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相关关系、回归分析与独立性检验但因为测试 新人教B版


2013 年高考数学总复习 10-3 相关关系、回归分析与独立性
1.(2011· 济南模拟)对于回归分析,下列说法错误的是(

)

A.在回归分析中,变量间的关系是非确定性关系,因此因变量不能由自变量唯一确定 B.线性相关系数可以是正的或负的 C.回归分析中,如果 r=± 1,说明 x 与 y 之间完全线性相关 D.样本相关系

数 r∈(-1,1) [答案] D [解析] ∵相关系数|r|≤1,∴D 错. 2. (2011· 西安模拟)在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中, 下列说法正确的是( )

①若 K2 的观测值满足 K2≥6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病;②从独立性检验可知有 99%的把握认为吸烟与患病 有关系时,我们说某人吸烟,那么他有 99%的可能患有肺病;③从统计量中得知有 95%的 把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5%的可能性使得推断出现错误 A.① C.③ [答案] C [解析] ①推断在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病,说法错误,排除 A,B,③正 确.排除 D,选 C. 3.(文)(2011· 陕西文,9)设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点, 直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如下图),以下结论正确的是 ( ) B.①③ D.②

A.直线 l 过点( x , y ) B.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率

C.x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 [答案] A ^ ^ ^ ^ - ^- [解析] ∵回归直线方程y=a+bx 中a= y -b x , ^ - ^- ^ - ^ - - - ∴y= y -b x +bx,当 x= x 时,y= y ,∴直线 l 过定点( x , y ). (理)(2011· 山东文,8)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表

广告费用 x(万元)

4

2

3

5

销售额 y(万元)

49

26

39

54

^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4, 据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 为( ) A.63.6 万元 C.67.7 万元 [答案] B [解析] 此题必须明确回归直线方程过定点( x , y ). ^ ^ ^ ^ ^ 易求得 x =3.5, y =42,则将(3.5,42)代入y=bx+a中得:42=9.4× 3.5+a,即a=9.1, 则 y =9.4x+9.1,所以当广告费用为 6 万元时销售额为 9.4× 6+9.1=65 .5 万元. 4.(2011· 湖南文,5)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如 下的列联表: B.65.5 万元 D.72.0 万元

男 爱好 40

女 20

总计 60

不爱好

20

30

50

总计

60

50

110

n?ad-bc?2 110×?40×30-20×20?2 由 χ 2= 算得,χ2= ≈7.8. 60× 60× 50× 50 ?a+b??c+d??a+c??b+d? 附表: P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001

k 参照附表,得到的正确结论是(

3.841

6.635

10.828

)

A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] A [解析] 根据独立性检验的定义,由 χ2≈7.8>6.635 可知,有 99%以上把握认为“爱好该 项运动与性别有关”. 5.某化工厂为预测产品的回收率 y,需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的相关关 系,现取 8 对观测值计 算,得 ?xi=52, ?yi=228, ?x2=478, ?xiyi=1849,则其回归直 i
i=1 i=1 i=1 i=1 8 8 8 8

线方程为(

) ^ B.y=-11.47+2.62x ^ D.y=11.47-2.62x

^ A.y=11.47+2.62x ^ C.y=2.62+11.47x [答案] A [解析] 由 ?xi=52, ?yi=228 知,
i=1 i=1 8 8

- - ^ i=1 x =6.5, y =28.5,b=

-- ?xiyi-8 x y
8 8



?x2-8 x 2 i
i=1



1849-8× 6.5× 28.5 ≈2.62, 478-8× 2 6.5

^ - ^- ∴a= y -b x =28.5-2.62× 6.5=11.47.

6.(2011· 中山四校联考、湖南六校联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量 的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表:

甲 0.82[来 r 源:Zxxk.Com ] m 106







0.78

0.69

0.85

115

124 )

103

则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性( A.甲 C.丙 [答案] D B.乙 D.丁

[解析] r 越接近 1,相关性越强,残差平方和 m 越小,相关性越强,故选 D. 7.(2011· 辽宁文,14)调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单 位:万元),调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由 调查数据得到 y 对 ^ x 的回归直线方程:y=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年 饮食支出平均增加________万元. [答案] 0.254 ^ [解析] 由回归直线方程为y=0.254x+0.321 知收 入每增加 1 万元,饮食支出平均增加 0.254 万元. 8.(2011· 合肥模拟)已知 x、y 之间的一组数据如下表: x 1 3 6 7 8

y

1

2

3

4

5

1 1 1 对于表中数据,甲、乙两同学给出的拟合直线分别为 l1:y= x+1 与 l2:y= x+ ,利 3 2 2 用最小二乘法判断拟合程度更好的直线是________(填 l1 或 l2). [答案] l2 1 7 [解析] 用 y= x+1 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 s1= ; 3 3 1 1 1 用 y= x+ 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 s2= .∵s2<s1,故用直 2 2 2

