 R 的均匀带正电球面电场的 U-r 关系 ∞

A、半径为 R 的无限长均匀带电圆柱体电场的 E-r 关系 B、半径为 R 的无限长均匀带电圆柱面电场的 E-r 关系 答案(B)

1 r
r

o

4) 有两个点电荷电量都是+q , 相距 2a,今以左边的点电荷为球心, 以 a 为半径作一球形高斯面, 在球面上取两块相等的小面积 S 1 和 的电场强度通量分别为 ? 1 和 A、 ? 1 > ? 2 , B、 ? 1 < ? 2 , 答案(A) 5) 已知一高斯面所包围的体积内电量代数和 ?qi A、高斯面上各点场强均为零 B、穿过高斯面上每一面元的电通量为零 6) 两个同心带电球面,半径分别 Ra , Rb ( Ra 场强度的大小为() A、 零

S2

? 2 ,通过整个球面的电场强度通量为 ? 3 ,则()
?0 ?0
C、 ? 1 = ? 2 , D、 ? 1 < ? 2 ,

?3= q

?3= q ?3= q

?0 ?0

?3=2 q

? 0 ,则可肯定()
C、穿过整个高斯面的电通量为 答案(C) r,当 Ra

D、以上说法都不对

? Rb ) ,所带电量分别为 Q ? a , Qb 。设某点与球心相距

? r ? Rb 时,该点的电

Q ?Q 1 ? a 2 b 4??0 r
q B、 12? 0

B、

Q ?Q 1 ? a 2 b 4??0 r
q D、 48? 0

C、

Q Q 1 ? ( 2a ? b ) 4??0 r R2 b

D、

Q 1 ? 2a 4??0 r
a

答案(D)

7) 如图所示,一个带电量为 q 的点电荷位于立方体的 A 角上,则通过侧面 abcd 的电场强度通量为()

q A、 6? 0

q C、 24? 0

答案(C)

d

A

q

8) 半径为 R 的均匀带电球面,若其电荷密度为 ? ,则在距离球面 R 处的电场强度为()

b c
1

A、

? ?0

B、

? 2? 0

C、

? 4? 0
()

D、

? 8? 0

答案(C)

9)

高斯定理

?

s

? ? 1 E ? dS ?

?0

? ?dV
v

A、适用于任何静电场 B、只适用于真空中的静电场

C、只适用于具有球对称性,轴对称性和平面对称性的静电场 D、只适用于虽然不具有(C)中所述的对称性,但可以找到合适的高斯面的静电场 答案(B)

10) 关于高斯定理的理解正确的是() A、 如果高斯面上处处 E 为零,则该面内必无电荷 B、 如果高斯面内无电荷, 则高斯面上处处 E 为零

?

C、如果高斯面内有许多电荷,则通过高斯面的电通量必不为零 D、 如果高斯面的电通量为零, 则高斯面内电荷代数和必为零 答案 (D)

?

11) 如图两同心的均匀带电球面,内球面半径为 R1 ,电量 Q1 ,外球面半径为 R2 ,电量 Q2 ,则在内球面内距离球心为 r 处的 P 点场强 大小 E 为() A、

Q1 ? Q 2 4?? 0 r 2

B、

Q1 Q2 ? 2 4?? 0 R 1 4?? 0 R 2 2

C、

Q1 4??0 r 2

D 、0

答案(D)

12)若均匀电场的场强为 E ,其方向平行于半径为 R 的半球面的轴,则通过此半球面的电通量 ? 为() A、?R
2

?

E

B、2?R

2

E

C、

1 2 ?R E 2

D、

2?R 2 E

E、 ?R

2

E

2

答案(A)

13) 下列说法正确的是() A、 闭合曲面上各点场强为零时,面内必没有电荷 B、 闭合曲面内总电量为零时,面上各点场强必为零 C、闭合曲面的电通量为零时,面上各点场强必为零 D、通过闭合曲面的电通量仅决定于面内电荷 答案(D)

14) 在空间有一非均匀电场,其电力线分布如图,在电场中作一半径为 R 的闭合球面 S,已知通过球面上某一面元 ? S 的电场线通量为

??e ,则通过该球面其余部分的电场强度通量为()
A、 ? ??e 15) 在电荷为 ? C、

4?r 2 ? ??e ?S

B、

4?r 2 ? ?S ? ??e ?S

D、0

答案(A)

q 的电场中,若取图中点 P 处为电势零点,则 M 点的电势为()

R

?S

A、

q 4?? 0 a

B、

q 8?? 0 a

C、?

q 4?? 0 a

D、?

q 8?? 0 a

答案 (D)

+q a

P a

M

16)下列说法正确的是() A、 带正电的物体的电势一定是正的 B、 电势等于零的物体一定不带电 C、带负电的物体的电势一定是负的 D、物体电势的正负总相对电势参考点而言的 答案(D)


17) 在点电荷 q 的电场中,选取以 q 为中心,R 为半径的球面上一点 P 处作电势零点,则与点电荷 q 距离为 r 的 P 点电势为()

2

A、

q 4?? 0 r

B、

q 1 1 ( ? ) 4?? 0 r R

C、

q 4?? 0 (r ? R )

D、 ?

q 1 1 ( ? ) 4?? 0 r R

答案(B) 18) 半径为 R 的均匀带电球面,总电量为 Q,设无穷远处的电势为零,则球内距球心为 r 的 P 点处的电场 强度和 电势为() A、E=0, U=

Q 4?? 0 r

B、 E=0,

U=

Q 4?? 0 R

C、E=

Q 4?? 0 r 2

.

