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广东省韶关市2014届高三调研试题(二)数学文


广东省韶关市 2014 届高三 4 月高考第二次模拟考试(文科)
参考公式:圆柱侧面积公式 S侧 ? 2? rl ,其中 r 底面半径, l 为圆柱的母线. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A={2,3} , B ={3,4}

,则 ? U ( A A. {1, 2, 4} B. {2, 4} C. {3} D. {1}

B) ?

2. i 是虚数单位, 复数 z = A.第一象限

2i ? 1 ,则复数 z 在复平面内对应的点在 i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82、84、84、86、86、86、88、88、 88、88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每一个数都加 2 后所得数据,则 A 、

B 两个样本的下列数字特征对应相同的是
A.众数 B.平均数 C.中位数 D.方差 4.设 f ( x) ? 2 x ? x ? 4 ,则函数 f ( x ) 的零点位于区间 A. (-1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 16 ,则判断框内的条件是 A. n ? 6 ? B. n ? 7 ? C. n ? 8? D. n ? 9 ? 6.由于工业化城镇化的推进,大气污染日益加重,空气质量逐步恶化,雾霾天气频率 增大, 大气污染可引起心悸、 胸闷等心脏病症状.为了解某市患心脏病是否与性别有关, 在某医院心血管科随机的对入院 50 位进行调查得到了如右的列联表:问有多大的把握 认为是否患心脏病与性别有关. 答: . A.95% B.99% C.99.5% 患心脏病 男 女 合计 参考临界值表: 20 10 30 D.99.9% 不患心脏病 5 15 20 合计 25 25 50

开始 S=0 n=1 S=S+n n=n+2 否 是 输出 S

结束

P?K2 ? k?

0.15

0.10

0.05

0.025 0.010 0.005

0.001

K

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

1

n ? ad ? bc ? (参考公式: K ? 其中 n = a + b + c + d) . ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

7.某个几何体的三视图如右上图(其中正视图中的圆 弧是半圆)所示,则该几何体的表面积为 A. 92 ? 14? C. 92 ? 24? B. 82 ? 14? D. 82 ? 14?

8. 等差数列 {an } 中, a1 ? 33 , d ? ?4 ,若前 n 项和 Sn 取得最大,则 n ? A. 9 9. 给出如下四个判断:
① ?x0 ? R,e
x0

B. 10

C. 11

D. 12

? 0 ;② ?x ? R+ ,2x ? x2 ;
④命题“若 p 则 q ”的逆否命题是

③设 a , b 是实数, a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充要条件 ;

若 ? q ,则 ? p . 其中正确的判断个数是: A.1 B.2 C.3 D.4

? x 2 ? 2 x, x ? 0 10.已知函数 f ? x ? ? ? 2 ,若 f (?a) ? f ? a ? ? 2 f (1) ,则实数 a 的取值范围是 ? x ? 2 x, x ? 0
A. [?1, 0) B. ?0,1? C. ??1,1? D. ? ?2, 2?

二、填空题:本大题共 5 小题.考生作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 已知向量 a ? (1,3) ,b ? (m , 2m ? 1) . 若向量 a 与 b 共线, 则实数 m ? _______________ 12 . 抛 物 线 x2 ? 2 y 上 的 点 M 到 其 焦 点 F 的 距 离 MF ?

5 ,则点 M 的坐标是 2
C
75°

_____________ 13.一只艘船以均匀的速度由 A 点向正北方向航行,如图,开始航行时,从 A 点观测灯 塔 C 的方位角(从正北方向顺时针转到目标方向的水平角)为 45°,行驶 60 海里后,船 B 在 B 点观测灯塔 C 的方位角为 75°,则 A 到 C 的距离是__________海里. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
2
A

45°

14. (坐标系与参数方程选做题)曲线 C 极坐标方程为 ? ? 4? cos? ? 4? sin ? ? 6 ? 0 ,

2

以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? 为参数) ,则曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为 15.(几何证明选讲选做题) 是 弦 , BA

? x ? ?2 ? 2t ? y ? 3 ? 2t

(t

.
C D B P O A

如图, AB 是半径为 3 的⊙ O 的直径,CD

, CD .

的延长线交于点 P

, PA ? 4, PD ? 5 , 则

?CBD ?

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 cos2 x. (1)求 f (

4? ) 的值; 3

(2)已知 x ? ?0,

? ?? ,求函数 f ( x) 的值域. ? 2? ?

