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闵行区2013届一模数学(文理)


闵行区 2012 学年第一学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷(文理科)
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚,并填涂准考证号.选择题部 分必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题部分使用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写. 2.本试卷共有 23 道题,共 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 3.考试后只交答题纸,试卷由考生自己保

留. 一、填空题: (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空 格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 4i ( i 为虚数单位),则 z ? .

2.函数 y ? log 2 (1 ? x2 ) 的定义域为

.

3.已知集合 A ? {a, b, c, d , e}, B ? {c, d , e, f } ,全集 U ? A ? B ,则集合 ? ( A ? B) 中 U 元素的个数为 .

4 . 已 知 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 与 圆 x2 ? y 2 ? mx ? 4 ? 0 的 圆 心 重 合 , 则 m 的 值 是 .

5.已知函数 y ? g ( x) 的图像与函数 y ? 3x ? 1 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g (10) 的 值为 .
n

6. 【理】若二项式 ? x 2 ? ? 展开式的各项系数的和为 64 ,则其展开式的所有二项式系 数中最大的是 . (用数字作答)

? ?

3? x?

【文】若二项式 x ? 1 展开式的各项系数的和为 64 ,则其展开式的所有二项式系
2

?

?

n

数中最大的是

. (用数字作答)

开始

4 7. 【理】无穷等比数列 {an } 的各项和为 3 ,第 2 项为 ? ,则该数列的公比 3 q? .
第 1 页 共 13 页

i ?1, ? 0 S

i ? i ?1
S ?S ?2i


i≤n
否 输出 S 结束

【文】已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? (?3)n ? r ( r 是常数),则数列 {an } 是 等比数列的充要条件是 . .

8.某算法的程序框图如右图,若输出的 S 的值为 62 ,则正整数 n 的值为

9. 【理】从集合 ?1,2,3,4,5? 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概 率为 . 【文】某高校随机抽查 720 名的在校大学生,询问他们在网购商品时是否了解商品的 最新信息,得到的结果如右表,已知这 720 名大学生中随机抽取一名,了解商品最新信 息的概率是

11 ,则 p ? 18

. 男生 合计

了解 160

不了解 合计

p
80 720

女生 480 ? p

10.已知定义在 (0, ) 上的函数 y ? 2(sin x ?1) 与 y ?

8 的图像的交点为 P ,过 P 作 2 3 . PP ? x 轴于 P1 ,直线 PP 与 y ? tan x 的图像交于点 P2 ,则线段 PP2 的长为 1 1 1

?

11. 【理】已知不等式 2x ? a ? x ?1 对任意 x ? [0, 2]恒成立,则实数 a 的取值范围 是 是 . 【文】已知不等式 x ? a ? x ?1 对任意 x ? [0, 2]恒成立,则实数 a 的取值范围 .

12. 【理】已知△ABC 的面积为 1 ,在△ABC 所在的平面内有两点 P、Q ,满足

??? ??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? PA ? PC ? 0, QA ? QB ? QC ? BC ,则四边形 BCPQ 的面积为

.

【 文 】已 知△ ABC 的 面积 为 1 , 在 △ABC 所 在 的平 面 内有 两点 P、Q , 满 足 ??? ??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? . PA ? PC ? 0, QA ? QB ? QC ? BC ,则△APQ 的面积为 13. 【理】如下图,对大于或等于 2 的正整数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂”(其中

m、 ? N * ):例如 72 的“分裂”中最小的数是 1 ,最大的数是 13 ;若 m3 的“分裂”中最 n 小的数是 211 ,则 m ? . 1 3 3 7 1 5 2 3 4 2 2 2 2 3 5 9 7 7 【文】 已知函 数 9 7 1 25 2 3 4 9 3 27 3 3 11 3 5 11 29 13 第 2 页 共 13 页

? ?x , ?1 ? x ? 1 ?cos 2 ,则关于 x 的方程 f 2 ( x) ? 3 f ( x) ? 2 ? 0 f ? x? = ? ? x 2 ? 1, x >1 ?
的实根的个数是 . 14. 【理】已知函数 f ( x) ?| x ?

1 1 | ? | x ? | ,关于 x 的方程 f 2 ( x) ? a f ( x) ? b ? 0 x x
.

