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贺州高级中学2016-2017学年下学期高二第二次月考试题与答案


贺州高级中学 2016-2017 学年度下学期第二次月考试题

高二理科数学
命题者: 审题者: 注意事项: 1.试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,分值 150 分,考试时间 120 分钟; 2.第Ⅰ卷为单项选择题,请将答题卷上选择题答案用 2B 铅笔涂黑,务必填涂规范; 3.第Ⅱ卷为填空题和解答题,请用 0.5mm 的黑色签字笔在答题卷上作答.

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.给出的四个答案中,只 有一个是符合题意.) 1.已知集合 A ? ?x x?x ? 2? ? 0? , B ? ?? 2,?1,0,1,2?,则 A ? B ? ( )
A. ?? 2,?1? A. ?2,4? B. ? 1,2? B. ?2,?4? C. ??1,0,1,2? C. ?4,?2? D. ?0,1,2? ) D. ?4,2?

2.若复数 Z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则在复平面内, Z 对应的点的坐标是(

3.某程序框图如图 1 所示,若输出的 S ? 57 , 则判断框内应填入( A. k ? 7 ? C. k ? 5 ? ) B. k ? 6 ? D. k ? 4 ?

4.一个几何体的三视图如图 2 所示,则该 几何体的表面积为( A. 3? C. 2? ? 4 5.已知 logm 3 ? 1 ,则 A.
m 1

) B. 4? D. 3? ? 4

图2

? ?x

2

? 2 x d x =(
3 2

?

) C.

图1

2 3

B.

4 3
2

D.

3 4
)

6.设等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,若 a2 , a5 是方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,则 S6 ? ( A.

9 2

错误! 未找到引用源。 B.5

C.?

9 2

D.? 5

高二数学(理) 第 1 页(共 4 页)

7.投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6 , 且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 ) D. 0.312 ) D. 8

8.若 a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 1 ,则 A. 2 B. 4

1 1 ? 的最小值是( a b
C. 6

? x ?1 ? 9.若关于 x , y 的不等式组 ? x ? y ? 2 错误!未找到引用源。表示的区域为三角形,则实数 a 的 ? y ? ax ?
取值范围是( A. ?? ?,1?
?

) B. ?0,1?
?

C. ??1,1?

D. ?1,??? )

10.若向量 a ? ?cos? , sin ? ?, b ? A. 1 B. 2

?

3,?1 ,则 | a ? b | 的最大值为(
C. 3 D. 4

?

11. 已知抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0?上一点 M ?1, m??m ? 0? 到其焦点的距离为 5 ,双曲线

x2 ? y2 ? 1 a

错误!未找到引用源。的左顶点为 A ,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值 为( A. )

1 9

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

12.若函数 f ? x ? ?

sin x ? 2? 错误!未找到引用源。,并且 ? a ? b ? 错误!未找到 x 3 3
) B. f

引用源。,则下列各结论正确的是(
A. f ?a ? ? f

a?b? ? ab ? ? f ? ? ? 2 ? ?

a?b? ? ab ? ? f ? ? ? ? f ?b ? 2 ? ? ? a?b? ?? f ? 2 ?

C. f

a?b? ? ab ? ? f ? ? ? ? f ?a ? 2 ? ?

D. f ?b ? ? f ?

? ab?

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分)

13. ( x ?

1 2 x

)6 的展开式中的常数项是___________.

14 . 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 长 分 别 为 a, b, c , 且 满 足 c s i n A?

