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河南省安阳市外国语学校高二期末模拟考试(数学理)


安阳市外国语学校高二期末模拟考试 数学试题卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 + 3i (1)复数 等于 3 -i (B) -i (C) 3 + i (A) i x (2)曲线 y = 在点 ( -1, -1) 处的切线方程为 x+2
(A) y = 2 x + 1 (B) y = 2 x - 1 (C) y = -2 x - 3
<

br />(D) 3 - i

(D) y = -2 x - 2

(3)若h ~ B (6, ) ,则 P (h = 4) = (A)

1 3

3 16

(B)

20 243

(C)

13 243

(D)

80 243

(4)有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学要站 在一起,则不同的站法有 (A)240 种 (B)192 种 (C)96 种 (D)48 种 (5)甲、乙、丙三位同学上课后独立完成 5 道自我检测题,甲及格概率为

4 ,乙及格概率为 5

2 2 ,丙及格概率为 ,则三人中至少有一人及格的概率为 5 3 16 59 1 (A) (B) (C) 75 75 25

(D)

24 25

(6)设函数 f ( x) 在定义域内可导, y = f ( x) 的图象如右图所示,则导函数 y = f ?( x) 的图 象可能为

( 7 )连掷两 次骰子得到 点数分 别 为 m 和 n , 记向量 a = (m, n)与向量b = (1,-1) 的 夹角 为

p q , 则q ? (0, ) 的概率是 2 5 1 (A) (B) 12 2

(C)

7 12

(D)

5 6

(8)甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A 、 B 两变量的线性相关性作试验,并用回归分析方法 分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表:

-1-



乙 0.78 115

丙 0.69 124

丁 0.85 103

r m

0.82 106

则哪位同学的试验结果体现 A 、 B 两变量有更强的线性相关性? (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁 (9)按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律,写出后一种化合物的分 子式是 ... (A) C 4 H 9 (B) C 4 H 11
H H C H H H H C H H C H H H H C H H C H C3H8 H C H H

(C) C 4 H 10 (D) C 4 H 12

CH4

C2H6

( 10 ) 某市组织 一 次高 三调研考试 , 考试 后 统计 的数学成 绩服从 正 态 分 布 ,其 密度 函数为

f ( x) =

1 2p × 10

e

( x -80 ) 2 200

确的是 ( x ? R ) ,则下列命题不正 ...

(A)该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 (B)分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 (C)分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 (D)该市这次考试的数学成绩标准差为10 (11)点 P 在曲线 y = x - x +
3

(A) (0, )

π 2

2 上移动,设点 P 处切线的倾斜角为 a ,则 a 的取值范围是 3 π 3 3 π 3 (B) [0, ) U [ π, π ) (C) [ π, π) (D) ( , π ] 2 4 4 2 4
2 2 2 2

(12) 设 1 + (1 + x) + (1 + 2 x) + (1 + 3 x) + L + (1 + nx) = a 0 + a1 x + a 2 x , 则 lim
2

a0 的 n?? a 1

2

值是 (A)0 1 (B) 2 (C)1 (D)2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
(13) 函数 y = 3 x 2 - 2 ln x 的单调减区间为 (14) 已知 a = .
6

ò

p

0

1 ? ? 2 (sin x + cos x) ,则二项式 ? a x ÷ 展开式中含 x 项的系数是 x? è
.
B A' C' C

.

(15) lim

1 n kp = sin ? n?? n n k =0

(16)由图(1)有面积关系:

B A' P B'
图(1)

S DPA?B ? PA? × PB ? = , S DPAB PA × PB
则由图(2) 有体积关系:

A

P B'
图 (2)

A

-2-

V P - A ?B ?C ? = V P - ABC

.