1 1 线 y= x+ 拟合程度更好. 2 2 9.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表: 专业 性别 男 女

非统计专业

统计专业

13 7

10 20

50×?13× 20-10×7?2 为了判断主修统计专业是否与性别有关系, 根据表中的数据, 得到 χ2= 23× 20× 27× 30 ≈4.844. 因为 χ2≥3.841,所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为 ________. [答案] 5% [解析] 根据独立性检验临界值表可知“x 与 y 有关系”的可信度,P(χ2≥3.841)=0.05,∴ 有 95%的可能认为 x 与 y 有关系,即判断出错的可能性为 5%. 10.(2010· 扬州模拟)为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导 性建议.现对他前 7 次考试的数学成绩 x、物理成绩 y 进行分析.下面是该生 7 次考试的成 绩: 数学 物理 88 83 117 92 108 100 112

94

91

108

96

104

101

106

(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明; (2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115 分, 请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性, 给出该生在 学习数学、物 理上的合理性建议. - -12-17+17-8+8+12 [解析] (1) x =100+ =100; 7 - -6-9+8-4+4+1+6 y =100+ =100; 7 994 250 ∴s2 = =142,s2 = , 数学 物理 7 7 从而 s2 >s2 ,∴物理成绩更稳定. 数学 物理 (2)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系,根据回归系数公式得到

^ i=1 b=

-- ?xiyi-7 x y
7

- 7 2 ?xi -7 x 2

497 = ≈0.5, 994

i=1

^ - ^- a= y -b x =100-0.5× 100=50, ^ ∴回归直线方程为y=0.5x+50. 当 y=115 时,x=130,即该生物理成绩达到 115 分时,他的数学成绩大约为 130 分. 建 议:进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性,将有助于物理成绩的进一步提高.

11.(2010· 广东文)某市居民 2005~2009 年家庭年平均收入 x(单位:万元)与年平均支出 Y(单位:万元)的统计资料如下表所示:

年份 收入 x 支出 Y

2005 11.5 6.8

2006 12.1 8.8

2007 13 9.8

2008 13.3 10

2009 15 12

根据统计资料, 居民家庭平均收入的中位数是________, 家庭年平均收入与年平均支出 有________线性相关关系. [答案] 13 正 [解析] 找中位数时,将样本数据按大小顺序排列后奇数个时中间一个是中位数,而偶 数个时须取中间两数的平均数,由统计资料可以看出,年平均收入增多时,年平均支出也增 多,因此两者正相关. 12.(2011· 佛山二模)在 2010 年春节期间,某市物价部门,对本市五个商场销售的某商 品一天的销售量及其价格进行调查, 五个商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下 表所示: 价格 x 9 9.5 10 10.5 11

销售量 y

11

10

8

6

5

通过分析,发现销售量 y 对商品的价格 x 具有线性相关关系,则销售量 y 对商品的价格 x 的回归直线 方程为________. ^ [答案] y=-3.2x+40 [解析]

?xiyi=392, x =10, y =8,? (xi- x )2=2.5,代入公式,得b=-3.2,所以,
i=1 i=1

5





5



^

^ - ^- ^ a= y -b x =40,故回归直线方程为y=-3.2x+40. 13.(2011· 东北四校联考)某小卖部为了了解热茶销售量 y(杯)与气温 x(℃)之间的关系, 随机统计了某 4 天卖出的热茶的杯数与当天气温,并制作了对照表: 气温(℃) 杯数 18 24 13 34 10 38 -1 64

^ 由表中数据算得线性回归方程y=bx+a 中的 b≈-2,预测当气温为-5℃时,热茶销售 -- ?xiyi-n x y
n i=1

量为________杯.(已知回归系数 b=

xi2-n i=1 [答案] 70

?

n

- x2

- - ,a= y -b x )

- - 1 1 [解析] 根据表格中的数据可求得 x = × (18+13+10-1)=10, y = × (24+34+38+ 4 4 64)=40. - - ^ ^ ∴a= y -b x =40-(-2)× 10=60,∴y=-2x+60,当 x=-5 时,y=-2× (-5)+60 =70. 14.(2011· 湖南六校联考)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒 人数多少之间的关 系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 日的昼夜温差情况与因患感冒而 就诊的人数,得到如下资料: 日期 1月 2月 3月 4月 5月 6月

10 日 昼夜温差 x 10 (℃) 就诊人数 22 y(人)

10 日 11

10 日 13

10 日 12

10 日 8

10 日 6

25

29

26

16

12

该兴趣小组确定的研究方案是: 先从这六组数据中选取 2 组, 用剩下的 4 组数据求线性 回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率; (2)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线 ^ 性回归方程y=bx+a; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认 为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?

