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新田一中2013年上期高一期中考试


新田一中 2013 年上期高一期中考试 (数学试题)
总分:150 分 时量:120 分钟

第一部分(选择题 40 分) 一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共计 40 分.在每小题给出的四 个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 请把正确答案的代号填在答题卡上 .)
1. 300 是( A.第一象限角
0

) B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 )

2.已知 tan ? ? 1 ,且 ? 为第三象限角,则 sin ? 的值为( A. ?

3 2

B. ?

2 2

C.

2 2

D.

3 3
)

3. 下列各组向量中,不能作为基底的是( A. e1 ? (?1,2), e2 ? (3,4) C. e1 ? (?3,5), e2 ? (6,10)

B. e1 ? (0,1), e2 ? (1,?2) D. e1 ? (2,?3), e2 ? ( ,? ) ) π D.[ 2 ,π ]

1 2

3 4

4. 函数 y ? cos 2 x 在下列哪个区域上是减函数( π π A.[- 4 , 4 ] π 3π B.[ 4 , 4 ] π C.[0, 2 ]

5. 为了得到函数 y ? 2 cos( x ? ( )

?
5

) 的图象,只要把函数 y ? 2 cos( x ?

?
5

) 的图象上所有的点

? 个单位长度 5 2? C.向右平行移动 个单位长度 5
A.向右平行移动
? ?

B.向左平行移动

? 个单位长度 5 2? D.向左平行移动 个单位长度 5
? ?

6. 化简: sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? ( A. ?

) D.

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

3 2


7. 已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值, 最小值分别是 ( A. 4 2 ,0 B. 4, 4 2 C.16,0 D.4,0

8.设函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
3

) ,则下列结论中正确的个数有 (
π 对称 3

)

① f ( x) 的图象关于直线 x =

π ② f ( x) 的图象关于点( ,0)对称 4 π ③把 f ( x) 的图象向左平移 个单位,得到一个偶函数的图象 12 π ④ f ( x) 的最小正周期为 π ,且在[0, ]上为增函数 6 A.1 B.2 C.3 D.4

第二部分(非选择题 110 分) 二、填空题:(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 把答案填在答题卡上 的相应横线上.)
9. 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x ) 的最小正周期是 . . . . .

b ? 2 且 a 与 b 的夹角为 10. 若向量 a , b 满足 a ? 1,

?

?

?

?

?

?

? ? ? ,则 a ? b ? 3

11.已知向量 a ? (4,2),b ? ( x,3) ,若 a ∥ b ,则实数 x 的值为 12. 已知 ? , ? 都是锐角, cos ? ?
2

1 11 , cos( ? ? ? ) ? ? ,则 ? = 7 14

? ? ? ) 的值为 13. 已知 tan? , tan ? 是方程 2 x ? 3x ? 7 ? 0 的两个实数根,则 tan(
? ??

14. 关于平面向量 a, b,c, 有下列四个命题:①若 a · b = a · c ,则 b = c ;②若 a =(1,k),

?

? ?

?

? ?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (6, -2) , a ? b, 则 k=3; ③非零向量 a 和 b 满足| a |=| b |=| a - b |,则 a 与 a + b b= ? ? ? ? ? ? 的夹角为 30°;④( a · b )· c = a ·( b · c )
其中真命题的序号为__________.(写出所有真命题的序号) 15.“无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解 的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角 恒等变换公式: .

图甲

图乙

三、解答题(本大题共 6 小题共 75 分,答题时应写出文字说明、证明过程或和 演算步骤)
16.(本小题12分)

sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) sin(? ? ? ) ? cos( ? ? ) 2 2 2 ? (Ⅰ)化简: cos(? ? ? ) sin(? ? ? )
(Ⅱ)已知 tan ? ? ?

?

?

?

sin ? ? 2 cos ? 1 ,计算 3 5 cos ? ? sin ?

17. (本小题 12 分)已知函数 y=Asin(ω x + ? )(A>0,ω >0,| ? |<π )在一个周期内的图 象如下图. (Ⅰ) 求函数的解析式 ; (Ⅱ)求函数的单调递增区间.

18. (本小题 12 分)已知向量 a ? ?1 ? sin 2 x, sin x ? cos x ? , b ? ?1, sin x ? cos x ? , 函数 f ( x) ? a ? b . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小值及相应的 x 的值; (Ⅱ)若 f (? ) ?

?

?

? ?

8 ?π ? ,求 cos 2 ? ? 2? ? 的值. 4 5 ? ?

19. (本小题 13 分)设 OA =(2sin x ,cos2 x ), OB =(-cos x ,1), x ∈[0, (Ⅰ)求 f ( x) ? OA ? OB 的值域; (Ⅱ)当 OA ? OB 时,求 AB 的值.

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

? ]. 2

??? ?

??? ?