三、解答题(共 6 个小题,共 70 分)
(17) (本小题共 12 分) 旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路,每个旅游团任选其中一条. (Ⅰ)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率 (Ⅱ)求恰有 2 条线路没有被选择的概率. (Ⅲ)求选择甲线路旅游团数的期望. (18) (本小题共 12 分) 如图,在区间[0,1]上给定曲线 y = x 2 ,试在此区间内确定点 t 的值,使图中阴影部分的面积

S1 + S 2 最小.
1

y

y = x2 S2 S1

O

t 1 x

(19) (本小题共 12 分) 用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线的条数 f ( n) =

1 n(n - 3) (n ? 4) . 2

(20) (本小题共 12 分) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位 老年人,结果如下: 性别 男 是否需要志愿者 需要 不需要 40 160 30 270 女

(Ⅰ)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (Ⅱ)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者

-3-

提供帮助的老年人的比例?说明理由.

P( K 2 ? k )
k

0.050
3.841

0.010 6.635

0.001 附: 10.828

K2 =

n(ad - bc) 2 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )

(21) (本小题共 12 分) 设函数 f ( x) = e x - 1 - x - ax 2 . (Ⅰ)若 a = 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若当 x ≥ 0 时 f ( x) ≥ 0 ,求 a 的取值范围. (22) (本小题满分 10 分) 如图,已知 DABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交 于 H , ?B = 60 , F 在 AC 上,且 AE = AF .
0

A F E H C D

(Ⅰ) 证明: B 、 D 、 H 、 E 四点共圆: (Ⅱ)证明: CE 平分 ?DEF .

B

-4-

安阳市外国语学校高二(下)期末考试 数学参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案 (1) A (2) A (3) B (4) B (5) D (6) D (7) A (8) D (9) C (10) C (11) B (12) C

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 3 ) 3 2 p PA? × PB ? × PC ? PA × PB × PC

(13) ( 0 ,

(14) -192

(15)

(16)

三、解答题(共 6 个小题,共 70 分,注:请在指定位置答题否则无效 ) ............
(17)(本小题共 12 分) 解: (Ⅰ) 3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为: P1 =
3 A4 3 = .…………………(3 分) 3 8 4

2 2 C4 × C 32 × A2 9 (Ⅱ)恰有两条线路没有被选择的概率为: P2 = = .…………(6 分) 3 16 4

(Ⅲ)设选择甲线路旅游团数为 X ,则 X = 0 , 1 , 2 , 3 .

P( X = 0) =

1 1 C3 × 3 2 27 C3 ×3 9 33 27 = ; P ( X = 1 ) = = ; P ( X = 2 ) = = ; 3 3 3 64 64 64 4 4 4

-5-

P( X = 3) =
∴ X 的分布列为:

3 C3 1 = . ………………………………………………………(10 分) 3 64 4

X P

0

1 27 64

2 9 64

3

27 64

1 64

∴期望 E ( X ) = 0 ?

27 27 9 1 3 + 1? + 2? + 3? = .……………………(12 分) 64 64 64 64 4

(18)(本小题共 12 分) 解: S1 = t × t 2

ò

t

0

x 2 dx =

2 3 t 3

S 2 = ò x 2 dx - t 2 (1 - t ) =
t

1

2 3 2 1 t -t + 3 3

……………

(4 分)

4 3 2 1 t - t + (0 < t ? 1) ……………(6 分) y 3 3 1 1 S ' (t ) = 4t 2 - 2t = 4t (t - ) 2 1 令 S ' (t ) = 0 ,得 t = 或 t = 0 (舍去) S1 2 1 1 O 当 0 < t < 时, S ' (t ) < 0 ;当 < t ? 1 时, S ' (t ) > 0 ; 2 2 1 1 \ 当 t ? (0, ] 时, S (t ) 为减函数, 当 t ? ( ,1] 时, S (t ) 为增函数……………(10 分) 2 2 1 1 1 所以,当 t = 时, S min = S ( ) = …………………………………………(12 分) 2 2 4 \ S = S1 + S 2 =
(19)(本小题共 12 分) 证明: (1)当 n = 4 时, f ( 4) = (2 分) (2)假设 n = k 时命题成立,即凸 k 边形的对角线的条数 f ( k ) =

y = x2 S2

t 1 x

1 ? 4 ? (4 - 3) = 2 ,四边形有两条对角线,命题成立.………… 2 1 k (k - 3)(k ? 4) , 2

当 n = k + 1 时, 即凸 k + 1 边形是在 k 边形的基础上增加了一边,增加了一个顶点 Ak +1 ,增加 的对角线条数是顶点 Ak +1 与不相邻顶点连线再加上原 k 边形的一边 A1 Ak ,共增加了对角线条

