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北京市六十六中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


北京市六十六中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 1. (4 分)若 p,q 是两个简单命题,且“p 或 q”是假命题,则必有() A.p 真 q 真 B. p 真 q 假 C. p 假 q 假 D.p 假 q 真 2. (4 分)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2,则抛物线的方

程是() 2 2 2 2 A.y =﹣8x B.y =﹣4x C.y =8x D.y =4x 3. (4 分)命题“若 a>b,则 a+c>b+c”的逆否命题为() A.若 a<b,则 a+c<b+c B. 若 a≤b,则 a+c≤b+c C. 若 a+c<b+c,则 a<b D.若 a+c≤b+c,则 a≤b

4. (4 分)以



=1 的顶点为焦点,长半轴长为 4 的椭圆方程为()

A.

+

=1

B.

+

=1

C.

+

=1

D.

+

=1

5. (4 分)双曲线 mx +y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=() A. B . ﹣4 C. 4 D.

2

2

6. (4 分)双曲线 A.6 B. 5

的一个焦点到一条渐近线的距离为() C. 4
2

D.3

7. (4 分)已知△ ABC 的顶点 B,C 在椭圆

+y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆

的另外一个焦点在 BC 边上,则△ ABC 的周长是() A. B. 6 C. 8. (4 分) A.x>y 的一个充分不必要条件是() B.x>y>0 C.x<y

D.12

D.y<x<0

9. (4 分)已知 P 是双曲线

右支上的一点,双曲线的一条渐近线方程为 y=3x,设

F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点.若|PF2|=3,则|PF1|=() A.5 B. 4 C. 3
2

D.2

10. (4 分)已知点 P 在抛物线 y =4x 上,那么点 P 到点 Q(2,﹣1)的距离与点 P 到抛物线 焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为()

A.

B.

C.(1,2)

D.(1,﹣2)

二、填空题(本题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. (4 分) 已知圆 C 的圆心是直线 x﹣y+1=0 与 x 轴的交点, 且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切. 则 圆 C 的方程为.

12. (4 分)已知方程

表示椭圆,则 k 的取值范围是.

13. (4 分)“若 x=y,则 x =y ”的逆命题是命题(填“真”或“假”) .

2

2

14. (4 分)若双曲线

的离心率 e∈(1,2) ,则 k 的取值范围是.

15. (4 分)“?x∈N,x ≤0”的否定是(写出命题) .

2

三、计算题(本题共 3 小题,共 40 分) 2 2 16. (12 分)已知圆 C:x +y ﹣4x﹣6y+12=0,求过点 A(3,5)的圆的切线方程.

17. (14 分)椭圆 C: . (1)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)的离心率为

,短轴一个端点到右焦点的距离为

(2)设直线 y=x+1 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求 A,B 两点间的距离.

18. (14 分)如图,椭圆

=1(a>b>0)与过点 A(2,0)B(0,1)的直线有且只有

一个公共点 T,且椭圆的离心率 e= (Ⅰ)求椭圆方程;



(Ⅱ)设 F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,求证:



北京市六十六中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 1. (4 分)若 p,q 是两个简单命题,且“p 或 q”是假命题,则必有() A.p 真 q 真 B. p 真 q 假 C. p 假 q 假 D.p 假 q 真 考点: 复合命题的真假. 专题: 常规题型. 分析: “p 或 q”是假命题说明 p,q 两个命题都为假,分析选项可得答案. 解答: 解:根据复合命题的真假判断表: p q pvq 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 “p 或 q”是假命题, 说明:p 假 q 假 故选 C. 点评: 本题考查了复合命题的真假,考试中属于送分题. 2. (4 分)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2,则抛物线的方程是()

A.y =﹣8x

2

B.y =﹣4x

2

C.y =8x

2

D.y =4x

2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 根据抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2,可设抛物线的方程为 y =2px(p>0) , 从而可求抛物线的方程. 解答: 解:∵抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2 ∴可设抛物线的方程为 y =2px(p>0) ∵ =2 ∴2p=8 ∴抛物线的方程为 y =8x 故选 C. 点评: 本题重点考查抛物线的方程,解题的关键是根据抛物线的性质,设出抛物线的方程. 3. (4 分)命题“若 a>b,则 a+c>b+c”的逆否命题为() A.若 a<b,则 a+c<b+c B. 若 a≤b,则 a+c≤b+c C. 若 a+c<b+c,则 a<b D.若 a+c≤b+c,则 a≤b 考点: 四种命题间的逆否关系. 专题: 阅读型. 分析: 把所给的命题看做一个原命题,写出这个命题的逆否命题是题设和结论否定并且要 交换位置,得到结果. 解答: 解:把“若 a>b,则 a+c>b+c”看做原命题, 它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置, ∴它的逆否命题是:“若 a+c≤b+c,则 a≤b”, 故选 D. 点评: 本题考查求一个命题的逆否命题,实际上把一个命题看做原命题是根据需要来确定 的,所有的命题都可以看做原命题,写出它的其他三个命题.属基础题.
2 2

4. (4 分)以



=1 的顶点为焦点,长半轴长为 4 的椭圆方程为()

A.

