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3 导数的应用


微分中值定理与导数及偏导数的应用
一、基本题 1、下列函数中,在 ??1,1? 上满足罗尔定理条件的是 (a) y ? ex (b) y ? ln x (c) y ? 1 ? x2 (d) y ?
1 1 ? x2

2、下列函数中,在 ?1, e? 上满足拉格朗日定理条件的是 (a) y ? ln ? ln x ? (b) y ? ln x (c) y ?
1 ln x

(d) y ? ln ? 2 ? x ?

? ? 5? ? 3、函数 y ? ln sin x 在 ? , ? 上满足罗尔定理的点 ? ? ?6 6 ?

4、函数 y ? x2 ? 2x 在 ?0,1? 上满足拉格朗日定理的点 ? ? 5、函数 y ? e? x 在定义域内是 (a) 单调增加且凹 (b)单调增加且凸 (c) 单调增少且凹(d)单调增少且凸 ,c ?

6、已知函数 y ? x2 ? 2bx ? c 在 x ? ?1 处有极小值 2,则 b ? 7、若点 ?1,3? 是曲线 y ? ax3 ? bx2 的拐点,则 a ?
1 5 8、函数 f ? x ? ? x3 ? x 2 ? 4 x 在 ? ?1, 2? 上的最大值为 3 2

,b ? ;最小值为 ) ;

9、设 lim
x?a

f ? x? ? f ?a?

? x ? a?

2

? ?2 ,则在 x ? a 处 f ? x ? (

? a ? 可导且 f ? ? a? ? ?2
二、计算题

? b ? 不可导

? c ? 取得极小值

? d ? 取得极大值

1 1、求函数 y ? x3 ? 2 x 2 ? 3x ? 1 的单调区间、极值、凹凸区间、拐点。 3 1 2、求函数 y ? x ? 3 x ? 1 的单调区间、极值、凹凸区间、拐点。 3

3、求函数 f ? x, y ? ? x 3 ? y 3 ? 3 ? x 2 ? y 2 ? 的极值。 4、利用单调性证明不等式:1) x ? 1 时, e ?
1 x

e x
1? x 1? x

2) 0 ? x ? 1 时, e?2 x ?

三、应用题: 1、要做一个容积为 72m3 的带盖的长方形盒子,其底边成 1:2,问此盒子的边长各位多少 时,所用材料最省? 2、已知半径为 R 的球,问内接直圆柱的底半径与高各为多少时,才能使直圆柱的体积最 大? 3、求表面积为 a 2 而体积最大的长方体的体积。 4、将正数 a 分成三个正数 x, y, z ,使得 x 2 y 2 z 2 最大,求 x, y, z

导数在经济中的应用
1、某产品生产 x 个单位的固定成本 c0 ? 1100 ,可变成本为 c ? x ? ? 1)生产 900 个单位时的总成本与平均成本 2)生产 900 个单位时的边际成本,并说明其经济意义。 2、某商品的价格 P 与需求量 Q 的关系为: P ? 10 ? 1)需求量 20 时的总收益、平均利润、边际收益。 2) Q 为多少时总收益最大。 3、某服装公司确立的服装总价 P 与卖出量 x 的关系为: P ? 150 ? 0.5 x ,生产 x 套服装的总成本为 c ? x ? ? 4000 ? 0.25x2 1)总收入 R ? x ? 。 2)总利润 L ? x ? 。
Q ,求 5 1 2 x ,求 1200

3)生产多少套服装时利润最大?并求最大利润。 4)获得最大利润时的单价应为多少? 4、设某商品的需求函数为 Q ? 75 ? P2 求 1) P ? 4 时的边际需求。并说明其经济意义。 2) P ? 4 时的需求弹性。并说明其经济意义。 3)在 P ? 4 时,若价格上涨 1 %,总收益增加还是减少?它将变化百分之几?

多元函数极值在经济中的应用
1、设商品 A 需求量为 Q1 ,商品 B 的需求量为 Q2 ,其需求函数分别为:

Q1 ? 16 ? 2 p1 ? 4 p2 , Q2 ? 20 ? 4 p1 ?10 p2

( p1 、 p2 为商品 A 、 B 的价格) ,总成本函

数为 C ? 2Q1 ? 2Q2 ,试问当 p1 、 p2 取何值时利润最大?

2、设销售收入 R 与花费在两种广告宣传上的费用 x 、 y 之间的关系为:
R? 200 ? x 100 y ,利润相当于五分之一的销售收入、并要扣除广告费用,已知广告 ? x ? 5 10 ? y

费用总预算 25 万元,试问如何分配两种广告费用才能使利润最大?


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