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高中数学苏教版选修2-3课件:第二章 概率2.3.1


阶 段 一

阶 段 三

2.3 独立性 2.3.1 条件概率
阶 段 二 学 业 分 层 测 评

1.了解条件概率的概念,掌握条件概率的计算公式.(重点) 2.利用条件概率计算公式解决一些简单的实际问题.(难点)

[ 基础· 初探] 教材整理 条件概率

阅读教材 P56~P57“例 1”以上部分,完成下列问题. 1.条件概率 一般地,对于两个事件 A 和 B,在已知事件 B 发生的条件下事件 A 发生的

P(A|B) .若 A, 事件B发生的条件下事件A 的条件概率,记为_________ 概率,称为__________________________
0 B 互斥,则 P(A|B)=P(B|A)=___.

2.条件概率公式 (1)一般地, 若 P(B)>0, 则事件 B 发生的条件下 A 发生的条件概率是 P(A|B) P?AB? P?B? =________.

P(A|B)P(B) . (2)乘法公式:P(AB)=______________

1 2 设 A, B 为两个事件, 且 P(A)>0, 若 P(AB)=3, P(A)=3, 则 P(B|A)=________. 【导学号:29440042】
1 P?AB? 3 1 【解析】 由 P(B|A)= =2=2. P?A? 3 1 【答案】 2

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
P?AB? 利用 P(B|A)= 求条件概率 P?A?

(1)设某种动物能活到 20 岁的概率为 0.8, 能活到 25 岁的概率为 0.4, 现有一只 20 岁的这种动物,问它能活到 25 岁的概率是________. (2)抛掷红、蓝两颗骰子,设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”,事件 B 为“两颗骰子的点数之和大于 8”.

①求 P(A),P(B),P(AB); ②当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时,求两颗骰子的点数之和大于 8 的概 率.

P?AB? 【精彩点拨】 (1)直接应用公式 P(B|A)= 求解. P?A? (2)①利用古典概型求 P(A),P(B)及 P(AB). P?AB? ②借助公式 P(B|A)= 求概率. P?A?

【自主解答】 (1)设事件 A 为“能活到 20 岁”, 事件 B 为“能活到 25 岁”, 则 P(A)=0.8,P(B)=0.4,而所求概率为 P(B|A),由于 B?A,故 AB=B, P?AB? P?B? 0.4 于是 P(B|A)= = = =0.5,所以一只 20 岁的这种动物能活到 25 P?A? P?A? 0.8 岁的概率是 0.5.
【答案】 0.5

(2)①设 x 为掷红骰子得到的点数,y 为掷蓝骰子得到的点数,则所有可能的 事件与(x,y)建立对应如图.

12 1 显然:P(A)=36=3, 10 5 5 P(B)=36=18,P(AB)=36. 5 P?AB? 36 5 ②P(B|A)= = 1 =12. P?A? 3

1.用定义法求条件概率 P(B|A)的步骤 (1)分析题意,弄清概率模型; (2)计算 P(A),P(AB); P?AB? (3)代入公式求 P(B|A)= . P?A? 2.在(2)题中,首先结合古典概型分别求出了事件 A,B 的 概率,从而求出 P(B|A),揭示出 P(A),P(B)和 P(B|A)三者之间的 关系.

[ 再练一题] 1.(1)甲、乙两市都位于长江下游,根据一百多年来的气象记录,知道一年 中下雨天的比例甲市占 20%, 乙市占 18%, 两地同时下雨占 12%, 记 P(A)=0.2, P(B)=0.18,P(AB)=0.12,则 P(A|B)=________,P(B|A)=________. (2)(2016· 南通高二检测)有一批种子的发芽率为 0.9,出芽后的幼苗成活率为 0.8, 在这批种子中, 随机抽取一粒, 则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.

【解析】

P?AB? 2 P?AB? 3 (1)由公式 P(A|B)= = ,P(B|A)= = . P?B? 3 P?A? 5

(2)设“种子发芽”为事件 A,“种子成长为幼苗”为事件 AB(发芽,又成活 为幼苗),出芽后的幼苗成活率为 P(B|A)=0.8, P?AB? 又 P(A)=0.9,P(B|A)= , P?A? 得 P(AB)=P(B|A)· P(A)=0.8×0.9=0.72.

