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2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)两角和与差的正弦、余弦和正切公式 理 北师大版


第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

【考纲下载】 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但 对这三组公式不要求记忆).

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α ±β )=sin_α cos_β ±cos_α sin_β , cos(α ±β )=cos_α cos_β ?sin_α sin_β , tan α ±tan β tan(α ±β )= . 1?tan α tan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α =2sin_α cos_α , 2 2 2 2 cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α , 2tan α tan 2α = . 2 1-tan α 3.有关公式的逆用、变形 (1)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan_α tan_β ); 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 (2)cos α = ,sin α = ; 2 2 2, 2 (3)1+sin 2α =(sin α +cos α ) 1-sin 2α =(sin α -cos α ) ,sin α ±cos α π? ? = 2sin?α ± ?. 4? ? 4.半角公式 (1)用 cos α 表示 sin sin
2 2

α 2α 2α ,cos ,tan . 2 2 2

α 1-cos α 1+cos α 1-cos α 2α 2α = ;cos = ;tan = . 2 2 2 2 2 1+cos α

α α α (2)用 cos α 表示 sin ,cos ,tan . 2 2 2 α sin =± 2 α tan =± 2 1-cos α α ;cos =± 2 2 1-cos α . 1+cos α 1+cos α ; 2

α (3)用 sin α ,cos α 表示 tan . 2

-1-

α sin α 1-cos α tan = = . 2 1+cos α sin α 5.形如 asin x+bcos x 的化简

asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ ),其中 sin φ =

b a +b
2 2

,cos φ =

a a +b2
2

.

1.两角和与差的正弦、余弦公式对任意角 α ,β 都成立吗? 提示:都成立. 2.两角和与差的正切公式对任意角 α ,β 都成立吗?其适用条件是什么? π 提示: 在公式 T(α +β )与 T(α -β )中, α , β , α ±β 都不等于 kπ + (k∈Z), 即保证 tan α , 2 π tan β ,tan(α +β )都有意义;若 α ,β 中有一角是 kπ + (k∈Z),可利用诱导公式化简. 2 3.函数 f(x)=asin x+bcos x 的最大值和最小值各是什么? 2 2 2 2 提示:最大值为 a +b ,最小值为- a +b .

α 3 1.(2013?江西高考)若 sin = ,则 cos α =( 2 3 2 1 1 2 A.- B.- C. D. 3 3 3 3

)

α 3 ? 3? 2 1 2 α 解析:选 C 因为 sin = ,所以 cos α =1-2sin =1-2?? ? = . 2 3 2 ?3? 3 2.(教材习题改编)sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°的值是( ) 1 3 1 3 A. B. C.- D.- 2 2 2 2 解析:选 C sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°=-(cos 34°cos 26°-sin 34°sin 26°) 1 =-cos(34°+26°)=-cos 60°=- . 2 π π 3 ? ? ? ? 2 3.已知 tan?α - ?= ,tan? +β ?= ,则 tan(α +β )的值为( ) 6? 7 ? ?6 ? 5 29 1 1 A. B. C. D.1 41 29 41 π ? ?π ?? ?? 解析:选 D tan(α +β )=tan??α - ?+? +β ?? 6? ?6 ?? ?? π? 3 2 ? ?π ? + tan?α - ?+tan? +β ? 6? 7 5 ? ?6 ? = = =1. π? π 3 2 ? ? ? 1-tan?α - ??tan? +β ? 1- ? 6? 7 5 ? ?6 ? ?π ? 4.(2013?四川高考)设 sin 2α =-sin α ,α ∈? ,π ?,则 tan 2α 的值是________. ?2 ? 1 ?π ? 解析:∵sin 2α =2sin α cos α =-sin α ,∴cos α =- ,又 α ∈? ,π ?,∴sin 2 ?2 ? α = 3 2tan α -2 3 ,tan α =- 3,∴tan 2α = = = 3. 2 2 1-tan α 1-?- 3?2
-2-

答案: 3 5.tan 20°+tan 40°+ 3tan 20°tan 40°=________. tan 20°+tan 40° 解析:∵tan (20°+40°)= ,∴ 3- 3tan 20°tan 40°=tan 1-tan 20°tan 40° 20°+tan 40°, 即 tan 20°+tan 40°+ 3tan 20°tan 40°= 3. 答案: 3