-6-

数 ( k + 1 - 3) + 1 = k - 1 .……(6 分)

\ 1 1 1 1 k (k - 3) + k - 1 = (k 2 - k - 2) = (k + 1)(k - 2) = (k + 1)[(k + 1) - 3] , 2 2 2 2 故 n = k + 1 时,命题成立. ……………………………………(11 分) f (k + 1) =
由(1) (2)可知,对于 n ? 4 , n ? N 命题成立. ………………(12 分)
*

(20)(本小题共 12 分) 解: (Ⅰ)调查的 500 位老人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因为该地区老人中,需要帮助 的老年人的比例的估计值为

70 = 14 ℅.………………………(4 分) 500

(Ⅱ) K =
2

500 ? (40 ? 270 - 30 ? 160) 2 ? 9.967 . 200 ? 300 ? 70 ? 430

由 于 9.967 > 6.635 ,所 以 有 99 ℅ 的 把握认 为 该 地 的 区 老 人 是 否需 要 帮助 与性别 有 关. ……………(8 分) (Ⅲ)由(Ⅱ)的结论知,该地的区老人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据看出 该地区男性老年人与女性老年人需要帮助的比例有明显的差异,因此在调查时,先确定该地 区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样的方法比采用简单随 机抽样的方法更好. ……………………(12 分) (21)(本小题共 12 分)
x x 解(Ⅰ)当 a = 0 时, f ( x) = e - 1 - x , f ?( x) = e - 1 .

当 x ? (-?,0) 时, f ?( x) < 0 ;当 x ? (0,+?) 时, f ?( x) > 0 . 故 f ( x) 在 ( -?,0) 单调递减,在 (0,+?) 单调递增.…………………(4 分) (Ⅱ) f ?( x) = e x - 1 - 2ax . 由(Ⅰ)知 e ? 1 + x ,当且仅当 x = 0 时等号成立,故
x

f ?( x) ? x - 2ax = (1 - 2a ) x .……………………………(6 分)
从而当 1 - 2a ? 0 ,即 a ?

1 时, f ?( x) ? 0( x ? 0) ,而 f (0) = 0 , 2

于是当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 .……………………………………………(8 分) 由 e > 1 + x( x ? 0) 可得 e
x -x

> 1 - x( x ? 0) .从而当 a >

1 时, 2

f ?( x) < e x - 1 + 2a (e - x - 1) = e - x (e x - 1)(e x - 2a ) .……………(10 分)
故当 x ? (0, ln 2a ) 时, f ?( x) < 0 ,而 f (0) = 0 ,于是当 x ? (0, ln 2a ) 时, f ( x) < 0 .
-7-

综合得 a 的取值范围为 ( -?, ] .…………………………(12 分) (22)(本小题共 10 分) 证明: (Ⅰ)在 DABC 中,Q ?B = 60 \ ?BAC + BCA = 120
o o

1 2

A F E H C D

Q AD , CE 是角平分线,\ ?HAC + ?HCA = 60 o \ ?AHC = 120 o ,于是 ?EHD = ?AHC = 120 o . Q ?EBD + ?EHD = 180 o \ B 、 D 、 H 、 E 四点共圆. ………………(5 分)
(Ⅱ)连结 BH ,则 BH 为 ?ABC 的平分线,得 ?HBD = 30
o o

B

由(Ⅰ)知 B 、 D 、 H 、 E 四点共圆.\ ?CED = ?EBD = 60 ,由已知可得 EF ^ AD ,

\ ?CEF = 30 o ,\ CE 平分 ?DEF .………………………(10 分)

-8-


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