U=

Q 4?? 0 r

D、E=

Q 4?? 0 r 2

.

U=

Q 4?? 0 R

答案(B) 19) 有 N 个电量为 q 的点电荷,以两种方式分布在相同半径的圆周上,一种是无规则地分布,另一种是均匀分 布,比较在这两种情况下在通过圆心 O 并垂直与圆心的 Z 轴上任意点 P 的 场强与电势,则有() A、场强相等,电势相等 B、场强不相等,电势不相等 C、场强分量 答案(C) 20)在边长为 a 正方体中心处放置一电量为 Q 的点电荷,设无穷远处为电势零点,则在一个侧面的中心处的电势为() A、

E z 相等,电势相等 D、场强分量 E z 相等,电势不相等

Q 4?? 0 a

B、

Q 2?? 0 R

C、

Q ?? 0 R

D、

Q 2 2?? 0 R

答案(B)

21)如 图两个同心的均匀带电球面,内球面半径为 R1 ,电量 Q1 ,外球面半径为 R2 ,电量 Q2 ,则在内球面内距离球心为 r 处的 P 点 的电势 U 为() A、

Q1 ? Q 2 4?? 0 r

B、

Q1 Q2 + 4?? 0 R 1 4?? 0 R 2

C 、0

D、

Q1 4?? 0 R 1

答案(C) 22) 真空中一半径为 R 的球面均匀带电为 Q, ,在球心处有一带电量为 q 的点电荷,如图设无穷远处为电势零点,则在球内离球心 O 距离 为 r 的 P 点处的电势为() A、

Q 4?? 0 r

B、

1 q Q ( ? ) 4?? 0 r R

C、

Q?q 4?? 0 r

D、

1 q Q?q ( ? ) 4?? 0 r R
?

答案(B)

23)当带电球面上总的带电量不变,而电荷的分布作任意改变时,这些电荷在球心处产生的电场强度 E 和电势 U 将() A、 E 不变, U 不变

?

B、 E 不变,U 改变 C E 改变 ,U 不变

?

?

D、 E 改变,U 也改变

?

答案(C)

24) 真空中有一电量为 Q 的点电荷,在与它相距为 r 的 A 点处有一检验电荷 q,现使检验电荷 q 从 A 点沿半圆弧轨道运动到 B 点,如图则 电场场力做功为() A、

Q ?r 2 ? ?q 4?? 0 r 2 2

B、

Q ? 2rq 4?? 0 r 2

C、

Q ? ?rq 4?? 0 r 2

D、0

答案(D)

25) 两块面积为 S 的金属板 A 和 B 彼此平行放置,板间距离为 d(d 远远小于板的线度) ,设 A 板带电量 q1 , B 板带电量 q 2 ,则 A,B 板间 的电势差为() A、

q1 ? q 2 2? 0S

B、

q1 ? q 2 ?d 4? 0S

C、

q1 ? q 2 ?d 2? 0S

D、

q1 ? q 2 ?d 4? 0S

答案(C)

3

26) 图中实线为某电场中电力线,虚线表示等势(位)面,由图可以看出() A、 E a B、 E a

? Eb ? E c ? Eb ? E c

U a ? Ub ? Uc U a ? U b ? Uc

C 、 Ea D、 E a

? Eb ? E c ? Eb ? E c

U a ? U b ? Uc U a ? Ub ? Uc
答案(A)

27) 面积为 S 的空气平行板电容器,极板上分别带电量为 ?

q ,若不考虑边缘效应,则两极板间的相互作用力为()
答案(A)

? q2 A、 ? 0S

? q2 B、 2? 0 S

q2 C、 2? 0 S 2

q2 D、 ? 0S 2

28)长直细线均匀带电。电荷线密度为 ? ? ,一条过 B 点且垂直 y 轴,一条过 O 点且平行于 X 轴,OB=2a,A 为 OB 的中点,则 E A 的大小和 方向为() A 、0 B、

?

? 2?? 0 a

,y 轴正向 C、

? ? 0 ,y 轴负向 D、 ,与 y 轴成 45 角 ?? 0 a 2?? 0 a

答案(C) 29)下面四个图中有两个或四个大小相等的点电荷与圆点等距离分布在 XOY 平面上,设无限远 处为电势零点,则圆点处场强和电势均为零的是() A、 D、

Y B、 Y + + O + X + + O + -

Y + + X O +

Y

C

+

O

-

X

-

X

答案(D) 30) 电量为 Q,半径为 R A 的金属球 A,放在内外半径为 R B 和 RC 的金属球壳内,若用导线连接 A,B,设无穷远处 U ? A 球的电势为() A、

? 0 ,则

Q 4?? 0 R C

B、

Q 4?? 0 R A

C、

Q 4?? 0 R B

D、

Q 1 1 ( ? ) 4?? 0 R B R C

答案(A) 31)正方体四个顶角上分别放有电量为 ? q,?q,?2q,?2q, 的点电荷,正方形的边长为 b,则中心处 O 的 场强大小与方向为()

A、

2 q,向上 4??0 b 2
D、

B、

2 q,向左 4??0 b 2
答案(c)

C、

2 q,向下 2??0 b 2

-q

+2q

2 q,向下 4??0 b 2

O +q -2q

填空题 1、A,B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面,已知两平面间的电场强度大小为 E 0 ,两平面外侧电场强度大小都为 E 0

3 ,方
4

向如图,则 A,B 两平面上的电荷密度分别为 ? A

?

