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走向高考数学 1-1答案


第1章

第1节

一、选择题 1.(文)(2010·辽宁朝阳)已知全集 U=Z,集合 M={-1,0,1},N={0,1,3},(?UM)∩N 等 于( ) A.{-1} C.{0,1} [答案] B [解析] 如图,全集 U 为整数集,(?UM)∩N 中的元素在集合 N 中,但不在集合 M 中, 故只有 3.∴(?UM)∩N={3}.

B.{3} D.{-1,3}

(理)已知全集 U=R,且 A={x||x-1|>2},B={x|x2-6x+8<0},则(?UA)∩B 等于( A.[-1,4) C.(2,3] [答案] C [解析] 解法 1:A={x|x>3 或 x<-1},B={x|2<x<4},?UA={x|-1≤x≤3}, ∴(?UA)∩B=(2,3],故选 C. B.(2,3) D.(-1,4)

)

解法 2:验证排除法,取 x=0,x?B,故排除 A、D.取 x=3,3?A,3∈B.∴3∈(?UA)∩B. 排除 B. 1 2.(2010·辽宁葫芦岛)设集合 A={x| <2x<2},B={x|lgx>0},则 A∪B=( 2 A.{x|x>-1} C.? [答案] D 1 - [解析] 先求集合 A,B,再求 A∪B,∵ <2x<2,即 2 1<2x<21,结合 y=2x 的单调性知 2 -1<x<1,∴A={x|-1<x<1},由 lgx>0 得 x>1,∴B={x|x>1}, ∴A∪B={x|-1<x<1 或 x>1}. 3.(文)(2010·烟台二中)已知集合 M={y|y=x2},N={y|y2=x},则 M∩N=( A.{(0,0),(1,1)} B.{0,1} ) B.{x|-1<x<1} D.{x|-1<x<1 或 x>1} )

C.[0,+∞) [答案] C

D.[0,1]

[解析] M={y|y≥0},N=R,则 M∩N=[0,+∞),选 C. [点评] 本题极易出现的错误是: 误以为 M∩N 中的元素是两抛物线 y2=x 与 y=x2 的交 点,错选 A.避免此类错误的关键是,先看集合 M,N 的代表元素是什么以确定集合 M∩N 中元素的属性.若代表元素为(x,y),则应选 A. (理)(2010·胶州三中)若集合 M={y|y=3 x},P={y|y= 3x-3},则 M∩P=(


)

A.{y|y>1} C.{y|y>0} [答案] C

B.{y|y≥1} D.{y|y≥0}

1 - [解析] y=3 x=?3?x>0, ∴M={y|y>0}, ∵3x-3≥0, ∴y≥0, ∴P={y|y≥0}, ∴M∩P ? ? ={y|y>0}. 4.若集合 M={0,1,2},N={(x,y)|x-2y+1≥0 且 x-2y-1≤0,x、y∈M},则 N 中 元素的个数为( A.9 C.4 [答案] C [解析] N={(0,0),(1,0),(1,1),(2,1)},按 x、y∈M,逐个验证得出 N. 5.(2010·合肥市)集合 M={x|x2-1=0},集合 N={x|x2-3x+2=0},全集为 U,则图 中阴影部分表示的集合是( ) ) B.6 D.2

A.{-1,1} C.{1} [答案] B

B.{-1} D.?