2 3 【答案】 (1)3 5 (2)0.72

利用基本事件个数求条件概率

现有 6 个节目准备参加比赛,其中 4 个舞蹈节目,2 个语言类节目, 如果不放回地依次抽取 2 个节目,求: (1)第 1 次抽到舞蹈节目的概率; (2)第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率; (3)在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下,第 2 次抽到舞蹈节目的概率.

【精彩点拨】 第(1)、(2)问属古典概型问题,可直接代入公式;第(3)问为 条件概率,可以借用前两问的结论,也可以直接利用基本事件个数求解.

【自主解答】 设第 1 次抽到舞蹈节目为事件 A,第 2 次抽到舞蹈节目为事 件 B,则第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目为事件 AB. (1)从 6 个节目中不放回地依次抽取 2 个的事件数为 n(Ω)=A2 6=30, 根据分步计数原理 (2)因为
1 n(A)=A1 A 4 5=20,于是

n?A? 20 2 P(A)= = = . n?Ω? 30 3

n(AB)=A2 4=12,于是

n?AB? 12 2 P(AB)= = = . n?Ω? 30 5

(3)法一:由(1)(2)可得,在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下,第 2 次抽到舞蹈 节目的概率为 2 P?AB? 5 3 P(B|A)= =2=5. P?A? 3 法二:因为 n(AB)=12,n(A)=20, n?AB? 12 3 所以 P(B|A)= = = . n?A? 20 5

1.本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法,法一为定义 法,法二利用基本事件个数直接作商,是一种重要的求条件概率 的方法. 2.计算条件概率的方法 (1)在缩小后的样本空间 ΩA 中计算事件 B 发生的概率,即 P(B|A). (2)在原样本空间 Ω 中,先计算 P(AB),P(A),再利用公式 P?AB? P(B|A)= 计算求得 P(B|A). P?A?

(3)条件概率的算法:已知事件 A 发生,在此条件下事件 B 发生,即事件 AB 发生,要求 P(B|A),相当于把 A 看作新的 n?AB? 基本事件空间计算事件 AB 发生的概率,即 P(B|A)= = n?A? n?AB? n?Ω? P?AB? = . n?A? P?A? n?Ω?

[ 再练一题] 2.盒内装有 16 个球,其中 6 个是玻璃球,10 个是木质球.玻璃球中有 2 个是红色的,4 个是蓝色的;木质球中有 3 个是红色的,7 个是蓝色的.现从中 任取 1 个,已知取到的是蓝球,问该球是玻璃球的概率是多少?
【解】 由题意得球的分布如下: 玻璃 红 蓝 合计 2 4 6 木质 3 7 10 合计 5 11 16

设 A={取得蓝球},B={取得玻璃球}, 11 4 1 则 P(A)=16,P(AB)=16=4. 1 P?AB? 4 4 ∴P(B|A)= = = . P?A? 11 11 16

[ 探究共研型]
利用条件概率的性质求概率

探究 1

掷一枚质地均匀的骰子,有多少个基本事件?它们之间有什么关

系?随机事件出现“大于 4 的点”包含哪些基本事件? 【提示】 掷一枚质地均匀的骰子,可能出现的基本事件有 “1 点 ”“2
点”“3 点”“4 点”“5 点”“6 点”,共 6 个,它们彼此互斥.“大于 4 的 点”包含“5 点”“6 点”两个基本事件.

探究 2 “先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中,已知第一枚出现 4 点, 则第二枚出现“大于 4”的事件,包含哪些基本事件?
【提示】 “第一枚 4 点,第二枚 5 点”“第一枚 4 点,第二枚 6 点”.

探究 3 先后抛出两枚质地均匀的骰子,已知第一枚出现 4 点,如何利用条 件概率的性质求第二枚出现“大于 4 点”的概率?
【提示】 设第一枚出现 4 点为事件 A,第二枚出现 5 点为事件 B,第二枚 出现 6 点为事件 C.则所求事件为(B+C)|A. 1 1 1 ∴P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=6+6=3.

将外形相同的球分装三个盒子,每盒 10 个.其中,第一个盒子中有 7 个球标有字母 A,3 个球标有字母 B;第二个盒子中有红球和白球各 5 个;第三 个盒子中有红球 8 个,白球 2 个.试验按如下规则进行:先在第一个盒子中任 取一个球,若取得标有字母 A 的球,则在第二个盒子中任取一个球;若第一次 取得标有字母 B 的球,则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红 球,则试验成功.求试验成功的概率. 【精彩点拨】 设出基本事件,求出相应的概率,再用基本事件表示出“试

验成功”这件事,求出其概率.

