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2 数学-清江中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题


高一数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 不需要写出解答过程,请把答案直 接填写在答题纸的相应位置上 . ......... 9.直线 mx ? y ? 2 ? 0 与线段AB有公共点,其中A(-2,3),B(3,2),则实数m的取值范 围为____▲___. 10 . 在?ABC中,角A, B, C的对边分别是a, b, c,若(

a2 ? c2 ? b2 ) tan B ? 3ac, 则 B = ▲ . 11.己知 a,b 为正数,且直线 ax ? by ? 6 ? 0 与直线 2 x ? (b ? 3) y ? 5 ? 0 互相平行, 则 2a+3b 的最小值为 ▲ . 3 12.设等比数列 ?an ? 的公比为 q ( 0 ? q ? 1 ) ,前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 4a3a4 ,且 a 6 与 a4 的 4 等差中项为 a 5 ,则 S6 ? ▲ . 13.如果满足∠ABC=60° , AB ? 8 , AC ? k 的△ABC 有且只有两个,那么 k 的取值范围 是 ▲ . 14.若实数 a,b,c 成等比数列,且 a+ b+c=1,则 a+c 的取值范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出必要的 .... 文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 已知直线 x ? my ? 2m ? 1 ? 0 . (1)求证:无论 m 为何实数,直线总经过第二象限; (2)为使直线不经过第四象限,求 m 的取值范围. (3)若直线交 x 轴于负半轴、交 y 轴于正半轴,交点分别为 A、B,求直线与坐标轴围 成的三角形的面积的最小值,并求出此时的直线方程; 16. (本题满分 14 分) 等比数列 ?a n ? 满足 a3 a4 a5 ? 512, a3 ? a4 ? a5 ? 28 ,公比为大于 1 的数。 (1)求 ?a n ? 通项公式; (2)设 bn ? 2n ? 1 , 求 ?an ? bn ?前 n 项和 Sn

17.(本题满分 15 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, 若 b ? 1 , B ? (1)若 a ? c =2,解此三角形;
2

?
3



(2)求 ?ABC 面积的最大值.

18. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3 (1)若 f ( x) ? 0 的解集为{x|x<1 或 x>3},求实数 a 的值. (2)若 f ( x) ? 0 对 x ??1,2? 恒成立,求实数 a 的取值范围;

(3)若 f ( x) ? a 对 a ???3, ?1? 恒成立,求实数 x 的取值范围。 19.(本题满分 16 分)为考虑防洪需要,淮安市政府决定在淮河入海水道建造一条防洪堤, 其横断面为等腰梯形,腰与底边所成角为 60° (如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料 2 等因素,设计其横断面要求面积为 9 3 m ,且高度不低于 3 m.记防洪堤横断面的 腰长为 x(m),外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y(m). (1)求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; (2)要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 m,则其腰长 x 应在什么范围内? (3)当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长 最小)?求此时外周长的值.

1

20.(本题满分 16 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=n2+n,数列{bn}的通项公式为 bn= xn-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 cn=anbn,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn; 4 (3) 设d n ? , H n ? d1 ? d 2 ? L ? d n (n ? N ? ) ,是否存在最大的整数 m,使得对 n(an ? 4) 任意 n ? N * ,均有 H n ?

m 成立?若存在,求出 m,若不存在,请 说明理由。 9

高一数学答题纸
一.填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.) 1、_________ ___ ; 2 、___________; 3、__________; 4、_________; 6、____________; 7、____________; 8、__________; 9、_________; 5、 _________; 10、________;

11、____________; 12、____________; 13、____________; 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.

14、____________;

2

16.

17.

3

18.

4

19.

5

20.

6

高一数学期中试卷参考答案
一、填空题:

二、解答题: 15.解: (1)直线过定点 (?1, 2) ,故直线总经过第二象限; ………………… 4 分 (2) m ? 0 ; ……………………………………………………………9 分 1 2m ? 1 1 1 1 (3) Q m ? 0 ,? S ? (2m ? 1) ? (4m ? ) ? 2 ? 4 ,当且仅当 m ? 时“=”成 2 m 2 m 2 立, 此时直线方程为 y ? 2 x ? 4 . …………………………………………………………… ……14 分
3 16.解: (1) a3a4a5 ? a4 ? 512, ?a4 ? 8 , ?a3a5 ? 64, a3 ? a5 ? 20

?a3 ? 16 ?a3 ? 4 ?a3 ? 4 ?? 或? ,又 Q q ? 1 ,? ? , q ? 2, a1 ? 1, a n ? 2 n ?1 … … ……7 ?a5 ? 4 ?a5 ? 16 ?a5 ? 16


Sn ? ? 20 ? 21 ? 22 ? L ? 2n ?1 ? ? ?1 ? 3 ? 5 ? L ? 2n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? n 2
4分 17.解: (1)由 正弦定理得

(2) an ? bn ? 2 n?1 ? 2n ? 1 ,则

…………………1

a ? sin A

1 sin

?
3

?

c , sin C

…………………………2

分 于是 a ? 分 所 2. 以

2 3

sin A , c ?

