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LDC数学教育(2016.9开学调研)函数导数


(南京市 2017 届高三年级学情调研数学 2016.09)17. (本小题满分 14 分)如图,某城市有一块半径为 40 m 的半圆形绿化区域(以 O 为圆心,AB 为直径) ,现计划对其进行改建.在 AB 的延长线上取点 D,OD =80 m,在半圆上选定一点 C,改建后的绿化区域由扇形区域 AOC 和三角形区域 COD 组成,其面积为 Sm2.设∠AOC=xrad. (1)

写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x),并指出 x 的取值范围; (2)试问∠AOC 多大时,改建后的绿化区域面积 S 取得最大值.
C

A

O

B

D

(第 17 题)

17. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为扇形 AOC 的半径为 40 m,∠AOC=x 所以 扇形 AOC 的面积 S 扇形 AOC= rad, …………………… 2 分

x·OA
2

2

=800x,0<x<π .

在△COD 中,OD=80,OC=40,∠COD=π -x, 1 所以△COD 的面积 S△COD= ·OC·OD·sin∠COD=1600sin(π -x)=1600sinx. 2 …………………… 4 分 从而 S=S△COD+S 扇形 AOC=1600sinx+800x,0<x<π . (2)由(1)知, S(x)=1600sinx+800x,0<x<π . …………………… 6 分

S′(x)=1600cosx+800=1600(cosx+ ).
2π 由 S′(x)=0,解得 x= . 3 2π 2π 从而当 0<x< 时,S′(x)>0;当 <x<π 时, S′(x)<0 . 3 3

1 2

…………………… 8 分

2π 2π 因此 S(x)在区间(0, )上单调递增;在区间( ,π )上单调递减. …………………… 11 分 3 3 2π 所以 当 x= ,S(x)取得最大值. 3 2π 答:当∠AOC 为 时,改建后的绿化区域面积 S 最大. 3 …………………… 14 分

(苏州 2017 届高三暑假自主学习测试试卷数学 2016.9)18. (本小题满分 16 分)如图,某城市小区有一 个矩形休闲广场, AB ? 20 米,广场的一角是半径为 16 米的扇形 BCE 绿化区域,为了使小区居民能够更

好的在广场休闲放松,现决定在广场上安置两排休闲椅,其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅 MN (宽 度不计) , 点 M 在线段 AD 上, 并且与曲线 CE 相切; 另一排为单人弧形椅沿曲线 CN (宽度不计) 摆放. 已 知双人靠背直排椅的造价每米为 2 a 元, 单人弧形椅的造价每米为 a 元, 记锐角 ?NBE ? ? , 总造价为 W 元. (1)试将 W 表示为 ? 的函数 W (? ) ,并写出 cos ? 的取值范围; (2)如何选取点 M 的位置,能使总造价 W 最小.

18.解: (1)过 N 作 AB 的垂线,垂足为 F ;过 M 作 NF 的垂线,垂足为 G . 在 RT ?BNF 中, BF ? 16 cos ? ,则 MG ? 20 ? 16 cos ? 在 RT ?MNG 中, MN ? 由题意易得 CN ? 16(

?? ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 M 2 G 20 ? 16 cos ? ? A ? 16a( ? ? ), · 因此, W (? ) ? 2a ? · · · · · · · · · · · · · · · 7分 E F sin ? 2 4 cos ? ? (0, ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 5 4 ? 5cos ? (2 cos ? ? 1)(cos ? ? 2) , =8a (2) W (? ) ? ?16a ? 8a 2 sin ? sin 2 ? ? 1 ? , 令 W (? )=0 , cos ? ? ,因为 (?1 , ) ,所以 ? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 2 3 ? 4 ? , (0, ) 设锐角 ? 1 满足 cos ?1 ? , ?1 ? 当 ? ? (?1 , ) 时, W (? )<0 , W (? ) 单调递减; 3 3 5
当? ? (

?

20 ? 16 cos ? ,· · · · · · · · · · · · · · 4分 sin ?

