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北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》之《解三角形》小结与复习


第十课时《解三角形》本章小结与复习 一、教学目标:1、熟练掌握三角形中的边角关系:掌握边与角的转化方法;掌握三角形的 形状判断方法。2、通过本节学习,要求对全章有一个清晰的认识,熟练掌握利用正、余弦 定理理解斜三角形的方法, 明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用, 熟练掌握由实际问题 向杰斜三角形类型问题的转换,逐步提高数学知识的应用能力。3、注重思维引导及方法提 炼,展现学生的主题作用,关注情感的积极体验,加强题后反思环节,提升习题效率,激发 学生钻研数学的热情、兴趣和信心。 二、教学重难点:重点:掌握正、余弦定理及其推导过程并且能用它们解斜三角形。 难点:正弦定理、余弦定理的灵活应用,及将实际问题转化为数学问题并能正确地解出这个 数学问题。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、知识结构
a b c ? ? ? 2R snA sin B sin C

常见变式

正弦定理 应用

已知两角和任一边,求其它边 和角

已知两边和其中一边的对角,求其它边 边和角 应用举例
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C

推论

余弦定理 已知三边求三角 应用 已知两边和它们的夹角的对角 ,求第三边和其 它角 (二) 、知识归纳 1.解三角形常见类型及解法 (1)已知一边和两角,利用正弦定理求其它边和角;(2)已知两边和夹角,利用余弦定理求其它 边和角;(3)已知三边,利用余弦定理求其它的角;

(4)已知两边和其中一边的对角,利用正弦定理求其它边和角,注意有两解和一解的情形. 2.三角形解的个数的确定: 已知两边和其中一边的对角不能确定唯一的三角形,解这类三角 形问题可能出现一解、两解、无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形 理解. 3.三角形形状的判定方法: 判定三角形形状通常有两种途径:一是通过正弦定理和余弦定理, 化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;二是利用正弦定理、 余弦定理, 化角为边,通过恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断. 4.解三角形应用题的基本思路: 解三角形应用题的关键使将实际问题转化为解三角形问题 来解决,其基本解题思路是:首先分析此题属于哪种类型的问题,然后依题意画出示意图,把 已知量和未知量标在示意图中,最后确定用哪个定理转化,哪个定理求解,并进行作答. (三)例题探析 例 1、在 △ ABC 中, tan A ?

1 3 , tan B ? . 4 5

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

1 3 ? 解: (Ⅰ)? C ? π ? ( A ? B) ,? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 4 5 ? ?1 . 1 3 1? ? 4 5 3 又? 0 ? C ? π ,? C ? π . 4 3 ? AB 边最大,即 AB ? 17 . (Ⅱ)? C ? ? , 4
又? tan A ? tan B,A,B ? ? 0, ? ,

? ?

?? ??

? 角 A 最小, BC 边为最小边.

sin A 1 ? ? , 17 ?tan A ? ? π? 由? . cos A 4 且 A ? ? 0, ? ,得 sin A ? 17 ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
AB BC sin A ? ? 2. 得: BC ? AB ? 所以,最小边 BC ? 2 . sin C sin A sin C ? 例 2、在 △ ABC 中,已知内角 A ? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?
由 (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.

解: (1) △ ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ?

? 2? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? . ? ?

应用正弦定理,知 AC ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?

AB ?

BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ? 2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
因 为

因为 y ? AB ? BC ? AC ,所以 y ? 4sin x ? 4sin ? ( 2 )

? ? ? 1 ?? ? 5? ? ? ?? y ? 4? x ? ?? 2 3? ? x? ? ? , ? sin x ? ? cos x ? 2 sin x ? ? ? 2 3 ? 4 3 sin ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?
所以,当 x ?

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?

例 3、在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ;

CA ? (2)若 CB ? sin C ?3 7 cos C

??? ? ??? ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2
2 2

? tan C ? 3 7, ? 解: (1)

又? sin C ? cos C ? 1

解得 cos C ? ?

1 . 8

? tan C ? 0 ,? C 是锐角.

CA ? (2)? CB ?
又? a ? b ? 9

??? ? ??? ?

1 ? cos C ? . 8
? ab ? 20 .

5 5 ? , , ? a bc o s C 2 2

? a2 ? 2ab ? b2 ? 81 .

? a 2 ? b2 ? 41.
?c ? 6 .

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 .

例 4、已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

解: (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 , 两式相减,得 AB ? 1 . (II)由 △ ABC 的面积

BC ? AC ? 2 AB ,

1 1 1 BC ?AC ? sin C ? sin C ,得 BC ?AC ? , 2 6 3

由余弦定理,得 cos C ? 所以 C ? 60 .
?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ( AC ? BC )2 ? 2 AC ?BC ? AB 2 1 ? ? , 2 AC ?BC 2 AC ?BC 2

例 5、 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 ? 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船, 正沿南偏东 75 ? 的 方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶, 巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向 追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才追赶上该走私船?

师:你能根据题意画出方位图?教师启发学生做图建立数学模型 分析:这道题的关键是计算出三角形的各边,即需要引入时间这个参变量。 解: 如图, 设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船, 则 CB=10x, AB=14x,AC=9,

? ACB= 75 ? + 45? = 120? ?(14x)

2

= 9 2 + (10x)

2

-2 ? 9 ? 10xcos 120?

3 9 ?化简得 32x 2 -30x-27=0,即 x= ,或 x=- (舍去)所以 BC = 10x =15,AB =14x =21, 2 16 ? BC sin120 15 3 5 3 又因为 sin ? BAC = = = ? AB 2 14 21
,?38 ? 13? + 45? =83 ? 13? ? ? BAC =38 ? 13? ,或 ? BAC =141 ? 47? (钝角不合题意,舍去) 答:巡逻艇应该沿北偏东 83 ? 13? 方向去追,经过 1.4 小时才追赶上该走私船. 评注:在求解三角形中,我们可以根据正弦函数的定义得到两个解,但作为有关现实生活的 应用题,必须检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解。 (四) 、小结:通过本节学习,要求对全章有一个清晰的认识,熟练掌握利用正、余弦定理 理解斜三角形的方法, 明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用, 熟练掌握由实际问题向解 斜三角形类型问题的转换,逐步提高数学知识的应用能力。 (五) 、作业布置:课本复习题二 A 组 5、6、7 五、教后反思: B组1 C组2


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