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2015届普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷数学(文)试题


2015 年普通高等学校招生全国统一考试.模拟信息卷 数学(文科)教师用卷
考试时间 120 分钟 满分 150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,选出符合题目要求的一项.) 1. 已知 i 是虚数单位,若复数 (a ? i)(2 ? i) 是纯虚数,则实数 a 等于 1 1 A. 2 B. C. ? D. ?2 2 2 【答案】C 【解析】 (a ? i)(2 ? i) ? 2a ? a i? 2i? 1 ? (2 ? a )i? (1? 2a),他为纯虚数,所以实部为 零, 即 1+2a=0,所以 a= ?
1

1 2
( )

? 1 1 2. 已知 a ? 3 3 , b ? log 2 , c ? log 1 ,则 3 2 3

(A) a ? b ? c 【答案】D 【解析】

(B) a ? c ? b

(C) c ? b ? a

(D) c ? a ? b

? 1? 0 ? a ? 1, 1 1 1 ? log 2 ? 0, log 1 ? log 1 ? 1, 3 2 3 2 2 ? 0<3 所以b ? a ? c.选D.
3.己知 命题 “ ?x ? R, 使2x2 ? (a ? 2) x ?1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是 A. (??, ?2) 【答案】B 【解析】命题 “ ?x ? R, 使2x2 ? (a ? 2) x ?1 ? 0 ”的否定为 “ ?x ? R, 使2x2 ? (a ? 2) x ?1 ? 0 ”二次函数开口向上,要使它大于 0 恒成立,只需 要 ? ? 0 ,即 (a ? 2)2 ? 4 ? 2 ? a2 ? 4a ? 12 ? (a ? 6)(a ? 2) ? 0 ,??2 ? a ? 6
1 4. 某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ,则该几何体的俯视图可 2
以是( C)

?

1 3

B.

C. (6, ??)

D. (?2,6)

【答案】C 1 【解析】 :当俯视图为 A 时,几何体为正方体,体积为 1,现体积为 ,所以几何 2 体为正方体的一半,选 C 5.下列命题中, m, n 表示两条不同的直线, ? , ? , ? 表示三个不同的平面. ①若 m ? ? , n ?? , 则 m ? n ;②若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? ? ? ; ③若 m ?? , m ?? , 则 m ? n ;④若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? 则 m ? ? 则正确的命题是 A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 【答案】C 【解析】①若若 m ? ? , n ?? , 则 m ? n ,正确 ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? ? ? ;不正确, ? , ? 可以相交,如长方体中 ③若 m ?? , m ?? , 则 m ? n 不正确 m, n 可以平行,异面,相交 ④若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? 则 m ? ? ,? ? ? , ? ? ? ,则 ? ?? ,又因为 m ? ? 所以 m ? ? , 正确
| ? |? 6. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )(其中 A>0,

?
2
y

) 的图象如图所示, 为了得到 f ( x)

的图象,则只需将 g ( x) ? sin 2 x 的图象 ? A. 向右平移 个长度单位 6

? B. 向左平移 个长度单位 6 ? C. 向右平移 个长度单位 3 ? D. 向左平移 个长度单位 3
【答案】B 【解析】有图可得, A=1,

π 3 O -1

7π 12 x

T 7? ? ? 2? ? ? ? ?T ? ? ? ? ? ,? ? 2 4 12 3 4 ?

将(

? 2? ? , 0 )代入 f (x) ? sin(2 x ? ? ) 中,可得 ? ? ? ? ?? ? 3 3 3

? f (x) ? sin(2 x ? ) 3
7. | a |= 1,| b |= A.1 B.2

?

?

?

? ? ? ? 2, 且a与b 的夹角为45? , 当 | a - xb | 取得最小值时,实数 x 的值为(
C.



1 2

D.

1 4

【答案】C 【解析】:由题意可知: ? ? ? ? ? ? | a - xb |2 = a 2 + (xb )2 - 2xa ? b = 1 + 2x 2 - 2x 创 1

2 ? cos 45?