考点一

三角函数的化简求值 )

[例 1] (1)(2013?重庆高考)4cos 50°-tan 40°=( 2+ 3 A. 2 B. 2 C. 3 D.2 2-1

θ ? ? θ ?1+sin θ +cos θ ??sin -cos ? 2 2? ? (2)化简: (0<θ <π ). 2+2cos θ sin 40° [自主解答] (1)4cos 50°-tan 40°=4sin 40°- cos 40° 4cos 40°sin 40°-sin 40° 2sin 80°-sin 40° = = cos 40° cos 40° = = 2sin?120°-40°?-sin 40° 3cos 40°+sin 40°-sin 40° = cos 40° cos 40° 3cos 40° = 3. cos 40°

(2) 原 式 = θ -cos ?cos θ 2 . ?cosθ ? ? 2? ? ?

?2sinθ cosθ +2cos2θ ??sinθ -cosθ ? ? ? 2 2 2? 2 2? ? ?? ?
4cos
2

θ 2

θ ? 2θ 2θ ? cos ?sin -cos ? 2 2? 2? = = ?cosθ ? ? ? 2? ?

θ π θ 因为 0<θ <π ,所以 0< < ,所以 cos >0,故原式=-cos θ . 2 2 2 [答案] (1)C 【方法规律】 1.三角函数式化简的原则 三角函数式的化简要遵循“三看”原则,即一看角,二看名,三看式子结构与特征. 2.解决给角求值问题的基本思路 对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有: (1)化为特殊角的三角函数值; (2)化为正、负相消的项,消去求值; (3)化分子、分母出现公约数进行约分求值.

-3-

化简: (1)sin 50°(1+ 3tan 10°); 1 4 2 2cos x-2cos x+ 2 (2) . π π? ? ? 2? 2tan? -x?sin ?x+ ? 4? ?4 ? ? 解:(1)sin 50°(1+ 3tan 10°)=sin 50°(1+tan 60°tan 10°) cos 60°cos 10°+sin 60°sin 10° cos?60°-10°? =sin 50°? =sin 50°? cos 60°cos 10° cos 60°cos 10° 2sin 50°cos 50° sin 100° cos 10° = = = =1. cos 10° cos 10° cos 10° 1 2 2 2cos x?cos x-1?+ 2 2 2 2 -4cos xsin x+1 1-sin 2x (2) 原 式 = = = = ?π ? ? ?π ? ?π ? ?π ? 2?π 2tan? -x??cos ? -x? 4cos? -x?sin? -x? 2sin? -2x? ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?2 ? 2 cos 2x 1 = cos 2x. 2cos 2x 2 考点二 三角函数的条件求值 10 ,则 tan 2α =( 2

[例 2] (1)(2013?浙江高考)已知 α ∈R,sin α +2cos α = A. 4 3 3 B. 4 3 C.- 4

)

4 D.- 3 ? π? (2)(2013?广东高考)已知函数 f(x)= 2cos?x- ?,x∈R. ? 12? ? π? ①求 f?- ?的值; ? 6? π? 3 ? 3π ? ? ②若 cos θ = ,θ ∈? ,2π ?,求 f?2θ + ?. 3? 5 ? 2 ? ? 2 2 [自主解答] (1)法一:(直接法)两边平方,再同时除以 cos α ,得 3tan α -8tan α - 1 2tan α 3 3=0,tan α =3 或 tan α =- ,代入 tan 2α = ,得 tan 2α =- . 2 3 1-tan α 4 3 1 法二:(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性,记 sin α = ,cos α = ,这时 10 10 sin α +2cos α = 10 符合要求,此时 tan α =3,代入二倍角公式得到答案 C. 2 π ? π? ? π π? ? π? (2)①f?- ?= 2cos?- - ?= 2cos?- ?= 2cos =1. 4 ? 6? ? 6 12? ? 4? π? π π? π? ? ? ? ②f?2θ + ?= 2 cos?2θ + - ?= 2cos?2θ + ?=cos 2θ -sin 2θ . 3? 3 12? 4? ? ? ? 3 4 ? 3π ? 因为 cos θ = ,θ ∈? ,2π ?,所以 sin θ =- . 5 5 ? 2 ? 24 7 2 2 所以 sin 2θ =2sin θ cos θ =- ,cos 2θ =cos θ -sin θ =- . 25 25 π? 7 ? 24? 17 ? 所以 f?2θ + ?=cos 2θ -sin 2θ =- -?- ?= . 3 25 ? 25? 25 ? ?
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[答案] (1)C 【互动探究】 π? ? 保持本例(2)②条件不变,求 f?θ - ?的值. 6? ? 解:因为 θ ∈? 4 - . 5 π? π π? π? 2 ? 2 ? ? ? ? 所以 f?θ - ?= 2cos?θ - - ?= 2cos?θ - ?= 2?? cos θ + sin θ ? 6 6 12 4 ? ? ? ? ? ? 2 ?2 ? 3 4 1 =cos θ +sin θ = - =- . 5 5 5 【方法规律】 三角函数求值的两种类型 (1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函 数. (2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用; ②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.