( a, b ? R )恰有 6 个不同实数解,则 a 的取值范围是

【文】如下图,对大于或等于 2 的正整数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂”(其中

m、 ? N * ):例如 72 的“分裂”中最小的数是 1 ,最大的数是13 ;若 m3 的“分裂”中 n
最小的数是 211 ,则 m ? .

22

32

1 3 1 3 5

23

3

5 9 11
7

24

7

33

34

9 25 27 29

72

1 3 5 7 9 11 13

二、选择题: (本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 A , B , C , D 是空间四点.命题甲: A , B , C , D 四点不共面,命题 乙:直线 AC 和 BD 不相交,则甲是乙成立的( ) A .充分不必要条件 ; B .必要不充分条件; D .既不充分也不必要条件. C .充要条件; 16. 【理】 若向量 m, n 满足 m ? n ? 1 ,m 与 n 的夹角为 60 , m ? m ?n ? ( 则
0

?? ?

??

?

??

?

? ? ? ? ?

?

?



1 3 3 B. ; D .1 ? C .2 ; ; . 2 2 2 ?? ? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ? 0 【文】若向量 m, n 满足 m ? n ? 1, m 与 n 的夹角为 60 ,则 m ? m ? m ? n ? (
A.
A.



1 ; 2

B.

3 ; 2

C .2 ;

D .1 ?

3 . 2

17 . 理 】 已 知 函 数 f ( x) ?| arctan( x ? 1) | , 若 存 在 x1 , x2 ?[a, b] , 且 x1 ? x2 , 使 【

f ( x1 ) ? f ( x2 )
成立,则以下对实数 a 、 b 的描述正确的是( A . a ?1; B .a ?1; ) C . b ? 1;

D .b ? 1.

第 3 页 共 13 页

【文】已知函数 f ( x) ?| arctan x | ,若存在 x1 , x2 ?[a, b] ,且 x1 ? x2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则以下对实数 a 、 b 的描述正确的是( ) A .a ? 0; B .a ? 0; C .b ? 0; 18. 【理】 数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 1 ,an ? an ?1 ? an ? 2 ? cos 的前 n 项和为 Sn ,则 S2012 的值为( )

D .b ? 0.

2n? (n ? N ? ) , 若数列 ?an ? 3

D . 672 . C . 2012 ; 2n? (n ? N ? ) , 【文】 数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 1 ,an ? an ?1 ? an ? 2 ? cos 若数列 ?an ? 3 的前 n 项和为 Sn ,则 S2013 的值为( ) A . 2013 ; B . 671 ;

A . ?672 ;

B . ?671 ;

C . ?671 ;

D .?

671 . 2

三、解答题: (本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ?

2sin x sin x ? cos x

3(sin x ? cos x) . cos x

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 y ? f ( x ?

?

) , x ?[0, ] 的值域. 2 2

?

20. 【理】 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. 科学研究表明:一般情况下,在一节 40 分钟的课中,学生的注意力随教师讲课的 时间变化而变化。开始上课时,学生的注意力逐步增强,随后学生的注意力开始分散。 经过实验分析,得出学生的注意力指数 y 随时间 x (分钟)的变化规律为:

0? x?8 ?2 x ? 68, ? y ? f ( x) ? ? 1 2 . ?? 8 ( x ? 32 x ? 480),8 ? x ? 40 ?
(1)如果学生的注意力指数不低于 80,称为“理想听课状态” ,则在一节 40 分钟的课 中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长?(精确到 1 分钟) (2)现有一道数学压轴题,教师必须持续讲解 24 分钟,为了使效果更好,要求学生的 注意力指数在这 24 分钟内的最低值达到最大,那么,教师上课后从第几分钟开始讲解 这道题?(精确到 1 分钟) 【文】 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满分 7 分,第(2)小题

第 4 页 共 13 页

满分 7 分. 已知椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,右焦点为 F ,直线 l 的 4 3

y

倾斜角为

? ,直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 3 相切于点 Q ,且 Q 在 y 轴的 4

O F Q A B

l

x

右侧,设直线 l 交椭圆 E 于两个不同点 A, B . (1)求直线 l 的方程; (2)求 ?ABF 的面积.