??? ?2

20. (本小题 13 分)已知向量 a =(2,2) ,向量 b 与向量 a 的夹角为 (Ⅰ)求向量 b ; (Ⅱ)若 t ? (1,0)且 b ? t , c ? (cos A,2 cos 2
? ?
? ? ? ?

?

?

?

? ? 3? ,且 a ·b = ? 2 . 4

?

C ) ,其中 A、C 是△ABC 的内角,若三角形的 2

三内角满足 2B= A+C,试求| b + c |的取值范围.

21. (本小题 13 分)如图,现在要在一块半径为 1 m,圆心角为 60°的扇形纸板 AOB 上剪出 一个平行四边形 MNPQ,使点 P 在弧 AB 上,点 Q 在 OA 上,点 M,N 在 OB 上,设∠BOP=θ,MNPQ 的面积为 S. (Ⅰ)求S关于θ的函数关系式; (Ⅱ)求S的最大值及相应θ的值.

新田一中 2013 年上期高一期中考试 (数学参考答案)
一、选择题:CBDCD BCA 二、填空题:

? 3 15) sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
9)

?

10)

7

11) 6

12)

13)

1 3

14)②③

16.解: (Ⅰ)0 (Ⅱ)

5 16

17.解: (Ⅰ) y ? 2 sin( 2 x ? (Ⅱ) ?k? ?

2? ) 3

? ?

7? ?? , k? ? ?(k ? Z ) 12 12?
2 sin( 2 x ?

18. 解: (Ⅰ) f ( x) ?

?
4

) ?1

f ( x) min ? 1 ? 2
(Ⅱ)? f (? ) ?

此时 x ? k? ?

?
8

(k ? Z )

2 sin( 2? ?

?
4

) ?1 ?

? sin(2? ? ) ? 4 5 2 ? ? ? 16 2 从而 cos 2( ? 2? ) ? cos 2(2? ? ) ? 1 ? 2 sin (2? ? ) ? 4 4 4 25
??? ? ??? ?

?

8 5

3

19.解析: (Ⅰ)∵ f ( x) ? OA ? OB ? ?2sin x cos x ? cos 2 x ? ? 2 sin(2 x ? 又∵ x ∈[0, ∴当 x =

?
4

)

3? 时, f ( x) min ? ? 2 ;当 x=0 时, f ( x) max ? 1 8 故值域为 ? 2,1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? (Ⅱ) 当 OA ? OB 时,OA ? OB ? ?2sin x cos x ? cos 2 x ? ? 2 sin(2 x ? ) ? 0 , 2x= , 4 4

? ? ? 3? ],- ≤2 x - ≤ , 4 2 4 4

?

?

??? ?2 2 AB ? (? cos x ? sin x,1 ? cos 2 x) ? cos2 x ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 1 ? 2cos 2 x ? cos 2 2 x =4- 3 2

? ? ? ? a ?b 20.解析: (Ⅰ)设 b =(x,y) ,则 2 x ? 2 y ? ?2, 且 | b |? ? 1 ? x2 ? y 2 . ? 3? | a | cos 4

4

? ? ? ? ? ? C (Ⅱ) B ? ? ,? b ? t , 且t ? (1, 0),? b ? (0, ?1) . ∴ b ? c ? (cos A, 2 cos 2 ? 1) ? (cos A, cos C ), 2 3
∴ | b ? c |2 ? cos 2 A ? cos 2 C ? 1 ?

? ? x ? ?1 ? x ? 0 ? ∴解得 ? 或? , b ? (?1,0)或b ? (0, ?1) ?y ? 0 ? y ? ?1
? ?

2? 2? =1+ cos( A ? C ) cos( A ? C ) ? 1 ? 1 cos( A ? C ), ?? ? A?C ? , 2 3 3 1 2 ? ? 5 ∴ ? ? cos( A ? C ) ? 1, ∴ ?| b ? c |? . 2 2 2

1 (cos 2 A ? cos 2C ) 2

21. (Ⅰ)分别过点P、Q作PD⊥OB,QE⊥OB,垂足分别为D、E,则四边形QEDP是矩形.

π 3 3 PD=sinθ,OD=cosθ.在Rt△OEQ中,∠AOB= ,则OE= QE= PD. 3 3 3 3 所以MN=PQ=DE=OD-OE=cosθ- sinθ. 3 3 3 π 则S=MN× PD=(cosθ- sinθ)× sinθ=sinθcosθ- sin2θ,θ∈(0, ). 3 3 3 1 3 1 3 3 3 π 3 (Ⅱ)S=2sin2θ- 6 (1-cos2θ)=2sin2θ+ 6 cos2θ- 6 = 3 sin(2θ+6)- 6 . π π π 5π 1 π 因为0<θ< ,所以 <2θ+ < ,所以 <sin(2θ+ )≤1. 3 6 6 6 2 6 π π π 3 2 3 2 π 所以当2θ+ = ,即θ= 时,S的值最大为 m .即S的最大值是 m ,相应θ的值是 . 6 2 6 6 6 6


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