[解析] ∵M={1,-1},N={1,2},∴M∩N={1}, 故阴影部分表示的集合为{-1}. 6.(文)(2010·天津十二区)设集合 A={-1,0,1},集合 B={0,1,2,3},定义 A*B={(x, y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则 A*B 中元素的个数为( A.7 C.25 B.10 D.25 )

[答案] B [解析] 由题知,A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3},所以满足题意的实数对有(0,- 1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),共 10 个,即 A*B 中的 元素有 10 个,故选 B. (理)设 A、 是两个集合, B 定义 M*N={x|x∈M 且 x?N}, M={y|y=log2(-x2-2x+3)}, 若 N={y|y= x,x∈[0,9]}则 M*N=( A.(-∞,0] C.[0,2] [答案] B [解析] y=log2(-x2-2x+3)=log2[-(x+1)2+4]∈(-∞,2],N 中,∵x∈[0,9],∴y = x∈[0,3].结合定义得:M*N=(-∞,0). 7.P={α|α=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={β|β=(1,-2)+n(2,3),n∈R}是两个向量 集合,则 P∩Q=( A.{1,-2} C.{(1,-2)} [答案] B [解析] α=(m-1,2m+1),β=(2n+1,3n-2),
? ?m-1=2n+1 令 α=β 得,? ?2m+1=3n-2 ? ? ?m=-12 ∴? ?n=-7 ?

) B.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(2,3]

) B.{(-13,-23)} D.{(-23,-13)}

∴P∩Q={(-13,-23)}. 8.(文)(2010·山东调研)设全集 U=R,若 A∩?UB={2},A∩B={0},则集合 A=( A.{0} C.{0,2} [答案] C [解析] 因为 A∩?UB={2}, 所以 2∈A, 又因为 A∩B={0}, 所以 0∈A.设 x∈A, x∈B, 若 则 x∈A∩B,若 x?B,则 x∈A∩?UB,由此可知 A 中只有元素 0 和 2,故选 C. (理)若 A、B、C 为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( A.A?C C.A≠C [答案] A [解析] 考查集合的基本概念及运算. ∵B∩C?B?A∪B,A∪B=B∩C?B, ∴A∪B=B,B∩C=B,∴A?B,B?C,∴A?C,选 A. B.C?A D.A=? ) B.{2} D.无法确定 )

9.(文)(2010·山东青岛)如果全集 U=R,集合 A={x|x2-2x>0},B={x|y=ln(x-1)}, 则图中的阴影部分表示的集合是( A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(-∞,0]∪(1,2) C.(-∞,0)∪(1,2) D.(-∞,0)∪(1,2] [答案] D [分析] 可以先求出集合 A、 把阴影部分用集合 A, 表示出来然后进行具体计算. B, B 也 可以利用阴影部分在集合 A∪B 中,不在 A∩B 中来求解. [解析] 由题意得 A=(-∞,0)∪(2,+∞),B=(1,+∞),图中的阴影部分表示的集 合是[A∩(?UB)]∪[(?UA)∩B],而 A∩(?UB)=(-∞,0),(?UA)∩B=(1,2],故阴影部分表示 的集合是(-∞,0)∪(1,2]. (理)(2010·山东省实验中学)如图,I 是全集,A、B、C 是它的子集,则阴影部分所表示 的集合是( ) )

A.(?IA∩B)∩C B.(?IB∪A)∩C C.(A∩B)∩?IC D.(A∩?IB)∩C [答案] D [解析] 阴影部分在 A 中,在 C 中,不在 B 中,故在?IB 中,因此是 A、C、?IB 的交集, 故选 D. [点评] 解决这类题的要点是逐个集合考察,看阴影部分在哪些集合中,不在哪些集合 中,注意不在集合 M 中时,必在集合 M 的补集中. 10.(2010·温州十校)若集合 A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 由“m=2”可知 A={1,4},B={2,4},所以可以推得 A∩B={4},反之,如果