, ?B ?

答案:

4? 0 E 0 3

?

2? 0 E 0 3
答案:0

2、由一根绝缘细线围成的边长为 L 的正方形线框,今使它均匀带电,其电荷线密度为 ? ,则在正方形中心处的电场强度大小 E=
3、两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线 1、2 相距为 d,其电荷线密度分别为 ?1和? 2 ,则场强等于零的点与直线的距离为:

答案:

? 1d ?1 ? ? 2

4、带电量均为+q 的两个点电荷分别位于 X 轴上的+a 和-a 的位置,如图则 Y 轴上各点电场强度的表 示式为 E

?

?



? j 为y方向单位矢量)场强最大的位置在 Y=

答案:

? 2qy j 4??0 (a 2 ? y 2 )
3 2

,?

a

2

5、一半径为 R 的带有一缺口的细圆环,缺口长为 d(d<<R),环上均匀带正电,总电量为 q , 如图所示,则圆心 O 处的场强大小 E= 答案:

qd qd ? 2 4?? 0 R (2?R ? d) 8? ? 0 R 3
2

6、一半径为 R 长为 L 的均匀带电圆柱面,其单位长度带电量为 ? 。在带电圆柱的中垂面有一点 P,它到轴距离为 r(r>R),则 P 点的电场 强度大小,当 r<<L 时,E= 答案:

? 2?? 0 r

7、半径为 R 的半球面置于场强为 E 的均匀电场中,其对称轴与场强方向一致,如图所示则通过该半球面的电场强度通量为 答案: ?R
2

?

E
1 a 处,有一电量为 q 的正点电荷,则通过该平面的电场强度通量为 2

8、 如图在边长为 a 的正方形平面的中垂线上,距中点

答案:

q 6? 0
?

9、一半径为 R 的均匀带电球面,其电荷面密度为 ? ,该球面内外场强分布( r 表示从球心引出的矢径) E( r )

? ?

?

(r<R);

? ? E( r ) ?

(r>R)

答案:0;

? ?R 2 r ?0r 3
?

10、一半径为 R 的无限长均匀带电圆柱面,其电荷面密度为 ? ,该柱面内外场强分布( r 表示在垂直于圆柱面的平面 上,从轴线引出

? ? 的矢径) E( r ) ?

(r<R);

? ? E( r ) ?

(r>R)

答案:0;

? ?R r ?0r 2

5

11、带电量分别为 q 1 和

q 2 的两个点电荷单独在空间各点产生的静电场强分别为 E 1

?

? ? ? ? 和 E 2 ,空间各点总场强为 E ? E 1 ? E 2 ,


现在作一封闭曲面 S 如图,遇以下两式可分别求出通过 S 的电通量

?E

?

1

? dS ?

? E ? dS ?

?

答案:

q 1 q1 ? q 2 ; ?0 ?0
?R 2? 0
???

12、一半径为 R 的均匀带电圆盘,其电荷面密度为 ? ,设无穷远处为电势零点,则圆盘中心 O 点的电势 U0=
答案:

13、在静电场中,一质子(带电量为 e= 1?? ? ??

C )沿四分之一圆弧轨道从 A 点移到 B 点(如图)电场力作功 ???? ????? J ,则
;设 A 点电势为零,B 点电势 UB=

当质子沿四分之三的圆弧轨道从 B 点回到 A 点时,电场力作功 A= 答案: ? ???? ??
???

J , ? ? ? ??? V

14、图中所示为静电场中的电力线图,若将一负电荷从 a 点经任意路径移到 b 点,电场力作正功还 是负功 答案:负功;a 点高 ;a,b 两点哪一点电势高

15、一电子和一质子相距 ? ? ?? 答案:7.2ev

???

m (两者静止) ;将此两粒子分开到无究远距离时(两者仍静止)需要最小能量是
? ? E ? ? dL ? 0 ,这表明静电场中电力线
L

16、在静电场中,场强沿任意闭合路径的线积分等于零, 答案:不能闭合

17、如图在半径为 R 的球壳上均匀带电量 Q 一点电荷 q(q<<Q)从球内 a 点经球壳上一个小孔移到球外 b 点,则此过程中电场作功 A= 答案:

Qq 4??0

?1 1? ? ?R ? r ? ? 2 ? ?

18、一无限长均匀带电的空心圆柱体,内半径为 a,外半径为 b,电荷 体密度为 ? ,若作一半径为 r(a<r<b), 长度 L 的同轴园柱形高斯柱面,则其中包含的电量 q= 答案: ?? L

?r

2

? a2

?

