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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学1-2


基础巩固强化 一、选择题 1.(文)下列四个命题中的真命题为( A.?x0∈Z,1<4x0<3 C.?x∈R,x2-1=0 [答案] D 1 3 [解析] ∵1<4x0<3,∴4<x0<4,这样的整数 x0 不存在,故 A 错 1 误;∵5x0+1=0,∴x0=-5?Z,故 B 错误;∵x2-1=0,∴x=± 1, 1 7 故 C 错误;对任意实数 x,都有 x2+x+2=(x+2)2+4>0,故选 D. (理)(2013· 北京四中期中)下列命题中是假命题的是( A.?φ∈R,函数 f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数 B.?a>0,f(x)=lnx-a 有零点 C.?α,β∈R,使 cos(α+β)=cosα+sinβ D.?m∈R,使 f(x)=(m-1)· xm 上递减 [答案] A π π [解析] 当 φ=2时,f(x)=sin(2x+2)=cos2x 为偶函数,所以 A 错误,选 A. 2.(文)(2013· 山东临沂期中)已知命题 p:?x∈R,3x>0,则( A.綈 p:?x0∈R,3x0≤0 )
2
-4m+3

)

B.?x0∈Z,5x0+1=0 D.?x∈R,x2+x+2>0

)

是幂函数,且在(0,+∞)

B.綈 p:?x∈R,3x≤0 C.綈 p:?x0∈R,3x0<0 D.綈 p:?x∈R,3x<0 [答案] A [解析] 全称命题的否定是特称命题, 所以綈 p: ?x0∈R,3x0≤0, 选 A. (理)命题“?x∈R,2x+x2≤1”的否定是( A.?x∈R,2x+x2>1,假命题 B.?x∈R,2x+x2>1,真命题 C.?x∈R,2x+x2>1,假命题 D.?x∈R,2x+x2>1,真命题 [答案] A [解析] 因为 x=0 时,20+02=1,所以“?x∈R,2x+x2>1”是 假命题. 3. (2012· 东北三校联考)已知命题 p: 对于 x∈R, 恒有 2x+2-x≥2 成立; 命题 q: 奇函数 f(x)的图象必过原点, 则下列结论正确的是( A.p∧q 为真 C.p∧(綈 q)为真 [答案] C [分析] 先判断命题 p、q 的真假,再按照或、且、非的定义及 真值表做出判断. [解析] ∵ x∈ R,∴2x>0,2 -x>0,∴ 2x+2-x≥2 2x· 2-x= 2,∴p B.(綈 p)∨q 为真 D.(綈 p)∧q 为真 ) )

1 为真命题;q 为假命题(如 y=x为奇函数,但其图象不过原点),∴p

∧q 为假,(綈 p)∨q 为假,p∧(綈 q)为真,(綈 p)∧q 为假,故选 C. 4.命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是 ( ) A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 [答案] C [解析] “都是”的否定是“不都是”,故其逆否命题是:“若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数”. 5.(2014· 开原月考)已知命题 p:?m∈R,m+1≤0,命题 q: ?x∈R,x2+mx+1>0 恒成立.若 p∨q 为假命题,则实数 m 的取值 范围是( ) B.m≤-2 D.-2≤m≤2

A.m≥2 C.m≤-2 或 m≥2 [答案] A

[解析] 由 p∨q 为假命题可知 p 和 q 都是假命题,即非 p 是真 命题,所以 m>-1;再由 q:?x∈R,x2+mx+1>0 恒成立为假命题 知 m≥2 或 m≤-2,∴m≥2,故选 A. 6.下列有关命题的说法正确的是( )

A. 命题“若 x2=1, 则 x=1”的否命题为: “若 x2=1, 则 x≠1” B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均 有 x2+x+1<0” D.命题“若 x=y,则 cosx=cosy”的逆否命题为真命题