D

C N

B

, ) 时, W , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 (? )>0 , W (? ) 单调递增.· 3 2 ? 8? ) a ,此时 MN ? 8 3 , NG ? 4 3 , NF ? 8 3 , 所以当 ? ? ,总造价 W 最小,最小值为 (16 3 ? 3 3
因此当 AM ? 4 3 米时,能使总造价最小.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 分

? ?

( 苏 州 2017 届 高 三 暑 假 自 主 学 习 测 试 试 卷 数 学 2016.9 ) 20 . ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 已 知 函 数 . f ( x) ? x ? ln x , g ( x ) ? 2x ? ax

(1)求函数 f ( x) 在区间 ?t, t ? 1? (t ? 0) 上的最小值 m(t ) ; (2)令 h( x) ? g ( x) ? f ( x), A( x 1 , h( x 1 )), B (x 2 , h (x 2 ))( x1 ? x2 ) 是函数 h( x) 图象上任意两点,且满 足
h( x1 ) ? h( x2 ) ? 1, 求实数 a 的取值范围; x1 ? x2
a ? g ( x) 成立,求实数 a 的最大值. x

(3)若 ?x ? (0,1] ,使 f ( x) ?
20.解(1) f ?( x) ? 1 ?

1 ,令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? 1 ,当 t ? 1 时, f ( x) 在 ?t, t ?1? 上单调递增, x
………………………1 分

f ( x) 的最小值为 f (t ) ? t ? ln t ;

当 0 ? t ? 1 时, f ( x) 在区间 ? t ,1? 上为减函数,在区间 ?1, t ?1? 上为增函数,
f ( x) 的最小值为 f (1) ? 1 . 综上,当 0 ? t ? 1 时, m(t ) ? 1 ;当 t ? 1 时, m(t ) ? t ? ln t .
……3 分

(2) h( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? ln x ,对于任意的 x1, x2 ? (0, ??) ,不妨取 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 , 则由
h( x1 ) ? h( x2 ) ? 1, 可得 h( x1 ) ? h( x2 ) ? x1 ? x2 , x1 ? x2
………………………5 分

变形得 h( x1 ) ? x1 ? h( x2 ) ? x2 恒成立,

令 F ( x) ? h( x) ? x ? x2 ? (a ? 2) x ? ln x ,则 F ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? ln x 在 (0, ??) 上单调递增, 故 F ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?
? 2x ?
1 ? 0 在 (0, ??) 恒成立, x
………………………7 分

1 1 2 ? ( a ? 2) 在 (0, ??) 恒成立.? 2 x ? ? 2 2 ,当且仅当 x ? 时取 " ? " , x x 2
………………………10 分

?a ? 2 2 ? 2 .
(3)? f ( x) ?
a ? g ( x) ,? a( x ? 1) ? 2 x2 ? x ln x . x

? x ? (0,1] ,? x ? 1? (1, 2] ,??x ? (0,1] 使得 a ?

2 x 2 ? x ln x 成立. x ?1
………………………12 分

令 t ( x) ?

2 x 2 ? x ln x 2 x 2 ? 3x ? ln x ? 1 ,则 t ?( x) ? , x ?1 ( x ? 1)2

( x ? 1)(4 x ? 1) 1 ? 0 可得 x ? 或 x ? ?1 (舍) x 4 1 1 当 x ? (0, ) 时 y? ? 0 ,则 y ? 2x2 ? 3x ? ln x ?1在 (0, ) 上单调递减; 4 4

令 y ? 2x2 ? 3x ? ln x ?1,则由 y? ?

1 1 当 x ? ( , ??) 时 y? ? 0 ,则 y ? 2x2 ? 3x ? ln x ?1在 ( , ??) 上单调递增. 4 4 1 ? y ? ln 4 ? ? 0 ,? t ?( x) ? 0 在 x ? (0,1] 上恒成立. 8

?t ( x) 在 (0,1] 上单调递增.? a ? t (1) ,即 a ? 1 .

………15 分 ………………………16 分

? 实数 a 的最大值为 1 .