19、空气平行板电容器的两极板面积均为 S,两板相距很近,电荷在平板上的分布可以认为是均匀的,设两极板带电量分别为 ? Q ,则 两板间相互吸引力为

Q2 答案: 2? 0 S
20、一半径为 R 的均匀带电细圆,带电量 Q,水平放置,在圆环轴线的上方离圆心 R 处有一质量为 m,带电量为 q 的小球从静止下落到 圆心位置时,它的速度为 V=
1

? Qq ? 1 ?? 2 答案: ?2gR ? ?1 ? ?? 2?m? 0 R ? 2 ?? ?
21、若静电场的某个区域电势等于恒量,则该区域的电场强度分布是 ;若电势随空间坐标作线性变化,则该区域的场强分布 6

答案:处处为零;均匀分布 22、图中所示为静电场的等势(位)线图,已知 U1>U2>U3,,在图上画出 a,b 两点的电场强度方向,并比较它们的大小 答案:Ea>Eb 23、在电量为 q 的点电荷的静电场中,若选取与点电荷距离为 r0 的一点为电势零点,则与点电荷距离 为 r 处的电势 U= 答案:

q 4?? 0

?1 1 ? ? ?r ? r ? ? 0 ? ?
R,

24、 图示 BCD 是以 O 点为圆心, 以 R 为半径的半圆弧, 在 A 点有一电量为+q 的点电荷, O 点有一电量为- q 的点电荷, 线段 AB ? 现将一单位电荷从 B 点沿半圆弧轨道 BCD 移到 D 点,则电场力所作功的大小为

答案:

q 6?? 0 R

三 1、

计算题
有一电子射入一电场强度是 5 ? 10
3

N / C 的均匀电场,电场方向是竖直向上,电子初速度是 107 m / s ,与水平线所夹的入射
(10 分)

角为 300(忽略重力) , (1)求该电子上升的最大高度; (2)此电子返到其原来高度时水平射程

? ? 解: (1)电子所受的电场力: F ? ?eE (1 分)

? ? ? F ? eE ? 其加速度 a ? (1 分) m m
当电子上升到最大高度时:V⊥=0(1 分)

∴V⊥2=(V0sin300)2=2ah(1 分)

?V sin 30 ? ? ?V sin 30 ? m (1分) ?h ?
0 2 0 2 0 0

?

?10

? 0.5? ? 9.1 ? 10 ?31 ? 1.4 ? 10 ?2 m?1分 ? ?19 3 2 ? 1.6 ? 10 ? 5 ? 10
7 2

2a

2eE

(2)电子从上升到返回到原来高度时共用时间:

7

t?2

2h 2hm ?2分 ? ?2 a eE

2 ? 1.4 ? 10 ? 2 ? 9.1 ? 10 ?31 ?2 1.6 ? 10 ?19 ? 5 ? 10 3 ? 1.13 ? 10 ?8 ?秒 ??1分 ? 水平射程 S ? V011 t ? V0 cos 30 0 t ?1分 ? ? 10 7 ? 0.866 ? 1.13 ? 10 ?8 ? 9.79 ? 10 ? 2 ?米 ??1分 ?
2、 电子所带电量(基本电荷-e)最先是由密立根通过油滴实验测出的,其实验装置如图所示。一个很小的带电油滴在电场 E 内,调节
E 的大小,使作用在油滴上的电场力与油滴的质量平衡。如果油滴的半径为 1.64 ? 10 的密度为 0.851g/cm3,求油滴上的电荷 由 F=P 得: (1 分) EQ=mg= (7 分)
?4

cm ,平衡时 E= 1.92 ? 105 N / C ,油

解:没油滴的电量为 Q,体密度为 ? ,半径为 R(设油滴所带电量为体分布) ,这时的电场力和重力分别为 F 和 P(2 分)

4 ?? R 3 g (2 分) 3

4??R 3 g 4? 1.6 ? 10?6 ? 0.851? 103 ? 9.8 ?1分? ?Q ? ? 3E 3 ? 1.92 ? 105

?

?

3

? 8.02?10?19 ?库??1分?
3、 一半径为 R 的均匀带电圆环,电荷总量为 q.(1)求轴线上离环中心 O 为 x 处的场强 E; (2)求 O 点及 x>>R 处的场强以及最大场
强值及其位置; (3)定性地画出 E-x 曲线 (15 分) 解: (1)如图所示,圆环上任一电荷无 dq 在 P 点产生的场强为:

dE ?

dq ?2分? 4??0 r 2

根据对称性分析,整个圆环在距圆心 x 处 P 点产生的场强, 方向沿 x 轴,大小为

E ? ? dE cos? ? ?

1 dq x ? ? ?2分 ? 4?? 0 r 2 r xq 4?? 0 r ? R
2

x xq dq ? ? 3 ? 4?? 0 r 4?? 0 r 3

?

3 2 2

?

?1分?

(2)求 E 的极值: O 点的场强 x=0,E0=0 (1 分)

?

E

?