21. 【理】 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题 满分 7 分. 已知椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,右焦点为 F , 4 3

y

直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 3 相切于点 Q ,且 Q 在 y 轴的右 O 侧,设直线 l 交椭圆 E 于不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . (1)若直线 l 的倾斜角为 F Q A B

l

x

? ,求直线 l 的方程; 4

(2)求证: | AF | ? | AQ |? | BF | ? | BQ | . 【文】 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题 满分 7 分. 科学研究表明:一般情况下,在一节 40 分钟的课中,学生的注意力随教师讲课的 时间变化而变化,开始上课时,学生的注意力逐步增强,随后学生的注意力开始分散,经 过实验分析,得出学生的注意力指数 y 随时间 x (分钟)的变化规律为:

0? x?8 ?2 x ? 68, ? y ? f ( x) ? ? 1 2 . ?? 8 ( x ? 32 x ? 480),8 ? x ? 40 ?
(1)如果学生的注意力指数不低于 80,称为“理想听课状态” ,则在一节 40 分钟的课 中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长?(精确到 1 分钟) (2)现有一道数学压轴题,教师必须持续讲解 24 分钟,为了使效果更好,要求学生的 注意力指数在这 24 分钟内的最低值达到最大,那么,教师上课后从第几分钟开始讲解 这道题?(精确到 1 分钟)

22. 【理】 (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题
第 5 页 共 13 页

满分 6 分,第(3)小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? log a

1? x (0 ? a ? 1) . 1? x

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D ,并判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)如果当 x ? (t , a) 时, f ( x ) 的值域是 ? ??,1? ,求 a 与 t 的值; (3)对任意的 x1 , x2 ? D ,是否存在 x3 ? D ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,若存在, 求出 x3 ;若不存在,请说明理由. 【文】 (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题 满分 6 分,第(3)小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? log a

1? x (0 ? a ? 1) . 1? x

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D ,并判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)用定义证明函数 f ( x ) 在 D 上是增函数; (3)如果当 x ? (t , a) 时,函数 f ( x ) 的值域是 ? ??,1? ,求 a 与 t 的值. 23.【理】 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 8 分.
2 设数列 {an } 的各项均为正数,前 n 项和为 Sn ,已知 4Sn ? an ? 2an ?1(n? N * ) .

(1)证明数列 {an } 是等差数列,并求其通项公式; (2)证明:对任意 m、、 ? N , ? p ? 2k ,都有 k p m
*

1 1 2 ? ? ; Sm S p Sk

(3)对于(2)中的命题,对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗?如果成立,请证 明你的结论,如果不成立,请说明理由. 【文】 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 设数列 {an } 的各项均为正数,前 n 项和为 Sn ,已知 4Sn ? an ? 2an ?1(n? N ) .
2 *

(1)证明数列 {an } 是等差数列,并求其通项公式; (2)是否存在 k ? N ,使得 Sk 2 ? ak ?2048 ,若存在,求出 k 的值;若不存在请说明理由;
*

2

(3)证明:对任意 m、、 ? N , ? p ? 2k ,都有 k p m
*

1 1 2 ? ? . Sm S p Sk

第 6 页 共 13 页

一、 (第 1 题至第 14 题) 1. 2 ? 2i ; 5. 2 ; 10. 6. 20 ; 7.理 ?

2. (?1,1) ; 8. 5 ;

3. 3 ; 9.理

4. ?2 ;

1 ,文 r ? ?1 ; 3

2 ,文 200 ; 5

2 ; 4 13.理 15 ,文 5 ;

11.理 a ? 2 或 a ? 5 ,文 a ? 1 或 a ? 3 ;

12.理

14.理 (?4, ?2) ,文 15 . 二、 (第 15 题至第 18 题) 15.A; 16.B; 三、 (第 19 题至第 23 题) 19. [解] (1) f ( x) ?

2 1 ,文 ; 3 3

17.A;

18.D.

2sin x 3(sin x ? cos x) ? sin2 x ? 3cos2 x ? 2sin(2 x ? ? ) ?3 分 sin x ? cos x cos x 3 所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? ???????3 分 ? ? ? 2? ) ?????????2 分 (2) y ? f ( x ? ) ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? 2 2 3 3
∵ x ?[0, ] ,∴ ?

?

2

2? 2? ? 2? 3 ? 2x ? ? , ?1 ? sin(2 x ? ) ? ?????2 分 3 3 3 3 2
???????2 分

∴ y?[?2, 3] . 另解: y ? f ( x ?