?3π ,2π ?,cos θ =3,所以 sin θ =- 1-cos2θ =- ? 5 ? 2 ?

?3?2 1-? ? = ?5?

π? 1 ? 1.(2013?新课标全国卷Ⅱ)设 θ 为第二象限角,若 tan?θ + ?= ,则 sin θ +cos θ 4? 2 ? =________. π? 1 π? 5 ? ? 解析:法一:由 θ 在第二象限,且 tan?θ + ?= ,因而 sin?θ + ?=- ,因而 sin 4 4 2 5 ? ? ? ? π? 10 ? θ +cos θ = 2 sin?θ + ?=- . 4? 5 ? π? 1 tan θ +1 1 ? 法二: 如果将 tan?θ + ?= 利用两角和的正切公式展开, 则 = , 求得 tan θ 4? 2 1-tan θ 2 ? 1 1 3 =- .又因为 θ 在第二象限,则 sin θ = ,cos θ =- ,从而 sin θ +cos θ =- 3 10 10 2 10 =- 10 . 5 10 5

答案:-

β ? π 1 ? ?α ? 2 2.已知 0<β < <α <π ,且 cos?α - ?=- ,sin? -β ?= ,求 cos(α +β ) 2 2 2 9 ? ? ? ? 3 的值. π π α π π β 解:∵0<β < <α <π ,∴- < -β < , <α - <π , 2 4 2 2 4 2

?α ∴cos? -β ?2 α +β ∴ cos 2 α ? ? sin? -β ? ?2 ?

?= ? ?

β ? β ? 4 5 ?α -β ?= 5, ? 2? 1-cos ?α - ?= , ? 3 sin?α - 2 ?= 2 2? 9 ? ? ? ? ? β ? ?α β ? β ? ?? ?? ? ?α ? ? = cos ??α - ?-? -β ?? = cos ?α - ? cos ? -β ? + sin ?α - ? 2? ?2 2? 2? ?? ?? ? ?2 ? ? 1-sin ?
2

-5-

5 4 5 2 7 5 ? 1? =?- ?? + ? = , 9 3 27 ? 9? 3 49?5 239 2α +β ∴cos(α +β )=2cos -1=2? -1=- . 2 729 729 高频考点 考点三 三角变换的综合应用

1.三角恒等变换是三角函数化简、求值、证明的主要依据.高考常与三角函数的其他知 识相结合命题,题目难度适中,为中档题. 2.高考对三角恒等变换综合问题的考查常有以下几个命题角度: (1)与三角函数的图像和性质相结合命题; (2)与向量相结合命题; (3)与解三角形相结合命题(见本章第六节). π? ? 2 [例 3] (1)(2013?天津高考)已知函数 f(x)=- 2sin?2x+ ?+6sin xcos x-2cos x 4? ? +1,x∈R. ①求 f(x)的最小正周期; ? π? ②求 f(x)在区间?0, ?上的最大值和最小值. 2? ? ? π? (2)(2013?辽宁高考)设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈?0, ?. 2? ? ①若|a|=|b|,求 x 的值; ②设函数 f(x)=a?b,求 f(x)的最大值. π π [自主解答] (1)①f(x)=- 2sin 2x?cos - 2cos 2x?sin +3sin 2x-cos 2x= 4 4 π 2π ? ? 2sin 2x-2cos 2x=2 2sin?2x- ?.所以 f(x)的最小正周期 T= =π . 4? 2 ?

? 3π ? ?3π ②因为 f(x)在区间?0, ?上是增函数,在区间? 8 ? ? ? 8
-2,f?