[答案] D [解析] A 中,否命题应为若 x2≠1,则 x≠1;B 中,x=-1?x2 -5x-6=0,反之则不成立,应为充分不必要条件;C 中,命题的否 定应为?x∈R,均有 x2+x+1≥0. 二、填空题 7. 设 p: 函数 f(x)=2|x-a|在区间(4, +∞)上单调递增; q: loga2<1. 如果“非 p”是真命题,“p 或 q”也是真命题,那么实数 a 的取值 范围是________. [答案] (4,+∞) [解析] ∵“非 p”为真命题,∴p 为假命题,又 p 或 q 为真命 题,∴q 为真命题. 若 a>1, 由 loga2<1 知 a>2, 又 f(x)=2|x-a|在(a, +∞)上单调递增, 且 p 为假命题,∴a>4,因此得,a>4; 若 0<a<1,则 p、q 都是真命题,不合题意. 综上,a 的取值范围是(4,+∞). 1 8.已知命题 p:“?x∈[1,2],2x2-lnx-a≥0”与命题 q:“? x0∈R,x2 0+2ax0-8-6a=0”都是真命题,则实数 a 的取值范围是 ________. 1 [答案] (-∞,-4]∪[-2,2] 1 [解析] 若 p 真,则?x∈[1,2],(2x2-lnx)min≥a, 1 1 ∵y=2x2-lnx 的导数 y′=x-x≥0 在[1,2]上恒成立,∴当 x=1 1 1 时,ymin=2,∴a≤2; 若 q 真,则(2a)2-4×(-8-6a)=4(a+2)(a+4)≥0,

∴a≤-4 或 a≥-2. 1 ∴实数 a 的取值范围为(-∞,-4]∪[-2,2]. 9.(2012· 洛阳部分重点中学教学检测)给出下列命题: ①y=1 是幂函数; ②函数 f(x)=2x-log2x 的零点有 1 个; ③ x-1(x-2)≥0 的解集为[2,+∞); ④“x<1”是“x<2”的充分不必要条件; ⑤函数 y=x3 是在 O(0,0)处的切线是 x 轴. 其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号). [答案] ④⑤ [解析] y=1 不是幂函数,①是假命题;作出函数 y=2x 与 y= log2x 的图象,由两图象没有交点知函数 f(x)=2x-log2x 没有零点,② 错误;x=1 是不等式 x-1(x-2)≥0 的解,③错误;x<1?x<2,而 x<2? / x<1,④正确;y′=(x3)′=3x2,∴切线的斜率 k=0,过原 点的切线方程为 y=0,⑤正确. 三、解答题 10.已知命题 p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“?x0∈R, x2 0+2ax0+2-a=0”,若命题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值 范围. [解析] ∵“p 且 q”是真命题, ∴p 为真命题,q 也为真命题. 若 p 为真命题,∵x∈[1,2]时,a≤x2 恒成立, ∴a≤1. 若 q 为真命题,即 x2+2ax+2-a=0 有实根,Δ=4a2-4(2- a)≥0,

∴a≥1 或 a≤-2, 综上知所求实数 a 的取值范围是 a≤-2 或 a=1. 能力拓展提升 一、选择题 11.下列命题中是真命题的是( )

A.若向量 a,b 满足 a· b=0,则 a=0 或 b=0 1 1 B.若 a<b,则a>b C.若 b2=ac,则 a,b,c 成等比数列 4 D.?x∈R,使得 sinx+cosx=3成立 [答案] D [解析] 对于 A,当 a⊥b 时,a· b=0 也成立,此时不一定是 a= 0 或 b=0; 对于 B,当 a=0,b=1 时,该命题就不成立; 对于 C,b2=ac 是 a,b,c 成等比数列的必要不充分条件; π 4 对于 D, 因为 sinx+cosx= 2sin(x+4)∈[- 2, 2], 且3∈[- 2, 2],所以该命题正确. 12.(2012· 合肥第一次质检)下列命题: ①?x∈R,不等式 x2+2x>4x-3 均成立; ②若 log2x+logx2≥2,则 x>1; c c ③“若 a>b>0 且 c<0,则a>b”的逆否命题是真命题; ④若命题 p:?x∈R,x2+1≥1,命题 q:?x∈R,x2-x-1≤0, 则命题 p∧(綈 q)是真命题.其中真命题为( A.①②③ B.①②④ )

C.①③④ D.②③④ [答案] A [解析] 由 x2+2x>4x-3 推得 x2-2x+3=(x-1)2+2>0 恒成立, 故①正确; 根据基本不等式可知要使不等式 log2x+logx2≥2 成立需要 1 1 c c log2x>0,∴x>1,故②正确;由 a>b>0 得 0<a<b,又 c<0,可得a>b, 则可知其逆否命题为真命题,故③正确;命题 p 是真命题,命题 q 是 真命题,所以 p∧(綈 q)为假命题,故④错误.所以选 A. y2 13.(2013· 潍坊模拟)已知命题 p:?a0∈R,曲线 x +a =1 为双 0
2