?

) ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ? ? ) ? ?2sin(2 x ? ) ?2 分 2 2 3 3 3

?

?

?

?

∵ x ?[0, ] ,∴

?

?
3

2

? 2x ?

?
3

?

4? 3 ? ,? ? sin(2 x ? ) ? 1 ????????2 分 3 2 3
??????????2 分

∴ ?2 ? ?2sin(2 x ?

?
3

) ? 3 ,即 y?[?2, 3] .

20. [解](理) (1)由于学生的注意力指数不低于 80,即 y ? 80 当 0 ? x ? 8 时,由 2 x ? 68 ? 80 得 6 ? x ? 8 ; ????2 分

2 当 8 ? x ? 40 时,由 ? ( x ? 32 x ? 480) ? 80 得 8 ? x ? 16 ? 4 6 ;????2 分

1 8

所以 x ? ?6,16 ? 4 6 ? , 16 ? 4 6 ? 6 ? 10 ? 4 6 ? 20

?

?

故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有 20 分钟.

?????3 分

(2)设教师上课后从第 t 分钟开始讲解这道题,由于 10 ? 4 6 ? 24 所以 t ??0,6? ??????????????????????2 分

要学生的注意力指数最低值达到最大,只需 f (t ) ? f (t ? 24)

第 7 页 共 13 页

即 2t ? 68 ? ? [(t ? 24) ? 32(t ? 24) ? 480] ???????????2 分
2

1 8

解得 t ? 8 6 ? 16 ? 4

???????????????2 分

所以,教师上课后从第 4 分钟开始讲解这道题,能使学生的注意力指数最低值达到 最大. ???????????????????????????1 分

(文) (1)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,

则有

|m| ? 3 ,得 m ? ? 6 2

??????????????3 分

又切点 Q 在 y 轴的右侧,所以 m ? ? 6 ,???????????2 分 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 6 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ?????????????2 分

? y ? x? 6 ? 2 由 ? x2 y2 得 7 x ? 8 6 x ? 12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4

??????????2 分

x1 ? x2 ?

8 6 12 , x1 x2 ? 7 7 4 6 7
?????2 分

| AB |? 1 ? 1 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
又 F (1, 0) ,所以 F 到直线 l 的距离 d ? 所以 ?ABF 的面积为

|1 ? 6 | 1 ? (2 3 ? 2) 2 2

??2 分

1 2 | AB | d ? (3 2 ? 2 3) 2 7

?????1 分

21. [解](理) (1)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,

则有

|m| ? 3 ,得 m ? ? 6 2

??????????????3 分

又切点 Q 在 y 轴的右侧,所以 m ? ? 6 ,???????????2 分

第 8 页 共 13 页

所以直线 l 的方程为 y ? x ? 6

?????????????2 分
2 2

(2)因为 ?AOQ 为直角三角形,所以 | AQ |? OA ? OQ ?

x12 ? y12 ? 3



1 x12 y12 ? ? 1 得 | AQ |? x1 2 4 3
2 2 1

?????????????????2 分

| AF |? ( x1 ? 1) ? y

1 x12 y12 又 ? ? 1 得 | AF |? 2 ? x1 ?????2 分 2 4 3
?????2 分

所以 | AF | ? | AQ |? 2 ,同理可得 | BF | ? | BQ |? 2

所以 | AF | ? | AQ |? | BF | ? | BQ | ?????????????????1 分 (文) (答案与评分标准同理科第 20 题) 22. [解](理) (1)令

1? x ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 1 , D ? ? ?1,1? ?????2 分 1? x
?1

1? x ? 1? x ? ? 1? x ? 对任意 x ? D, f (? x) ? log a ? log a ? ? ? ? loga ? ? ? ? f ( x) 1? x ? 1? x ? ? 1? x ?
所以函数 f ( x ) 是奇函数. ?????????????????????2 分 另证:对任意 x ? D, f (? x) ? f ( x) ? log a 所以函数 f ( x ) 是奇函数. (2)由

1? x ? 1? x ? ? log a ? ? ? log a 1 ? 0 1? x ? 1? x ?
?????????????2 分

1? x 2 1? x ? ?1 ? 知,函数 g ( x ) ? 在 ? ?1,1? 上单调递减, 1? x x ?1 1? x

因为 0 ? a ? 1 ,所以 f ( x ) 在 ? ?1,1? 上是增函数 ?????????2 分 又因为 x ? (t , a) 时, f ( x ) 的值域是 ? ??,1? ,所以 (t , a) ? (?1,1) 且 g ( x) ?

