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2014届高三数学一轮复习课件(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)2.2函数的定义域和值域


[知识能否忆起]

一、常见基本初等函数的定义域

1.分式函数中分母 不等于零 .
2.偶次根式函数被开方式大于或等于0 . 3.一次函数、二次函数的定义域均为 R . 4.y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x,定义域均为 R.

5.y=logax(a>0且a≠1)的定义域为 (0,

+∞). 6.y=tan
? ? π ? ? ?x|x≠kπ+ ,k∈Z? 2 ?. ? ? x的定义域为?

7.实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式 有意义外,还要考虑实际问题对函数自变量的制约.

二、基本初等函数的值域 1.y=kx+b(k≠0)的值域是 R.

2.y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:当a>0时,值域为 ? ? ? 4ac-b2? ? ? 4ac-b2? ? ? y|y≥ ? ?y|y≤ ? ;当a<0时,值域为 ? ? ? 4a ? ? 4a ? . ? ? k 3.y= (k≠0)的值域是 {y|y≠0} . x

4.y=ax(a>0且a≠1)的值域是 {y|y>0}. 5.y=logax(a>0且a≠1)的值域是 R . 6.y=sin x,y=cos x的值域是 [-1,1] . 7.y=tan x的值域是 R.

[小题能否全取] 1.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为( )

A.{-1,0,3}
C.{y|-1≤y≤3}

B.{0,1,2,3}
D.{y|0≤y≤3}

答案:A

1 2.函数 y= 2 的值域为 x +2

(

)

A.R
? 1? ? ? ?yy≤ ? C.? 2? ? ?
2

? 1? ? ? ?yy≥ ? B.? 2? ? ? ? 1? ? ? ?y0<y≤ ? D.? 2? ? ?

1 1 1 解析:∵x +2≥2,∴0< 2 ≤ .∴0<y≤ . 2 x +2 2

答案:D

3.(2011· 江西高考)若 f(x)= 域为
? 1 ? A.?-2,0? ? ? ? 1 ? C.?-2,+∞? ? ?
2

1 ,则 f(x)的定义 log 1 ?2x+1?
2

(
? 1 ? B.?-2,0? ? ?

)

D.(0,+∞)

解析:根据题意得 log 1 (2x+1)>0,即 0<2x+1<1,解 得
? 1 ? x∈?-2,0?. ? ?

答案:A

4.下表表示y是x的函数,则函数的值域是

(

)

x
y

0<x<5
2

5≤x<10
3

10≤x<15
4

15≤x≤20
5

A.[2,5]
C.(0,20]

B.N
D.{2,3,4,5}

解析:函数值只有四个数2、3、4、5,故值域为 {2,3,4,5}. 答案:D

1 5.(2012· 山东高考)函数f(x)= + ln?x+1? 为

4-x2的定义域 ( )

A.[-2,0)∪(0,2] C.[-2,2]

B.(-1,0)∪(0,2]

D.(-1,2] ?x+1>0, ?x>-1, ? ? 解析: x 满足?x+1≠1, 即?x≠0, ?4-x2≥0, ?-2≤x≤2. ? ?
解得-1<x<0 或 0<x≤2.

答案:B

函数的最值与值域的关系 函数的最值与函数的值域是关联的,求出了函数的 值域也就能确定函数的最值情况,但只确定了函数的最

大(小)值,未必能求出函数的值域.
[注意] 求函数的值域,不但要重视对应关系的作用,

而且还要特别注意函数定义域.

[例 1] 义域;

lg?x2-2x? (1)(2012· 大连模拟)求函数 f(x)= 2 的定 9-x

(2)已知函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(x)的定义域.

[自主解答]
?x2-2x>0, ? ? ?9-x2>0, ?

(1) 要 使 该 函 数 有 意 义 , 需 要

?x<0或x>2, ? 则有? ?-3<x<3, ?

解得-3<x<0 或 2<x<3, 所以所求函数的定义域为(-3,0)∪(2,3).

(2)∵f(2x)的定义域为[-1,1], 1 即-1≤x≤1,∴ ≤2x≤2, 2 故
?1 ? f(x)的定义域为?2,2?. ? ?

若本例(2)条件变为:函数f(x)的定义域是[-1,1],

求f(log2x)的定义域.
解:∵函数 f(x)的定义域是[-1,1], 1 ∴-1≤log2x≤1,∴ ≤x≤2. 2 故
?1 ? f(log2x)的定义域为?2,2?. ? ?

简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不 等式(组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成 的不等式(组)求解.

(3)对抽象函数:
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x)) 的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定
义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.

1.(1)(2013· 沈阳质检)若函数 y=f(x)的定义域为[-3,5],
则函数 g(x)=f(x+1)+f(x-2)的定义域是 ( )

A.[-2,3] C.[-1,4]

B.[-1,3] D.[-3,5]

2x-x2 (2)函数 y= 的定义域是________. ln?2x-1?

?2x-x2≥0, ? 解析:(1)由?ln?2x-1?≠0, ?2x-1>0, ?

?0≤x≤2, ? ?x≠1, 得? ? 1 ?x>2. ?