“A∩B={4}”可以推得 m2=4, 解得 m=2 或-2, 不能推得 m=2, 所以“m=2”是“A∩B ={4}”的充分不必要条件. 二、填空题 1 1 - 11.若 A={x|22x 1≤ },B={x|log 1 x≥ },实数集 R 为全集,则(?RA)∩B=________. 4 2 16 1 [答案] {x|0<x≤ } 4 1 1 - [解析] 由 22x 1≤ 得,x≤- , 4 2 1 1 由 log 1 x≥ 得,0<x≤ , 2 4 16 1 1 ∴(?RA)∩B={x|x>- }∩{x|0<x≤ } 2 4 1 ={x|0<x≤ }. 4 12.(文)(2010·南京调研)已知集合 A={0,2},B={1,a2},若 A∪B={0,1,2,4},则实数 a 的值为________. [答案] ±2 [解析] 根据题意知 a2=4,所以 a=±2. (理)(2010·江苏苏北四市)已知集合 A={0,2,a2},B={1,a},若 A∪B={0,1,2,4},则 实数 a 的值为________. [答案] 2 [解析] ∵A∪B={0,1,2,4},∴a=4 或 a2=4,若 a=4,则 a2=16,但 16?A∪B,∴a2 =4,∴a=±2, 又-2?A∪B,∴a=2. 13.设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},若 A∩B={3},则实数 a=________. [答案] 1 [解析] 由题意知,a2+4>3,故 a+2=3,即 a=1,经验证,a=1 符合题意,∴a=1. 14. 对于两个集合 S1、 2, S 我们把一切有序实数对(x, y)所组成的集合(其中 x∈S1, y∈S2), 叫做 S1 和 S2 的笛卡尔积,记作 S1×S2.如果 S1={1,2},S2={-1,0,1},则 S1×S2 的真子集的 个数为________个. [答案] 63 [解析] ∵S1×S2={(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1)},∴真子集共 26-1 =63 个. 15.对于集合 N={1,2,3,…,n}及它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下: 按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合

{1,2,4,6,9}的交替和是 9-6+4-2+1=6,集合{5}的交替和为 5.当集合 N 中的 n=2 时,集 合={1,2}的所有非空子集为{1},{2},{1,2},则它的“交替和”的总和 S2=1+2+(2-1) =4,请你尝试对 n=3、n=4 的情况,计算它的“交替和”的总和 S3、S4,并根据其结果猜 测集合 N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和 Sn=________ . [答案] Sn=n·2n
-1

[解析] S1=1=1×20,S2=4=2×21, S3=12=3×22,S4=32=4×23,故猜想 Sn=n·2n 1.


三、解答题 6 16.已知集合 A={x| ≥1,x∈R},B={x|x2-2x-m<0}. x+1 (1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)当 A∩B={x|-1<x<4}时,求实数 m 的值. [解析] A={x|-1<x≤5}, (1)当 m=3 时,B={x|-1<x<3},则?RB={x|x≤-1 或 x≥3}. ∴A∩(?RB)={x|3≤x≤5}. (2)∵A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4}, ∴42-2×4-m=0,解得 m=8, 此时 B={x|-2<x<4},符合题意,故实数 m 的值为 8. 17.(2010·厦门三中)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0,n∈N*). (1)求证数列{an}是等比数列,并求 an; (2)已知集合 A={x|x2+a≤(a+1)x},问是否存在实数 a,使得对于任意的 n∈N*,都有 Sn∈A?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由. [解析] (1)①当 n=1 时,∵(a-1)S1=a(a1-1),∴a1=a(a>0) ②n≥2 时,由(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)得, (a-1)Sn-1=a(an-1-1) an ∴(a-1)an=a(an-an-1),变形得: =a(n≥2), a n- 1 故{an}是以 a1=a 为首项,公比为 a 的等比数列, ∴an=an. (2)①a≥1 时,A={x|1≤x≤a},S2=a+a2>a, ∴S2?A, 即当 a≥1 时,不存在满足条件的实数 a. ②0<a<1 时,A={x|a≤x≤1} a (1-an), ∵Sn=a+a2+…+an= 1-a

a ∴Sn∈[a, ), 1-a

?0<a<1 ? 1 ,解得 0<a≤ , 因此对任意的 n∈N ,要使 Sn∈A,只需? a 2 ≤1 ? ?1-a
*

1 综上得实数 a 的取值范围是(0, ]. 2


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