1 1 = 2x - 2x + 1 = 2(x - )2 + 2 2
2

开 始

所以 x=

1 时,原式最小。 2
) B.91 C.140 D.204

i=1,s=0 i=i+1

8.程序框图如图所示,若输出结果 S 是(
A.55

【答案】B 【解析】由题意可知: s = 1+ 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 91 i<7
否 输出 S

s=s+ i

2



?? x 2 ? 2 x ? a ( x ? 0) 9 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? , 且 函 数 ? f ( x ? 1)( x ? 0) y ? f ( x) ? x 恰有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 A. (0,??) B. [?1,0) C. [?1,??) D. [?2,??) 【答案】C





【解析】因为当 x ? 0 的时候, f ( x) ? f ( x ? 1) ,所以所有大于等于 0 的 x 代入得到 的 f ( x) 相当于在 10. 给出下列命题: (1)某班级一共有 53 名同学,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取 一个容量为 4 的样本,已知 8 号,34 号,47 号同学在样本中,那么样本中另一位 同学的编号为 22 号; (2)一组数据 1,2,3,3,4,,5 的平均数、众数、中位数都相同; (3)一组数据为 a,0,1,2,3,若改组数据的平均值为 1,则样本标准差为 2; ( 4 )根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为

? = a + bx 中,b=2,x=1,y=3,则 a=1; y
其中真命题为:

A(1)(2) 【答案】D

B(2)(3)

C(2)(4)

D(3)(4)

【解析】系统抽样抽得的号码成等差数列,故(1)为假命题;由定义知(2)为真命题;由 a,0,1,2,3,的平均值为 1 可求得 a=-1,故样本方差为 2,标准差为 2 ,(3 )位假命题;
根据定义回归直线过样本中心,带入可求得 a=1,所以(4)为真命题。
3 2 ? ?2 x ? 3x ? 1, x ? 0 11.若函数 f ? x ? ? ? a x 在区间 ? ?2,2? 上的最大值为 2, 则实数 a 的取值范围是 ? ?e , x ? 0




? 1 ? B. ? 0, ln 2 ? 2 ? ?

?1 ? ? ?? A. ? ln 2, 2 ? ?

C.

? ??,0?

1 ? ? D. ? -?, ln 2 ? 2 ? ?

【答案】C 【解析】 作出函数 f(x)=2x3+3x2+1,(x≤0)的图像,当 a<0 时,f(x)=eax 在(0,+ ?)为减函数,符合题意,当 a=0 时,f(x)=1,符合题意,当 a>0 时,f(x)=eax 在 1 1 ? ? (0,+?)为境函数,∴f(2)=e ≤2,∴a≤ ln2,∴a∈ ? -?, ln 2 ? 2 2 ? ?
2a

y

O

x

12. 已知函数 f(x) f (x ) = x + ax + (a + 6)x + 1有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围 为( )

3

2

A(-1,2)B (- ? , 3) ? (6. 【答案】B.

? ) C(-3,6)D (- ? , 1) ? (2

? )

【解析】 f ' (x ) = 3x 2 + 2ax + a + 6,由题意可得D =4a 2 - 12(a + 6) > 0, 解得 a 的取值 范围为 (- ? , 3) ? (6. ? ) 。

第 II 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. 已知数列 1, a1 , a2 ,8 是等差数列,数列 1, b1 , b2 , b3 ,16 是等比数列,则 为 .
3 【答案】 10

b2 的值 a1 ? a2

【解析】?1, a1, a2 ,8 ? a1 ? a2 ? 1 ? 8 ? 9 ,?1, b1, b2 , b3 ,16

?b22 ? 1?16 ? 16 ,在等比数列里,隔项的符号相同?b2 ? 4 ?

b2 4 ? a1 ? a2 9

? x ? 0, ? 14. 若关于 x , y 的不等式组 ? y ? x, ( k 是常数)所表示的平面区域的边界 ? kx ? y ? 1 ? 0 ?

是一个直角三角形,则 k ? 【答案】-1 或 0

.

? x ? 0, ? 【解析】作出不等式组 ? y ? x, 表示的区域如下图所示,由图可知,要使平面区域的 ? kx ? y ? 1 ? 0 ?
边界是一个直角三角形,则 k ? 0 或 1.

15.在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一个 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 三等分点,则 CP ? CB ? CP ? CA ? . 【答案】4
??? ? 1 ??? ? ??? ? 【解析】:由于点 P 是斜边 AB 上的一个三等分点,不妨设 AP ? AB ,将 CP 改写为 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 2 ??? ? 1 ??? ? CP ? CA ? AP ? CA ? AB ? CA ? (CB ? CA) ? CA ? CB ,再利用 ?ACB ? 90? ,于 3 3 3 3 ??? ? ??? ? 是 CA ? CB ? 0 ,又根据 CA ? CB ? 2 ,因此

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 1 ??? ?2 2 ??? CP ? CB ? CP ? CA ? CP ? (CB ? CA) ? ( CA ? CB )(CB ? CA) ? CA ? CB ? 4 3 3 3 3

1 1 16. 给出定义:若 m ? < x ? m + (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整 2 2 数,记作 {x} ,即 {x}=m . 在此基础上给出下列关于函数 f (x)=x ? {x} 的四个命题: ①点 (k ,0) 是 y =f (x ) 的图像的对称中心,其中 k ? Z ;

1 1 ② y =f (x ) 的定义域是 R ,值域是 ( ? , ] ; 2 2 ③函数 y =f (x ) 的最小正周期为 1 ; 1 3 ④ 函数 y =f (x ) 在 ( ? , ] 上是增函数. 2 2 则 上述命题中真命题的序号是 .