? ?xi- x ??yi- y ?
i=1

n



- - - ,a= y -b x .)

(参考公式:b=

- ? ? ?xi- x 2
n i=1

[解析] 将 6 组数据按月份顺序编号为 1,2,3,4,5,6, 从中任取两组数据, 基本事件空间 Ω ={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5), (4,6),(5,6)}中共 15 个基本事件,设抽到相邻两个月的事件为 A,则 A={(1,2),(2,3),(3,4), (4,5),(5,6)}中共 5 个基本事件, 5 1 ∴P(A)= = . 15 3 - - (2)由表中数据求得 x =11, y =24, 18 由参考公式可得 b= , 7 - - 30 再由 a= y -b x 求得 a=- ,[来源:Z&xx&k.Com] 7 ^ 18 30 所以 y 关于 x 的线性回归方程为y = x- . 7 7 ^ 150 150 4 (3)当 x=10 时,y= ,| -22|= <2; 7 7 7 ^ 78 78 6 同样,当 x=6 时,y= ,| -12|= <2. 7 7 7

所以,该小组所得线性回归方程是理想的.

15.(文)(2011· 郑州市质检)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强?语文阅读理解? 训练对提高?数学应用题?得分率作用”的试验,其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练), 乙班为对比班(常规教学,无额外训练),在试验前的测试中,甲、乙两班学生在数学应用题 上的得分率基本一致,试验结束后,统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表 所示: 60 分 以下 甲班(人数) 乙班(人数) 3 4 61~ 70 分 6 8 71~ 80 分 11 13 81~ 90 分 18 15 91~ 100 分 12 10

现规定平均成绩在 80 分以上(不含 80 分)的为优秀. (1)试分析估计两个班级的优秀率; (2)由以上统计数据填写下面 2× 列联表,并问是否有 75%的把握认为“加强?语文阅读 2 理解?训练对提高?数学应用题?得分率”有帮助. 优秀人数 甲班 乙班 合计 n?ad-bc?2 参考公式及数据:χ2= , ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(χ2≥k0) k0 P(χ2≥k0) 0.50 0.455 0.05 0.40 0.708 0.025 0.25 1.323 0.010 0.15 2.072 0.005 0.10 2.706 0.001 非优秀人数 合计

k0

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

[解析] (1)由题意知,甲、乙两班均有学生 50 人, 30 甲班优秀人数为 30 人,优秀率为 =60%, 50 25 乙班优秀人数为 25 人,优秀率为 =50%, 50 所以甲、乙两班的优秀率分别为 60%和 50%.

(2) 优秀人数 非优秀人数 合计

甲班 乙班 合计

30 25 55

20 25 45

50 50 100

100×?30×25-20×25?2 100 因为 χ2= = ≈1.010, 50× 55× 50× 45 99 所以由参考数据知, 没有 75%的把握认为“加强?语文阅读理解?训练对提高?数学应用题? 得分率”有帮助. (理)(2011· 福建普通高中质检)某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲、 乙两个“平行 班”,每班 50 人.陈老师采用 A、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实 验.为了了解教学效果,期末考试后,陈老师分别从两个班级 中各随机抽取 20 名学生的成 绩进行统计,作出茎叶图如下.记成绩不低于 90 分者为“成绩优秀”.

甲 6 9510 9 8

乙 36799 0156

99442

7

345888

885110

6

077

4332

5

25

(1)在乙班样本中的 20 个个体中,从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个,求抽出的两 个均“成绩优秀”的概率; (2)由以上统计数据填写下面列联表,并判断是否有 90%的把握认为:“成绩优秀”与教 学方式有关. 甲班(A 方式) 成绩优秀 乙班(B 方式) 总计

成绩不优秀

总计 n?n11n22-n12n212 ? 附:χ = n1+n2+n+1n+2
2

P(χ2≥k) k

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.01 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

[解析] (1)设“抽出的两个均?成绩优秀?”为事件 A. 从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个的基本事件为(86,93),(86,96),(86,97),(86,99), (86,99), (93,96), (93,97), (93,99), (93,99), (96,97), (96,99), (96,99), (97,99), (97,99), (99,99), 共 15 个. 而事件 A 包含基本事件: (93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99), 共 10 个. 10 2 所以所求概率为 P(A)= = . 15 3 (2)由已知数据得 甲班(A 方式) 成绩优秀 1 乙班(B 方式) 5 总计 6

成绩不优秀

19

15

34

总计 根据列联表中数据, 40×?1×15-5×19?2 χ2= ≈3.137, 6× 20× 34× 20

20

20

40

由于 3.137>2.706,所以有 90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关.