【自主解答】

设 A={从第一个盒子中取得标有字母 A 的球},

B={从第一个盒子中取得标有字母 B 的球}, R={第二次取出的球是红球}, W={第二次取出的球是白球}, 7 3 则容易求得 P(A)=10,P(B)=10, 1 1 4 1 P(R|A)=2,P(W|A)=2,P(R|B)=5,P(W|B)=5.

事件“试验成功”表示为 RA+RB,又事件 RA 与事件 RB 互斥, 所以由概率的加法公式得 P(RA+RB) =P(RA)+P(RB) =P(R|A)· P(A)+P(R|B)· P(B) 1 7 4 3 59 =2×10+5×10=100.

条件概率的解题策略 分解计算,代入求值:为了求比较复杂事件的概率,一般先 把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和,求出 这些简单事件的概率, 再利用加法公式即得所求的复杂事件的概 率.

[ 再练一题] 3.已知男人中有 5%患色盲,女人中有 0.25%患色盲,从 100 个男人和 100 个女人中任选一人. (1)求此人患色盲的概率; (2)如果此人是色盲,求此人是男人的概率.

【解】 设“任选一人是男人”为事件 A,“任选一人是女人”为事件 B, “任选一人是色盲”为事件 C.

(1)此人患色盲的概率 P(C)=P(AC)+P(BC) =P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B) 5 100 0.25 100 21 =100×200+ 100 ×200=800. 5 P?AC? 200 20 (2)P(A|C)= = 21 =21. P?C? 800

[ 构建· 体系]

3 3 1.已知 P(AB)=10,P(B)=5,则 P(A|B)=________.
3 P?AB? 10 1 【解析】 P(A|B)= = 3 =2. P?B? 5 1 【答案】 2

2. 在 100 件产品中有 95 件合格品, 5 件不合格品. 现从中不放回地取两次, 每次任取一件,则在第一次取到不合格品后,第二次取到不合格品的概率为 ________. 【解析】
设事件 A 为“第一次取到不合格品”,事件 B 为“第二次取到

C2 5 不合格品”,则 P(AB)=C2 , 100 5× 4 P?AB? 100×99 4 所以 P(B|A)= = =99. 5 P?A? 100 4 【答案】 99

3.把一枚硬币投掷两次,事件 A={第一次出现正面},B={第二次出现正 面},则 P(B|A)=________.
1 1 1 【解析】 ∵P(AB)=4,P(A)=2,∴P(B|A)=2. 1 【答案】 2

4.抛掷骰子 2 次,每次结果用(x1,x2)表示,其中 x1,x2 分别表示第一次、 第二次骰子的点数. 若设 A={(x1, x2)|x1+x2=10}, B={(x1, x2)|x1>x2}. 则 P(B|A) =________. 【导学号:29440043】
【解析】 3 1 1 ∵P(A)=36=12,P(AB)=36,

1 P?AB? 36 1 ∴P(B|A)= = 1 =3. P?A? 12 1 【答案】 3

5.一个口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球,那么 (1)先摸出 1 个白球不放回,再摸出 1 个白球的概率是多少? (2)先摸出 1 个白球后放回,再摸出 1 个白球的概率是多少?
【解】 (1)设“先摸出 1 个白球不放回”为事件 A,“再摸出 1 个白球” 为事件 B, 则“先后两次摸出白球”为事件 AB, “先摸一球不放回, 再摸一球” 1 2×1 1 6 1 1 共有 4×3 种结果,所以 P(A)=2,P(AB)= = ,所以 P(B|A)=1=3.所以先 4×3 6 2 1 摸出 1 个白球不放回,再摸出 1 个白球的概率为3.

(2)设“先摸出 1 个白球放回”为事件 A1,“再摸出 1 个白球”为事件 B1, 2×2 1 1 “两次都摸出白球”为事件 A1B1,P(A1)=2,P(A1B1)= = ,所以 P(B1|A1) 4×4 4 1 P?A1B1? 4 1 1 = = = .所以先摸出 1 个白球后放回,再摸出 1 个白球的概率为2. P?A1? 1 2 2

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________


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