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河北省衡水中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题(word版)


河北衡水中学 2013 届高三上学期期中考试

数学(理)试题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答 案的序号填涂在答题卡上)
x 1、已知集合 R,若集合 A ? { x || x ? 2 ? 3} , B ? { x | 2 ? 1 | ? 1} , 则 C R ( A ? B ) 为

A.{x | 1< x ? 5} B.{x | x ? ? ? 1 或 x> 5} C.{x | x? ? —1 或 x> 5} D.{x? ? —1 ? x ? 5} 2.命题 P:若 a, b? ? R, 则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分不必要条件;命题 q:不等式
| x x ?1 |? x x ?1

的解集为 {x |0<x<1},则

A.“p 或 q” 为假命题B.“p 且 q” 为真命题 A.“ ? p 或 q” 为假命题 B.“ ? p 且 q” 为真命题 3.已知? { a n } 为等比数列,若 a 4 ? a 6 ? 1 0 , 则 a 1 a 7 ? 2 a 3 a 7 ? a 3 a 9 的值为 A.10 4.已知直线 ? 和平面? B.20 C.60 D.100

? , ? , ? ∩ ? =l,a ? ? ,a ? ? ,a 在 ? , ? 内的射影分别为直

线 b 和 c ,则 b 和 c 的位置关系是 A.相交或平行 C.平行或异面
s in (

B.相交或异面 D.相交﹑平行或异面

?
2

? ? ) ? c o s (? ? ? )

5.已知 ta n ? ? 2 , 则
s in (

?
2

等于
? ? ) ? s in ( ? ? ? )

A.2

B.—2

C.0

D.

2 3

6. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,实数解, 则这个几何的体积 为 A.
(4 ? ? ) 3 3

B. ( 4 ? ? ) 3

C.

(8 ? ? ) 3 (8 ? ? ) 6

3

D.

3

x?3 ? 2 a ( a ? 0 , a ? 1) 的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 7.函数 y ? a

x m

?

y n

? ? 1上 , 且

m,n>0 则 3m? ? A.13

+n 的最小值为 ( ) B.16
2

C.11+ 6 2
1 2

D.28

8.若函数 f ( x ) ? lo g a ( x ? a x ? A. (0,1)

) 有最小值,则实数 a 的取值范围是

B. (0,1) ? (1,2) C. (1,2)

D. [ 2 , ? ? )

9. 在△ ABC 中, ∠C =90°, ∠B =30°,AC=1, 为 AB 中点,将△ ACM 沿 CM 折起, A、 M 使 B 间的距离为
1 2
2 ,则 M 到面 ABC 的距离为
3 2

A.

B.
3 2

C.1

D.

10.若 函 数 f ( x ) ? s in ? x ? 小值为 A.
1 3 3? 4 , 则 正 数 ? 的值为

3 cos ? x, x ? R , 又 f (a ) ? ?2, f ( ? ) ? 0,

且| ? - ? |的 最

B.

2 3

C.

4 3

D.

3 2

11.已 知 A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , O 是 三 角 形 ABC 的 重 心 , 动 点 P 满 足O P ?
??? ? ? ? ???? 1 1 ??? 1 ??? ( O A ? O B ? 2 O C ) ,则点 P 一定为三角形的 3 2 2

A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB 边的中点 12.已知函数 f ( x ) ? ?
? x ? 1, x ? 0 ?x
2
2 ,若关于 x 的方程 f ( x ) ? a f ( x ) ? 0 恰有 5 个不

? 2 x ? 1, x ? 0

同的实数解,则 a 的取值范围是 A. (0,1) B. (0,2) C. (1,2) 二.填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分

D. (0,3)

? 3x ? y ? 0 ? ? 13.若点 P(x,y)满足线性约束条件 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 , 点 A ( 3 , ?y ? 0 ? ?

3 ) ,O 为坐标原点,则

??? ??? ? ? O A ? O P 的最大值_________.

14.如图,四边形 ABCD 为菱形,四边形 CEFB 为正方形, 平面 ABCD⊥平面 CEFB,CE=1,∠AED=30°,则异面直 线 BC 与 AE 所成角的大小_________. 15 . 已 知
1 3
n





{a n 满 } 足

?n a

?1

3 a? n
n

? 3

n1 ?

( N ,

? n* 且

,

2

)

a1 ? 5 若 , n ? b

an ? t ( n ? N

) * ) 且 { b(n } 的等差数列,则 t=_________.

16. 已知函数 f ( x ) 的定义域为? [-1, 部分对应值如下表, f ( x ) 的导函数 y? = f ? ( x ) 的 5], 图像如图所示,给出关于 f ( x ) 的下列命题:

①函数 y ? f ( x ) 在 x=2 时,取极小值 ②函数 f ( x ) 在[0,1]是减函数,在[1,2]是增函 数,③当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x ) ? a 有 4 个零点④如果当 x ? [ ? 1, t ] 时, f ( x ) 的 最大值是 2,那么 t 的最大值为 5,其中所有正确命题序号为_________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在△ ABC 中 ,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 ( 2 c ? a ) c o s B ? b c o s A ? 0 . (1)若 b ? 7 , a ? c ? 1 3 求此三角形的面积; (2)求 3 s in A ? s in ( C ?
?
6 ) 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分)

已知等比数列 { a n } 中, a 2 ? 2 , a 5 ? 1 2 8 , 若 b n ? lo g 2 a n , 数 列 { b n }的 前 n 项的和为 Sn。 (1)若 S n ? 3 5 , 求 n 的值; (2)求不等式 S n ? 2 b n 的解集。

19. (本小题满分 12 分)
? 1 0 ? x ? c ? ?6 ? x 工厂生产某种产品, 次品率 p 与日产量 x (万件) 间的关系为: p ? ? (c ?2 x ? c ?3 ?

为常数, 且 0<c<6) 已知每生产 1 件合格产品盈利 3 元, . 每出现 1 件次品亏损 1. 元. 5 (1)将日盈利额 y(万元)表示为日产量 x(万件)的函数; (2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率=
次品数 产品总数 ? 100% )

20. (本小题共 12 分) 四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为菱形,且∠BAD=60°,A1A=AB,E 为 BB1 延长 线上的一点,D1E⊥D1AC. (Ⅰ)求二面角 E—AC—D1 的大小; (Ⅱ)在 D1E 上是否存在一点 P ,使 A1P// 面 EAC ?若存在,求 D1P : PE 的值;不存 在,说明理由.

21. (本小题共 12 分) 如图,设 S—ABCD 是一个高为 3 的四棱锥,底面 ABCD 的边长为 2 的正方形,顶点 S 在 底面上的射影是正方形 ABCD 的中心,K 是棱 SC 的中点,过 AK 作平面与线段 SB,SD 分别 交于 M,N(M,N 可以是线段的端点) 。 (1)求直线 AK 平面 SBC 所成角的正弦值; (2)当 M 是 SB 中点时,求四棱锥 S-AMKN 的体积.

22、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? a x ? ln x , 其 中 a 为常数. (1) 当 a ? ? 1 时,求 f ( x ) 的最大值; (2) 若 f ( x ) 在区间(0,e]上的最大值为-3,求 a 的值; (3)当 a ? ? 1 时,试推断方程 | f ( x ) | ?
ln x x ? 1 2

是否有实数解。


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