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2015届高考数学(新课标 理)一轮复习辅导第16讲 直线与圆经典精讲 精品讲义


直线与圆经典精讲

引入
从一道题谈起: 已知点 P 到两定点 M (?1,0) 、N (1,0) 距离的比为 2 , 点 N 到直线 PM 的 距离为 1,求直线 PN 的方程.
y P

M -1

0

N 1

x

重难点突破

/>x y ? ? 1 通过点 M (cos ?, sin ? ) ,则( ) . a b 1 1 2 2 2 2 A. a ? b ≤1 B. a ? b ≥1 C. 2 ? 2 ≤ 1 a b
题一:若直线

D.

1 1 ? 2 ≥1 2 a b

金题精讲
题一:对于圆 C1 : (1)若 r (2)若 r (3)若 r (4)若 r

x2 ? y2 ? 1 ,圆 C 2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? r 2 ,
. . . ;它表示的是

? 4 ,两个圆的公切线方程是 ? 5 ,两个圆的公共弦方程是 ? 6 ,两个圆的公切线方程是 ? 3 ,则两圆方程相减所得的直线为

的轨迹.

0) , AB 边 所 在 直 线 的 方 程 为 题二:矩形 ABCD 的 两 条 对 角 线 相 交 于 点 M (2, x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 T (?1, 1) 在 AD 边所在直线上.
(I)求 AD 边所在直线的方程; (II)求矩形 ABCD 外接圆的方程;

0) ,且与矩形 ABCD 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的轨迹方 (III)若动圆 P 过点 N (?2,
程.

题三:如图,已知定圆 C : x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 ,定直线 m : x ? 3 y ? 6 ? 0 ,过 A(?1,0) 的一 条动直线 l 与直线相交于 N ,与圆 C 相交于 P, Q 两点, M 是 PQ 中点. (Ⅰ)当 l 与 m 垂直时,求证: l 过圆心 C ; (Ⅱ)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程; (Ⅲ)设 t ? 明理由.
y l C M P O N x Q

AM ? AN ,试问 t 是否为定值,若为定值,请求出 t 的值;若不为定值,请说

A

m

引入
题一:

y ? x ? 1或 y ? ?x ? 1

重难点突破
题一:D

金题精讲
题一: (1)内公切线: 6 x ? 8 y ? 10

? 0 ,外公切线: x ? ?1 和 y ?

7 4 ( x ? 1) ? ; (2) 24 3

6x ? 8 y ? 1 ? 0 ; (3) 6 x ? 8 y ? 10 ? 0 ; (4) 6 x ? 8 y ? 17 ? 0 ,到两个圆切线长相等的点

x2 y 2 ? ? 1( x ? ? 2) 题二: (I) 3x ? y ? 2 ? 0 ; (II) ( x ? 2) ? y ? 8 ; (III) 2 2
2 2

详解: (I)因为

AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,且 AD 与 AB 垂直,所以直线 AD 的斜率为

?3 .又因为点 T (?11) , 在直线 AD 上,
所以

AD 边所在直线的方程为 3x ? y ? 2 ? 0 .

(II)由 ?

? x ? 3 y ? 6 ? 0, ? 2) , 解得点 A 的坐标为 (0, ?3x ? y ? 2 = 0
ABCD 两条对角线的交点为 M (2, 0) .所以 M
为矩形

因为矩形

ABCD 外接圆的圆心.



AM ? (2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2 .

从而矩形

ABCD 外接圆的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 8 .

(III)因为动圆 P 过点 N ,所以 所以

PN

是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切,

PM ? PN ? 2 2 ,即 PM ? PN ? 2 2 .
2 的双曲线的左支.

故点 P 的轨迹是以 M , N 为焦点,实轴长为 2 因为实半轴长 a

? 2 ,半焦距 c ? 2 .所以虚半轴长 b ? c2 ? a2 ? 2 .
x2 y 2 ? ? 1( x ? ? 2) . 2 2

从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为

题三: (Ⅰ)证明略; (Ⅱ) x 详解: (Ⅰ)由已知 k m 将圆心 C

? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 ; (Ⅲ) t 是定值,且 t ? ?5 .
,故 k l

??

1 3

? 3 ,所以直线 l 的方程为 y ? 3( x ? 1) .
.

(0,3) 代入方程易知 l 过圆心 C

(Ⅱ) 当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x

? ?1 符合题意;

当直线与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为

y ? k ( x ? 1) ,由于 PQ ? 2 3 ,
4 . 3

所以

CM ? 1. 由 CM ?

?k ?3 k 2 ?1

? 1 ,解得 k ?

故直线 l 的方程为 x

? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 .

(Ⅲ)当 l 与 x 轴垂直时,易得 M (?1,3) , N ( ?1,?

5 ) ,又 A(?1,0) 则 AM ? (0,3), 3

AN ? (0, ? ) ,故 AM ? AN ? ?5 .
当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为

5 3

即t

? ?5 .

y ? k ( x ? 1) ,代入圆的方程得

(1 ? k 2 ) x 2 ? (2k 2 ? 6k ) x ? k 2 ? 6k ? 5 ? 0 .
则 xM

?

x1 ? x 2 ? k 2 ? 3k 3k 2 ? k ? , y ? k ( x ? 1 ) ? M M 2 1? k 2 1? k 2

,

? k 2 ? 3k 3k 2 ? k , ), 即M( 1? k 2 1? k 2

AM ? (

? y ? k ( x ? 1), ? 3k ? 6 ? 5k 3k ? 1 3k 2 ? k , ), , ) .又由 ? 得 N( 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 1? k 1? k ? x ? 3 y ? 6 ? 0,



AN ? (

?5 ?5k , ). 1 ? 3k 1 ? 3k

故t

? AM ? AN ?

?15k ? 5 ?5k (3k 2 ? k ) ?5(1 ? 3k )(1 ? k 2 ) ? ? ? ?5 . (1 ? k 2 )(1 ? 3k ) (1 ? k 2 )(1 ? 3k ) (1 ? 3k )(1 ? k 2 )
? ?5 .

综上, t 的值为定值,且 t


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