π? 上是减函数,又 f(0)= 2? ?

?3π ?=2 2,f?π ?=2,故函数 f(x)在?0,π ?上的最大值为 2 2,最小值为-2. ? ?2? ? 2? ? 8 ? ? ? ? ?
2 2 2 2 2 2 2 2

(2)①由|a| =( 3sin x) +sin x=4sin x, |b| =cos x+sin x=1, 及|a|=|b|, 得 4sin x =1. 1 π ? π? 2 又 x∈?0, ?,从而 sin x= ,所以 x= .②f(x)=a?b= 3sin xcos x+sin x 2 2 6 ? ? = 值 1. 3 所以 f(x)的最大值为 . 2 π? 1 π? 3 1 1 π ? π? ? ? sin 2x- cos 2x+ =sin?2x- ?+ ,当 x= ∈?0, ?时,sin?2x- ?取最大 6? 2 2? 6? 2 2 2 3 ? ? ?

三角恒等变换综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)与三角函数的图像与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已知条件中的函数 解析式整理为 f(x)=Asin(ω x+φ )的形式,然后借助三角函数图像解决. (2)与向量相结合的综合问题.此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问题, 然后再利用三角恒等变换转化为三角函数的图像与性质等问题解决.

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1.已知平面向量 a=(sin x,cos x),b=(sin x,-cos x),R 是实数集,f(x)=a?b+ 2 4cos x+2 3sin xcos x,如果存在 m∈R,任意的 x∈R,f(x)≥f(m),那么 f(m)=( ) A.2+2 3 B.3 C.0 D.2-2 3 4 4 2 2 2 解析:选 C 依题意得 f(x)=sin x-cos x+4cos x+ 3sin 2x=sin x+3cos x+ 3sin π? ? 2x=cos 2x+ 3sin 2x+2=2sin?2x+ ?+2,因此函数 f(x)的最小值是-2+2=0,即有 6? ? f(m)=0. π? π 2? 2 2.已知 x0,x0+ 是函数 f(x)=cos ?ω x- ?-sin ω x(ω >0)的两个相邻的零点. 6? 2 ? ?π ? (1)求 f? ?的值; ?12? ? 7π ? (2)若对? x∈?- ,0?,都有|f(x)-m|≤1,求实数 m 的取值范围. 12 ? ? π? ? 1+cos?2ω x- ? 3 ? 1-cos 2ω x 1? ? π? ? ? 解:(1)f(x)= - = ?cos?2ω x- ?+cos 2ω x? 3? 2 2 2? ? ? 1? ? 1 3 3 ? ? 1? 3 ? = ?? cos 2ω x+ sin 2ω x?+cos 2ω x?= ? sin 2ω x+ cos 2ω x? 2??2 2 2 2 2 ? ? ? ? π 3?1 3 ? 3 ? ? = ? sin 2ω x+ cos 2ω x?= sin?2ω x+ ?. 3? 2 ?2 ? 2 ? 2 2π 3 由题意可知, f(x)的最小正周期 T=π ,∴ =π , 又∵ω >0, ∴ω =1, ∴f(x)= |2ω | 2 π ? ? sin?2x+ ?. 3? ? 3 3 π 3 ?π ? ? π π? ∴f? ?= sin?2? + ?= sin = . 2 2 ?12? 2 ? 12 3 ? 2 ? 7π ? 都有|f(x)-m|≤1, (2)|f(x)-m|≤1, 即 f(x)-1≤m≤f(x)+1, ∵对? x∈?- ,0?, 12 ? ? 7π 5π π π ∴m≥f(x)max-1 且 m≤f(x)min+1,∵- ≤x≤0,∴- ≤2x+ ≤ , 12 6 3 3 π? π? 3 3 3 3 3 3 ? ? ∴-1≤sin?2x+ ?≤ ,∴- ≤ sin?2x+ ?≤ ,即 f(x)max= ,f(x)min=- , 3? 2 3? 4 2 2 4 2 ? ? 1 3 3? ? 1 ∴- ≤m≤1- .故实数 m 的取值范围为?- ,1- ?. 4 2 2? ? 4 ————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— ?1 组关系——两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角 公式的关系

2

2

2

2

?2 个技巧——拼角、凑角的技巧 (1)用已知角表示未知角 2α =(α +β )+(α -β );2β =(α +β )-(α -β );α =(α +β )-β =(α -β )

