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高一数学第一章集合的全集与补集1.3.2


3.2

全集与补集

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学 习 目 标 思 维 脉 络 1.了解全集的含义,理解 在给定 集合中一个子集的补集的含义, 会求给定子集的补集. 2.掌握集合交、并、补的综合 运算,并能正确地应用它们解决 简单的问题. 3.能使用 Venn 图和数轴表达集 合及其运算,体会 直观图示对理 解抽象概念的作用.

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一、全集 1.定义:在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定集合的 子集,这个给定的集合叫作全集. 2.符号表示:全集通常记作U . 3.图示:用Venn图表示全集U,如图所示.

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二、补集

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做一做1 设全集U={1,2,3,4,5,6,7},M={1,3,5,7},则?UM等于 ( ) A.{1,2,7} B.{4,6} C.{2,4,6} D.{2,4} 答案:C 做一做2 如图所示的阴影部分表示的集合是( )

A.A∩(?UB) B.B∩(?UA) C.?U(A∩B) D.?U(A∪B) 解析:阴影部分表示A以外的部分与B的交集,故阴影部分表示的 集合为B∩(?UA). 答案:B

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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)对任意集合A,B,U为全集,均有?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB). ( √) (2)对任意集合A,B,U为全集,均有?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB). ( ) √ (3)A∩(?RA)=R. ( × ) (4)若A=?,则?R?=?. ( ) ×

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探究一补集的简单运算 【例1】 求解下列各题: (1)设全集U=R,集合A={x|0≤x<3},则?UA= ; (2)设全集U={三角形},集合A={直角三角形},则?UA= . 分析:(1)中集合为不等式的解集,应借助数轴分析求解;(2)可从元 素的特征性质入手求解.

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解析:(1)由于全集U=R,画出数轴(如图所示),由补集的定义可得 ?UA={x|x<0,或x≥3}.

(2)∵U={三角形},A={直角三角形},∴?UA={锐角三角形或钝角三 角形}. 答案:(1){x|x<0,或x≥3} (2){锐角三角形或钝角三角形}

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变式训练1 已知全集 U,A={x|2<x≤3},?UA={x|x>3},B={x|4≤x<6},求?UB. 解:因为A={x|2<x≤3},?UA={x|x>3},所以U=A∪(?UA)={x|x>2}, 所以?UB={x|2<x<4,或x≥6}.

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探究二交集、并集、补集的综合运算 【例2】 导学号91000022已知全集U={x|x≤4},集合A={x|2<x<3},B={x|-3<x≤3},求?UA,A∩B,?U(A∩B),(?UA)∩B. 分析:可借助数轴分析求解. 解:把全集U和集合A,B在数轴上表示(如图所示),

由图可知?UA={x|x≤-2,或3≤x≤4}, A∩B={x|-2<x<3}, ?U(A∩B)={x|x≤-2,或3≤x≤4}, (?UA)∩B={x|-3<x≤-2,或x=3}.

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变式训练2 (陕西高考)集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则 A∩(?RB)=( ) A.{x|x>1} B.{x|x≥1} C.{x|1<x≤2} D.{x|1≤x≤2} 解析:?RB={x|x≥1},∴A∩(?RB)={x|1≤x≤2}. 答案:D

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探究三与补集有关的含参问题 【例3】 导学号91000023已知集合A={x|2a2<x<a},B={x|1<x<2},且A??RB,求实数a的取值范围. 分析:不要忘记讨论集合A是空集的情况. 解:易知?RB={x|x≤1,或x≥2}≠?. ∵A??RB, ∴分A=?和A≠?两种情况讨论. 若A=?,此时有2a-2≥a, ∴a≥2. ∴a≤1. 综上可知,实数a的取值范围为{a|a≤1,或a≥2}.

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变式训练3 (1)设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|a+1|,2},?UA={5}, 则a等于 ; (2)已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(?RB)=R,则实数a的 取值范围是 . 解析:(1)由?UA={5},知a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2. 当a=-4时,U={2,3,5},A={3,2},满足?UA={5}; 当a=2时,U={2,3,5},A={3,2},满足?UA={5}.所以a的值为-4或2. (2)?RB={x|x≤1或x≥2},由于A∪(?RB)=R,如图所示,

所以a≥2. 答案:(1)-4或2 (2)a≥2

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补集思想的综合应用 典例已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}. (1)若(?RA)∪B≠R,求a的取值范围; (2)若A∩B≠A,求a的取值范围. 思路点拨:本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用, 求解时可先将不相等问题转化为相等问题,求出a的集合后取其补 集.

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解:(1)∵A={x|0≤x≤2},∴?RA={x|x<0,或x>2}. 设(?RA)∪B=R,如图可知:

∴a≤0且a+3≥2,即a≤0且a≥-1, ≤ 0, ≤ 0, 则 得 即-1≤a≤0. + 3 ≥ 2, ≥ -1, ∴满足(?RA)∪B≠R的实数a的取值范围是{a<-1,或a>0}. ∴当A∩B≠A时,a的取值范围为集合{a|-1≤a≤0}的补集,即{a|a<1,或a>0}.

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1.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B为 ( ) A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4} 解析:易知?UA={0,4},所以(?UA)∪B={0,2,4},故选C. 答案:C

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2.已知全集U={0,1,2},且?UA={2},则集合A的真子集共有( A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 解析:由题意得,A={0,1},故其真子集分别为?,{1},{0},共3个. 答案:A

)

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3.已知全集U={2,0,3-a2},P={2,a2-a-2},且?UP={-1},则实数a的值为 ( ) A.-1 B.2 C.-1或2 D.-2 解析:∵?UP={-1}, ∴-1∈U,且-1?P. 3-2 = -1, ∴ 2 解得 a=2. --2 = 0, 经检验,a=2符合题意,故实数a的值为2. 答案:B

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4.已知全集U={三角形},集合A={锐角三角形},B={钝角三角形},则 (?UA)∩(?UB)= . 解析:易知?UA={钝角三角形或直角三角形}, ?UB={锐角三角形或直角三角形}, 故(?UA)∩(?UB)={直角三角形}. 答案:{直角三角形}

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5.设全集U=R,A={x|x>1},B={x|x+a<0},且B?(?UA),求实数a的取值 范围. 解:∵U=R,A={x|x>1}, ∴?UA={x|x≤1}. ∵x+a<0,x<-a, ∴B={x|x<-a}. 又∵B??UA,∴-a≤1,∴a≥-1. 即实数a的取值范围是a≥-1.


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