17. (本题满分 12 分)为调查民营企业的经营状况,某统计机构用分层抽样的方法从 A、B、 C 三个城市中,抽取若干个民营企业组成样本进行深入研究,有关数据见下表: (单位:个) 城市 A B C (1)求 x 、 y 的值; (2)若从城市 A 与 B 抽取的民营企业中再随机选 2 个进行跟踪式调研,求这 2 个都来自 城市 A 的概率. 民营企业数量 抽取数量 4

x
28 84

y
6

3

18. ( 本 题 满 分 14 分 如 图 1 , 直 角 梯 形 FBCE 中 , 四 边 形 ADEF 是 正 方 形 , AB ? AD ? 2 , CD ? 4 . 将 正 方 形 沿 AD 折 起 , 得 到 如 图 2 所 示 的 多 面 体 , 其 中 面 ADE1F1 ? 面 ABCD , M 是 E1C 中点. (1) 证明: BM ∥平面 ADE1F 1; (2) 求三棱锥 D ? BME1 的体积.
E D C

E1 F1 D M C B

F

A

B

A

图1

图2

19.(本题满分 14 分) 已知椭圆 的离心率为 e ?

6 , 过 C1 的 左 焦 点 F 1 的 直 线 l : x ? y? 2 ? 0 被 圆 3

2 2 2 2. C2 : ( x? 3) ? (y ? 3) ? r2 r ( ? 截得的弦长为 0)

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设 C1 的右焦点为 F2 ,在圆 C2 上是否存在点 P ,满足 PF1 ? 指出有几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由.

a2 PF2 ,若存在, b2

4

20. (本题满分 14 分) 已知正项数列 ?an ? 中,其前 n 项和为 Sn ,且 an ? 2 Sn ? 1 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

an ? 2 , Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? 2n

3 ? bn ,求证: ? Tn ? 5 ; 2

( 3 ) 设 c 为 实 数 , 对 任 意 满 足 成 等 差 数 列 的 三 个 不 等 正 整 数 m, k , n , 不 等 式

Sm ? Sn ? cSk都成立,求实数 c 的取值范围.

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? x 2 ? b , g ( x) ? a ln x . (1)若 f ( x) 的极大值为

4 ,求实数 b 的值; 27

(2)若对任意 x ??1, e? ,都有 g ( x)≥ ? x2 ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若函数 f(x)满足:在定义域内存在实数 x0,使 f(x0+k)= f(x0)+ f(k)(k 为常数), 则称“f(x) 关于 k 可线性分解”. 设 b ? 0 , 若 F ( x) ? 求 a 取值范围.

af ( x) ? g ( x) 关于实数 a 可线性分解, x2

5

广东省韶关市 2014 届高三 4 月高考模拟(二模) 数学(文科)参考答案与评分标准
一.选择题: DADCC CAAAC 1. 解析: A 2. 解析: z =

B ? ?2,3,4? , ? U ( A B) ? ?1? ,选 D.
2i ? 1 ? 2 ? i, z 对应点在第一象限 , 选 A. i

3. 解析:由方差意义可知,选 D. 4. 解析: f (1) ? ?1 ? 0, f (2) ? 2 ? 0 ,选 C. 5. 解析:第一次循环,S ? 1, n ? 3 ,不满足条件,循环。第二次循环,S ? 1 ? 3 ? 4, n ? 5 , 不满足条件,循环。第三次循环, S ? 4 ? 5 ? 9, n ? 7 ,不满足条件,循环。第四次循环,

S ? 9 ? 7 ? 16, n ? 9 ,满足条件,输出。所以判断框内的条件是 n ? 8 ,选 C.
6. 解析:

n ? ad ? bc ? 50 ? 20 ?15 ? 5 ?10 ? 25 K ? ? ? ? 8.333 , 25 ? 25 ? 30 ? 20 3 ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2 2

2 又 P K ? 7.789 ? 0.005 ? 0.5% , 所以我们有 99.5%的把握认为患心脏病与性别有关系.

?

?

选 C. 7. 解析: 三视图表示的几何体是由长方体和“半圆柱”组成的几何体,其中,长方体的
2

上底面与 “半圆柱” 轴截面重合. S ? (16 ? 20) ? 2 ? 20 ? ? ? 2 ? 选 A.