3a c o s C, 则

C ? _______.错误!未找到引用源。
高二数学(理) 第 2 页(共 4 页)

15.定义在 R 的函数 f ( x ) 的图像关于原点对称且满足

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ? , x1 ? x2

则不等式 f ( x ? 2) ? f ( x2 ? 4) ? 0 的解集为_________. 16 .在正三棱锥 S ? ABC 中 , M 是 SC 的中点 ,且 AM ? SB , 底面边长 AB ? 2 2 , 则正三棱锥

S ? ABC 的外接球的表面积为________.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤)
17. (本小题满分 10 分) 设函数 f ? x ? ? x ?1 ? x ? a , (Ⅰ)当 a ? ?1 时,解不等式 f ? x ? ? 3 ; (Ⅱ)若对任意的 x ? R ,不等式 f ? x ? ? 3 恒成立,求 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试, 成绩在 7.95 米以上的为合格(含 7.95 米) .把所得数据进行整理后,分成 6 组画出频率分布直方 图的一部分(如图 3 所示为其前 5 组) ,已知从左到右前 5 个小组的频率分别为

0.04,0.10,0.14,0.28,0.30 ,第 6 小组的频数是 7 .
(Ⅰ)求这次铅球测试成绩合格的人数; (Ⅱ)用此次测试结果估计全市毕业生的情况. 若从今年的高中毕业生中随机抽取两名,记 X 表示两人中成绩不合格的人数,求 X 的分布列 及数学期望 E ( X ) .

频率 组距

图3

19.(本小题满分 12 分)

数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1 ,点 ( S n , an ?1 ) 在直线 y ? 2 x ? 1 上, n ? N .
*

(Ⅰ)求证:数列 ?an ? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅱ)设 bn ? log3 an ?1 , Tn 是数列 ? 20. (本小题满分 12 分)

? 1 ? ? 的前 n 项和,求 T2017 的值. b b ? n n ?1 ?

高二数学(理) 第 3 页(共 4 页)

如图 4,在四棱锥 P ? ABCD , PA ? 底面 ABCD , AD ? AB , AB / / DC ,

AD ? DC ? AP ? 2, AB ? 1 ,点 E 为棱 PC 的中点.
(Ⅰ)证明: DC ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值.

图4

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ?
x

k 2 x ? x ( e 为自然对数的底数) 2

(Ⅰ)若 k ? 0 ,求函数 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)若当 x ? 0 时 f ( x) ? 1 ,求实数 k 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,过椭圆顶点 ? a, 0 ? , ? 0, b ? 的直线与 2 a b 2 2 2 2 圆 x ? y ? 相切. 3 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 M (2,0) 的直线与椭圆 C 相交于两点 A , B ,设 P 为椭圆上一点,且满足
已知椭圆 C: ,当 | PA ? PB |? OA ? OB ? t OP ( O 为坐标原点)

2 5 时,求实数 t 的取值范围. 3

高二数学(理) 第 学年度下学期第二次月考 4 页(共 4 页) 贺州高级中学 2016-2017

高二理科数学参考答案与评分标准
一、选择题: 1 ? 5DCDDA 二、填空题:13. 三、解答题: 17.解: (Ⅰ)∵ a ? ?1 ,∴ f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 1 | 则不等式 f ( x) ? 3 等价于 ?

6 ? 10 AABCC
14.

11 ? 12 AD
16. 12?

15 ; 16

? ; 15. ?x ? 3 ? x ? 2?; 3

? x ? ?1 ?? 1 ? x ? 1 ?x ? 1 或? 或? ……3 分 ?? x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ?? x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ? x ? 1 ? x ? 1 ? 3

解之得: x ? ?

3 3 3? ?3 ? ? 或 x ? ,即不等式的解集为 ? ? ?,? ? ? ? ,?? ? ; ……………………5 分 2 2 2? ?2 ? ?
…………………………………7 分

(Ⅱ)∵ f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? a |?| ( x ? 1) ? ( x ? a) |?| a ? 1 |

∴ f ( x) ? 3 恒成立等价于 | a ? 1 |? 3 ,……………………………………………………………8 分 解之得 a ? 4 或 a ? ?2 . …………………………………………………………………………10 分 18.解: (Ⅰ)第 6 小组的频率为 1 ? (0.04 ? 0.10 ? 0.14 ? 0.28 ? 0.30) ? 0.14 ∴此次测试总人数为

7 ? 50 (人) …………………………………………………………3 分 0.14

∴测试成绩合格的人数为 50? (1 ? 0.04 ? 0.10 ? 0.14) ? 36 人;………………………………4 分 (Ⅱ)由样本频率分布直方图知,在样本中成绩不合格的频率为 0.28 ? 从全市毕业生中随机抽取一名,其成绩不合格的概率为 故从全市随机抽取两名中成绩不合格的人数 X ~ B? 2,

7 ,视频率为概率,得 25

7 ,…………………………………5 分 25

? ?