+

=1

B.

+

=1

C.

+

=1

D.

+

=1

考点: 圆锥曲线的共同特征;椭圆的标准方程;双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据双曲线的顶点写出椭圆的焦点,看出椭圆的长轴在 y 轴上,根据条件得到的 a 和 c 的值写出椭圆的方程.

解答: 解:∵双曲线

的焦点为(0,4) , (0,﹣4)

顶点为(0,2 ) (0,﹣2 ) ∴以双曲线的顶点为焦点,长半轴长为 4 的椭圆 a=4,c=2 ∴b=2 ∴椭圆的方程是 ,

故选 D. 点评: 本题考查圆锥曲线的共同特征,本题解题的关键是写出要用的关键点的坐标,即知 道了椭圆的位置和大小,这是一个基础题. 5. (4 分)双曲线 mx +y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=() A. B . ﹣4 C. 4 D.
2 2

考点: 专题: 分析: 的值. 解答:

双曲线的简单性质. 计算题. 2 2 由双曲线 mx +y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,可求出该双曲线的方程,从而求出 m 解:双曲线 mx +y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍, ,
2 2

∴m<0,且双曲线方程为 ∴m= ,

故选 A. 点评: 本题考查双曲线性质的灵活运用,比较简单,需要注意的是 m<0.

6. (4 分)双曲线 A.6 B. 5

的一个焦点到一条渐近线的距离为() C. 4 D.3

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线方程即可求出右焦点坐标,渐近线方程,而根据点到直线的距离公式即 可求得焦点到渐近线的距离. 解答: 解:双曲线 的右焦点为(5,0) ,渐近线方程为 y= ;

∴(5,0)到 y=

的距离为:



故选 C. 点评: 考查双曲线的标准方程,双曲线的焦点,以及渐近线方程的概念及求法,点到直线 的距离公式.
2

7. (4 分)已知△ ABC 的顶点 B,C 在椭圆

+y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆

的另外一个焦点在 BC 边上,则△ ABC 的周长是() A. B. 6 C.

D.12

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 由椭圆的定义: 椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a, 可得△ ABC 的周长. 解答: 解:由椭圆的定义:椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a, 可得△ ABC 的周长为 4a= , 故选 C 点评: 本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质,难度中等

8. (4 分) A.x>y

的一个充分不必要条件是() B.x>y>0 C.x<y D.y<x<0

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 由 x>y>0? x>y>0. 解答: 解:∵x>y>0? ?x>y>0 或 x<y<0. 故选 B. 点评: 本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断,解题时要注意不等式的合理运用. , , ?x>y>0 或 x<y<0,知 的一个充分不必要条件是

9. (4 分)已知 P 是双曲线

右支上的一点,双曲线的一条渐近线方程为 y=3x,设

F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点.若|PF2|=3,则|PF1|=() A.5 B. 4 C. 3 考点: 双曲线的简单性质.

D.2

专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由双曲线的一条渐近线方程为 3x﹣y=0 可得: a=1, 又双曲线的定义知|PF1|﹣|PF2|=2a, 计算可得答案. 解答: 解:∵双曲线的一条渐近线方程为 3x﹣y=0, ∴a=1, 由双曲线的定义知|PF1|﹣|PF2|=2a=2, ∴|PF1|﹣3=2, ∴|PF1|=5. 故选 A. 点评: 本题考查双曲线的定义和方程、性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 10. (4 分)已知点 P 在抛物线 y =4x 上,那么点 P 到点 Q(2,﹣1)的距离与点 P 到抛物线 焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为()
2

A.

B.

C.(1,2)

D.(1,﹣2)

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 先判断点 Q 与抛物线的位置,即点 Q 在抛物线内,再由点 P 到抛物线焦点距离等于 点 P 到抛物线准线距离,根据图象知最小值在 S,P,Q 三点共线时取得,可得到答案. 解答: 解:点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离,如图 PF+PQ=PS+PQ,故最 小值在 S,P,Q 三点共线时取得,此时 P,Q 的纵坐标都是﹣1, 故选 A.

点评: 本题主要考查抛物线的定义,即抛物线是到定点的距离等于定直线的距离的点的集 合. 二、填空题(本题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. (4 分) 已知圆 C 的圆心是直线 x﹣y+1=0 与 x 轴的交点, 且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切. 则 2 2 圆 C 的方程为(x+1) +y =2.

考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解,欲求圆的 方程则先求出圆心和半径,根据圆与直线相切建立等量关系,解之即可. 解答: 解:令 y=0 得 x=﹣1,所以直线 x﹣y+1=0,与 x 轴的交点为(﹣1,0) 因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径, 即
2 2

,所以圆 C 的方程为(x+1) +y =2;

2

2

故答案为(x+1) +y =2 点评: 本题主要考查直线与圆的位置关系,以及圆的标准方程等基础知识,属于容易题.

