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第三章 3.1.2 用二分法求方程的近似解


第三章 3.1.2 用二分法求方程的近似解
教学目标:1.根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解 2.了解用二分法是求方程近似解的常用方法 3.通过二分法求方程的近似解使学生体会方程与函数之间的关系 4.培养学生动手操作的能力 教学重点:用二分法求方程的近似解 教学难点:用二分法求方程的近似解 教学过程: 复习回顾: 1 、定理:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ a , b ] 上的图象是连续不间断的一条曲线,并且有 即存在 c ? ( a, b), 使得 f (c ) ? 0 , f ( a) ? f (b) ? 0那么函数 y ? f ( x) 在区间 ( a , b )内有零点, 这个 c 也就是方程 f ( x ) ? 0 的实数根。 用此,判断函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 内有无零点。 2、 (1) 函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上不变号不一定没有零点. 函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上 变号,不一定只有一个零点. ( 2 )若函数 y ? f ( x) 在区间 [ a , b ] 上有且只有一个零点(除重根零点外) ,则一定有

f ( a)? f ( b)? 0,在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。
(3)单调函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上变号,一定有且只有一个零点. 3. 常用方法 1、用解方程求得零点;2、用图象法交点法求得零点的个数;3、用变号单调 性法求得零点落在的区间. 4、作业讲解: (1) 作业本 P51 3.1.1 10;6。 F ? x ? ? x ? 3x ?1 ;11;5
3

(2) 课本:P88 2. (3) 补充作业:

3.已知a ? R,讨论关于x的方程 x 2 ? 6 x ? 8 ? a的实数解的个数
2. 已知关于 x 的方程 3x 2 ? 5 x ? a ? 0 的一个根在(-2,0)内,另一根在(1,3)内,求实数 a 的取值 范围. (-12<a<0)

? ? f ? ?2 ? f ? 0 ? ? 0 ? ? ? f ?1? f ? 3? ? 0
新课讲解

1

我们已经知道函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在区间 ? 2,3? 有一个零点,那么进一步的问题是 如何找出这个零点?即方程的根到底是多少? 基本思路:解决上述问题的一个直观的想法是:如果能够将零点所在范围尽量缩小,那 么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值。为了方便,通过“取中点” ,不断 地把函数 f ( x ) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零 点近似值。这样的方法称为二分法。 操作:1、取区间 ? 2,3? 的中点值 2.5, f ? 2.5? ? ?0.084, 而 f ? 2.5? ? f ? 3? ? 0, 所以,零点在 ? 2.5,3? 内; 2、再取区间 ? 2.5,3 ? 的中点值 2.75, f ? 2.75? ? 0.512, 而 f ? 2.5? ? f ? 2.75? ? 0, 所以,零点在 ? 2.5, 2.75? 内; 如此逐步逼近,将与真正的根越来越近 进一步的逼近详见 P89 一、用二分法求函数 f ( x ) 零点近似值的步骤 通过上述问题的分析解答总结:在给定精确度 ? ,用二分法求函数 f ( x ) 零点的近似值的步 骤是: 1.确定区间有唯一实根的区间 [ a, b] ,即验证 f (a) ? f (b) ? 0 ,给定精确度 ? ;若有多个根, 则需一一划分。 2.求区间 ( a, b) 的中点 x1 ? 3.计算 f ( x1 ) : (1)若 f ( x1 ) =0,则 x1 就是函数的零点,计算终止; (2)若 f (a) ? f ( x1) ? 0 ,则令 b ? x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 )) ; (3)若 f ( x1 ) ? f (b) ? 0 ,则令 a ? x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b)) 。 4.判断是否达到精确度 ? :即若 a ? b ? ? ,则得到零点近似值 a或b 或 a或b 间的任何一 个值;否则重复 2~4。 由函数的零点与相应方程根的关系, 我们可以用二分法来求方程的近似解。 由于计算量 较大,而且是重复相同的步骤,因此,我们可以通过设计一定的计算程序,借助计算器或计 算机完成计算。 二、二分法的评注 1.用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点
2

a?b ; 2

不使用; 如:多重根不适合用 如:第 92 页第 1 题 2.从引入函数零点的概念到函数零点的研究和求解,应用到由特殊到一般的转化思想, 通过学习提高函数思想和数形结合的能力。 三、例题讲解 例 1.借助计算器或计算机用二分法求方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0 的近似解(精确到 0.01) 。 解:原方程即 令f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 ,首先画图象确定零点的个数及零点的大致位置,然后 验算零点所在的区间,得函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在区间 ? 2,3? 有唯一个零点 区间 (2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.5625) (2.53125,2.5625) (2.53125,2.54685) (2.53125,2.5390625) 中点 2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625 2.53515625 中点函数值 -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010 0.001

由于, 2.5390625 ? 2.53125 ? 0.0078125 ? 1001 所以,可以将 x ? 2.53125 作为函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 零点近似值。
x 练习操作: 借助计算器或计算机用二分法求方程 2 ? 3x ? 7 的近似解(精确到 0.1) 。

解 : 原 方 程 即 2x ? 3x ? 7 ? 0, 令f ( x) ? 2x ? 3x ? 7 , 用 计 算 器 或 计 算 机 作 出 函 数

f ( x) ? 2x ? 3x ? 7 的对应值表与图象:列表:

x
y ? 2x ? 3x ? 7

0 -6

1 -2

2 3

3 10

4 21

5 40

6 75

7 142

观察右图和表格,可知 f (1) ? f (2) ? 0 ,说明在区间(1,2)内有零点 x0 。 取区间(1,2)的中点 x1 ? 1.5 ,用计算器可的得 f (1.5) ? 0.33 。 仿照课本列表进行计算 因为 f (1) ? f (1.5) ? 0 ,所以 x0 ? (1,1.5) ,再取 (1,1.5) 的中点 x2 ? 1.25 ,

y

用计算器求得 f (1.25) ? ?0.87 ,因此 f (1.25) ? f (1.5) ? 0 ,所以 x0 ? (1.25,1.5) 。 同理可得 x0 ? (1.375,1.5), x0 ? (1.375,1.4375) ,由 1.375? 1.4375 ? 0.0625? 0.1 ,此时

3

区间 (1.375,1.4375) 的两个端点,精确到 0.1 的近似值都是 1.4,所以原方程精确到 0.1 的近 似解为 1.4。 对函数零点的深化理解: 备用: 综合讨论一.求函数 y ? x3 ? 2 x2 ? x ? 2 的零点,并画出它的图象。 略解:画图象确定零点的个数和大概的范围 事实上: y ? x3 ? 2x2 ? x ? 2 ? ( x ? 2)( x ?1)( x ? 1) ,所以零点为 ?1,1, 2 ,3 个零点把 横轴分成 4 个区间,然后列表描点画图。 综合讨论二.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如 图所示, 则 B. b ? (0,1) C. b ? (1, 2) D. b ? (2, ??) O
2

y

A. b ? (??,0) 略解:选 A。

1

2

x

综合讨论三.已知函数 f ( x) ? mx ? (m ? 3) x ? 1的图象与

x 轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数 m 的取值范围是。
解: m ? 0 符合, m ? 0 时,2 个交点在原点右侧因为 c ? 0 ,所

?? ? 0 ? ? 0 ? m ? 9 ;1 个交点在原点右侧,1 个交点在原点左侧, 以,只需 ? m ? 3 ? ?0 ? ? 2m
得 (??,1] 作业 教材第 92 页 A 组 :1、3、4、5 题,B 组:3

作业本:3.1.2(一) (二) 课外作业:成材之路:P90 3.1.2 ;背面 P51 3.1.2

4


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