7? ? ……………………………………6 分 25 ?

7? ? 7? ? ∴ P( X ? k ) ? C ? ? ?1 ? ? ? 25 ? ? 25 ?
k 2

k

2? k

, k ? 0,1,2 , ……………………………………………8 分

所以 X 的分布列为

X P

0 324 625

1 252 625

2 49 625

………………………………………………10 分

7 14 ? 人.………12 分 25 25 19 .解: (Ⅰ)由题意得 an?1 ? 2Sn ? 1 ,所以
数学期望 E ( X ) ? 2 ?

an ? 2Sn?1 ? 1(n ? 2) ,

高二数学(理)参考答案 第 1 页(共 6 页)

两式相减,得 an?1 ? an ? 2an 即 an?1 ? 3an (n ? 2) . …………………………………………3 分 ∵ a1 ? 1 ,∴ a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ an?1 ? 3an (n ? 1)

∴数列 ?an ?是以 a1 ? 1 为首项, q ? 3 为公比的等比数列, …………………………………5 分 通项公式 an ? 3n?1 . ………………………………………………………………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? log3 an ? 1 ? n , 则 ………………………………………………………8 分

1 1 1 1 …………………………………………………………………10 分 ? ? ? bnbn?1 n(n ? 1) n n ? 1

所以 T2017 ?

1 1 1 1 ? 2017 ? 1? ? 1 1? ? 1 ? ?? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? b1b2 b2b3 b2017 b2018 ? 2 ? ? 2 3 ? ? 2017 2018? 2018

………………………………………………………………………………………………………12 分

20.解: (Ⅰ)? PA ? 平面ABCD, AB ? 平面ABCD

? PA ? AB …………………………………………………2 分

又? AD ? AB, PA ? AD ? A
? AB ? 平面PAD
………………………………………5 分

又? AB // CD ?CD ? 平面PAD …………………………6 分
(Ⅱ)依题意,以 A 为原点,直线 AB , AD , AP 分别为 x , y , z 轴,建立如图空间直角坐 标系,由已知可得 A(0,0,0) , B(1,0,0) , C (2,2,0) , D(0,2,0) , P(0,0,2) 点 E 为 PC 的中点,得 E (1,1,1) ,所以 BE ? (0,1,1) ……………………………………………8 分 设平面 PBD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,∵ BD ? (?1,2,0) , PB ? (1,0,?2)

则有 ?

? ?n ? BD ? 0

?? x ? 2 y ? 0 ,令 x ? 2 ,得 y ? 1 , z ? 1 ,∴ n ? (2,1,1) ……………10 分 ?? x ? 2 z ? 0 ? ? ?n ? PB ? 0

设直线 BE 与平面 PBD 所成角为 ? , 则 sin ? ?| cos ? n, BE ?|?

| n ? BE | | n || BE |

?