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+β ; β ? ?α α +β α -β α +β α -β α -β ? ? α = + ,β = - ; =?α + ?-? +β ?等. 2? ?2 2 2 2 2 2 ? ? (2)互余与互补关系 ?π +α ?+?π -α ?=π ; ?π ? ?π ? π ?3π -α ?+?π +α ?=π ; ? π +α ? ?4 ? ?4 ? 2 ? 3 +α ?+? 6 -α ?= 2 ; ? 4 ? ?4 ? ?6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 π ? -α ?=π ; ? +? ? ? 6 ? ?3 个变换——应用公式解决问题的三个变换角度 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升 幂与降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手 法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与 平方”等.

易误警示(五) 三角函数求角中的易误点 1 2 [典例] (2013?北京高考)已知函数 f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; 2 ?π ? (2)若 α ∈? ,π ?,且 f(α )= ,求 α 的值. 2 ?2 ? [解题指导] 先利用倍角公式化简 f(x)的解析式,然后求解. 1 1 2 [解] (1)因为 f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x=cos 2xsin 2x+ cos 4x 2 2 π? 1 2 π 2 ? = (sin 4x+cos 4x)= sin?4x+ ?,所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 4? 2 2 2 2 ? π? 2 π ? ?π ? (2) 因为 f(α ) = ,所以 sin ?4α + ? = 1. 因为 α ∈ ? ,π ? ,所以 4α + ∈ 4? 2 4 ? ?2 ? ?9π ,17π ?, ? 4 4 ? ? ? π 5π 9π 即 4α + = .故 α = . 4 2 16 π π ?π ? 由 sin?4α +π ?=1, [名师点评] 1.解决本题易忽视 α ∈? ,π ?, 得出 4α + = , ? ? 4? 4 2 ?2 ? ? π 从而得到 α = 的错误结论. 16 2.在解决三角函数求角中的问题时,要牢记:当求出某角的三角函数值,如果要求这角 的取值时,一定要考虑角的范围,只有同时满足三角函数值及角的范围的角才是正确的. 1 1 已知 α ,β ∈(0,π ),且 tan(α -β )= ,tan β =- ,求 2α -β 的值. 2 7

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1 1 - 2 7 tan?α -β ?+tan β 1 解 : ∵ tan α = tan[(α - β ) + β ] = = = >0 ,∴ 1-tan?α -β ?tan β 1 1 3 1+ ? 2 7 π 0<α < . 2 1 2? 3 2tan α 3 π 又 tan 2α = = = >0,∴0<2α < . 2 1-tan α 2 ?1?2 4 1-? ? ?3? 3 1 + 4 7 tan 2α -tan β 1 π ∴tan(2α -β )= = =1.∵tan β =- <0,∴ <β <π ,- 1+tan 2α tan β 3 1 7 2 1- ? 4 7 π <2α -β <0. 3π ∴2α -β =- . 4

[全盘巩固] 1.(2013?浙江高考)函数 f(x)=sin xcos x+ ( ) A.π ,1 B.π ,2 3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 2

C.2π ,1 D.2π ,2 π? 3 1 3 ? 解析:选 A 由 f(x)=sin xcos x+ cos 2x= sin 2x+ cos 2x=sin?2x+ ?,得 3? 2 2 2 ? 最小正周期为 π ,振幅为 1. 2cos 10°-sin 20° 2.(2014?嘉兴模拟) 的值是( ) sin 70° 3 C. 3 D. 2 2 2cos?30°-20°?-sin 20° 解析:选 C 原式= sin 70° A. B. = 2?cos 30°?cos 20°+sin 30°?sin 20°?-sin 20° 3cos 20° = = 3. sin 70° cos 20° 1 2