1 ? 2 ? ? ? 5 ? 92 ? 14? , 2

37 , n 是正整数, n ? 9 ,选 A. 4 x x 2 9. 解析:任意 x ? R, e ? 0 ,①不正确; x ? 2 时, 2 ? x ,②不正确; ab ? 1 不能得
8. 解析: 由得到 an ? 0

n?

到 a ? 1, b ? 1 ,③不正确;④正确. 选 A.

10. 解 析 :

由 偶 函 数 定 义 可 得 f ( x ) 是 偶 函 数 , 故 f (?a) ? f ( a ) , 原 不 等 式 等 价 于

f (a) ? f (1) ,又根据偶函数定义, f (a) ? f ( a ) ? f (1) ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 单调递增,

a ? 1 , a ?[?1,1] .或利用图象求 a 范围.选 C.
二.填空题:11. ?1 ; 12. (?2, 2),(2, 2) ; 13. 30( 6 ? 2) ; 14. 11.解析:由 ? a ? b 可得, m ? ?1

2 ; 2

15.

? 6

6

12.解析:

设点 M ( x, y ) ,曲线准线 y ? ?

1 1 5 ,再抛物线定义, y ? (? ) ? , y ? 2 ,所 2 2 2

以 x2 ? 2 y ? 4, x ? ?2 13. 解析:

?ABC ? 105 , ?C ? 30 , ?ABC 中,由正弦定理, AC ?

AB ? sin ?ABC ? sin ?C

60 ? sin105 ? 30( 6 ? 2) sin 30
14.解析:曲线 C 直角坐标方程 圆心到直线距离 d ?

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ,直线 l : x ? y ? 1 ? 0

3 2 2 ,所以,曲线 C 上点到 l 的距离的最小值 2 2

C D P O A

1 5. 解析:由割线定理知 PA ? PB ? PC ? PD ? PD ? 8 , ? CD ? 3 ,

?COD ?

?

3

,得 ?CBD ?

?

6

.

B

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? cos2x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 ….2 分

? f(

4? 8? ? 17? 5? ) ? 2 sin( ? ) ? 1 ? 2 sin ? 1 ? 2 sin ? 1 ?? ?? ??4 分 3 3 6 6 6 ? 2s i n ? 1 ? 2 6

?

?? ?? ??6 分

(2) f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? cos2x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1

? ?? 7? ? ? ?? ? x ? ?0, ? ,? 2 x ? ? ? , ? 6 ?6 6 ? ? 2?
??
1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 , 2 6

?? ?? ??8 分 ?? ?? ??10 分 ?? ?? ??12 分

? ? 0 ? 2 sin( 2 x ? ) ? 1 ? 3 ,即 f ( x) 的值域是 ?0,3?. 6 17.(本题满分 12 分)
解: (1)由题意得

x 28 84 ? ? ,??????????????????4 分 4 y 6

所以 x ? 56 , y ? 2 ??????????????????????????6 分 (2)记从城市 A 所抽取的民营企业分别为 a1 , a2 , a3 , a4 ,从城市 B 抽取的民营企业分别为

b1 , b2 . 则从城市 A、B 抽取的 6 个中再随机选 2 个进行跟踪式调研的基本事件有
7

(a1 , a2 ) , (a1 , a3 ) , (a1 , a4 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a2 , a3 ) , (a2 , a4 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a3 , a4 ) , (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) , (a4 , b1 ) , (a4 , b2 ) , (b1 , b2 ) 共 15 个????????????8 分
其中,来自城市 A: (a1 , a2 ) , (a1 , a3 ) , (a1 , a4 ) , (a2 , a3 ) , (a2 , a4 ) , (a3 , a4 ) 共6个???10 分 因此 P ( X ) ?

6 2 2 ? .故这 2 个都来自城市 A 的概率为 .???12 分 15 5 5

18. (本题满分 14 分) (1)证明:取 DE 中点 N ,连结 MN , AN .在△ EDC 中,M , N 分别为 EC , ED 的中点, 所以 MN ∥ CD MN ?