1.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表

甲的成绩

环数 频数

7 5

8 5

9 5

10 5

乙的成绩

环数 频数

7 6

8 4

9 4

10 6

丙的成绩

环数 频数

7 4

8 6

9 6

10 4 )

s1、s2、s3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( A.s3>s1>s2 C.s1>s2>s3 [答案] B [解析] 计算可得甲、乙、丙的平均成绩都为 8.5. s1= 1 [5?7-8.5?2+5?8-8.5?2+5?9-8.5?2+5?10-8.5?2] 20 = 25 .同理 s2= 20 29 ,s = 20 3 21 , 20 B.s2>s1>s3 D.s2>s3>s1

∴s2>s1>s3. 2.(2010· 厦门三中阶段训练)某校举行演讲比赛,9 位评委给选手 A 打出的分数如茎叶 图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时, 发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清,若统计员计算无误,则数字 x 应该是( )

8

9

8 7

9

2

x 3

4 2 1

A.5 C.3 [答案] D

B.4 D.2

[解析] 去掉最低分 87, 去掉最高分 94(假设 x≤4), 7× 则 91=80× 2+9+8+90× 5+2+3 +2+1+x,∴x=2,符合题意,故选 D. 3.(2010· 广东佛山)为了对 2007 年佛山市中考成绩进行分析,在 60 分以上的全体同学 中随机抽出 8 位,他们的数学分数(已折算为百分制)从小到大排列是 60、65、70、75、80、 85、90、95,物理分数从小到大排列是 72、77、80、84、88、90、93、95. (1)若规定 85 分(包括 85 分)以上为优秀, 求这 8 位同学中恰有 3 位同学的数学和物理分 数均为优秀的概率; (2)若这 8 位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表: 学生编号 数学分数 x 1 60 2 65 3 70 4 75 5 80 6 85 7 90 8 95

物理分数 y

72

77

80

84

88

90

93

95

化学分数 z

67

72

76

80

84

87

90

92

用变量 y 与 x、z 与 x 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度; (3)求 y 与 x、z 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01),并用相关指数比较所求回归模 型的效果. - - - - - 8 8 8 参考数据: x =77.5, y =85, z =81, ? (xi- x )≈1050, ? (yi- y )2≈456, ? (zi-
i=1 i=1 i=1

- - - - - ^ ^ 8 8 8 8 z )≈550, ? (xi- x )(yi- y )≈688, ? (xi- x )(zi- z )≈755, ? (yi-yi)≈7, ? (zi-z i)2≈94,
i=1 i=1 i=1 i=1

1050≈32.4, 456≈21.4, 550≈23.5. [解析] (1)这 8 位同学中恰有 3 位同学的数学和物理分数均为优秀, 则需要先从物理的

3 4 个优秀分数中选出 3 个与数学优秀分数对应, 种数是 C4A3(或 A3), 然后将剩下的 5 个数学 3 4 3 分数和物理分数任意对应,种数是 A5.根据乘法原理,满 足条件的种数是 C4A3A5. 5 3 5

这 8 位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有 A8. 8 C3A3A5 1 4 3 5 故所求的概率 P= = . A8 14 8 (2)变量 y 与 x、z 与 x 的相关系数分别是 r= 688 755 ≈0.99,r′= ≈0.99 32.4× 21.4 32.4× 23.5

可以看出,物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关. ^ ^ (3)设 y 与 x、z 与 x 的线性回归方程分别是y=bx+a,z =b′x+a′ 688 根据所给的数据可以计算出,b= =0.65,a=85-0.65× 77.5=34.63, 1050 755 b′= =0.72,a′=81-0.72× 77.5=25.20 1050 所以 y 与 x 和 z 与 x 的回归方程分别是 ^ ^ y=0.65x+34.63,z =0.72x+25.20, 7 94 又 y 与 x、z 与 x 的相关指数是 R2=1- ≈0.98,R′2=1- ≈0.83 456 550 ^ ^ 故回归模型y=0.65x+34.63 比回归模型z =0.72x+25.20 的拟合的效果好.


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考点5,回归分析与独立性检验
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回归分析与独立性检验
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10.3相关关系回归分析与独立性检验学案1
2.了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法及其简单应用. ※自主研读学习单※ 知识体系 1.回归分析 (1)回归直线 一组具有线性相关关系的数据(x1...
相关关系、回归分析与独立性检验
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