(江阴市 2017 届高三数学暑假作业检测试卷 2016.9)19. (本题满分 16 分)已知函数 f(x)=|x2-1|+x2+kx. (1) 当k=2时,求方程f(x)=0的解; (2) 若关于 x 的方程 f(x)=0 在(0,2)上有两个实数解 x1,x2,求实数 k 的取值范围. [解析] (1) 当k=2时,f(x)=|x2-1|+x2+2x. ①x2-1≥0,即x≥1或x≤-1时,方程化为2x2+2x-1=0,解得x=

-1 ? 3 . -1 ? 3 <1, -1- 3 . 因为0< 所以x= 2 2 2
……………………2分 ……………………4分

②当x2-1<0,即-1<x<1时,方程化为1+2x=0,解得x=综上,当k=2时,方程f(x)=0的解是x=

1 . 2

-1- 3 x=- 1 . ……………………6分 或 2 2 ?2 x 2 ? kx-1,|x| ? 1, (2) 不妨设0<x1<x2<2,因为f(x)= ? 所以f(x)在(0,1]上是单调函数.故f(x)=0在(0,1]上至多有一 ?kx ? 1,|x| ? 1,
个解. 若x1,x2∈(1,2),则x1x2=所以k≤-1; 由f(x2)=0,得k= ……………………10分

1 1 <0,故不符合题意.因此,x1∈(0,1],x2∈(1,2).由f(x1)=0,得k=- , x1 2
…………………14分

1 7 ? 7 -2x2,所以- <k<-1.故实数k的取值范围是 ?k |- ? k ? -1} .……………………16分 x2 2 ? 2

(江阴市 2017 届高三数学暑假作业检测试卷 2016.9)20. (本题满分 16 分)已知函数 f(x) =-2xlnx+x2 -2ax+a2,其中 a>0.(1)设 g(x)为 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; (2)证明:存在 a∈(0,1),使得 f(x)≥0 恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞)内有唯一解. 解:(1)由已知,函数 f(x)的定义域为(0,+∞), g(x)=f '(x)=2(x-1-lnx-a)所以 g'(x)=2-

2 2( x ? 1) ? ……………………4 分 x x

当 x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当 x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增………6 分 (2)由 f '(x)=2(x-1-lnx-a)=0,解得 a=x-1-lnx 令 Φ(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx 则 Φ(1)=1>0,Φ(e)=2(2-e)<0 ………8 分

于是存在 x0∈(1,e),使得 Φ(x0)=0,令 a0=x0-1-lnx0=u(x0),其中 u(x)=x-1-lnx(x≥1)

由 u'(x)=1-

1 ≥0 知, 函数 u(x)在区间(1, +∞)上单调递增,故 0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1 即 a0∈(0, x
………12 分

1) ,当 a=a0 时,有 f '(x0)=0,f(x0)=Φ(x0)=0 再由(Ⅰ)知,f '(x)在区间(1,+∞)上单调递增

当 x∈(1,x0)时,f '(x)<0,从而 f(x)>f(x0)=0 当 x∈(x0,+∞)时,f '(x)>0,从而 f(x)>f(x0)=0 又当 x∈(0,1]时,f(x)=(x-a0)2-2xlnx>0, 故 x∈(0,+∞)时,f(x)≥0 综上所述,存在 a∈(0,1),使得 f(x)≥0 恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞)内有唯一解. ………16 分 (江苏省泰州中学 2017 高三开学摸底考试 2016.9)17.某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个

?1,1 ? x ? 20( x ? N *), ? 月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第 x 个月的利润函数 f ( x) ? ? 1 x, 21 ? x ? 60( x ? N *) ? ?10
(单位:万元) .为了获得更多地利润,企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第 x 个月的利润 率为 g ( x) ?

第x个月的利润 f (3) ,例如 g (3) ? . (1)求 g (10) ; (2)求第 x 个月的当 第x个月的资金总和 81 ? f (1) ? f (2)

月利润率; (3)求该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当月利润率.

( 0 ) 17.解: (1) 依题意得 f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f (9) ? 1 , ∴ g1
(2)当 x ? 1 时, g (1) ? 则 g ( x) ?

?

f1 ( 0 ) 8 1 ?1 ) (f 2 ( )?f ? 9 ( )… 9 0 ? f

1 ?