2 3 ? …………………………………………12 分 3 2? 6

x 6 页) 21.解: (Ⅰ)∵ k ? 0 ,∴ f 高二数学(理)参考答案 1分 ( x) ? e x ? x ,得 f ?( x)第 ?2 e页(共 ?1 …………………………………

所以当 x ? ?? ?,0?时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ?0,??? 时, f ?( x) ? 0 , 得 f ( x) 在 ?? ?,0? 上是减函数,在 ?0,??? 上是增函数,………………………………………4 分 ∴ f min ( x) ? f (0) ? 1 ;……………………………………………………………………………5 分 (Ⅱ)由已知得 f ?( x) ? e x ? kx ? 1 ,∵ x ? 0 (1)当 k ? 0 时,显然有 f ?( x) ? 0 ,当且仅当 x ? 0 时等号成立 此时 f ( x) 在 ?0,??? 上单调递增, ∴ f min ( x) ? f (0) ? 1 ,故 f ( x) ? 1 恒成立;……………………………………………………7 分
x (2)当 k ? 0 时,由 ? f ?( x )? ? e ? k ,令 ? f ?( x)? ? 0 ,得 x ? ln k , x x ①当 0 ? k ? 1 时,∵ x ? 0 ,∴ e ? 1 ,则 ? f ?( x )? ? e ? k ? 0

?

?

?

∴ f ?( x ) 在 ?0,??? 上单调递增,则有 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ∴ f ( x) 在 ?0,??? 上单调递增,则有 f ( x) ? f (0) ? 1 ,满足题设;…………………………9 分
x ln k ②当 k ? 1 时,若 x ? ?0, ln k ? ,则有 ? f ?( x)? ? e ? k ? e ? k ? 0

?

∴ f ?( x ) 在 ?0, ln k ?上单调递减,则有 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 , ∴ f ( x) 在 ?0, ln k ?上单调递减,则有 f ( x) ? f (0) ? 1 ,不满足题设.………………………11 分 综上,若对 ?x ? ?0,??? , f ( x) ? 1 恒成立,则 k ? 1 . ………………………………………12 分

22.解: (Ⅰ)由已知得,椭圆 C 的离心率 e ? 1 ?

b2 2 2 2 ,得 a ? 2b …①…………1 分 ? 2 a 2

过顶点 ?a,0? , ?0, b ? 的直线方程为: bx ? ay ? ab ? 0 ,该直线与圆 x ? y ?
2 2

2 相切, 3

则有

ab a ?b
2 2

?
2

2 2 2 2 2 ,化简得 2a ? 2b ? 3a b ……②……………………………………3 分 3
2

联立①②,解得 a ? 2 , b ? 1 ,所以椭圆 C 方程为:

x2 ? y 2 ? 1 ………………………4 分 2

(Ⅱ)由题设知,直线 AB 的斜率存在,设其方程为: y ? k ( x ? 2) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,
高二数学(理)参考答案 第 3 页(共 6 页)

P( x0 , y0 )
? y ? k ( x ? 2), ? 联立方程 ? x 2 ,得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ? 1. ?2
2 4 2 2 由 ? ? 64k ? 4(2k ? 1)(8k ? 2) ? 0 ,解得 k ?

1 ,…………………………………………6 分 2

且 x1 ? x2 ?

? 4k 8k 2 8k 2 ? 2 x ? x ? , ,则 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ? 1 2 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 1 ? 2k

∵ OA ? OB ? t OP ,∴ ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x0 , y0 ) , 则有 x0 ?

y ? y2 ? 4k x1 ? x2 8k 2 ? , y0 ? 1 ? 2 t t (1 ? 2k 2 ) t t (1 ? 2k )

∵点 P 在椭圆上,∴

(8k 2 )2 (?4k )2 ? 2 ? 2 ,∴ 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) …① ………8 分 2 2 2 2 2 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k )
2 5 2 5 < , 3 3
2 2

又∵ | PA ? PB |?| AB |?

由弦长公式得 | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k
2 2 2 化简得 (4k ?1)(14k ? 13) ? 0 ,∴ k ?

? 8k 2 ? 8k 2 ? 2 2 5 ? ? ? 4 ? ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2 3 ? ?
1 1 ? k2 ? ………………………………10 分 4 2

1 4



16k 2 8 2 6 2 6 ? 8? 由①式得 t ? ,∴ ?2 ? t ? ? 或 ?t ?2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 3 3
2

∴实数 t 取值范围是 (?2,?

