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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:3-2-2 直线的两点式方程


一、选择题 1.过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线方程是( A. y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 )

y-y1 x-x2 B. = y2-y1 x1-x2 C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0 [答案] C x y 2.直线a2+b2=1 在 y

轴上的截距是( A.|b| C.b2 [答案] C x y 3.直线a+b=1 过一、二、三象限,则( A.a>0,b>0 C.a<0,b>0 [答案] C 4.(2012-2013· 邯郸高一检测)下列说法正确的是( y-y1 A. =k 是过点(x1,y1)且斜率为 k 的直线 x-x1 x y B.在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a、b 的直线方程为a+b=1 C.直线 y=kx+b 与 y 轴的交点到原点的距离是 b D.不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜 ) ) B.-b2 D.± b )

B.a>0,b<0 D.a<0,b<0

截式 [答案] D 5.已知△ABC 三顶点 A(1,2),B(3,6),C(5,2),M 为 AB 中点,N 为 AC 中点,则中位线 MN 所在直线方程为( A.2x+y-8=0 C.2x+y-12=0 [答案] A [解析] 点 M 的坐标为(2,4),点 N 的坐标为(3,2),由两点式方程 得 y-2 x-3 = ,即 2x+y-8=0. 4-2 2-3 6.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在 x 轴上的截距为( 3 A.-2 2 C.5 [答案] A y-9 x-3 [解析] 直线方程为 = , 1-9 -1-3 x y 3 化为截距式为 3+3=1,则在 x 轴上的截距为-2. -2 7.已知 2x1-3y1=4,2x2-3y2=4,则过点 A(x1,y1),B(x2,y2) 的直线 l 的方程是( A.2x-3y=4 C.3x-2y=4 [答案] A [解析] ∵(x1,y1)满足方程 2x1-3y1=4,则(x1,y1)在直线 2x- 3y=4 上. 同理(x2, 2)也在直线 2x-3y=4 上. y 由两点决定一条直线, ) B.2x-3y=0 D.3x-2y=0 2 B.-3 D.2 ) )

B.2x-y+8=0 D.2x-y-12=0

故过点 A(x1,y1),B(x2,y2)的直线 l 的方程是 2x-3y=4. [点评] 利用直线的截距式求直线的方程时,需要考虑截距是否 为零. 8.过 P(4,-3)且在坐标轴上截距相等的直线有( A.1 条 C.3 条 [答案] B [解析] 解法一:设直线方程为 y+3=k(x-4)(k≠0). 3+4k 令 y=0 得 x= k ,令 x=0 得 y=-4k-3. 3+4k 3 由题意, k =-4k-3,解得 k=-4或 k=-1. 因而所求直线有两条,∴应选 B. 解法二:当直线过原点时显然符合条件,当直线不过原点时,设 x y 直线在坐标轴上截距为(a,0),(0,a),a≠0,则直线方程为a+a=1, 把点 P(4,-3)的坐标代入方程得 a=1. ∴所求直线有两条,∴应选 B. 二、填空题 x y 9.直线4-5=1 在两坐标轴上的截距之和为________. [答案] -1 x y [解析] 直线4-5=1 在 x 轴上截距为 4,在 y 轴上截距为-5, 因此在两坐标轴上截距之和为-1. 10.过点(0,1)和(-2,4)的直线的两点式方程是________. [答案] y-1 x-0 y-4 x+2 = (或 = ) 4-1 -2-0 1-4 0+2 B.2 条 D.4 条 )

11.过点(0,3),且在两坐标轴上截距之和等于 5 的直线方程是 ________. [答案] 3x+2y-6=0
? ?b=3, x y [解析] 设直线方程为a+b=1,则? ?a+b=5, ?

x y 解得 a=2,b=3,则直线方程为2+3=1, 即 3x+2y-6=0. 12.直线 l 过点 P(-1,2),分别与 x,y 轴交于 A,B 两点,若 P 为线段 AB 的中点,则直线 l 的方程为________. [答案] 2x-y+4=0

[解析] 设 A(x,0),B(0,y). 由 P(-1,2)为 AB 的中点,

?x+0=-1, 2 ∴? 0+y ? 2 =2,

? ?x=-2, ∴? ?y=4 ?