2 R 2
X

(4 分)
8

2 R 2

? qx d? ? 2 2 ? 4??0 x ? R dE 由 ? ? dx dx 2 R ?1分? 得x 2 ? 2 2R 即x ? ? , 2

?

?

? ? 3 ? 2 ? ? ? 0?2分?
(1 分)

在距圆心左右两侧 (3)E-x 曲线如图所示

q 2R 处的场强最大。其值为 Emax= (1 分) 2 6 3??0 R 2

4、 线电荷 密度为 ? 的无限长均匀带电线,弯成图中形状,设圆弧半径为 R,试求 O 点的场强 (10 分)

解:

(1)在 O 点建立坐标系,如图所示:A ? 半无限长直导线在 O 点产生的场强 E1

?

? ? ? ? ?y ?R ? E1 ? ?0 ? j? 3 3 2 2 2 ? 4?? ?R 2 ? y 2 ?2 ? ? 4 ?? R ? y ? 0 0
同理:B ? 半无限长直导线在 O 点产生的场强 E 2 :

? ?? ? ? ? ? i ?dy ? j? i ?2分 ? 4?? 0 R 4?? 0 R ? ?

?

? E2 ?


? ? ? ? j? i (2分) 4?? 0 R 4?? 0 R

AB 弧在 O 点产生的场强为:

9

? ? ? ? j? i ?2分 ? 4?? 0 R 4?? 0 R ? ? ? ? ? E ? E 1 ? E 2 ? E 弧AB ?1分 ? ? E 弧Α Β ? ? ? ? ? i ? j ?1分 ? 4?? 0 R

? ?

(2)

? E1 ? ? E2 ?

? ?? i?? j ?2分 ? 4?? 0 R ? ?? i?? j ?2分 ? 4?? 0 R

?

?

?

?

? ? i ?2分 ? 4?? 0 R ? ? ? ? ? E ? E 1 ? E 2 ? E 弧Α Β ? 0?1分 ? ? E 弧Α Β ?
5、 无限长带电圆柱面的面电荷密度由下式表示: ? ? ?0 cos?, ,式中 ? 为过 z 轴和任意母线的平面与 x 轴的夹角,试求圆柱轴线
上的场强 (8 分)

解:设该圆柱的横截面半径为 R ,无限长直带电线在空间一点产生的场强 E=

? , 得出( 2 2?? 0 r

分)带电圆柱面上宽度为

dL?? Rd??的无限长带电线在轴线一点产生的场强为:

? cos ? ? ? ? ?2分 ? R?? 0 Rd?R 2?R? 0 2?R? 0 ? cos ? ?? 0 cos ?? i ? sin ?? j d? (1分) 2?? 0 ? 2? ? cos ? ? E ? ? ?0 0 cos ?? i ? sin ?? j d? ?1分 ? 2?? 0 ? ?? 0 ? i ?2分 ? 2? 0
? dE ? ?

?

?

?

?

6、 一对无限长的共轴直圆筒,半径分别为 R1 和 R2,筒面上都均匀带电,沿轴线单位长度的电量分别为 ?1 和 ?2 。 (1)求各区域内的
场强分布; (2)若 ?1 = - ? 2 ,则场强的分布情况又如何?画出 E-x 曲线 解:如图(a)所示,将空间分成 1,2,3 三区域 (1 ) 1 区域内(r<R1): 。 (15 分)

? E1 ? 0?2分?

2 区域(R1<r<R2):

10

? ? q ?sE ? d s ? ? (1分) 0 E ? 2?r ? h ? ? E2 ? ?h (1分) ?0

?1 ? ?2分 ? r 2?? 0 r

? 方向一致 当 ?1 >0 时, E 2 的方向与 r ? 方向相反(1 分) 当 ?1 <0 时, E 2 的方向与 r
3 区域(r>R2):

? ?

? ? ? ?2 ??2分? E3 ? 1 r 2??0 r
当 ?1 当 ?1 (2 )

? ? 方向一致 ? ?2 >0 时, E 3 的方向与 r ? ? 方向相反 ? ?2 <0 时, E 3 的方向与 r
? ? ? ?? 2 时,则 E1 , E 2 不变(1 分)

若 ?1

? ?1 ? ?2 =0
E-r 曲线如图:

? ? E 3 ? 0 (1 分)

7、 在一半径为 a,电荷密度为 ? 的均匀带电球体中,挖去一半径为 c 的球形空腔。空腔中心 O1 相对于带电球体中心 O 的位置矢径用 b
表示。试证明空腔内的电场是匀强电场,即 E= ?b / 3? 0

(10 分)

解:求空腔内任一点 P 的场强挖去体密度为 ? 的小球,相当于不挖,而在同一位置处,放一体密度为- ? 的小球产生的场强的叠加 (1 分) ;佃别以 O,O`为中心,过 P 点作球面 S1 和 S2 为高斯面,则

? ? 1 4? 3 2 r1 ?S1 EdS ? E1 4?r1 ? ? ?dv ? ?0 3? 0 ? ? ? E1 ? r1 ?2分? 3? 0
同理得: E 2

(2 分)

?

??

? ? r2 ?2分? 3? 0

P 点场强 E

?