曲线;命题 q:x2-7x+12<0 的解集是{x|3<x<4}.给出下列结论:① 命题“p 且 q”是真命题; ②命题“p 且(綈 q)”是假命题; ③命题“(綈 p)或 q”是真命题;④命题“(綈 p)或(綈 q)”是假命题.其中正确的 是( ) A.②③ C.①③④ [答案] D [解析] 因为命题 p 和命题 q 都是真命题,所以命题“p 且 q” 是真命题,命题“p 且(綈 q)”是假命题,命题“(綈 p)或 q”是真命 题,命题“(綈 p)或(綈 q)”是假命题. 二、填空题 14.(2013· 扬州模拟)下列四个说法: ①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真; ②命题“设 a,b∈R,若 a+b≠6,则 a≠3 或 b≠3”是一个假 命题; B.①②④ D.①②③④

1 1 ③“x>2”是“x<2”的充分不必要条件; ④一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真. 其中说法不正确的序号是________. [答案] ①② [解析] ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系,故① 错误;②此命题的逆否命题为“设 a,b∈R,若 a=3 且 b=3,则 a +b=6”,此命题为真命题,所以原命题也是真命题,②错误;③若 1 1 1 1 2-x 1 1 < ,则 - = <0 ,解得 x <0 或 x >2 ,所以 “ x >2 ” 是 “ x 2 x 2 2x x<2”的充 分不必要条件,故③正确;④否命题和逆命题是互为逆否命题,真假 性相同,故④正确. 15.(2013· 长沙调研)下列结论: 3 ①若命题 p:?x∈R,tanx= 3 ;命题 q:?x∈R,x2-x+1>0. 则命题“p∧(綈 q)”是假命题; ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充 a 要条件是b=-3; ③命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1, 则 x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为________. [答案] ①③ [解析] ①中命题 p 为真命题,命题 q 为真命题,所以 p∧(綈 q) 为假命题,故①正确; ②当 b=a=0 时,有 l1⊥l2,故②不正确; ③正确.所以正确结论的序号为①③.

三、解答题 16.(文)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2=2x 相交 于 A、B 两点. →· → =3”是真命题; (1)求证:“如果直线 l 过点 T(3,0),那么OA OB (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说 明理由. [解析] (1)证明:设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1),B(x2,y2). 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于点 A(3, 6)、B(3,- 6). →· → =3. ∴OA OB 当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=k(x-3), 其中 k≠0.
2 ? ?y =2x, 由? 得 ky2-2y-6k=0,则 y1y2=-6. ?y=k?x-3?, ?

1 1 2 又∵x1=2y2 1,x2= y2, 2 →· → =x x +y y ∴OA OB 1 2 1 2 1 =4(y1y2)2+y1y2=3. →· → =3”是真 综上所述,命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么OA OB 命题. →· → (2)逆命题是: 设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、 B 两点, 如果OA OB =3,那么直线过点 T(3,0). 该命题是假命题.
?1 ? →· → =3, 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B?2,1?,此时OA OB ? ?

2 直线 AB 的方程为 y=3(x+1),而 T(3,0)不在直线 AB 上. (理)已知命题 p:在 x∈[1,2]时,不等式 x2+ax-2>0 恒成立;命 题 q:函数 f(x)=log1
3

(x2-2ax+3a)是区间[1,+∞)上的减函数.若

命题“p∨q”是真命题,求实数 a 的取值范围. [解析] ∵x∈[1,2]时,不等式 x2+ax-2>0 恒成立, 2-x2 2 ∴a> x =x-x 在 x∈[1,2]上恒成立, 2 令 g(x)=x-x,则 g(x)在[1,2]上是减函数, ∴g(x)max=g(1)=1, ∴a>1.即若命题 p 真,则 a>1. 又∵函数 f(x)=log1
3

(x2-2ax+3a)是区间[1, +∞)上的减函数,

∴u(x)=x2-2ax+3a 是[1,+∞)上的增函数,且 u(x)=x2-2ax +3a>0 在[1,+∞)上恒成立, ∴a≤1,u(1)>0,∴-1<a≤1, 即若命题 q 真,则-1<a≤1. 综上知,若命题“p∨q”是真命题,则 a>-1.

