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14-2.1.1离散型随机变量


§2.1.1 离散型随机变量
教材分析
本节内容是数学 2-3 第二章 随机变量及其分布列 的起始课,对后续内容的学习起着奠基的作用.是 在学习了数学 3 第二章 统计 和第三章 概率 的知识后,对概率与统计内容的再学习,可以看作是对前面 学习过的两章内容的应用和加深.要求能够理解随机变量及离散型随机变量的含义.本课题的重难点是随 机变量、离散型随机变量的含义通过大量举出身边的实例,可以很好地帮助学生理解分随机变量、离散型 随机变量的含义,要求学生有意识地运用概率与统计的视角,观察生活中的有关现象,为后续内容的学习 作好积累上的准备.

课时分配
本节内容用 1 课时的时间完成,主要讲随机变量、离散型随机变量的含义.

教学目标
重点: 随机变量、离散型随机变量的含义 难点:随机变量、离散型随机变量的含义 知识点: 1.理解随机变量的意义; 2.学会区分离散型与非离散型随机变量,并能举出离散性随机变量的例子; 3.理解随机变量所表示试验结果的含义,并恰当地定义随机变量. 能力点:发展抽象、概括能力,提高实际解决问题的能力.. 教育点:学会合作探讨,体验成功,提高学习数学的兴趣. 自主探究点:如何运用离散型随机变量的概念解释生活中的有关现象. 考试点:随机变量、离散型随机变量的含义. 易错易混点:随机变量与函数的区别. 拓展点:离散型随机变量的取值及其相应概率的特点.

教具准备 课堂模式

多媒体、实物投影仪 学案导学

一、 引入新课
思考:掷一枚骰子,出现正面向上的点数共有几种不同的数字?能否用这些数值表示相应结果呢? 答:共有 6 中,可以用 1 , 2 ,3,4,5,6 来表示相应结果 思考:那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢? 答:掷一枚硬币,可能出现正面向上、反面向上两种结果 虽然这个随机试验的结果不具有数量性质,但我们可以用数 1 和 0 分别表示正面向上和反面向上: 正面向上——1; 反面向上——0 师总结:在掷骰子和掷硬币的随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个 确定的数字表示在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化这种随着试验结果的变化而变化的变 量我们称为随机变量——引出随机变量的定义:

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二、探究新知 (一)随机变量
随机变量的定义:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable ) 随机变量常用字母 X , Y, ? , ? ,? 表示 师举例:例如,在含有 10 件次品的 100 件产品中,任意抽 取 4 件,可能含有的次品件数 X 将随着抽取结 果的变化而变化,是一个随机变量,其值域是{0, 1, 2 , 3, 4 } . 生举例:1; 2; 3?? 讨论:随机变量和函数有类似的地方吗?二者又有何区别? 【师生活动】教师引导学生先明确两个定义,在分别举出实例,然后对比分析,合作学习,经过讨论形成 意见,在课上交流。 教师引导:如函数 ? 学生举例后讨论分析:定义域、值域、对应法则. 师:提问 生:交流看法 师:完成下表: 随机变量 定义域 值域 对应法则 相同点与不同点 师总结:随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映为实数,函数把实数映为实数在这 两种映射之间,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域我们把随机 变量的取值范围叫做随机变量的值域 学而实习之:丛书 32 页,第 2 题 【设计意图】 通过具体问题对比的方法,易引发学生的学习兴趣通过合作学习及填空的形式,得出本题 结论 【设计说明】引导学生立足定义. 师:利用随机变量可以表达一些事件 例如{X=0}表示“抽出 0 件次品” , {X = 4}表示“抽出 4 件次品”等 你能说出{X< 3 }在这里表示什么事件吗?“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢? 【设计意图】给学生充分的感性材料, 帮助学生接受新知识 函数

(二)离散型随机变量
思考:数列是一种特殊的函数,它特殊在哪儿? 随机变量也有类似的问题—— 【设计意图】引出下文 离散型随机变量的定义:所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 离散型随机变量的例子很多 师举例: 例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量, 它的所有可能取值为 0, 1, ?,
2

10 ; 生举例:如 1、某网页在 24 小时内被浏览的次数 Y 是一个离散型随机变量,它的所有可能取值为 0, 1,2,?. 2、?. 思考:电灯的寿命 X 是离散型随机变量吗? 电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数,而所有非 负实数不能一一列出,所以 X 不是离 散型随机变量 在研究随机现象时 ,需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量例如,如果我们仅关心电灯泡的使用 寿命是否超过 1000 小时,那么就可以定义如下的随机变量:

?0,寿命<1000小时; Y= ? ?1,寿命 ? 1000小时.
与电灯泡的寿命 X 相比较,随机变量 Y 的构造更简单,它只取两个不同的值 0 和 1,是一个离散型随机 变量,研究起来更加容易 师:连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连 续型随机变量 师:举例,如某林场树木最高达 30 米,则林场树木的高度 ? 是一个随机变量,它可以取(0,30]内的 一切 值 【设计说明】这里不要求学生举例 师:离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系是怎样的? 生: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果; 但是离散型随机变量 的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出
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注意: (1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质,但 可以用数量来表达 如投掷一枚硬币, ? =0,
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表示正面向上, ? =1,表示反面向上