? ? ? ? ?r1 ? r2 ? ? ? b?3分 ? ? E1 ? E 2 ? 3? 0 3? 0
(8 分)

8、 如图所示,若半球面的半径为 R,匀强电场的场强 E 与半径为 R 的半球面的轴线平行,试计算过此半球的边线为边,另作一个任意
形状的曲面,通过该面的电通量为多少? 解:S1 面的通量:如图设与场强垂直的圆平面为 S0,S1 和 S2 组成一闭合曲面,其包围电荷 ? q i

? 0 ,利用高斯定理得: (1 分)
11

?? EdS ? ?? EdS ? ?? EdS?2分?
? ? s 0 ? ? s1 ? 0?1分 ? ? ? s 0 ? ?? s1 ? ? ? s 0 ? ?? EdS ? ??R 2 E?2分 ? ? ? s1 ? ?? s 0 ? ?R 2 E?1分 ?
s0 s0 s1

? ?

? ?

? ?

同理? s 2 ? ?? s 01 ? ?R 2 E?1分 ?

9、 半径为 R 的带电球,其体密度 ? ? ?0 ?1 ? r / R ?, ? 0 为常量,r 为球内任意点至球心的距离。试求(1)球内外的场强分布; (2 )
最大场强的位置与大小 解: (1)? ? ? ? 0 (13 分)
0

?1 ? r / R ? ,? 与 r 是线性关系,在球内过 P 点做一个半径为 r 的带电球同心的球面为高斯面如图,根据对称
?

性分析此球面上的场强大小相等,方向与 r 的一致(1 分) 由高斯定理:

? ? q E ?? dS ? ?1分? ? ? 2 ?? EdS ? 4?r E内 ?1分?
r r? ? q ? ? ? 0 ?1 ? ?4?r 2 dr 0 ? R? ?4 r ? ? ? 0?r 3 ? ? ?(1分) ?3 R?

?0

? 0?r 3 ? 4 r ? ? 4?r E内 ? ? ? ? ?0 ? 3 R ? ? r ? 3r ? ? E内 ? 0 ?1 ? ??1分 ? 3? 0 ? 4 R ?
2

当 r>R 时,即在球外过任一眯 P 仍作球形高斯面(1 分) 由高斯定理:

12

? ? 2 E ?? 外 dS ? 4?r E 外 ?1分 ?
R r? 1 ? q ? ?0 ? 0 ?1 ? ?4?r 3 dr ? ? 0?R 3 ?1分 ? 3 ? R? 1 ? 4?r 2 E 外 ? ? 0?R 3 3? 0

?0R 3 ?1分 ? ?E外 ? 12? 0 r 2
(2) dE内 ? ? 3r ? ? ?1 ? ? ? 0?1分 ? dr 3? 0 ? 2R ?

2 ? r ? R ?1分 ? 3 ?R E max ? 0 ?1分 ? 9? 0
r 越大, E 外 单调减小,因而球外场无极值(1 分) 10、半径为 R 的无限长直圆柱体均匀带电,体密度为 ? ,试求场强分布,并画出 E-r 曲线 解:分别过圆柱体内外一点 P0,P 作如图(a)所示的高斯面,由高斯定理可得: (10 分)

?

? ? E ?? 内dS ? 2?rlE内 ?2分 ?

??r 2 l ?1分 ? ? ?0 r ? R 时, ?r ? E内 ? 0 ?1分 ? 2? 0



? ? ??R 2 l ?2分 ? ?? E 外 dS ? 2?rlE 外 ?
r?R
时,

?0

?0R 2 ?1分 ? ? E外 ? 2? 0 r

场强的方向均为径向(1 分) E-r 曲线如图(b)(2 分) 11、一电量为 q= 1.5 ? 10
?8

C 的点电荷,试问; (1 ) 电势为 30V 的等势面的半径为多大? (2 ) 电势差为 1。 0V 的任意两个等势

面,

其半径之差是否相同?设 U ?

?0

(8 分)

解: (1)选无限远为电位参考点,据点电荷电位公式

13

U?

q 得?1分? 4??0 r

1.5 ? 10?8 ?1分? 4 ? ? ? 8.9 ? 10?12 q ?r ? (1分) 4?? 0 U 30 ? 9 ? 109 ? 1.5 ? 10?8 30 ? 4.5米(1分) ?
(2)没半径差为 ? r ,则 r2=r1= ? r (1 分) 根据电位差公式得:

?1 1 ? ? ? r ? r ? ?r ? ??1分 ? ? 1 1 ? ? U ? 1.0?伏 ? U? q 4?? 0 ? 4?? 0 ?r ?1分 ? ? r1 ?r1 ? ?r ? q
2

? 4?? 0 r1 ? 4?? 0 r1 ?1分 ? ?r? ?1 ? q ? ?? q ? ? ? ?r ? r1
2

q ? r1 4?? 0

?1分 ?

从上式看出,当 r1 取不同值时, ? r 值不等(1 分) 12、电荷 Q 均匀分布在半径为 R 球体内,试求球内外的电势 证明:利用高斯定理求得球内外任一点的场强 (12 分)

E内 ?

Qr Q (2分); E 外 ? (2分) 3 4?? 0 R 4?? 0 r 2

离球心 r 处( r<R)的电位:

? ? R ? ?? U ? ?r E内dL ? ?R E 外 dL ? ?