(

β ? π π 3 ?π ? 1 ?π β ? ? 3.若 0<α < ,- <β <0,cos? +α ?= ,cos? - ?= ,则 cos?α + ?= 2? 2 2 ?4 ? 3 ?4 2? 3 ? ) 3 3 5 3 6 A. B.- C. D.- 3 3 9 9 β π π β ? ? ?? ? ? ?? 解析:选 C cos?α + ?=cos?? +α ?-? - ?? 2? ? ?? 4 ? ? 4 2 ?? ?π ? ?π β ? ?π ? ?π β ? =cos? +α ?cos? - ?+sin? +α ?sin? - ?, ?4 ? ?4 2? ?4 ? ?4 2? π π π 3π ?π ? 2 2. ∵0<α < ,则 < +α < ,∴sin? +α ?= 2 4 4 4 ?4 ? 3 π π π β π 6 ?π β ? 又- <β <0,则 < - < ,∴sin? - ?= . 2 4 4 2 2 ?2 2? 3
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β ? 1 3 2 2 6 5 3 ? 故 cos?α + ?= ? + ? = . 2? 3 3 3 3 9 ? 4.已知锐角 α ,β 满足 sin α = 3π 4 π C. 4 A. π 3π B. 或 4 4 π D.2kπ + (k∈Z) 4 5 3 10 2 5 ,cos β = 且 α ,β 为锐角,可知 cos α = ,sin 5 10 5 5 3 10 ,cos β = ,则 α +β 等于( 5 10 )

解析:选 C 由 sin α = β = 10 , 10

2 5 3 10 5 10 2 故 cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β = ? - ? = , 5 10 5 10 2 π 又 0<α +β <π ,故 α +β = . 4 π 5.已知 α +β = ,则(1+tan α )(1+tan β )的值是( ) 4 A.-1 B.1 C.2 D.4 π tan α +tan β 解析:选 C ∵α +β = ,tan(α +β )= =1, 4 1-tan α tan β ∴tan α +tan β =1-tan α tan β . ∴(1+tan α )(1+tan β )=1+tan α +tan β +tan α tan β =1+1-tan α tan β +tan α tan β =2. π? 2π ? 4 3 ? ? 6.已知 sin?α + ?+sin α =- ,则 cos?α + ?等于( ) 3 3 ? 5 ? ? ? 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 π? 4 3 1 3 4 3 ? 解析:选 D 由 sin?α + ?+sin α =- ,得 sin α + cos α +sin α =- , 3? 5 2 2 5 ? π? 3 3 4 3 4 3 ? 所以 sin α + cos α =- ,故 3sin?α + ?=- , 6? 2 2 5 5 ? π ?? π? 2π ? π? 4 4 ?π ? ? ? ? 于是 sin?α + ?=- ,所以 cos?α + ?=cos? +?α + ??=-sin?α + ?= . 6 ?? 6? 3 ? 6? 5 5 ? ? ? ?2 ? tan x ? π? 7.已知 tan?x+ ?=2,则 的值为________. 4? tan 2x ? tan x+1 1 ? π? 解析:由 tan?x+ ?=2,得 =2,∴tan x= , 4? 1-tan x 3 ? 2 tan x tan x 1-tan x 1? 1? 4 ∴ = = = ?1- ?= . tan 2x 2tan x 2 2? 9? 9 2 1-tan x 4 答案: 9 ?π ? 1 ? 2π ? 8.已知 sin? -α ?= ,则 cos? +2α ?=________. 6 3 3 ? ? ? ? 2 π π ? ? ? ?π ? ?π ? 1 2? 解析:cos? +2α ?=2cos ? +α ?-1,又 cos? +α ?=sin? -α ?= , ? 3 ? ?3 ? ?3 ? ?6 ? 3

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所以 cos?

?2π +2α ?=-7. ? 9 ? 3 ?

7 答案:- 9 9.(2013?新课标全国卷Ⅰ)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ =________. 2 5 ? 5 ? 解析:f(x)=sin x-2cos x= 5 ? sin x- cos x?= 5sin (x-φ ),其中 sin φ 5 ?5 ? = 2 5 5 π π , cos φ = , 当 x-φ =2kπ + (k∈Z)时函数 f(x)取到最大值, 即 θ =2kπ + + 5 5 2 2

2 5 φ 时函数 f(x)取到最大值,所以 cos θ =-sin φ =- . 5 2 5 答案:- 5 7 7 ? π? ?π ? 10.已知 α ∈?0, ?,β ∈? ,π ?,cos 2β =- ,sin(α +β )= . 2? 9 9 ? ?2 ? (1)求 cos β 的值; (2)求 sin α 的值. ? 7? 1+?- ? 1+cos 2β 1 ? 9? 1 ?π ? 2 解:(1)cos β = = = ,又∵β ∈? ,π ?,∴cos β =- . 2 2 2 9 3 ? ?