1 1 CD .由已知 AB ∥ CD , AB ? CD ,所以 MN ∥ AB ,且 2 2
E1 N D A B M C

MN ? AB .所以四边形 ABMN 为平行四边形,所以 BM ∥ AN .???3分
又因为 AN ? 平面 ADEF ,且 BM ? 平面 ADEF , 所以 BM ∥平面 ADEF .???????4 分 (2)面 ADE1F1 ? 面 ABCD , E1D ? 面 ADE1F 1, 面 ADE1F 1 面 ABCD ? AD , E1D ? AD , E1D ? 面 ABCD
F1

又 BC ? 面 ABCD , E1D ? BC ???????6 分 梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 2 , CD ? 4 , ?A ? 90 , BC ? BD ? 2 2
2 2 2 所以, BD ? BC ? CD , ?CDB ? 90 , BC ? BD

BD DE1 ? D ,所以, BC ? 平面 BDE1 ???????8 分
又 BC ? 平面 BCE1 ,所以,平面 BCE1 ? 平面 BDE1 作 DG ? BE1 ,则 DG ? 平面 BCE1 , DG 是所求三棱锥高???????10 分

1 1 1 VD ? BME1 ? DG ? S?BE1M ? DG ? S?BCE1 3 3 2
在直角三角形 BDE1 中,由面积关系可得 DG ? 所以, VD ? BME1 ?

2 6 ,又 S?BCE ? 2 6 1 3

4 ??????????????14 分 3

另解: AB ∥ CD , AB ? 面 CDE1 , CD ? 面 CDE1 , AB ∥平面 CDE1 ,

A, B 两点到平面 CDE1 距离相等???????7 分

8

因为翻折后垂直关系不变,所以 AD ? 平面 CDE1 , AD 是三棱锥 B ? DME1 高??9 分 面 ADE1F1 ? 面 ABCD ,E1D ? 面 ADE1F 面 ADE1F 1, 1 面 ABCD ? AD ,E1D ? AD ,

E1D ? 面 ABCD , E1D ? CD , CDE1 是直角三角形??????11 分
VD ? BME1 ? VB ? DME1 ?
19.(本题满分 14 分) 解:因为直线 l 的方程为 l : x ? y ? 2 ? 0 , 令 y ? 0 ,得 x ? ?2 ,即 F1 (?2,0) ????????????1 分 ∴ c ? 2 ,又∵ e ?
2 2

1 1 1 1 1 1 4 AD ? S ?DME1 ? AD ? ? S ?CDE1 ? ? 2 ? ? ? 2 ? 4 ? ?14 分 3 3 2 3 2 2 3

c 6 , ? a 3
2 2

∴ a ? 6 , b ? a ?c ? 2

x2 y2 ? ? 1 .???????????????4分 ∴ 椭圆 C1 的方程为 C1 : 6 2
(2)∵ 圆心 C2 (3,3) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

3?3? 2 2

? 2,

又直线 l : x ? y ? 2 ? 0 被圆 C2 : x2 ? y 2 ? 6x ? 6 y ? 3m ? 1 ? 0 截得的弦长为 2 2 , ∴由垂径定理得 r ?

l d 2 ? ( )2 ? 2 ? 2 ? 2 , 2

故圆 C2 的方程为 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 .????????????8分 设圆 C2 上存在点 P( x, y) ,满足 PF1 ? 且 F1 , F2 的坐标为 F 1 (?2,0), F 2 (2,0) ,
2 2 2 2 2 2 则 ( x ? 2) ? y ? 3 ( x ? 2) ? y , 整理得 ( x ? ) ? y ?

a2 PF2 即 PF1 ? 3 PF2 , b2

5 2

9 5 ,它表示圆心在 C ( , 0) , 4 2

半径是

3 的圆。 2

∴ CC2 ? (3 ? ) ? (3 ? 0) ?
2 2

5 2

37 ???????????????12分 2

9

故有 2 ?

3 3 ? CC2 ? 2 ? ,即圆 C 与圆 C2 相交,有两个公共点。 2 2

∴圆 C2 上存在两个不同点 P ,满足 PF1 ? 20.(本题满分 14 分) 解: (1)法一:由 an ? 2 Sn ? 1 得

a2 PF2 .?????????14分 b2

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ,且 a1 ? 2 S1 ? 1 ,故 a1 ? 1 ?????????1分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ,故 Sn ? Sn?1 ? 2 Sn ? 1,得 ( Sn ? 1)2 ? Sn?1 , ∵正项数列 ?an ? , ∴ Sn ? ∴ ∴ ∴
n