?1 ? 所以函数的定义域为?2,1?∪(1,2]. ? ?

?-3≤x+1≤5, ? (2)由题意可得? ?-3≤x-2≤5, ?

解不等式组可得-1≤x≤4. 所以函数 g(x)的定义域为[-1,4].
答案:(1)C
?1 ? (2)?2,1?∪(1,2] ? ?

[例2] 求下列函数的值域. (1)y=x2+2x(x∈[0,3]);
1-x2 (2)y= ; 1+x2

4 (3)y=x+x(x<0);

(4)f(x)=x- 1-2x.

[自主解答]

(1)y=x2+2x=(x+1)2-1,

∵y=(x+1)2-1 在[0,3]上为增函数, ∴0≤y≤15, 即函数 y=x2+2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]. 1-x2 2 2 (2)y= 2= 2-1,∵1+x ≥1, 1+x 1+x 2 ∴0< 2≤2. 1+x 2 ∴-1< -1≤1.即 y∈(-1,1]. 1+x2 ∴函数的值域为(-1,1].

? 4? 4 (3)∵x<0,∴x+x=-?-x-x?≤-4, ? ?

当且仅当 x=-2 时等号成立. ∴y∈(-∞,-4]. ∴函数的值域为(-∞,-4]. 1-t2 (4)法一:(换元法)令 1-2x=t,则 t≥0 且 x= , 2 1-t2 1 于是 y= -t=- (t+1)2+1, 2 2
? 1? 1 由于 t≥0,所以 y≤ ,故函数的值域是?-∞,2?. 2 ? ?

法二:(单调性法)容易判断 f(x)为增函数,而其定义域应
?1? 1 1 满足 1-2x≥0,即 x≤ ,所以 y≤f?2?= , 2 ? ? 2 ? 1? 即函数的值域是?-∞,2?. ? ?

求函数值域常用的方法
(1)配方法,多适用于二次型或可转化为二次型的函 数.(如本例(1)) (2)换元法.(如本例(4)) (3)基本不等式法.(如本例(3)) (4)单调性法.(如本例(1)) (5)分离常数法.(如本例(2))

[注意] 求值域时一定要注意到定义域的使用,同时
求值域的方法多种多样,要适当选择.

x-3 2.(1)函数 y= 的值域为________. x+1 (2)(2012· 海口模拟)在实数的原有运算中,我们定义

新运算“⊕”如下:当a≥b时,a⊕b=a;当a<b时, a⊕b=b2.设函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2], 则函数f(x)的值域为________. x-3 x+1-4 4 解析:(1)y= = =1- , x+1 x+1 x+1
4 4 因为 ≠0,所以 1- ≠1, x+1 x+1 即函数的值域是{y|y∈R,y≠1}.

(2)由题意知

?x-2,x∈[-2,1], ? f(x)=? 3 ?x -2,x∈?1,2], ?

当 x∈[-2,1]时,f(x)∈[-4,-1]; 当 x∈(1,2]时,f(x)∈(-1,6], 即当 x∈[-2,2]时,f(x)∈[-4,6].

答案:(1){y|y∈R,y≠1} (2)[-4,6]

[例 3]

(2012· 合肥模拟)若函数 f(x)=

2

x 2 ?2 ax ?a

?1

的定义域为 R,则 a 的取值范围为________.

[自主解答]

函数f(x)的定义域为R,所以2x2+2ax
2

-a-1≥0对x∈R恒成立,即 2 x
a≥0恒成立,

+2ax-a

? 1 ,x2+2ax-

因此有Δ=(2a)2+4a≤0,解得-1≤a≤0. [答案] [-1,0]

求解定义域为R或值域为R的函数问题时,都是依据

题意,对问题进行转化,转化为不等式恒成立问题进行
解决,而解决不等式恒成立问题,一是利用判别式法,

二是利用分离参数法,有时还可利用数形结合法.

4 3.(2013· 烟台模拟)已知函数 f(x)= -1 的定义域是 |x|+2 [a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],则满足条件的整数数 对(a,b)共有________个. 4 4 解 析 : 由 0≤ - 1≤1 , 即 1≤ ≤2 得 |x|+2 |x|+2 0≤|x|≤2,满足条件整数数对有(-2,0),(-2,1),(- 2,2),(0,2),(-1,2)共 5 个.

答案:5

函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定,
但因函数千变万化,形式各异,值域的求法也各式各样, 因此求函数的值域就存在一定的困难,解题时,若方法适 当,能起到事半功倍的作用.求函数值域的常用方法有配 方法、换元法、分离常数法、基本不等式法、单调性法

(以上例2都已讲解)、判别式法、数形结合法等.

1.数形结合法 利用函数所表示的几何意义,借助于图象的直观 性来求函数的值域,是一种常见的方法,如何将给定

函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键.
[典例 1] 对 a, b∈R, 记
?a,a≥b, ? max|a, ? b|= ?b,a<b. ?

函 数 f(x) = max||x + 1| , |x - 2||(x ∈ R) 的 值 域 是 ________.

[解析]

1 ? ?|x+1|,x≥2, f(x)=? ?|x-2|,x<1, 2 ?