Q 4?? 0 R 3

?

R

r

rdr ?

dr ? (3分) 4?? 0 Rr r 2
?

Q

Q ?R 2 ? r 2 ? ? Q ? Q 3 ?3R 2 ? r 2 ?(2分) 3 8?? 0 R 4?? 0 R 8?? 0 R
?

证毕 r ? R处U ? ?r Q 1 Q dr ? (3分) 4?? 0 r 2 4?? 0 r
一点电势。 (12 分)

13、 如图所示,电量 q 均匀地分布在长为 2L 的细直线上,试求空间任意一点 P(x,y)的电势; 再由此求出延长线上和中垂线上任意 解: (1)在图中: r

?

?x ? l?2 ? y 2 ,带电线元 dl 在 P 点的电位:
14

du ?

q ? 8??0 L

dl

?x ? l?2 ? y 2
dL ??

(2分)

整个带电线在 P 点的电位:

?x ? L?2 ? y 2 2 x ? L ? ?x ? L ? ? y 2 q ? ln ( 1分) 8??0 L x ? L ? ?x ? L ?2 ? y 2

U?

q L ??L 8?? 0 L

q ln ? x ? L ? ? 8??0 L ?

?x ? L?2 ? y 2 ? ?

L

? ?L

( 2分)

(2)当 P 点在其延长线上,距 O 为 x (即 P(x,0))处

U?

q 8?? 0 L

ln

x?L? x?L?

?x ? L ? ?x ? L ?

2

2

?

q 8?? 0 L

ln

x?L (2分) x?L

当 P 点在直线中垂面上,离中心 O 为 y(即 P(0,y) )处

U?

q 8?? 0 L

ln

( 2分) ? L ? L2 ? y 2
(14 分)

L ? L2 ? y 2

14、如图所示,半径为 R1 和 R2 的两个同心球面均匀带电,电量分别为 Q1 和 Q2。 (1)试求区域 1,2,3 中的电势; (2)讨论 Q1=-Q2 和 Q2=-Q1R2/R1 两种情况下各区域中的电势,并画出 U-r 曲线 解: (1)利用高斯定理求出:

? ? E1 ? 0?r ? R 1 ?; E 2 ?

? Q1 Q1 ? Q 2 ? ??r ? R 2( ? ? ? 2分) r R ? r ? R ; E r 1 2 3 ? 2 4??0 r 4??0 r 2

电位分布:

? ? ? Q ? Q2 Q ? Q2 ? ?r ? R 2( ? 2分) U 3 ? ?r E 3 dL ? ?r 1 dr ? 1 2 4??0 r 4??0 r

U2 ?

4?? 0 r

Q1

?

Q2 (2分) 4?? 0 R 2
2 1

? R ? ? R ? ? ? ? 1 ? Q1 Q 2 ? ? ? ? 2分) U1 ? ?R E 3dL ? ?R E 2 dL ? ?r E 3dL ? ? ??r ? R 1( 4?? 0 ? R R ? 1 2 ?
2 1

当 Q2=-Q1 时:U3=0; U 2

?

Q1 4?? 0

?1 1 ? ?r ? R 2 ?

? Q1 ? ?; U 1 ? 4?? 0 ?

? 1 1 ? ? ? ?R ? R ( ? 2分) 2 ? ? 1

当 Q2=-

R2 R1

Q1 时: U 3

??

Q1 ?R 2 ? R 1 ? Q1 ;U2 ? 4?? 0 R 1 r 4?? 0

?1 1 ? ? ( 2分) ?r ? R ? ?; U 1 ? 0 1 ? ?

在此两种情况下的 U-r 曲线如图

(2 分) (10 分)

15、半径为 R 的无限长直圆柱体内均匀带电,电荷体密度为 ? 。以轴线为电位参考点,求其电位分布
解:用高斯定理求出场强的分布:

15

? ?R 2 ? ?r ?; E 内 ? ? E外 ? r r 2? 0 r 2? 0
以轴线为电位参考点得

(4 分)

0 ? 0 ?r ?r 2 ? ?r ? R ?(2分) U内 ? ?r E内d r ? ?r dr ? ? 2? 0 4? 0

U外 ? ?

2 R ?R ?R 2 ?R 2 ?R 2 R ?R 2 ? R ? ? 4分) ? ?r dr ? ? ? ln ? ? 2 ln ? 1??r ? R( 4? 0 2? 0 r 4? 0 2? 0 r 4? 0 ? r ?

16、电荷 Q 均匀分布在半径为 R 的球体内,设无究远处为电势零点,试证明离球心 r(r<R)处的电势为

Q 3R 2 ? r 2 8?? 0 R 3

?

?

(10 分)

证明: 半径为 r 处的电势应以 r 为半径的球面以内的电荷在该处产生的电势 U 1 和球面外电荷产生的电势 U 2 的叠加, 即 U= U 1 + U 2 , 球面内电荷产生的电势
3 2 Qr 3 q1 R ? Qr ?4分? U1 = ? 4??0 r 4??0 r 4??0 R 3 球面外电荷产生的电势,在球面外取 r ? ? r ? ? dr 的薄球层,其上电量

dq ?