【答案】②③
【解析】:结合已知函数若 m ? 整数,记作 {x} ,即 {x}=m .

1 1 < x ? m + (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的 2 2

1 1 ①函数 y=f(x) 的定义域是 R,值域是 (- , ] ;成立, 2 2

②函数 y=f(x) 的图像关于点(

k ,0)(k∈Z)对称;不成立, 2

③函数 y=f(x) 是周期函数,最小正周期是 1;成立,

1 1 ④ 函数 y=f(x) 在 [- , ] 上是增函数;不成立,. 2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.) 17.(本小题满分 12 分)
某中学共有 1000 名文科学生参加了该市高三第一次质量检查的考试,其中数学成绩 如下表所示: 数学成绩分组 人数 [50,70) 60 [70,90) [90,110) 400 [110,130) 360 100

x

(Ⅰ)为了了解同学们前段复习的得失,以便制定下阶段的复习计划,年级将采用分层 抽样的方法抽取 100 名同学进行问卷调查. 甲同学在本次测试中数学成绩为 75 分,求他被抽 中的概率; (Ⅱ)年级将本次数学成绩 75 分以下的学生当作“数学学困生”进行辅导,请根据所提 供数据估计“数学学困生”的人数; (III)请根据所提供数据估计该学校文科学生本次考试的数学平均分.

【答案】(Ⅰ)P=

1 10

,(Ⅱ) 80 ,(III) 107.2

【解析】(Ⅰ)分层抽样中,每个个体被抽到的概率均为:

样本容量 , 总体中个体总数

故甲同学被抽到的概率 P= 分

1 10

…………………4 分 ……………6

(Ⅱ)由题意得 x=1 000-(60+400+360+100)=80. 设估计“数学学困生”人数为 m

m ? 60 ? 80 ?

1 ? 80 . 4
……………………8 分

故估计该中学“数学学困生”人数为 80 人 (III)该学校本次考试的数学平均分.

60 ? 60 ? 80 ? 80 ? 100 ? 400 ? 120 ? 360 ? 140 ?100 ? 107.2 1000 估计该学校本次考试的数学平均分为 107.2 分. ……………12 分 18.(本小题满分 12 分) x?

若盒中装有同一型号的灯泡共 10 只,其中有 8 只合格品,2 只次品。 (Ⅰ)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 3 次,每次取一只灯泡,求 2 次 取到次品的概率; (Ⅱ)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一 灯泡,若是正品则用它更换已坏灯泡,若是次品则 将其报废(不再放回原盒中), 求成功更换会议室的已 坏灯泡所用灯泡只数 x 的分布列和数学期望。 【答案】
【解析】

12 11 , EX ? 125 9

2 1 ? (2 分) 10 5 有放回连续取 3 次,其中 2 次取得次品记为事件 B,由独立重复试验得: 12 2 1 2 4 P (B) ?C ( ). ? …………………………………..(5 分) 3 5 5 125 (Ⅱ)依据知 X 的可能取值为 1.2.3 ………………………(6 分) 8 4 (x ? 1 ) ? ? 且P …………… …………(7 分) 10 5 2 8 8 P (x ? 2) ? ? ? ………………………(8 分) 10 9 45 2 1 8 1 P (x ? 3) ? ? ? ? ………………………………….. 10 9 8 45 (A) ? (Ⅰ)设一次取次品记为事件 A,由古典概型概率公式得: P
(9 分)

则 X 的分布列如下表: X 1 2 3

p

4 5

8 45

1 45
………………………(10 分) ……………………(12 分)

36 16 3 55 11 EX ? ? ? ? ? 45 45 45 45 9 19.(本小题满分 1 2 分)

如图 1, 在矩形 ABCD 中,E , F 分别是 AB , CD 的中点, 沿 EF 将矩形 BEFC 折起, 使 ?CFD ? 90? ,如图 2 所示: (Ⅰ)若 G , H 分别是 AE , CF 的中点,求证: GH //平面 ABCD ; (Ⅱ)若 AE ? 1 , ?DCE ? 60? ,求三棱锥 C ? DEF 的体积.