1? x 在 (t , a ) 的值域是 (a, ??) , 1? x 1? a ? a 且 t ? ?1 (结合 g ( x) 图像易得 t ? ?1 )?????2 分 故 g (a) ? 1? a

a 2 ? a ? 1 ? a 解得 a ? 2 ? 1( ? 2 ? 1 舍去) .
所以 a ?

2 ? 1, t ? ?1

?????????????2 分
第 9 页 共 13 页

(3)假设存在 x3 ? (?1,1) 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 即 log a

1 ? x3 1 ? x1 1 ? x2 ? log a ? log a 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3

1 ? x3 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 , log a ( ? ) ? log a ? ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3
解得 x3 ?

x1 ? x2 , 1 ? x1 x2

?????????????3 分
2

? x ?x ? x ? x2 ? (?1,1), 即证: 1 2 ? ? 1 . 下证: x3 ? 1 ? 1 ? x1 x2 ? 1 ? x1 x2 ?
2 2 2 ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? (1 ? x1 x2 )2 x12 ? x2 ? 1 ? x12 x2 (1 ? x12 )(1 ? x2 ) ? ?? 证明: ? ? ?1 ? (1 ? x1 x2 ) 2 (1 ? x1 x2 ) 2 (1 ? x1 x2 ) 2 ? 1 ? x1 x2 ? 2

? x1,x2 ? (?1, ,∴ 1 ? x12 ? 0, ? x22 ? 0 , (1 ? x1 x2 )2 ? 0 1) 1
? x ?x ? ? x ?x ? (1 ? x12 )(1 ? x2 2 ) ∴ ? 0 ,即 ? 1 2 ? ? 1 ? 0 ,∴ ? 1 2 ? ? 1 2 (1 ? x1 x2 ) ? 1 ? x1 x2 ? ? 1 ? x1 x2 ?
所以存在 x3 ?
2 2

x1 ? x2 ? (?1,1) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 1 ? x1 x2
2

?????3 分

? x ? x2 ? 2 2 2 2 另证:要证明 ? 1 ? ? 1 ,即证 ( x1 ? x2 ) ? (1 ? x1 x2 ) ,也即 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 . ? 1 ? x1 x2 ?

? x1 , x2 ? (?1,1) ,∴ 1 ? x12 ? 0,1 ? x22 ? 0, ∴ (1 ? x12 )(1 ? x22 ) ? 0 ,
? x ? x2 ? ∴? 1 ? ? 1. ? 1 ? x1 x2 ?
2

x1 ? x2 ? (?1,1) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ?????3 分 1 ? x1 x2 1? x ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 1 , D ? ? ?1,1? (文) (1)令 ?????2 分 1? x
所以存在 x3 ? 对任意 x ? D, f (? x) ? log a

1? x ? 1? x ? ? 1? x ? ? log a ? ? ? ? loga ? ? ? ? f ( x) 1? x ? 1? x ? ? 1? x ?

?1

第 10 页 共 13 页

所以函数 f ( x ) 是奇函数. 另证:对任意 x ? D, f (? x) ? f ( x) ? log a 所以函数 f ( x ) 是奇函数. (2)设 x1 , x2 ? (?1,1), 且x1 ? x2 ,

?????2 分

1? x ? 1? x ? ? log a ? ? ? log a 1 ? 0 1? x ? 1? x ?
??????????2 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a

1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? log a ? log a ( ? ) ? log a 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )
????2 分

∴ 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? [1 ? x1x2 ? ( x2 ? x1 )] ? 2( x2 ? x1 ) ? 0 ∴ 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? [1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )] ? 0 ∴

1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ?1 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )

∵0 ? a ?1

∴ log a

1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ???2 分 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以函数 f ( x ) 在 D 上是增函数. ??????????????????2 分

(3)由(2)知,函数 f ( x ) 在 ? ?1,1? 上是增函数, 又因为 x ? (t , a) 时, f ( x ) 的值域是 ? ??,1? , 所以 (t , a) ? (?1,1) 且 g ( x ) ? 故 g (a) ?

