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第三章 3.4(一)基本不等式


§3.4(一)

问题1:若a、b∈R,则代数式a2+b2与2ab有何大小关系? 提示:∵(a2+b2)-2ab=(a-b)2≥0. ∴a2+b2≥2ab. 问题2:上述结论中,“=”号何时成立? 提示:当且仅当a=b时成立.

§3.4(一)

a ? b ≥2ab
2 2

问题 3:若以 a, b分别代替问题 1 中的 a,b,可得出什 么结论?

提示:a+b≥2 ab.

问题4:问题3的结论中,“=”何时成立?

提示:当且仅当a=b时成立.

§3.4(一)

a+ b 探究 下面是基本不等式 ab≤ 的一种几何解释,请你 2 补充完整. 如图所示,AB 为⊙O 的直径,AC=a, CB=b,过点 C 作 CD⊥AB 交⊙O 上 半圆于点 D,连接 AD,BD.由射影定
a+b 理可知,CD= ab,而 OD= 2 ,因为 OD≥ CD,所以 a+b 即 a=b 时,等号成立. ≥ ab,当且仅当 C 与 O 重合 , 2

§3.4(一)

填表比较:

a ? b ≥2ab
2 2

a?b ≥ ab 2
a>0,b>0

适用范围

a,b∈R

两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 文字叙述 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数 “=”成立条 件

a =b

a =b

注意从不同角度认识基本不等式

§3.4(一)

[例 1]

判断下列说法是否正确,并说明理由.

1 (1)若 x>0,则 x+x≥2; 1 (2)若 x<0,则 x+x≤-2; (3)若 ab=3,则 a+b≥2 3.

§3.4(一)

变式训练 1 以下结论中,错用基本不等式作依据的是 ( ) y x A.x,y 均为正数,则x+y ≥2 1 B.a∈R,则(1+a)(1+a)≥4 C.若 x>1,则 lgx+logx10≥2 x2+2 D. 2 ≥2 x +1

§3.4(一)

探究点二

基本不等式的拓展 a+b 2 问题 当 a>0,b>0 时, ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 a+b 一条重要的基本不等式链,请你给出证明.

a2+b2 这是 2

§3.4(一)

练习

已知正数 0<a<1,0<b<1, 且 a≠b, 则 a+b, 2 ab, 2ab, ( ) B.2 ab D.a+b
1 已知 m=a+ (a>2), n=2 (2-b2) (b≠0), 则 m, a- 2 ) B.m<n D.不确定

a2+b2,其中最大的一个是 A.a2+b2 C.2ab
训练 2

n 之间的大小关系是( A.m>n C.m=n

§3.4(一)

b+c c+a a+b 例 2 设 a,b,c 都是正数,求证: a + b + c ≥6.
1 跟踪训练 2 已知 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,求证:a+ 1 1 b+c ≥9.

例3

1 1 n a>b>c,n∈M 且 + ≥ ,求 n 的最大值. a-b b-c a-c
?1 a? 已知不等式(x+y)?x+y ?≥9 ? ?

跟踪训练 3

对任意正实数 x,y ( D.2 )

恒成立,则正实数 a 的最小值为 A.8 B. 6 C.4

§3.4(一)

1.a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

2. 设 a,b,c 均为实数. 1 1 1 1 1 1 求证: + + ≥ + + . 2a 2b 2c b+c c+a a+b
3.已知 a,b,c∈{正实数}且 a+b+c=1. 1 1 1 求证:(a-1)(b-1)(c-1)≥8.


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