由截距式得 l 的方程为 x y +4=1,即 2x-y+4=0. -2 三、解答题

13.求过点 P(6,-2),且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程. [解析] 设直线方程的截距式为 则 x y +a=1. a+1

-2 6 + a =1,解得 a=2 或 a=1, a+1

x y x y 则直线方程是 +2=1 或 +1=1, 2+1 1+1 即 2x+3y-6=0 或 x+2y-2=0. 14.已知三角形的顶点是 A(8,5)、B(4,-2)、C(-6,3),求经过 每两边中点的三条直线的方程. [解析] 设 AB、BC、CA 的中点分别为 D、E、F,根据中点坐标 3 1 公式得 D(6, )、 E(-1, )、 由两点式得 DE 的直线方程为1 3 2 2 F(1,4). 2-2 = x-6 .整理得 2x-14y+9=0,这就是直线 DE 的方程. -1-6 x-?-1? = 1 1-?-1?, 4-2 1 y-2 3 y-2

由两点式得

整理得 7x-4y+9=0,这就是直线 EF 的方程.

由两点式得

x-6 = 3 1-6 4-2

3 y-2

整理得 x+2y-9=0 这就是直线 DF 的方程. 15.△ABC 的三个顶点分别为 A(0,4),B(-2,6),C(-8,0). (1)分别求边 AC 和 AB 所在直线的方程; (2)求 AC 边上的中线 BD 所在直线的方程; (3)求 AC 边的中垂线所在直线的方程; (4)求 AC 边上的高所在直线的方程; (5)求经过两边 AB 和 AC 的中点的直线方程. x [解析] (1)由 A(0,4), C(-8,0)可得直线 AC 的截距式方程为 + -8 y 4=1,即 x-2y+8=0. y-4 x-0 由 A(0,4),B(-2,6)可得直线 AB 的两点式方程为 = , 6-4 -2-0 即 x+y-4=0. (2)设 AC 边的中点为 D(x,y),由中点坐标公式可得 x=-4,y y-6 x+2 =2,所以直线 BD 的两点式方程为 = ,即 2x-y+10=0. 2-6 -4+2 (3)由直线 AC 的斜率为 kAC= 4-0 1 = ,故 AC 边的中垂线的斜率 0+8 2

为 k=-2.又 AC 的中点 D(-4,2), 所以 AC 边的中垂线方程为 y-2=-2(x+4), 即 2x+y+6=0. (4)AC 边上的高线的斜率为-2,且过点 B(-2,6),所以其点斜式

方程为 y-6=-2(x+2),即 2x+y-2=0. (5)AB 的中点 M(-1,5),AC 的中点 D(-4,2), ∴直线 DM 方程为 即 x-y+6=0. 16.求分别满足下列条件的直线 l 的方程: 3 (1)斜率是4,且与两坐标轴围成的三角形的面积是 6; (2)经过两点 A(1,0),B(m,1); (3)经过点(4,-3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等. [分析]欲求直线的方程,关键是根据已知条件选择一种最合适的 形式. 3 [解析](1)设直线 l 的方程为 y=4x+b. 4 令 y=0,得 x=-3b, 1 4 ∴2|b· 3b)|=6,b=± (- 3. 4 ∴直线 l 的方程为 y=3x± 3 (2)当 m≠1 时,直线 l 的方程是 y-0 x-1 1 = ,即 y= (x-1) 1-0 m-1 m-1 当 m=1 时,直线 l 的方程是 x=1. (3)设 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a、b. x y 当 a≠0,b≠0 时,l 的方程为a+b=1; 4 3 ∵直线过 P(4,-3),∴a-b=1. y-2 x-?-4? = , 5-2 -1-?-4?

又∵|a|=|b|,

?4-3=1, ∴?a b ?a=±b.

?a=1, ?a=7, ? ? 解得? 或? ? ? ?b=1 ?b=-7.

当 a=b=0 时,直线过原点且过(4,-3), 3 ∴l 的方程为 y=-4x. x y 3 综上所述,直线 l 的方程为 x+y=1 或7+ =1 或 y=4x. -7 [点评]明确直线方程的几种特殊形式的应用条件, 如(2)中 m 的分 类,再如(3)中,直线在两坐标轴上的截距相等包括截距都为零的情 况.


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