2 3

sin C .
2 3

………………………………………4

a?c ?

[sin A ? sin(

2? ? A)] 3

?2

A? s 6

?

i =

n

(

0? A?


2? ? ? ,所以 A ? ,所以 C= , a ? b ? c ? 1 3 3 3
2 2

………………………8 分

……………………………10

(2)由余弦定理得 1 ? a ? c ? 2ac cos

?
3

? 2ac ? ac ? ac ,即 ac ? 1 ,当且仅当


a ? c ?1
立.

时 等 号 …………………………………………………………………… …13 分

则 ?ABC 面 积 S ?

1 1 a sc i n B ? 2 2

3 ? 2

3 4

, 所 以 ?ABC 面 积 的 最 大 值 为

3 . 4

………15 分

18.解: (1)根据题意,得 ? 解得 a ? ?4

? 1? a ? 3 ? 0 ……………………………………………………3 分 ?9 ? 3a ? 3 ? 0
……………………………………………………………………5 分
7

2 (2)由题意 x ? ax ? 3 ? 0 对 x ? ?? 2,1? 恒成立, 则 a ? ?( x ? ) 对 x ??1 ,2? 恒 成

3 x





Qx?

3 ?2 3 x











x? 3





=





立 ……………………………………………8 分

? a ? ?2 3

………………………………………………………………………………1

0分 (或分类讨论求函数 y ? f ( x) 的最小值) (3)由题可得 ( x ? 1)a ? x 2 ? 3 ? 0 对 a ???3, ?1? 恒成立 ……………………………11 分 令 立 则

g (a) ? ( x ? 1)a ? x 2 ? 3
………………………12 分





g (a) ? 0



a ???3, ?1?





2 ? ? g (?1) ? ?( x ? 1) ? x ? 3 ? 0 ? 2 ? ? g (1) ? ?3( x ? 1) ? x ? 3 ? 0

………………………………………………14

分 得 分

x ? ? ??,0? ??3, ???

…………… ……………………………………15

1 x 3 19.解:(1)9 3= (AD+BC)h,其中 AD=BC+2· =BC+x,h= x, 2 2 2 1 3 18 x ∴9 3= (2BC+x) x,得 BC= - . 2 2 x 2

?h= 23x≥ 3, 由? 18 x ?BC= x -2>0,

得 2≤x<6.

18 3x ∴y=BC+2x= + (2≤x<6). ………………………………………8 分(无定义域扣 2 x 2 分) 18 3x (2)令 y= + ≤10.5,得 3≤x≤4.∵?. ??12 分 x 2 18 3x 18 3x 18 3x (3)y= + ≥2 · =6 3,当并且仅当 = ,即 x=2 3∈[2,6)时等号成立.∴ x 2 x 2 x 2 外 周 长 的 最 小 值 为 6 3 m , 此 时 腰 长 为 2 3 m. …………………………………………16 分 ?S1,n=1, ?2,n=1, 20.解: (1)an=? =? =2n. (若没有交待 a1 扣 1 分) ???5 ?Sn-Sn-1,n≥2 ?2n,n≥2 分 (2)cn=2nxn-1. Tn=2+4x+6x2+ 8x3+??+2nxn-1 . ① 2 3 3 n 则 xTn=2x+4x +6x +8x +??+2nx . ② 2 n-1 ① -②,得(1-x)Tn=2+2x+2 x +??+2 x -2nxn. ??????????7 分 1-xn 2-2(n+1)xn+2nxn+1 当 x≠1 时,(1-x)Tn=2× -2nxn.所以 Tn= . ???9 1-x (1-x)2 分 当 x=1 时,Tn=2+4+6+8+??+2n=n2+n. ??????????????
8

10 分

1 1 ,则 Hn ? d1 ? d2 ? L ? dn (n ? N ? ) ? n(2n ? 4) n n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? ? ……… 3 2 4 3 5 n n?2 2 n ?1 n ? 2
(3)由(1)可得 d n ?

4

?

13 分 显然 Hn 为关于 n 的增函数, 故 ( H n ) min ? H1 ? 则 意

2 m ? , 于是欲使 H n ? 对n ? N 恒成立, 3 9
大 的 整 数

m 2 ? , 则m ? 6 9 3











m?5







…………………………16 分

9


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