? S ? 是首项为1 ,公差为1 的等差数列.?????????????4分
S n ? n , Sn ? n 2
?????????????????????5 分 an ? 2 Sn ? 1? 2 n ? .1

Sn?1 ? 1

法二: 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ,且 a1 ? 2 S1 ? 1 ,故 a1 ? 1 ????????????1 分

(an ? 1) 2 , 4 (an?1 ? 1)2 n ? 2 当 时, Sn ?1 ? 4 ( an ? 1 2) (an ?1 ? 1 2) ? ? ∴ an ? Sn? S? ,整理得 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 n 1 4 4 ∵正项数列 ?an ? , an ? an?1 ? 0 ,
由 an ? 2 Sn ? 1 得 Sn ?

an ? an?1 ? 2 ,????????????????????????4 分 ∴ ?an ? 是以 1 为首项, 2 为公差的等差数列,
∴ ∴

an ? 2n ? 1.????????????????????????????5 分 a ? 2 2n ? 1 (2) bn ? n n ? 2 2n 3 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ? ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? 2 2 2 2 2n 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ∴ 2Tn ? 3 ? ? 2 ? ? n ? 2 ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ∴两式相减得 Tn ? 3 ? ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? 2 2 2 2 2n 1 1(1 ? ( ) n ?1 ) 2n ? 1 2 ? 3? ? n 1 2 1? 2 2n ? 5 ? 5? ????????????????????8 分 2n
10

∵ n? N ∵ bn ? ∴

?

,∴ Tn ? 5 ?

an ? 2 ?0 2n

2n ? 5 ?5 2n ? bn ? b1 ? 3 2

∴ Tn ? b1 ? b2 ?

3 ? Tn ? 5 ????????????????????????????10 分 2
∴ m ? n ? 2k , ∴ c? 又

(3)∵ 不等正整数 m, k , n 是等差数列,

S m ? S n m2 ? n 2 ,?????????????11 分 ? Sk k2

m2 ? n2 4(m2 ? n2 ) 2(m2 ? n2 ? 2mn) ? ? ?2, k2 (m ? n)2 m2 ? n2 ? 2mn ∴ c?2 故实数 c 的取值范围为 (??, 2] .????????????????????14 分
21.(本题满分 14 分) 解: (1)由 f ( x) ? ? x3 ? x 2 ? b ,得 f ?( x) ? ?3x2 ? 2 x ? ? x(3x ? 2) , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或

2 .????????????????????2 分 3

当 x 变化时, f ?( x) 及 f ( x) 的变化如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

(??,0)


0 0
极小值

2 (0, ) 3
+ ↗

2 3

2 ( , ??) 3


0
极大值

所以 f ( x) 的极大值为 f ( ) ?

2 3

4 4 , ?b = 27 27

? b ? 0 .????????????????????????????4 分

(2)由 g ( x) ? ? x 2 ? (a ? 2) x ,得 ( x ? ln x)a ? x2 ? 2x .

x ?[1, e],? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,
? ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0

?a ?

x2 ? 2x x2 ? 2x ) min ??????????????6 分 恒成立,即 a ? ( x ? ln x x ? ln x x2 ? 2 x ( x ? 1)( x ? 2 ? 2ln x) ,( x ? [1, e]) ,求导得, t ?( x) ? , x ? ln x ( x ? ln x) 2

令 t ( x) ?

当 x ? [1, e] 时, x ? 1 ? 0,0 ? ln x ? 1, x ? 2 ? 2ln x ? 0 ,从而 t ?( x) ? 0 ,

? t ( x ) 在 [1, e] 上为增函数,

?tmin ( x) ? t (1) ? ?1 ,
11

? a ? ?1 .?????????????????????????9 分

(3)证明: F ( x ) ?

af ( x ) ? g ( x ) ? a( ? x ? 1 ? ln x) x2

由已知,存在 x0 ? 0 ,使 F ( x ) 关于实数 a 可线性分解,则 F ( x0 ? a) ? F ( x0 ) ? F (a) , 即: a(?( x0 ? a) ? 1 ? ln( x0 ? a)) ? a(? x0 ? 1 ? ln x0 ) ?a( ?a ? 1 ? ln a ) ……………10 分

ln

x0 ? a x ?a ? 1, 0 ? e ……………1………………………………………12 分 x0a x0a
a ae ? 1 1 ……………………………………………………14 分 e

x0 ?

因为 x0 ? 0 所以 a ?

12


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