1 .当 1 ? x ? 20 时, f (1) ? f (2) ? … ? f ( x ?1) ? f ( x) ? 1 , 81

f ( x) 1 ? , 81 ? f (1) ? f (2) ? … ? f ( x ? 1) 80 ? x
1 . 80 ? x

而 x ? 1 也符合上式,故当 1 ? x ? 20 时, g ( x ) ? 当 21 ? x ? 60 时, g ( x) ?

f ( x) 81 ? f (1) ? f (2) ? … ? f (20) ? f (21) ? … ? f ( x ? 1)

1 x 10 ? ? 81 ? 20 ? f (21) ? … ? f ( x ? 1)

1 x 2x 10 ? , ( x ? 21)( x ? 20) x 2 ? x ? 1600 101 ? 20

? 1 ,1 ? x ? 20, ? ? 80 ? x 所以第 x 个月的当月利润率为 g ( x) ? ? 2x ? , 21 ? x ? 60. 2 ? ? x ? x ? 1600
1 1 是减函数,此时 g ( x) 的最大值为 g (1) ? . 80 ? x 81 2x 2 2 当 21 ? x ? 60 时, g ( x) ? 2 ? ? . x ? x ? 1600 x ? 1600 ? 1 79 x 2 1 2 ? ,∴当 x ? 40 时, g ( x) 有最大值为 .即该企业经销此产品期间,第 40 个月的当月利润率 ∵ 79 81 79 2 最大,其当月利润率为 . 79
(3)当 1 ? x ? 20 时, g ( x ) ?

(江苏省泰州中学 2017 高三开学摸底考试 2016.9)20.已知函数 f ( x ) ? (1)求 f ( x) 的单调区间;

ex ( e 为自然对数的底数) . ex

(2)是否存在正实数 x 使得 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,若存在求出 x ,否则说明理由; (3)若存在不等实数 x1 , x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明: f '(

x1 ? x2 )?0. 2

20.解: (1)函数 y ? f ( x) 的单调递减区间是 ?1, ?? ? ,单调递增区间为 ? ??,1? . (2)不存在正实数 x 使得 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立, 事实上,由(1)知函数 y ? f ( x) 在 (??,1) 上递增, 而当 x ? ? 0,1? ,有 y ? ? 0,1? ,在 ?1, ?? ? 上递减,有 0 ? y ? 1 , 因此,若存在正实数 x 使得 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,必有 x ? ? 0,1? . 令 F ( x) ? f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 令 F '( x) ? x(e ?
x

x ?1 ? ( x ? 1)e x , ex

1 ) ,因为 x ? (0,1) ,所以 F '( x) ? 0 ,所以 F ( x) 为 (0,1) 上的增函数,所以 ex

F ( x) ? F (0) ? 0 ,即 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,故不存在正实数 x 使得 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立.
(3)若存在不等实数 x1 , x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 和 x2 中,必有一个在 ? 0,1? ,另一个在 ?1, ?? ? , 不妨设 x1 ? ? 0,1? , x2 ? ?1, ??? .

①若 x2 ? 2 , 则

x1 ? x2 x ? x2 ? ?1, ?? ? , ) ? 0; 由 (1) 知: 函数 y ? f ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递减, 所以 f ( 1 2 2

②若 x2 ? (1, 2) ,由(2)知:当 x ? ? 0,1? ,则有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) , 而 1 ? x1 ? ? 0,1? , 所以 f (2 ? x1 ) ? f ?1 ? (1 ? x1 )? ? f ?1 ? (1 ? x1 )? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 即 f (2 ? x1 ) ? f ( x2 ) , 而 2 ? x1 , x2 ? (1, 2) ,由(1)知:函数 y ? f ( x) 在 (1, ??) 上单调递减,

x1 ? x2 x ? x2 ? (1, ?? ) , )?0; 由 (1) 知: 函数 y ? f ( x) 在 (1, ??) 上单调递减, 所以 f '( 1 2 2 x ? x2 )?0 综合①,②得:若存在不等实数 x1 , x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则总有 f '( 1 2
∴ 2 ? x1 ? x2 , 即有


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