1? x 在 (t , a ) 的值域是 (a, ??) , 1? x

?????2 分 ???????2 分

1? a ? a 且 t ? ?1 (结合 g ( x) 图像易得 t ? ?1 ) 1? a

a 2 ? a ? 1 ? a 解得 a ? 2 ? 1( ? 2 ? 1 舍去)
所以 a ?

2 ? 1, t ? ?1 ???????????????2 分 2 2 23. [解](理) (1)∵ 4Sn ? an ? 2an ?1 ,∴当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an?1 ? 2an?1 ?1 .
2 2 两式相减得 4an ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,

∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ∵ an ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 2 ,

??????????2 分

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2 又 4S1 ? a1 ? 2a1 ?1 ,∴ a1 ? 1

∴ {an } 是以 a1 ? 1为首项, d ? 2 为公差的等差数列. ?????????1 分 ∴ an ? 2n ?1 ???????????????1 分

(1 ? 2n ?1)n ? n2 , 2 2 2 ∴ Sm ? m , k ? k , p ? p2 S S
(2)由(1)知 S n ? 于是

??????????2 分

1 1 2 1 1 2 k 2 ( p2 ? m2 ) ? 2m2 p2 ? ? ? 2? 2? 2? Sm S p Sk m p k m2 p 2 k 2 m? p 2 2 ( ) ( p ? m 2 ) ? 2m 2 p 2 2 ? , ??????????2 分 m2 p 2k 2

mp ? 2 pm ? 2m2 p 2 ?0 m2 p 2 k 2 1 1 2 ∴ ? ? Sm S p Sk ?
(3 )结论成立,证明如下:

??????????2 分 ??????????1 分

设等差 数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,则 S n ? na1 ? 于是 S m ? S p ? 2S k ? ma1 ?

m(m ?1) p( p ?1) d ? pa1 ? d ? [2ka1 ? k (k ? 1)d ] 2 2 m2 ? p 2 ? m ? p ? (m ? p)a1 ? d ? (2ka1 ? k 2 d ? kd ) ?????????2 分 2 (m ? p) 2 d ?0, 将 m ? p ? 2k 代入得, Sm ? S p ? 2Sk ? 4 ∴ Sm ? S p ? 2Sk ??????????2 分
又 Sm S p ?

n(a1 ? an ) n(n ?1) d? 2 2

mp(a1 ? am )(a1 ? a p ) 4

?

mp[a12 ? (am ? a p )a1 ? am a p ] 4

a ?a m? p 2 2 ) [a1 ? 2a1ak ? ( m p )2 ] 2 ? 2 4 2 2 2 k (a1 ? 2a1ak ? ak ) k 2 (a1 ? ak )2 ? ? ? Sk2 4 4 1 1 Sm ? S p 2Sk 2 ∴ ? ? ? 2 ? . Sm S p Sm S p Sk Sk (
2

??????????2 分 ??????????1 分

2 (文)(1)∵ 4Sn ? an ? 2an ?1 ,∴当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an?1 ? 2an?1 ?1 .

两式相减得 4an ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,
2 2

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∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0

??????????2 分

2 ∵ an ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 2 ,又 4S1 ? a1 ? 2a1 ?1 ,∴ a1 ? 1

∴ {an } 是以 a1 ? 1为首项, d ? 2 为公差的等差数列.????????2 分 ∴ an ? 2n ?1 (2) 由(1)知 S n ? ??????????1 分

(1 ? 2n ?1)n ? n2 , 2

??????????2 分

假设正整数 k 满足条件, 则 (k 2 )2 ? [2(k ? 2048) ?1]2 ∴ k 2 ? 2(k ? 2048) ?1 , 解得 k ? 65 ; (3) Sm ? m , k ? k , p ? p S S
2 2 2
2 2

??????????3 分 ??????????2 分

1 1 2 1 1 2 k ( p ? m2 ) ? 2m2 p2 于是 ? ? ? ? ? ? S m S p S k m2 p 2 k 2 m2 p 2 k 2 m? p 2 2 ( ) ( p ? m 2 ) ? 2m 2 p 2 2 ? ??????????2 分 m2 p 2k 2
mp ? 2 pm ? 2m2 p 2 ? ?0 m2 p 2 k 2 1 1 2 ∴ ? ? Sm S p Sk
??????????3 分 ??????????1 分

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