? 1?2 2 2. 1-?- ? = 3 ? 3? ? π? ?π ? ? π 3π ? 由 α ∈?0, ?,β ∈? ,π ?,得(α +β )∈? , ?. 2? 2 ? ? ?2 ? ?2
(2)由(1)知 sin β = 1-cos β =
2

4 2 ?7?2 1-? ? =- . 9 ?9? sin α =sin(α +β -β )=sin(α +β )cos β -cos(α +β )sin β 7 ? 1? ? 4 2? 2 2 1 = ??- ?-?- ?? 3 =3. 9 ? 3? ? 9 ? π 11.将函数 y=sin x 的图像向右平移 个单位长度,再将所得的图像上各点的横坐标不 3 cos(α +β )=- 1-sin ?α +β ?=-
2

变,纵坐标伸长为原来的 4 倍,这样就得到函数 f(x)的图像,若 g(x)=f(x)cos x+ 3. ? π π? (1)将函数 g(x)化成 Asin(ω x+φ )+B 其中 A、ω >0,φ ∈?- , ?的形式; ? 2 2? π ? ? (2)若函数 g(x)在区间?- ,θ 0?上的最大值为 2,试求 θ 0 的最小值. ? 12 ? ? π? 解:(1)由题意可得 f(x)=4sin?x- ?, 3? ? 3 ?1 ? ? π? ∴g(x)=4sin?x- ?cos x+ 3=4? sin x- cos x?cos x+ 3 3? ? 2 2 ? ? π ? ? =2(sin xcos x- 3cos2x)+ 3=2sin?2x- ?. 3? ? π? π ? π ? π ? (2)∵x∈?- ,θ 0?,∴2x- ∈?- ,2θ 0- ?. 3? 3 ? 2 ? 12 ? π π π 5π ? ? 要使函数 g(x)在?- ,θ 0?上的最大值为 2,当且仅当 2θ 0- ≥ ,解得 θ 0≥ , 3 2 12 ? 12 ?

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5π 故 θ 0 的最小值为 . 12 12 . 已 知 向 量 a = (sin ω x , cos ω x) , b = (cos φ , sin φ ) , 函 数 f(x) = π 3? ?π ? ? a?b?ω >0, <φ <π ?的最小正周期为 2π ,其图像经过点 M? , ?. 3 ? ? ?6 2 ? (1)求函数 f(x)的解析式; 3 12 ? π? (2)已知 α ,β ∈?0, ?,且 f(α )= ,f(β )= ,求 f(2α -β )的值. 2? 5 13 ? 解:(1)依题意有 f(x)=a?b=sin ω xcos φ +cos ω xsin φ =sin(ω x+φ ). 2π ∵函数 f(x)的最小正周期为 2π ,∴2π =T= ,解得 ω =1. ω 3 3? ?π ?π ? 将点 M? , ?代入函数 f(x)的解析式,得 sin? +φ ?= . ?6 ? 2 ?6 2 ? π π 2π π ? π? ∵ <φ <π ,∴ +φ = ,∴φ = .故 f(x)=sin?x+ ?=cos x. 2? 3 6 3 2 ? 3 12 ? π? (2)依题意有 cos α = ,cos β = ,而 α ,β ∈?0, ?, 2? 5 13 ?

?12?2 5 1-? ? = , ?13? 13 24 9 16 7 2 2 ∴sin 2α = ,cos 2α =cos α -sin α = - =- , 25 25 25 25
∴sin α = ∴f(2α -β )=cos(2α -β )=cos 2α cos β +sin 2α sin β =- 36 . 325 [冲击名校] 1 1 ? π? 1.已知 cos α = ,cos(α +β )=- ,且 α 、β ∈?0, ?,则 cos(α -β )的值等于 2? 3 3 ? ) 1 1 1 23 A.- B. C.- D. 2 2 3 27 ? π? 解析:选 D ∵α 、β ∈?0, ?,∴α +β ∈(0,π ), 2? ? ∴ sin α = 1-cos α =
2

?3?2 4 1-? ? = ,sin β = ?5? 5

7 12 24 5 ? + ? = 25 13 25 13

(

?1?2 2 2 , sin(α + β ) = 1-cos2?α +β ? = 1-? ? = 3 ?3?