【答案】

1 6
………………………………1 分

【解析】 (Ⅰ)法一:取 AB 中点 P ,连结 PG 、 PC ? G , H 分别是 AE , CF 的中点

1 1 1 1 ? CH // BE ,且 CH ? BE , PG // BE ,且 PG ? BE 2 2 2 2 ? PG // CH , PG ? CH B ? 四边形 CPGH 为平行四边形, ? GH // PC ……4 分 P 又 GH ? 平面 ABCD , PC ? 平面 ABCD E ………………6 分 ? GH //平面 ABCD G 法二:取 CD 中点 Q ,连结 QA , QH ……… 1 分 A ? G , H 分别是 AE , CF 的中点 1 1 1 1 ? QH // DF ,且 QH ? DF , AG // DF ,且 AG ? DF 2 2 2 2 B ? AG // QH , AG ? QH , ? 四边形 AGQH 为平行四边形 ? GH // AQ ………………………4 分 E 又 GH ? 平面 ABCD , AQ ? 平面 ABCD G …………………6 分 ? GH //平面 ABCD
A
法三:取 DF 中点 M ,连结 MG , MH …………1 分 ? G , H 分别是 AE , CF 的中点, ? GM // AD , MH // CD 又 GM ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD MH ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ? GM //平面 ABCD , MH //平面 ABCD ……4 分

C
H F D

C
H

Q
D

F

B

C
H

E

F M D

A

G

? GM ? MH ? M , ? 平面 GMH //平面 ABCD 而 GH ? 平面 GMH ? GH //平面 ABCD
分 (Ⅱ)? ?CFD ? 90
?

…………………… 6

? CF ? DF ? CF ? EF , EF ? DF ? F ……………………………………………………8 分 ? CF ? 平面 ADFE
又 AE ? EB ? 1 ,

?CE ? DE ? 1? EF 2 ,且 CF ? DF ? 1 ? ?DCE ? 60? ? ?DCE 为等边三角形
? EF ? 1
分 而 Rt ?CDF 中, CD ? 2

? 1 ? EF 2 ? 2 ,
………………………………… 10

1 1 1 ?VC ? DEF ? ? ? EF ? DF ? CF ? 3 2 6 1 故三棱锥 C ? DEF 的体积为 . ……………………………………………12 分 6

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点在 x 轴上 , 且两焦点与短轴的一 a 2 b2

个顶点的连线构成斜边长为 2 的等腰直角三角形。 (Ⅰ)求椭圆的方程;
1 (Ⅱ)过点 S (0, ? ) 的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面上是否 3

存在一个定点 Q,使得以 AB 为直径的圆恒过点 Q ?若存在求出点 Q 的坐标;若不 存在,请说明理由。
x2 ? y 2 ? 1, Q(0,1) 2

【答案】

【解析】 (Ⅰ) 由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, ? b ? c

又斜边长为 2,即 2c ? 2 故 a ? 2c ? 2 , 椭圆方程为
x2 ? y 2 ? 1. 2

……………………………… (4 分)

1 16 (Ⅱ)当 l 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 ? ( y ? ) 2 ? ; 3 9

当 l 与 y 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程为 x2 ? y 2 ? 1

1 2 16 ? 2 ?x ? 0 ?x ? ( y ? ) ? ,故若存在定点 Q,则 Q 的坐标只可能为 Q(0,1) .… (6 分) 3 9 ?? ? ?y ?1 ? x2 ? y 2 ? 1 ?

下证明 Q(0,1) 为所求:
1 若直线 l 斜率不存在,上述已经证明.设直线 l : y ? kx ? , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 3

1 ? ? y ? kx ? ? (9 ? 18k 2 ) x 2 ? 12kx ? 16 ? 0, ? ? 144k 2 ? 64(9 ? 18k 2 ) ? 0 , 3 ? ? x2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0 ?
x1 ? x2 ?
(8 分)

12k ?16 , x1 x2 ? , 2 18k ? 9 18k 2 ? 9

. …………………………

??? ? ??? ? QA ? ( x1, y1 ?1), QB ? ( x2 , y2 ?1)
??? ? ??? ? 4k 16 QA ? QB ? x1 x2 ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 3 9

………… ( 10

分)

?16 4k 12k 16 ? ? ? ?0 2 2 9 ? 18k 3 9 ? 18k 9 ??? ? ??? ? ?QA ? QB ,即以 AB 为直径的圆恒过点 Q(0,1) . ? (1 ? k 2 )
(12 分)

… …………………

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? e x (sin x ? cos x) ? a ( a 为常数) . (Ⅰ)已知 a ? ?3 ,求曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 0 ? x ? ? 时,求 f ( x) 的值域; (Ⅲ)设 g ( x) ? (a ? a ? 10)e ,若存在 x 1 , x 2?[0, ? ] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 13 ? e 2
2 x

?