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(2)若 ? 是随机变量,? ? a? ? b, a, b 是常数,则? 也是随机变量 学而实习之:见例3 【设计意图】为准确地理解新知,作必要的铺垫

三、理解新知
例 1 写出下列随机变量可能取 的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 (1)一袋中装有 5 只同样大小的白球,编号为 1,2,3 ,4,5 现从该袋内随机取出 3 只球,被取出的 球的最大号码数ξ ; (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η 解:(1) ξ 可取 3,4,5 ξ =3,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,3; ξ =4,表示取出的 3 个球的编号为 1, 2,4 或 1,3,4 或 2,3,4; ξ =5,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,5 或 1,3,5 或 1,4,5 或 2,3 或 3,4,5 (2)η 可取 0,1,?,n,?
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η =i,表示被呼叫 i 次,其中 i=0,1,2,? 例 2 抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ ,试问: “ξ > 4” 表示的试验结果是什么? 答: 因为一枚骰子的点数可以是 1, 2, 3, 4, 5, 6 六种结果之一, 由已知得-5≤ξ ≤5, 也就是说 “ξ >4” 就是“ξ =5” 所以, “ξ >4”表示第一枚为 6 点,第二枚为 1 点 例 3 某城市出租汽车的起步价为 10 元,行驶路程不超出 4km,则按 10 元的标准收租车费 若行驶路程超 出 4km,则按每超出 lkm 加收 2 元计费(超出不足 1km 的部分按 lkm 计)从这个城市的民航机场到某宾馆的 路程为 15km 某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换 成行车路程(这个城市规定,每停车 5 分钟按 lkm 路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ 是一个 随机变量,他收旅客的租车费可也是一个随机变量 (1)求租车费η 关于行车路程ξ 的关系式; (Ⅱ)已知某旅客实付租车费 38 元,而出租汽车实际行驶了 15km,问出租车在途中因故停车累计最多 几分钟? 解:(1)依题意得η =2(ξ -4)+10,即η =2ξ +2 (Ⅱ)由 38=2ξ +2,得ξ =18,5×(18-15)=15 所以,出租车在途中因故停车累计最多 15 分钟
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【设计意图】巩固对概念的理解 【设计说明】教师引导,一学生先分析,其他作补充。

四、运用新知
课堂练习一、教材 P45 1、 (1)能,X= 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 (2)能,X= 0,1,2,3,4,5 (3)不能 2、略 课堂练习二、 1、①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数 ? ;②长江上某水文站观察到一天中的水位 ? ;③某超市一天中 的顾客量 ? A①; 其中的 ? 是连续型随机变量的是( C③; D①②③ ) )

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B②;

2、随机变量 ? 的所有等可能取值为 1, 2, …, n ,若 P ?? ? 4? ? 0.3 ,则( A n ? 3; Bn ? 4; C n ? 10 ; D 不能确定 3、抛掷两次骰子,两个点的和不等于 8 的概率为( A )

11 ; 12

B

31 ; 36

C

5 ; 36

D

1 12
)

4、如果 ? 是一个离散型随机变量,则假命题是(

A. ? 取每一个可 能值的概率都是非负数;B. ? 取所有可能值的概率之和为 1; C. ? 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和;

4

D. ? 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

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答案:1.B 2.C 3.B 4.D 【设计意图】 进一步理解概念, 巩固概念, 培养学生良好的解题习惯加强对学生学习方法的指导, 做到 “授 人以渔”

五、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法?学生作答: 1 知识:随机变量、离散型随机变量的含义 2 思想:对比与类比的思想与方法 教师总结: 随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念 随机变量ξ 是关于试验结果的 函数,即每 一个试验结果对应着一个实数;随机变量ξ 的线性组合η =aξ +b(其中 a、b 是常数)也是随机变量
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六、布置作业
1 阅读教材 P44-45 ; 2.书面作业 必做题:P49 习题 2.1 A 组 1.,2 思考题:P49 习题 2.1 A 组 3 3 课外思考 如何研究随机变量的变化规律 ? [设计意图]设计作业 1,2,是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置,是为 了让学生理解概念;思考的安排,是引导学生回顾课本是加以交流;课外思考的安排,是让学生预习下一节, 起到承上启下的作用

七、教后反思
1、本教案的亮点是实例教学:在教学中,让学生结合生活,紧扣概念,大量列举实例,即学习知识,又 实现学生实质意义的参与. 2、本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较小,在课堂上没有充分暴露学生的思维过程,并给予针对性地 诊断与分析.

八、板书设计
§2.1.1 离散型随机变量

一、随机变量

二、离散型随机变量

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