?3 ? 由图象知函数的值域为?2,+∞?. ? ?

[答案]

?3 ? ? ,+∞? ?2 ?

[题后悟道]

利用函数所表示的几何意义求值域(最

值),通常转化为以下两种类型: y (1)直线的斜率: 可看作点(x, y)与(0,0)连线的斜率; x
y-b 可看作点(x,y)与点(a,b)连线的斜率. x-a
(2)两点间的距离: ?x-x1?2+?y-y1?2可看作点(x,

y)与点(x1,y1)之间的距离.

?针对训练
1.函数 y= ?x+3?2+16+ ?x-5?2+4的值域为______.

解析:函数 y=f(x)的几何意义为:平 面内一点 P(x,0)到两点 A(-3,4)和 B (5,2)距离之和就是 y 的值.由平面几 何知识,找出 B 关于 x 轴的对称点 B′ (5,-2).连接 AB′交 x 轴于一点 P 即为所求的点, 最小值 y=|AB′|= 82+62=10. 即函数的值域为[10,+∞).

答案:[10,+∞)

2.判别式法 a1x2+b1x+c1 对于形如 y= 2 (a ,a 不同时为零)的函数 a2x +b2x+c2 1 2 求值域,通常把其转化成关于 x 的一元二次方程,由判别 式 Δ≥0,求得 y 的取值范围,即为原函数的值域.

x2-x [典例 2] 函数 y= 2 的值域为________. x -x+1
[解析] 法一:(配方法) 1 ∵y=1- 2 , x -x+1 又x
2

? 1 ?2 3 3 -x+1=?x-2? + ≥ , 4 4 ? ?

1 4 1 ∴0< 2 ≤ ,∴- ≤y<1. 3 x -x+1 3
? 1 ? ∴函数的值域为?-3,1?. ? ?

法二:(判别式法) x2-x 由 y= 2 ,x∈R, x -x+1 得(y-1)x2+(1-y)x+y=0. ∵y=1 时,x∈?,∴y≠1. 又∵x∈R,∴Δ=(1-y)2-4y(y-1)≥0, 1 ∴- ≤y<1. 3
? 1 ? ∴函数的值域为?-3,1?. ? ?

[答案]

? 1 ? ?- ,1? ? 3 ?

[题后悟道]

本题解法二利用了判别式法,利用

判别式法首先把函数转化为一个系数含有y的二次方

程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,则在a(y)≠0时,若x∈R,
则Δ≥0,从而确定函数的最值;再检验a(y)=0时对应 的x的值是否在函数定义域内,以决定a(y)=0时y的值 的取舍.

?针对训练
mx2+4 3x+n 2.已知函数 y= 的最大值为 7,最小值为- 2 x +1 1,则 m+n 的值为 ( )

A.-1 C.6

B.4 D.7

解析:函数式可变形为(y-m)x2-4 3x+(y-n)=0,x ∈R, 由已知得 y-m≠0, 所以 Δ=(-4 3)2-4(y-m)· (y -n)≥0,即 y2-(m+n)y+(mn-12)≤0,① 由题意,知不等式①的解集为[-1,7],则-1、7 是方程 y2-(m+n)y+(mn-12)=0 的两根, 所以 m+n=6.

答案:C

求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰 当的方法,准确记忆常见函数的值域,熟练掌握各种 类型函数值域的求法,除前面介绍的几种方法外,还 有单调性法、导数法(以后还要讲解).

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.已知函数 f(x)=2 x+ 4-x,则函数 f(x)的值域为 (
A.[2,4] C.[4,2 5 ] B.[0,2 5 ] D.[2,2 5 ]
解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(五)”

)

解析:∵x∈[0,4],∴可令 x=4cos

2

? π? θ,θ∈?0,2 ?, ? ?

则 y=2· 2cos θ+2sin θ=2 5sin(θ+φ),tan φ=2. π π 又 0≤θ≤ ,φ≤θ+φ≤ +φ, 2 2 1 故 cos φ≤sin(θ+φ)≤1,而 cos φ= , 5 ∴2≤y≤2 5.

答案: D

ln?x+1? 2.函数 y= 的定义域为 2 -x -3x+4
A.[-4,-1) C.(-1,1) B.(-4,1) D.(-1,1]

(

)

?-x2-3x+4>0, ? 解析: ? 由 ?x+1>0, ?

得-1<x<1, 因此该函数的定

义域是(-1,1).

答案:C

3. 若函数 f(x)=

2 ?a -1?x +?a-1?x+ 的定义域为 R, a+1
2 2

求实数 a 的取值范围.
解:由函数的定义域为 R,可知对 x∈R,f(x)恒有意义, 2 即对 x∈R,(a -1)x +(a-1)x+ ≥0 恒成立. a+1
2 2

①当a2-1=0,即a=1(a=-1舍去)时,有1≥0,对
x∈R恒成立,故a=1符合题意;

②当 a2-1≠0,即 a≠± 时,则有 1 ?a2-1>0, ? ? 2 2 2 ?Δ=?a-1? -4?a -1?×a+1≤0, ?

解得 1<a≤9.

综上,可得实数 a 的取值范围是[1,9].


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