12. (4 分)已知方程

表示椭圆,则 k 的取值范围是(3,5) .

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆的性质求解. 解答: 解:∵ 表示椭圆,





解得 3<k<5, ∴k 的取值范围是(3,5) . 故答案为: (3,5) . 点评: 本题考查椭圆的性质的应用,是基础题,解题时要认真审题. 13. (4 分)“若 x=y,则 x =y ”的逆命题是假命题(填“真”或“假”) . 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 先写出逆命题,然后举反例说明为假. 解答: 解:“若 x=y,则 x =y ”的逆命题是“若 x =y ,则 x=y”,举反例:x=﹣2,y=2 时不成 立,则为假命题, 故答案为:假. 点评: 本题考查四种命题,注意其概念,属于概念题,较基础.
2 2 2 2 2 2

14. (4 分)若双曲线

的离心率 e∈(1,2) ,则 k 的取值范围是﹣12<k<0.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由双曲线 范围. 解答: 解:∵双曲线 的离心率 e∈(1,2) , 的离心率 e∈(1,2) ,知 1< ,由此能求出 k 的取值

∴1<



解得﹣12<k<0. 故答案为:﹣12<k<0. 点评: 本题考查双曲线的性质和应用,解题时要注意公式的合理运用. 15. (4 分)“?x∈N,x ≤0”的否定是?x∈N,x >0(写出命题) . 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题,所以:“?x∈N,x ≤0”的否定是:?x∈N,x > 0. 故答案为:?x∈N,x >0. 点评: 本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定故选,基本知识的考查. 三、计算题(本题共 3 小题,共 40 分) 2 2 16. (12 分)已知圆 C:x +y ﹣4x﹣6y+12=0,求过点 A(3,5)的圆的切线方程. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆的方程求出圆心和半径,易得点 A 在圆外,当切线的斜率不存在时,切线方程 为 x=3.当切线的斜率存在时,设切线的斜率为 k,写出切线方程,利用圆心到直线的距离等 于半径,解出 k,可得切线方程. 2 2 2 2 解答: 解:圆 C:x +y ﹣4x﹣6y+12=0,即 (x﹣2) +(y﹣3) =1,表示以(2,3)为圆 心,半径等于 1 的圆. 由于点 A(3,5)到圆心的距离等于 = ,大于半径 1,故点 A 在
2 2 2 2 2

圆的外部. 当切线的斜率不存在时,切线方程为 x=3 符合题意. 当切线的斜率存在时,设切线斜率为 k,则切线方程为 y﹣5=k(x﹣3) ,即 kx﹣y﹣3k+5=0, 所以,圆心到切线的距离等于半径,即 4y+11=0. =1,解得 k= ,此时,切线为 3x﹣

综上可得,圆的切线方程为 x=3,或 3x﹣4y+11=0. 点评: 本题考查求圆的切线方程得方法,注意切线的斜率不存在的情况,属于中档题.

17. (14 分)椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,短轴一个端点到右焦点的距离为

. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 y=x+1 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求 A,B 两点间的距离. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据题意先求出 a,由离心率求出 c、b,代入椭圆方程即可; (2)联立直线方程和椭圆方程消去 y 求出交点 A、B 的横坐标,代入直线方程求出对应的纵 坐标,代入两点间的距离公式求出|AB|. 解答: 解: (1)因为短轴一个端点到右焦点的距离为 ,则 , 由 得 ,则 b =a ﹣c =1, ;
2 2 2

所以椭圆的方程为

(2)由

消去 y 得,2x +3x=0,

2

解得 x1=0 或 x2=

,所以 y1=1、y2= ,

, ) ,

所以两个交点为:A(0,1) 、B(





点评: 本题考查椭圆的简单几何性质、标准方程,两点间的距离公式,以及直线与椭圆相 交问题,属于中档题.

18. (14 分)如图,椭圆

=1(a>b>0)与过点 A(2,0)B(0,1)的直线有且只有

一个公共点 T,且椭圆的离心率 e= (Ⅰ)求椭圆方程;



(Ⅱ)设 F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,求证:



考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的应用. 专题: 计算题;证明题;压轴题.

分析: (Ⅰ)先写出过 A、B 的直线方程,因为由题意得

有惟一解.消去 y 得:

有惟一解, 利用其根的判别式等于 0,即可求得 a,b 的值,从而得到椭圆方程;

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

,所以



解得

x1=x2=1,接下来利用距离公式求得线段的长,从而证得 解答: 解: (Ⅰ)过 A、B 的直线方程为



因为由题意得

有惟一解.


2 2 2 2

有惟一解,

所以△ =a b (a +4b ﹣4)=0(ab≠0) , 2 2 故(a +4b ﹣4)=0 又因为 所以 a =4b 从而得 故所求的椭圆方程为
2 2

,即



, .

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 所以





解得 x1=x2=1,

因此 从而 因为 所以 ,





点评: 本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、直线方程、椭圆方程等基础知识,考 查运算求解能力、方程思想.属于中档题.


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