考纲要求 1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命 题,会分析四种命题的相互关系. 3.简单的逻辑联结词

了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 4.全称量词与存在量词 (1)理解全称量词与存在量词的意义. (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 补充说明 1.抓住 3 个考点:一是含逻辑联结词的命题真假判断;二是全 称命题与特称命题的真假判断; 三是含逻辑联结词的复合命题及全称 (特称)命题的否定形式. 2.正确分析命题的条件与结论. 备选习题 π 1 1.已知命题 p:?x∈(0,2),sinx=2,则綈 p 为( π 1 A.?x∈(0,2),sinx=2 π 1 B.?x∈(0,2),sinx≠2 π 1 C.?x∈(0,2),sinx≠2 π 1 D.?x∈(0,2),sinx>2 [答案] B [解析] 特称命题的否定为全称命题,排除 C、D;“=”的否 定为“≠”,排除 A,故选 B. 2. 已知 a、 b、 c 是三条不同的直线, 命题“a∥b 且 a⊥c?b⊥c” 是正确的,如果把 a、b、c 中的两个或三个换成平面,在所得的命题 中,真命题有( A.1 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个 )

[答案] C [解析] a、b、c 换成平面 α、β、γ,则“α∥β 且 α⊥γ?β⊥γ” 是真命题; a、b 换成平面 α、β,则“α∥β 且 c⊥α?c⊥β”是真命题; b、c 换成平面 β、γ,则“a∥β 且 a⊥γ?β⊥γ”是真命题; a、c 换成平面 α、γ,则“b∥α 且 α⊥γ?b⊥γ”是假命题. 3.已知命题 p:“平行于同一平面的两条直线相互平行”;命 题 q:“垂直于同一条直线的两条直线相互平行”.在 p∨q,p∧q, 綈 p,p∧(綈 q)中,真命题的个数为( A.1 [答案] A [解析] p、q 都是假命题,因此綈 p、綈 q 均为真命题,∴p∨q 为假,p∧q 为假,p∧(綈 q)为假,故选 A. 4. (2012· 南通市调研)已知命题 p1: 函数 y=ln(x+ 1+x2)是奇函 1 数,p2:函数 y=x2为偶函数,则在下列四个命题: ①p1∨p2;②p1∧p2;③(綈 p1)∨p2;④p1∧(綈 p2)中, 真命题的序号是________. [答案] ①④ [解析] ∵ln(-x+ 1+x2)=ln 1 =-ln(x+ 1+x2),∴ 2 1+x +x B.2 C.3 ) D.4

1 p1 是真命题,又函数 y=x2的定义域为{x|x≥0},∴p2 为假命题,∴綈 p1 假,綈 p2 真,∴p1∨p2 真,p1∧p2 假,(綈 p1)∨p2 假,p1∧(綈 p2) 真.

x2 y2 5.方程 + =1 表示曲线 C,给出以下命题: 4-t t-1 ①曲线 C 不可能为圆; ②若 1<t<4,则曲线 C 为椭圆; ③若曲线 C 为双曲线,则 t<1 或 t>4; 5 ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t<2. 其中真命题的序号是______(写出所有正确命题的序号). [答案] ③④ 5 3 [解析] 显然当 t=2时, 曲线方程为 x2+y2=2, 方程表示一个圆; 5 而当 1<t<4,且 t≠2时,方程表示椭圆;当 t<1 或 t>4 时,方程表示 5 双曲线, 而当 1<t<2时, 4-t>t-1>0, 方程表示焦点在 x 轴上的椭圆, 故选项为③④. 6.给出下列命题: (1)若 q≤1,则方程 x2+2x+q=0 有实根; (2)若 x、y 都是奇数,则 x+y 是偶数; (3)若 x=1 或 x=2,则 x2-3x+2=0; (4)已知 a、b、c 是空间三条不同的直线,若 a⊥b,且 a⊥c,则 b∥c. 其否命题为真命题的序号是________.(写出所有符合题意的序 号) [答案] (1)(3) [解析] (1)否命题:若 q>1,则方程 x2+2x+q=0 无实根,∵Δ =22-4q=4(1-q)<0,∴此命题为真命题. (2)否命题:若 x,y 不都是奇数,则 x+y 不是偶数,∵当 x=2,

y=4 时,x、y 不都是奇数,但 x+y 是偶数,∴此命题为假命题. (3)否命题:若 x≠1 且 x≠2,则 x2-3x+2≠0,这是一个真命题. (4)否命题:已知 a、b、c 是空间三条不同的直线,若 a 与 b 不垂 直或者 a 与 c 不垂直, 则 b 与 c 不平行, 这是一个假命题. 因为 a∥b, a∥c 时,有 b∥c.


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