Q 3Q 4?r 2 dr? ? 3 r? 2 dr? 3 R 4? R 3
dq 3Q ? r ?dr ?( 2分) 4?? 0 r ? 4?? 0 R 3

它对该薄层内任一点产生的电势为

dU 2 ?

U 2 ? ? dU 2 ?

3Q 3Q R 2 ? r 2 R ? ? ?2分 ? r d r ? ?r 4?? 0 R 3 8?? 0 R 3

?

?

Qr 2 3Q R 2 ? r 2 Q 3R 2 ? r 2 ?2分 ? U ? U1 ? U 2 ? ? ? 4?? 0 R 3 8?? 0 R 3 8?? 0 R 3 ? ? 若根据电势定义 U ? ? EdL 直接算出同样给分
17、一电荷面密度为 ? ,的“无限大”平面,在距平面 a 米远处的一点场强大小的一半是由平面 上的一个半径为 R 的圆面积范围内的电 荷所产生的,试求该圆半径的大小 (10 分) 解:电荷面密度为 ? 的无限大均匀带电平面在任意点场强大小为 E 图中 O 点为圆心,取半径为 r

?

?

?

?

??

2? 0

?2分?

? r ? dr 的环形面积,其电量为 dq ? ?2?rdr?2分?

它在距离平面为 a 的一点处产生的场强 dE

?

?ardr 2? 0 a ? r
2

?

3 2 2

?

(2 分)

则半径为 R 的圆面积内的电荷在该点的场强为

16

E?

? ?a R rdr ? ? a ? 1 ? ? ??2分 ? 3 ? 2? 0 0 ?a 2 ? r 2 ?2 2? 0 ? a2 ? R2 ? 4? 0 , 得到R ? 3a ?2分 ?

由题意, 令E ? ?

18、一高为 h 的直解形光滑斜面,斜面倾角为 ? 。在直角顶点 A 处有一电量为-q 的点电荷,另有一质量为 m 带电量+q 的小球在斜面的顶 点 B 由静止下滑。设小球可看作质点,试求小球到达斜面底部 C 点时的速率 解:因重力和电场力都是保守力,小球从顶点 B 到达 C 点过程中能量守恒 (5 分)

?

q2 1 q2 ?3分 ? ? mgh ? m? 2 ? 4?? 0 h 2 4?? 0 hctg?
2 1 2

? q ? ?tg? ? 1? ? 2gh ? ?2分 ? ?? ? ? ? 2?? 0 mh ?
19、一带电细线弯成半径为 R 的半圆形,电荷线密度为 ? ? ?0 sin ? ,式中 ? 0 为一常数, ? 为半径 R 与 X 轴所成的夹角,如图所示,
试求环心 O 处的电场强度 解:在 ? 处取电荷元,其电量为 dq= ? dl= ? 0 Rsin 它在 O 点产生的场强为 dE

? d?

?

? sin ?d? dq ?2分? ? 0 2 4??0 R 4??0 R

在 X、Y 轴上的二个分量 dE x 对名分量分别求和

? ?dE cos??1分?, dE y ? ?dE sin ??1分?

?0 ? ? sin ? cos ?d? ? 0?2分 ? 4?? 0 R 0 ?0 ? 2 ?0 ?2分 ? Ey ? ? sin ? d ? ? ? ? 4?? 0 R 0 8? 0 R ? ? ? ? ? ? E ? E x i ? E y j ? ? 0 j?2分 ? 8? 0 R
Ex ? ?
20、如图所示,在电矩为 P 的电偶极子的电场中,将一电量为 q 的点电荷从 A 点沿半径为 R 的圆弧(圆心与电偶极子中心重合,R 大于 电偶极子正负电荷之间距离)移到 B 点,求此过程中电场力所作的功。 解:用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势 U 式中 r 为从电偶极子中心到场点的矢径(5 分) 于是知 A、B 两点电势分别为 (10 分)

?

?

? ? p? r 4?? 0 r 3
R

?

A

? p

B

17

UA ? UB ?

?p 4?? 0 R 2 p ? ?p ? p ? 2 4?? 0 R

q从A移到 B电场力作功 ?与路径无关 ?为 qp ?5分 ? A ? q ?U A ? U B ? ? ? 2?? 0 R 2
21、假如静电场中某一部分的电力线的形状是以 O 点为中心的同心圆弧,如图所示。试证明:该部分上每点的电场强度的大小都应与该点 到 O 点的距离成反比 (5 分)

证:由任意两条同心圆弧作扇形小环路 abcda。设 E1 和 E 2 分别为 ab 和 cd 段路径的场强,bc 和 da 段路径与场强方向垂直(2 分) 按静电场的环路定理:

?

?

? ? ? ? b? ? c ? ? d ? ? a ? ? ?l Ed l ? ?a E 1d l ? ?b Ed l ? ?c E 2 d l ? ?d Ed l ? E 1 ? ab ? E 2 ? cd ? 0?2分 ? ? E 1 cd r2 ?? r2 ? ? ? ? ? ?1分 ? E 2 ab r1 ?? r1

a d c

b

O

18


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