? 1?2 2 2.∴cos β =cos[(α +β )-α ]=cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin 1-?- ? = 3 ? 3? ? 1? 1 2 2?2 2=7, α =?- ?? + 3 9 ? 3? 3 3
∴sin β = 1-cos β = 1 7 2 2 4 2 23 β = ? + ? = . 3 9 3 9 27
2

?7?2 4 2,∴cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin 1-? ? = 9 ?9?

? ?π ?? 2.设 f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤?f? ??对一切 x∈R ? ? 6 ?? 恒成立,则 ?11π ?=0;②?f?7π ??<?f?π ??;③f(x)既不是奇函数也不是偶函数;④f(x)的单 ①f? ? ? ? 10 ?? ? ? 5 ?? ? 12 ? ? ? ?? ? ? ??
- 12 -

π 2π ? ? 调递增区间是?kπ + ,kπ + ?(k∈Z);⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图像不 6 3 ? ? 相交. 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号).

b? ? 2 2 解析:f(x)=asin 2x+bcos 2x= a +b sin(2x+φ )?其中tan φ = ?,因为对一切 x

?

a?

π ? ?π ?? ?π ? ∈R,f(x)≤?f? ??恒成立,所以 sin? +φ ?=±1,可得 φ =kπ + (k∈Z),故 f(x)= 6 ? ? 6 ?? ?3 ? π 11 π 11 π π ? ? ? ?=± a2+b2?sin?2? ?f?7π ?? 2 2 + ? ± a +b sin?2x+ ?.而 f? =0, 所以①正确; ? ? ? ? ? 10 ?? 6? 12 6? ? ? 12 ? ? ? ? ?? 47 π 17 π π 17 π ? 2 2 ? = ? a2+b2sin ? , ?f? ?? = ? a2+b2sin ? ,所以 ?f?7π ?? = = ? a +b sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 ?? 30 ? ? 30 ? ? ? 5 ?? ? 30 ? ? ? ? ?? π π ?f? ??,故②错误;③明显正确;④错误;由函数 f(x)= a2+b2sin?2x+ ?和 f(x)=- ? ? 5 ?? ? 6? ? ? ?? ? ? π ? ? a2+b2sin?2x+ ?的图像可知(图略), 不存在经过点(a, b)的直线与函数 f(x)的图像不相交, 6? ? 故⑤错误. 答案:①③ [高频滚动] 1.函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |<π )的图像如图所示,为了得到 g(x) =-Acos ω x 的图像,可以将 f(x)的图像( )

5π B.向右平移 个单位长度 12 5π D.向左平移 个单位长度 12 1 7π π π 2π ?7π ? 解析:选 B 由图像可知 A=1;∵ T= - = ,∴T=π ,ω = =2;由 f? ?= 4 12 3 4 π ? 12 ? π? π ?7π ? ? ? π? sin? +φ ?=-1,|φ |<π 知 φ = ,∴函数 f(x)=sin?2x+ ?=sin 2?x+ ?的图像 3? 6? 3 ? 6 ? ? ? π ? π? 要平移得到函数 g(x)=-cos 2x=sin(2x- )=sin 2?x- ?的图像,需要将 f(x)的图像向 4? 2 ? π ? π ? 5π 右平移 -?- ?= 个单位长度. 6 ? 4 ? 12 π? ? 2.已知函数 f(x)=3sin?ω x- ?(ω >0)和 g(x)=2cos(2x+φ )+1 的图像的对称轴完 6? ? π ? ? 全相同.若 x∈?0, ?,则 f(x)的取值范围是________. 2? ? 解析:∵f(x)与 g(x)的图像的对称轴完全相同,∴f(x)与 g(x)的最小正周期相等.∵ω π? π π π 5π 1 ? > 0 , ∴ ω = 2 , ∴ f(x) = 3sin ?2x- ? . ∵ 0≤x≤ , ∴ - ≤2x - ≤ ,∴- 6? 2 6 6 6 2 ? π? ? ≤sin?2x- ?≤1, 6? ? π? 3 ? ? 3 ? ∴- ≤3sin?2x- ?≤3,即 f(x)的取值范围为?- ,3?. 6 2 ? ? ? 2 ? ? 3 ? 答案:?- ,3? ? 2 ?
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π A.向右平移 个单位长度 12 π C.向左平移 个单位长度 12

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