成立 ,求实数 a 的取值范围.

【答案】 2 x ? y ? 2 ? 0 , [?e? ? a, e 2 ? a] , ?1 ? a ? 3
【解析】 (Ⅰ) f ?( x) ? e (sin x ? cos x) ? e (cos x ? sin x) ? 2e cos x
x x x

?

……………1 分

f ?(0) ? 2 , f (0) ? ?2 …………………………2 分 ? 切线方程为: y ? 2 ? 2( x ? 0) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 为所求的切线方程.……3 分 ? ? x (Ⅱ)由 f ?( x) ? 2e cos x ? 0 ,得 0 ? x ? . , f ?x () 2 ?e c o sx x 0 ? ,得 ? x ? ? . 2 2 ? ? ? y ? f ( x) 在 [0, ] 上单调递增,在 [ , ? ] 上单调递减. ………………4 分 2 2

……………………………………5 分 ? ymax ? f ( ) ? e 2 ? a 2 f (0) ? 1 ? a , f (? ) ? ?e? ? a ? f (0) , ymin ? f (? ) ? ?e? ? a , …………6 分 ……………………………………7 分 ? f ( x) 的值域为 [?e ? a, e 2 ? a] 2 (Ⅲ)? a ? a ? 10 ? 0 ,? g ( x) 在 [0, ? ] 是增函数, g (0) ? a2 ? a ? 10 , g (? ) ? (a2 ? a ? 10)e? , ? g ( x) 的值域为 [a2 ? a ? 10,(a2 ? a ? 10)e? ] . ……………………………9 分
? ?

?

?

? a ? a ? 10 ? (e ? a) ? (a ? 1) ? (9 ? e 2 ) ? 0
2 2 2

?

?

………………………10 分

依题意, a 2 ? a ? 10 ? (e 2 ? a) ? 13 ? e 2 ,
2

?

?

………………………………11 分

即 a ? 2a ? 3 ? 0 , ??1 ? a ? 3 ………………………………12 分 22. (本小题满分 10 分) 如图, AB 是⊙ O 的直径, AC 是弦,∠ BAC 的平分线 AD 交⊙ O 于 D , DE ? AC 交
AC 延长线于点 E , OE 交 AD 于点 F .

(1)求证: DE 是⊙ O 的切线; (2)若

AC 3 AF ? ,求 的值. DF AB 5

【答案】(1)略;(2)

8 5

【解析】证明:(Ⅰ)连接 OD,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC OD∥AE---------------3 分 又 AE⊥DE,∴OD⊥DE ∴DE 是⊙O 的切线.------- --5 (Ⅱ)过 D 作 DH⊥AB 于 H,则有∠DOH=∠CAB ∴ cos ?DOH ? cos ?CAB ?

AC 3 ? .------------------6 分 AB 5

设 OD=5x,则 AB=10x,OH=3x,OD=5x ∴AH=8x, AD ? 80 x --------------------------8 分 由△ADE≌△ADH,可 得 AH=AE=8x ∴AE=8x
2 2

又△AEF∽△ODF,

AF AE 8 ? ? --------------10 分 DF DO 5

24. (本小题满分 10 分) 设函数 f ? x ? ? x ?1 ? x ? a .

f x) ? 2 ,求 a 的取 (1)若 a ? ? 1 时,解不等式 f ( x ) ? 3 ;(2)如果 ?x ? R,(
值范围 【答案】(1) ? ??, ? ? ? ? , ?? ? ;(2)(-∞,-1]∪∪[3,+∞). 2 2

? ?

3? ?

?3 ?

? ?

解析二 (1) 同上; f x) ? 2 的充要条件是 (2) 根据不等式的几何性质,所以对于 ?x ? R,(

f ? x ? ? x ?1 ? x ? a 表示点 x 到 1 和 a 两点的距离之和。∴f(x)的最小值为|a-1| , f x) ? 2 的充要条件是|a-1|≥2 ,解得 a≥3 或 a≤-1. 所以对于 ?x ? R,(


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