2 6 2 6 )?( ,2) .…………………………………………………12 分 3 3

21.解: (Ⅰ)同上…………………………………………………………………………………5 分 (Ⅱ)解法 2 令 g ( x) ? f ( x) ? 1 ? e ?
x

高二数学(理)参考答案 第 4 页(共 6 页)

k 2 x ? x ? 1 ,得 g ?( x) ? e x ? kx ? 1 …………………………………6 分 2

∵ g (0) ? 0 ∴若 g ( x) ? 0 在 ?0,??? 上恒成立,则必需满足 g ?( x) ? 0 在 x ? 0 的一个右邻域 ?0, ? ? 上恒成立, 又∵ g ?(0) ? 0 ,∴必需满足 ?g ?( x)? ? 0 在 x ? 0 的一个右邻域 ?0, ? ? 上恒成立,
x ∵ ?g ?( x )? ? e ? k ,所以 ?g ?(0)? ? 1 ? k ? 0 ,得 k ? 1 ;………………………………………8 分

?

?

?

下证:当 k ? 1 时, g ( x) ? 0 在 ?0,??? 上恒成立. ∵ x ? 0 ,k ?1,
x ∴ ?g ?( x )? ? e ? k ? 1 ? k ? 0 (当且仅当 x ? 0 且 k ? 1 时等号成立)

?

∴ g ?( x ) 在 ?0,??? 单调递增 ∴ g ?( x) ? g ?(0) ? 0 (当且仅当 x ? 0 时等号成立)……………………………………………10 分 ∴ g ( x) 在 ?0,??? 单调递增 ∴ g ( x) ? g (0) ? 0 所以当 k ? 1 时, g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 在 ?0,??? 上恒成立.………………………………12 分

22.解: (Ⅰ)同上…………………………………………………………………………………4 分 (Ⅱ)解法 2 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) ,直线 l 过点 M ?2,0? ,设方程: x ? ?y ? 2

联立椭圆 C 与直线 l 方程,得

??

2

? 2 y 2 ? 4?y ? 2 ? 0

?

所以 ? ? 16?2 ? 8(?2 ? 2) ? 8?2 ?16, 由 ? ? 0 ,得 ?2 ? 2 ,………………………………6 分 由 y1 ? y 2 ?

? 4? 8 ,得 x1 ? x2 ? ? ( y1 ? y2 ) ? 4 ? 2 2 ? ?2 ? ?2

∵ OA ? OB ? t OP ,∴ x0 ?

x1 ? x2 8 y1 ? y2 ? 4? ? ? , y0 ? 2 t t (? ? 2) t t (?2 ? 2)
2

64 32? 2 2 高二数学(理)参考答案 ? 2 62页) y0 ? 2 ,即: 2 2 第 52 页(共 ∵点 P 在椭圆 C 上,∴ x0 ? 2 t (? ? 2)
化简得: t ?
2

t (? ? 2) 2

?2

16 ………………………………………………………………………………8 分 ? ?2
2

由弦长公式得 | PA ? PB |?| AB |? 1 ? ?2

2 2 (1 ? ?2 )(?2 ? 2) ? ? ?2 ? 2 ?2 ? 2

2 5 2 2 (1 ? ?2 )(?2 ? 2) 2 5 又∵ | PA ? PB |? ∴ , ? 3 ?2 ? 2 3
令 u ? ? ? 2 ,并化简得 (13u ? 12)(u ? 6) ? 0
2 2 ∵ ? ? 2 ,∴ u ? 4 ,解得 4 ? u ? 6 ……10 分

∴t ?
2

16 16 8 ? ,∴ ? t 2 ? 4 ? ?2 u 3
2

解得: ? 2 ? t ? ?

2 6 2 6 ?t ?2 或 3 3

综上得 t ? ? ? 2,?

? ? ?

2 6? ?2 6 ? ??? ? ? 3 ,2 ? .…………………………………………………………12 分 3 ? ? ? ?


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